Tính truyền nhiệt vĩ mô của vật liệu tổng hợp hai pha với pha cốt sợi trụ được phân bố tuần hoàn

Nghiên cứu này nhằm xác định tính truyền nhiệt vĩ mô của vật liệu tổng hợp bao gồm các sợi hình trụ tròn phân bố tuần hoàn trong một chất nền. Để tính tới tính tuần hoàn của các sợi thì nghiên cứu đã phát triển phương pháp của Rayleigh để giải bài toán. Với phương pháp này trường nhiệt độ và hệ số dẫn nhiệt có hiệu của vật liệu tổng hợp được xác định với độ chính xác cao. Các kết quả áp dụng số của phương pháp này sẽ được so sánh với các kết quả thu được từ phương pháp phần tử hữu hạn. Phương pháp tính toán thiết lập trong bài báo này có thể được áp dụng trực tiếp cho các bài toán truyền dẫn tương đương như: dẫn điện, khuếch tán, và dòng chảy trong vật liệu rỗng...

Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng, NUCE 2020 14 (2V): 75–82 TÍNH TRUYỀN NHIỆT VĨ MƠ CỦA VẬT LIỆU TỔNG HỢP HAI PHA VỚI PHA CỐT SỢI TRỤ ĐƯỢC PHÂN BỐ TUẦN HỒN Nguyễn Đình Hảia,∗, Trần Anh Tuấnb a Khoa Kỹ Thuật Xây Dựng, Trường Đại học giao thông vận tải, số đường Cầu Giấy, quận Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam b Khoa Cơng Trình, Trường Đại học giao thông vận tải, số đường Cầu Giấy, quận Đống Đa, Hà Nội, Việt Nam Nhận ngày 30/03/2020, Sửa xong 29/04/2020, Chấp nhận đăng 12/05/2020 Tóm tắt Nghiên cứu nhằm xác định tính truyền nhiệt vĩ mô vật liệu tổng hợp bao gồm sợi hình trụ trịn phân bố tuần hồn chất Để tính tới tính tuần hồn sợi nghiên cứu phát triển phương pháp Rayleigh để giải toán Với phương pháp trường nhiệt độ hệ số dẫn nhiệt có hiệu vật liệu tổng hợp xác định với độ xác cao Các kết áp dụng số phương pháp so sánh với kết thu từ phương pháp phần tử hữu hạn Phương pháp tính tốn thiết lập báo áp dụng trực tiếp cho toán truyền dẫn tương đương như: dẫn điện, khuếch tán, dòng chảy vật liệu rỗng, Từ khố: hệ số dẫn nhiệt vĩ mơ; phương pháp Rayleigh; phân bố tuần hoàn; phương pháp phần tử hữu hạn MACROSCOPIC THERMAL CONDUCTIVITY OF TWO – PHASE COMPOSITE CONSISTING OF PERIODIC ARRAYS OF CIRCULAR CYLINDRICAL FIBERS Abstract The purpose of this work is to determine the macroscopic thermal of composites consisting of circular cylinders fiber in a periodic arrangement embedded in a matrix For accounting the periodic distribution of fiber in matrix in this investigation we extend the Rayleigh method The temperature field and effective conductivities of composite were calculated to a very high order to achieve a sufficient accuracy The numerical results of method proposed are finally compared with results given by Finite element method The method elaborated and results provided by the present work are directly applicable to other physically analogous transport phenomena, such as electric conduction, diffusion and flow in porous media, etc Keywords: macroscopic thermal conductivity; Rayleigh method; periodic arrangement; finite element method https://doi.org/10.31814/stce.nuce2020-14(2V)-07 c 2020 Trường Đại học Xây dựng (NUCE) Giới thiệu Vật liệu tổng hợp nghiên cứu ngày nhiều lĩnh vực xây dựng cơng trình lợi ích to lớn mà mang lại Việc nghiên cứu tính chất việc quan trọng để áp dụng