Nghiên cứu này được thực hiện nhằm xác định tính chất đàn hồi có hiệu của vật liệu tổng hợp có chứa cốt sợi được phân bố tuần hoàn vuông và chạy dọc theo một phương trong trường hợp liên kết giữa cốt sợi và pha nền là hoàn hảo. Nghiệm ứng suất, biến dạng cục bộ của bài toán đàn hồi tuần hoàn sẽ được xác định trong không gian Fourier thông qua việc sử dụng các toán tử Green và các biểu thức chính xác của yếu tố phụ thuộc vào tỷ lệ thể tích của cốt sợi – đây chính là phương pháp dựa trên biến đổi nhanh Fourier (FFT). Các kết quả số nhận được bằng phương pháp FFT sẽ được so sánh với các nghiệm giải tích tính theo phương pháp Tự tương hợp tổng quát và các biên Voigt – Reus.
Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 615-625 Transport and Communications Science Journal EFFECTIVE ELASTIC PROPERTIES OF FIBER REINFORCED COMPOSITE WITH UNIDIRECTIONAL CYLINDRICAL FIBERS PERIODICALLY DISTRIBUTED Hai Nguyen Dinh1,3,*, Tuan Tran Anh2,3 Section of Building Materials, University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam Section of Bridge and Tunnel Engineering Departement, University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam Research and application center for technology in civil engineering (RACE) - University of Transport and Communications, No Cau Giay Street, Hanoi, Vietnam ARTICLE INFO TYPE: Research Article Received: 26/2/2020 Revised: 19/5/2020 Accepted: 21/5/2020 Published online: 28/6/2020 https://doi.org/10.25073/tcsj.71.5.13 * Corresponding author Email: nguyendinhhai.1986@utc.edu.vn Abstract The purpose of this work is to determine the effective elastic properties of fiber reinforced composite with unidirectional cylindrical fibers periodically distributed accounting the perfection of the interfaces between fibers and matrix in case of squared fiber distribution The local solution of the periodic elasticity problem is found in Fourier space by using the Green operators and closed form expressions of factor depending on the fiber volume fraction – method based on the fast Fourier transform (FFT) of the solution The numerical results obtained by FFT method are finally compared with an analytical solution derived from the generalized self – consistent approximations and Voigt – Reuss bounds Keywords: Fast Fourier transform, fiber reinforced composite, effective elastic properties, periodic distribution © 2020 University of Transport and Communications 615 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 615-625 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải XÁC ĐỊNH TÍNH CHẤT ĐÀN HỒI CÓ HIỆU CỦA COMPOSITE GIA CƯỜNG CỐT SỢI HÌNH TRỤ PHÂN BỐ TUẦN HỒN THEO