loại vật liệu vào cơng trình cụ thể Nghiên cứu trọng đến việc xác định tính dẫn nhiệt vĩ mô vật liệu tổng hợp gồm hai pha gồm pha pha sợi, pha sợi có dạng hình trụ trịn phân bố tuần hồn mặt phẳng truyền nhiệt x1 0x2 chạy dọc theo phương x3 (Hình 1), hai pha cấu thành nên vật liệu tổng hợp giả thuyết truyền nhiệt đẳng hướng ∗ Tác giả đại diện Địa e-mail: nguyendinhhai.1986@utc.edu.vn (Hải, N Đ.) 75 q!n = , θ = (4) trường hợp vec tơ pháp tuyến đơn vị n trùng với er hệ toạ độ trụ Hải, N Đ., Tuấn, T A / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Hình 1 Vật liệu đượcbố bốtrítrítuần tuầnhồn hồn dọc trục Hình Vật liệudẫn dẫnnhiệt nhiệtcốt cốt sợi sợi dọc trục Trong nghiên cứu ta xét nhiệt độ trạng thái ổn định (nhiệt độ không đổi theo thời gian), khơng có nguồn phát nhiệt, phương trình cân lượng (3) viết lại sau: Để xác định hệ số truyền nhiệt vĩ mô vật liệu có nhiều mơ hình giải tích đề xuất (i) ∇!q = Bão hịa, mơ hình Mori-Tanaka, mơ hình (6) Tự tương dựa nghiệm tốn Eshelby mơ hình hợp, Thay mơ hình Tự tương hợp tổng quát [1–8], Tuy nhiên phương pháp tính đến tính phương trình (1) vào (6), hệ tọa độ trụ phương trình viết tường minh chất sau pha thành phần, hình dạng pha, tỷ lệ thể tích pha mà chưa tính đến phân bố tuần hoàn vật liệu cấu thành Bên cạnh mơ hình giải tích kể sử dụng phương ∂ 2θ ∂r ∂ pháp số để xác định tính chất + + vĩ mô =của vật liệu tổng hợp phần tử hữu hạn, (7 )phương pháp biến đổi r ∂θ r ∂θ ∂r nhanh Fourier [9–12] nhiên phương pháp có hạn chế gặp phải khối lượng tính tốn Khikhả mặtnăng phântính giớitốn máy pha làtính hồn hảo,đáp cấp vĩ mơ, vec tơnghiên mật độcứu nhiệt E sử vecdụng tơ phương lớn mà chưa ứngđộđược Trong xác định theo công thức đâyđịnh hệ số dẫn nhiệt vĩ mơ vật liệu tổng hợp phápdịng phátnhiệt triểnQtừđược tốn Rayleigh [13–16] để xác có xét tới phân bố tuần hồn của(1)vật liệu cấu thành tốn 2D E= θ ( x ) dx + ∫ ( )θ ( ) ( x ) dx (8) phương trình Ω( ) Bố cục báo Ω này∫ trình bàyΩ làm bốn phần: Phần trình bày tốn truyền nhiệt, phương pháp xác định ten xơ truyền nhiệt có hiệu vật liệu tổng hợp có phân bố tuần hồn dựa toán Rayleigh giới thiệu phần 3, kết số thu phương pháp Rayleigh so sánh với 3các kết thu từ phương pháp số sử dụng biến đổi nhanh Fourier biên Voigt - Reuss phần 4, phần dành để trình bày số kết luận kiến nghị ( ) 2 Các phương trình Vật liệu tổng hợp dẫn nhiệt Ω xem xét nghiên cứu bao gồm sợi hình trụ trịn Ω(1) phân bố dọc theo phương x3 bố trí cách tuần hồn theo mặt vng góc với x3 chất Ω(2) (Hình 1) Các vật liệu cấu thành nên vật liệu tổng hợp coi truyền nhiệt đẳng hướng Phương trình truyền nhiệt pha thành phần vật liệu tổng hợp miêu tả định luật Fourier [1, 11, 12, 14–16]: q(i) = −K(i) ∇θ(i) (1) q(i) , K(i) θ(i) vec tơ dòng nhiệt, ten xơ hệ số dẫn nhiệt nhiệt độ vật liệu i với i = 1, Trong trường hợp vật liệu truyền nhiệt đẳng hướng K(i) = ki I với I ten xơ đơn vị    0    bậc hai I =   , vec tơ mật độ nhiệt định nghĩa công thức:   0 e(i) = ∇θ(i) (2) Véc tơ dòng nhiệt q(i) phải thoả mãn phương trình cân lượng: ∇ · q(i) + P = ρ(i) c 76 ∂θ ∂t (3) Hải, N Đ., Tuấn, T A / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng −1 −3 với ρ(i) P nguồn nhiệt có đơn vị W.m−3 c nhiệt dung riêng vật liệu i có đơn vị J.K m Khi liên kết pha sợi pha hồn hảo trường nhiệt độ thành phần pháp tuyến vec tơ dòng nhiệt phải liên tục qua nó, nghĩa là: q · n = 0, [[θ]] = (4) trường hợp vec tơ pháp tuyến đơn vị n trùng với er hệ toạ độ trụ Trong nghiên cứu ta xét nhiệt độ trạng thái ổn định (nhiệt độ khơng đổi theo thời gian), khơng có nguồn phát nhiệt, phương trình cân lượng (3) viết lại sau: ∇ · q(i) = (5) Thay phương trình (1) vào (5), hệ tọa độ trụ phương trình viết tường minh sau ∂2 θ ∂r ∂2 + + =0 ∂r2 r ∂θ r2 ∂θ2 (6) Khi mặt phân giới pha hồn hảo, cấp độ vĩ mơ, vec tơ mật độ nhiệt E vec tơ dòng nhiệt Q xác định theo công thức |Ω| Q= |Ω| E= Ω(1) Ω(1) θ(1) (x)dx + q(1) (x)dx + Ω(2) Ω(2) θ(2) (x)dx (7) q(2) (x)dx (8) Phương pháp Rayleigh cho vật liệu tuần hồn Thay nghiên cứu toàn miền vật liệu Ω, vật liệu có tính chất tuần hồn nên ta cần nghiên cứu nhân tuần hồn hình vng với pha sợi hình trịn phân bố pha hình vng với cạnh a (Hình 1) Tính tuần hồn vật liệu thể qua điều kiện Ea, θ| x1 =−a/2 = θ| x1 =a/2 = − Ea, ∂θ ∂x2 x2 =±a/2 =0 (9) E mật độ nhiệt vĩ mơ theo phương x1 Tính đối xứng nhân tuần hoàn miêu tả quan hệ sau: θ (x1 , x2 ) = θ (x1 , −x2 ) , θ (x1 , x2 ) − θ(0, 0) = − [θ (−x1 , x2 ) − θ(0, 0)] (10) Nghiệm trường nhiệt phương trình (6) – phương trình Laplace có dạng chuỗi sau: - Trong pha sợi: ∞ θi = C2n−1 r2n−1 cos(2n − 1)φ (11) n=1 - Trong pha nền: ∞ θm = A2n−1 r2n−1 + B2n−1 r−2n+1 cos(2n − 1)φ n=1 77 (12) Hải, N Đ., Tuấn, T A / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Thay nghiệm trường nhiệt pha sợi pha vào phương trình (1) ta xác định vec tơ dòng nhiệt pha cốt sợi Trường nhiệt độ trường dòng nhiệt pháp tuyến qua mặt phân giới liên tục theo phương trình (4) ta nhận mối quan hệ sau: km + ki 2(1−2n) r B2n−1 km − ki i km + ki = + ri(1−2n)(1+k) B2n−1 km − ki A2n−1 = (13) C2n−1 (14) Trường nhiệt độ cốt sợi (11) pha (12) phải thoả mãn điều kiện tuần hoàn (9), đồng thời áp dụng điều kiện quán đơn vị Rayleigh xem [13] dẫn tới: ∞ ∞ A2n−1 r 2n−1 cos(2n − 1)φ = Ex1 + B2n−1 r−2n+1 cos(2n − 1)φ j j (15) j n=1 n=1 số j vòng tròn từ tâm trừ tâm; r φ toạ độ cực tính từ tâm O (r j , φ j ) toạ độ điểm O; (r, φ) toạ độ cực cục hình trịn thứ j Đồng hố đạo hàm phần lần thứ 2n − theo biến x1 thành phần phương trình (15) điểm O ta nhận được:    ∞ 2m + 2n −  cos(2m + 2n − 1)θ j  B2m−1 = −Eδn1 (16) A2n−1 +  2n − m=1 j Kết hợp ba phương trình (13), (14) (16) ta rút hệ phương trình cho phép xác định B2m−1 sau (U + V)x = p (17) km + ki , p km − ki vec tơ có thành phần khác khơng p1 = δn1 , x vec tơ với thành phần B2m−1 , ma trận V có thành phần nhận giá trị sau có giá trị x2m−1 = Eri2(2m−1) (2m + 2n − 3)! ri2(2m−1) 2m+2n−2 Giải hệ phương trình (17) ta thu giá trị B2m−1 Vmn = (2m − 2)! (2n − 1)! thay vào phương trình (13) (14) ta nhận giá trị giải tích A2m−1 , C2m−1 Thế giá trị A2m−1 , B2m−1 , C2m−1 vào phương trình (13) (14) ta có nghiệm giải tích trường nhiệt độ pha sợi pha vật liệu tổng hợp Thay giá trị trường nhiệt độ pha vào phương trình ta nhận giá trị trường mật độ nhiệt trường dòng nhiệt cục pha cấu thành nên vật liệu Trường