MỘT PHƯƠNG Nguyễn Đình Hải1,3,*, Trần Anh Tuấn2,3 Bộ mơn Vật liệu xây dựng, Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam Bộ môn Cầu hầm, Trường Đại học Giao thông vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam Trung tâm nghiên cứu ứng dụng công nghệ xây dựng (RACE), Trường Đại học Giao thông Vận tải, Số Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam THÔNG TIN BÀI BÁO CHUN MỤC: Cơng trình khoa học Ngày nhận bài: 26/2/2020 Ngày nhận sửa: 19/5/2020 Ngày chấp nhận đăng: 21/5/2020 Ngày xuất Online: 28/6/2020 https://doi.org/10.25073/tcsj.71.5.13 * Tác giả liên hệ Email: nguyendinhhai.1986@utc.edu.vn Tóm tắt Nghiên cứu thực nhằm xác định tính chất đàn hồi có hiệu vật liệu tổng hợp có chứa cốt sợi phân bố tuần hồn vng chạy dọc theo phương trường hợp liên kết cốt sợi pha hoàn hảo Nghiệm ứng suất, biến dạng cục tốn đàn hồi tuần hồn xác định không gian Fourier thông qua việc sử dụng toán tử Green biểu thức xác yếu tố phụ thuộc vào tỷ lệ thể tích cốt sợi – phương pháp dựa biến đổi nhanh Fourier (FFT) Các kết số nhận phương pháp FFT so sánh với nghiệm giải tích tính theo phương pháp Tự tương hợp tổng quát biên Voigt – Reus Từ khóa: Biến đổi nhanh Fourier, Composite gia cường cốt sợi, tính chất đàn hồi có hiệu, phân bố tuần hồn © 2020 Trường Đại học Giao thơng vận tải ĐẶT VẤN ĐỀ Ngày vật liệu composite gia cường cốt sợi (Fiber reinforced composite - FRC) nghiên cứu áp dụng ngày phổ biến rộng rãi tất lĩnh vực đời sống nhờ ưu điểm mà mang lại Do việc nghiên cứu tính chất vĩ mơ (tính chất có hiệu) composite nhiều nhà khoa học quan tâm cho đời nhiều mơ hình xấp xỉ khác 616 Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 615-625 [1 - 5] dựa nghiệm toán Eshelby [6] phương pháp số [5] dựa phần tử hữu hạn để dự báo ứng xử tổng thể vật liệu composite nhằm mục đích tối ưu hố việc chế tạo vật liệu Các mơ hình xấp xỉ kể thu chủ yếu thơng qua biến đổi giải tích tốn học dựa thông số đầu vào vật liệu hình dạng, phân bố, mật độ liên kết pha vật liệu Đối với vật liệu FRC với cấu trúc phân bố tuần hoàn cấu thành từ phần tử giống hệt (các nhân tuần hồn) chứa đầy đủ thơng tin lý hình học pha thành phần, thay phải nghiên cứu cấu trúc với khối lượng tính tốn lớn ta cần nghiên cứu nhân tuần tồn qua giảm khối lượng tính tốn Trong trường hợp nhân tuần hồn coi phần tử đại diện đặc trưng – REV Để nghiên cứu ứng xử vật liệu có cấu trúc tuần hồn ngồi phương pháp giải tích xấp xỉ kể phương pháp phần tử hữu hạn với khối lượng tính tốn lớn, phức tạp áp dụng phương pháp số dựa biến đổi nhanh Fourier (FFT) đề xuất [7] sau phát triển phổ biến [5, - 10] với ưu điểm như: giải tốn nhân tuần hồn thay tồn miền vật