mật độ nhiệt dòng nhiệt cấp độ vĩ mơ xác định thơng qua tích phân phương trình số (7) (8) Quan hệ vec tơ mật độ dòng nhiệt vec tơ dòng nhiệt cấp độ vĩ mơ: U ma trận chéo với thành phần khác giá trị Q = Ke f f E (18) Ten xơ hệ số dẫn nhiệt xác định qua công thức sau ef f Ki j = 78 ∂Qi ∂E j (19) Hải, N Đ., Tuấn, T A / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Áp dụng số Xét vật liệu tổng hợp gồm có cốt sợi với hệ số dẫn nhiệt k2 = 0,19 Wm−1 K−1 phân bố tuần hoàn pha với hệ số dẫn nhiệt k1 = 2,1 Wm−1 K−1 Tỷ lệ thể tích pha sợi composite biến đổi từ 10 đến 60%, chuỗi giá trị chọn với n = m = 20 Các kết số hệ số dẫn nhiệt Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2018 ISSN 2615-9058 vật liệu tổng hợp theo phương x1 composite so sánh với biên Voigt–Reuss trình bày Hình Ten sơ hệ số dẫn nhiệt tính theo biên Voigt Reuss [1, 7, 14, 15] tính m = 20 Các kết số hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổng hợp theo phương x1 sau:so sánh với biên Voigt – Reuss trình bày Hình Ten sơ compositenhư hệ số dẫn nhiệt tính theo biên Voigt Reuss [1, 8, 15, 16] tính sau: K Voigt = f1k1I + f k2I K Reuss = I ⎛ f1 f ⎞ + ⎜⎝ k k ⎟⎠ KVoigt = f1 k1 I + f2 k2 I ( 21) KReuss ( 22)= f1 f2 I k1 + k2 (20) (21) f1, f2 tỷ lệ thể tích pha pha sợi; I ten xơ đơn vị bậc f , f tỷ lệ thể tích pha pha sợi; I ten xơ đơn vị bậc Các kết áp Các kết áp dụng số1 của2 phương pháp Rayleigh so sánh với kết Tạp chí Khoa học Cơng nghệ 2018từ phương pháp FFT ISSN 2615-9058 số pháp Rayleigh với kết Xây quảdựng thuNUCE thu dụng từ phương pháp phương FFT [10, 11] phần tử hữu hạn (FEM) đượcso thểsánh đồ thị Hình [9, 10] phần tử hữu hạn (FEM) thể đồ thị Hình Hình Ảnh hưởng tỷ lệ thể tích cốt sợi đến hệ số dẫn nhiệt vật liệu5.tổng Hình Ảnhhợp hưởng tỷ lệ thể tích cốt sợi đến hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổng hợp Hình Ảnh hưởng tỷ lệ thể tích cốt sợi đến hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổng hợp Hình Ảnh hưởng tỷ lệ thể tích cốt sợi đến hệ thực với phương pháp Rayleigh, FFT FEM số dẫn nhiệt vật liệu tổng hợp thực với Vật liệu composite mô FEM và mặtFEM cắt đường cắt thể phương pháp Rayleigh, FFT biến đổi nhiệt độ dịng nhiệt thể Hình 6, Hình 7, Hình 8, Hình Hình 10 trường hợp pha sợi chiếm 60% thể tích FEM mặt cắt đường cắt thể biến composite Vật liệu composite mô đổi nhiệt độ dòng nhiệt thể Hình 4-8 trường hợp pha sợi chiếm 60% thể tích composite Quan sát biểu đồ Hình nhận thấy kết thu từ phương pháp Rayleigh cải tiến nằm biên Voigt–Reuss cho thấy tính khả dụng mơ hình Các kết tính tốn phương pháp so sánh với phương pháp FFT FEM (Hình 3) cho kết sát nhau, đặc biệt tính hai phương pháp Rayleigh FEM sai số hai phương pháp nhỏ, điều cho thấy tính xác mơ hình Các biểu đồ trực quan Hình cho thấy dịng nhiệt chạy dọc qua mặt cắt đường cắt bị gây nhiễu (tuần hoàn) qua pha sợi, truyền nhiệt khơng cịn tuyến tính Hình Chia lưới vật liệu composite cốt sợi với FEM 79 Vật liệu composite mô FEM mặt cắt đường cắt thể biến đổi nhiệt độ dòng nhiệt thể Hình 6, Hình 7, Hình 8, Hình Hình 10 trường hợp pha sợi chiếm 60% thể tích composite Hải, N Đ., Tuấn, T A / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Tạp Tạpchí chíKhoa Khoahọc họcCơng Cơngnghệ nghệXây Xâydựng dựngNUCE NUCE2018 2018 ISSN ISSN2615-9058 2615-9058 Tạp chí Khoa họcHình Công nghệ Xây dựng 2018 Chia lưới vậtNUCE liệu composite cốt sợi với FEM ISSN 2615-9058 Hình Chia lưới vật liệu composite cốt sợi với FEM Hình Đường cắt mơ thay đổi nhiệt độ Hình Đường cắt mơ thay đổi nhiệt độ Hình Mặt cắt mơ dịng nhiệt Hình7.7.Đường Đườngcắt cắtmơ mơphỏng phỏngthay thayđổi đổi Hình nhiệtđộ độ nhiệt Hình8 cắtcắt mơ mơ dịng nhiệt Hình 8.Mặt Mặt cắt mơphỏng dịng nhiệt nhiệt Hình Mặt dịng Hình9.7.Trường Trường nhiệt Hình nhiệt độ độqua quađường đườngcắtcắt 80 Tạp chí Khoa học Công nghệ Xây dựng NUCE 2018 ISSN 2615-9058 Hải, N Đ., Tuấn, T A / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng Hình 10.8.Trường độ vàdịng dịngnhiệt nhiệtqua qua mặt Hình Trường nhiệt nhiệt độ mặt cắtcắt Quan sát biểu đồ Hình nhận thấy kết thu từ phương pháp KếtRayleigh luận cải tiến nằm biên Voigt – Reuss cho thấy tính khả dụng mơ hình Các kết tính tốn phương pháp so sánh với phương pháp FFT Các kết mô cho thấy phương pháp Rayleigh cải tiến hoàn toàn phù hợp FEM (Hình 5) cho kết sát nhau, đặc biệt tính hai phương việc dự đốn hệ số dẫn nhiệt có hiệu vật liệu tổng hợp có phân bố tuần hồn Độ xác Rayleigh FEM pháp sai sốphụ củathuộc hai phương nàygiá rấttrị nhỏ, điều lựa chochọn thấy Trong tốcpháp độ tính tốn phương vào độ pháp lớn n, m xácn hìnhthìnày nghiên tính cứu với = mmơ = 20 tínhCác tốnbiểu đạt đồ độ trực chínhquan xác Hình cao với các10kếtcho quảthấy đạt dịng có độ nhiệtrất khinhỏ chạy dọc qua mặt cắt FEM đường cắt bịpháp gây nhiễu hoàn)ápkhidụng qua chênh lệch so với phương pháp Phương có(tuần thể chopha hàm lượng thể tích sợi biến đổi từ đến 100% trường hợp vật liệu có phân bố tuần hồn với độ sợi, truyền nhiệt khơng cịn tuyến tính xác cao khắc phục nhược điểm mơ hình Bão hồ, Mori-Tanaka, xác Kết luận hàm lượng cốt sợi nhỏ (dưới 30%) Kết nghiên cứu áp dụng tốn truyền Các kết biểu mơ chonhư thấydẫn phương cải tiến dẫn tương đương mặt diễnphỏng toán học điện, pháp thấm,Rayleigh khuếch tán, hoàn tồn phù hợp việc dự đốn hệ số dẫn nhiệt có hiệu vật liệu tổng hợp có phân bố tuần Lời cảm ơnhồn Độ xác tốc độ tính tốn phương pháp phụ thuộc vào độ lớn giá trị n, m lựa chọn Trong nghiên cứu với n = m = 20 tính tốn Tác giả chân thành cảm ơn hỗ trợ tài Quỹ phát triển khoa học cơng nghệ Quốc gia đạt độ xác cao với kết đạt có độ chênh lệch nhỏ so với phương (NAFOSTED) cho đề tài mã số 107.02-2017.10 pháp FEM Phương Tài liệu tham khảo pháp áp dụng cho hàm lượng thể tích sợi biến đổi từ đến 100% trường hợp vật liệu có phân bố tuần hồn với độ xác cao [1] Zaoui, A (2000) Matériaux hétérogènes et composites Palaiseau : Presses de L’Ecole polytechnique, khắc phục nhược điểm mơ hình Bão hồ, Mori-Tanaka… Paris xác khiJ.hàm lượng cốt sợidetermination nhỏ (dưới 30%) [2] Eshelby, D (1957) The of the elastic field of an ellipsoidal inclusion, and related problems of the royal London Mathematical and physical sciences, 241 KếtProceedings nghiên cứusociety có thểof áp dụng Series trongA.các tốn truyền dẫn tương (1226):376–396 đươngZ., vềShtrikman, mặt biểu diễn toán học dẫn điện, thấm, khuếch tánof… [3] Hashin, S (1963) A variational approach to the theory the elastic behaviour of multiphase materials Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 11(2):127–140 [4] Mori, T., Tanaka, K (1973) Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions Acta Metallurgica, 21(5):571–574 81 Hải, N Đ., Tuấn, T A / Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng [5] Nemat-Nasser, S., Hori, M (1998) Micromechanics: overall properties of heterogeneous materials Elsevier [6] Hshin, Z (1972) Theory of Fiber Reinforced Materials NASA Contract Report No CR 1974, 67–383 [7] Tran, B V., Nguyen, T K., Tran, A T., Nguyen, Đ H (2019) Đồng vật liệu nhiều thành phần - Ứng xử tuyến tính Nhà xuất Xây dựng, Hà Nội [8] Phương, N H., Cảnh, L V., Kiên, N T (2019) Xác định đặc trưng hữu hiệu vật liệu đa tinh thể dị hướng phương pháp đồng hóa Tạp chí Khoa học Cơng nghệ Xây dựng (KHCNXD)-ĐHXD, 13 (4V):129–138 [9] Bonnet, G (2007) Effective properties of elastic periodic composite media with fibers Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 55(5):881–899 [10] Tran, A T., Le Quang, H., He, Q.-C (2016) Computation of the size-dependent elastic moduli of nanofibrous and nano-porous composites by FFT Composites Science and Technology, 135:159–171 [11] Cheng, H., Torquato, S (1997) Effective conductivity of dispersions of spheres with a superconducting interface Proceedings of the Royal Society of London Series A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 453(1961):1331–1344 [12] Michel, J.-C., Moulinec, H., Suquet, P (1999) Effective properties of composite materials with periodic microstructure: a computational approach Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 172(1-4):109–143 [13] Rayleigh, L (1892) Philos Mag, page 481 [14] Nguyen, D.-H., Le, H.-T., Le Quang, H., He, Q.-C (2014) Determination of the effective conductive properties of composites with curved oscillating interfaces by a two-scale homogenization procedure Computational Materials Science, 94:150–162 [15] Nguyen, D H (2014) Analyse asymptotique, modélisation micromécanique et simulation numérique des interfaces courbées rugueuses dans des matériaux hétérogènes PhD Thesis, Université Paris – Est, France [16] Chen, T., Kuo, H.-Y (2005) Transport properties of composites consisting of periodic arrays of exponentially graded cylinders with cylindrically orthotropic materials Journal of Applied Physics, 98(3): 033716 82 ... tích cốt sợi đến hệ số dẫn nhiệt vật liệu5 .tổng Hình Ảnhhợp hưởng tỷ lệ thể tích cốt sợi đến hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổng hợp Hình Ảnh hưởng tỷ lệ thể tích cốt sợi đến hệ số dẫn nhiệt vật liệu tổng. .. Rayleigh cho vật liệu tuần hồn Thay nghiên cứu tồn miền vật liệu Ω, vật liệu có tính chất tuần hồn nên ta cần nghiên cứu nhân tuần hồn hình vng với pha sợi hình trịn phân bố pha hình vng với cạnh... trường nhiệt độ pha sợi pha vật liệu tổng hợp Thay giá trị trường nhiệt độ pha vào phương trình ta nhận giá trị trường mật độ nhiệt trường dòng nhiệt cục pha cấu thành nên vật liệu Trường mật độ nhiệt