liệu, thực tính tốn số phức tạp, độ xác cao Trong nghiên cứu này, phương pháp FFT áp dụng để xác định tính chất đàn hồi có hiệu FRC hai pha với pha sợi xếp song song tuần hồn theo phương vng góc với sợi Bài báo bố cục thành phần: phần giới thiệu phương trình tốn, phương pháp biến đổi nhanh Fourier trình bày phần 3, phần đưa ví dụ số áp dụng phương pháp FFT đồng thời so sánh kết thu với mô hình Christensen and Lo [5, 11] biên Voigt-Reuss [11, 12], kết luận kiến nghị nghiên cứu trình bày phần CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA BÀI TỐN Vật liệu composite gia cường cốt sợi (FRC) xem xét nghiên cứu bao gồm pha gia cường sợi phân bố dọc theo phương xếp cách tuần hồn (Hình 1.) Gọi phần tử thể tích đại diện (Representative elementary volume RVE) bao gồm pha (2) pha sợi (1) phân bố tuần hoàn Các vật liệu cấu thành nên FRC giả sử đàn hồi tuyến tính đồng Trong hệ tọa độ Descarte (x1, x2, x3) liên kết với sở trực giao (e1, e2, e3) với vec tơ đơn vị e3 hướng sợi, ứng xử đàn hồi pha sợi tuân theo định luật Hook: 𝛔(i) (𝐱) = 𝕃(i) (𝐱): 𝛆(i) (𝐱) (1) 𝛔(i) (𝐱), 𝛆(i) (𝐱) với i = 1, ten xơ ứng suất biến dạng vật liệu i toạ độ x xác định thông qua vec tơ chuyển vị 𝐮(i) (𝐱) theo công thức sau: 𝛆(i) (𝐱) = [∇𝐮(i) (𝐱) + ∇𝑇 𝐮(i) (𝐱)] (2) Ten xơ đàn hồi cục biểu diễn dạng 𝑁 𝑁 𝕃(𝐱) = ∑ 𝜒 (𝑖) (𝐱)𝕃(1) + [1 − ∑ 𝜒 (𝑖) (𝐱)] 𝕃(2) 𝑖=1 𝑖=1 617 (3) Tạp chí Khoa học Giao thông vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 615-625 𝕃(𝛼) với 𝛼 = 1, ten xơ đàn hồi bậc bốn pha pha cốt Ten xơ viết theo qui ước Kelvin dạng ma trận 6X6 sau [11, 12] 𝕃= 𝐿1111 𝐿2211 𝐿3311 √2𝐿2311 √2𝐿1311 [√2𝐿1211 𝐿1122 𝐿2222 𝐿3322 √2𝐿3323 √2𝐿2223 √2𝐿3323 𝐿1133 𝐿2233 𝐿3333 √2𝐿2322 √2𝐿1311 √2𝐿1222 √2𝐿2333 √2𝐿1333 √2𝐿1233 √2𝐿3313 √2𝐿2213 √2𝐿3313 2𝐿2323 2𝐿1323 2𝐿1223 2𝐿2313 2𝐿1313 2𝐿1213 √2𝐿3312 √2𝐿2212 √2𝐿3312 2𝐿2312 2𝐿1312 2𝐿1212 ] trường hợp đơn giản vật liệu đàn hồi đẳng hướng (1 − 𝜐)𝐸 𝜐𝐸 𝜐𝐸 (1 − 2𝜐)(1 + 𝜐) (1 − 2𝜐)(1 + 𝜐) (1 − 2𝜐)(1 + 𝜐) (1 − 𝜐)𝐸 𝜐𝐸 𝜐𝐸 (1 − 2𝜐)(1 + 𝜐) (1 − 2𝜐)(1 + 𝜐) (1 − 2𝜐)(1 + 𝜐) (1 − 𝜐)𝐸 𝜐𝐸 𝜐𝐸 (1 − 2𝜐)(1 + 𝜐) (1 − 2𝜐)(1 + 𝜐) (1 − 2𝜐)(1 + 𝜐) 𝕃= 0 0 0 0 [ 0 0 0 0 𝐸 (1 + 𝜐) 0 𝐸 (1 + 𝜐) 0 𝐸 (1 + 𝜐)] với E, 𝜐 mô đun đàn hồi hệ số poisson vật liệu 𝜒 (𝑖) (𝐱) hàm đặc trưng pha cốt sợi (1≤ 𝑖 ≤N cho trường hợp tổng quát i = 1) đặc trưng miền (i) , hàm có đặc điểm sau: (𝑖) 𝜒 (𝑖) (𝐱) = {1 𝑛ế𝑢 𝐱 ∈ (𝑖) 𝑛ế𝑢 𝑥 ∉ (4) Ten xơ ứng suất 𝛔(𝐱) phải thoả mãn phương trình cân bằng: ∇ ∙ 𝛔(𝐱) = (5) Ở cấp độ vĩ mô, vật liệu FRC coi đồng Ứng xử đàn hồi có hiệu viết sau: 𝚺 = 𝕃𝑒𝑓𝑓 : 𝐄 (6) Ở 𝕃𝑒𝑓𝑓 ten xơ đàn hồi có hiệu FRC, 𝚺 E ten xơ ứng suất biến dạng vĩ mô vật liệu tổng hợp định nghĩa sau 𝚺= 1 ∫ (𝛔𝐧)⨂𝑠 𝐱𝑑𝐱, 𝐄 = ∫ 𝐮⨂𝑠 𝐱𝑑𝐱 2|Ω| 𝜕Ω 2|Ω| 𝜕Ω (7) Trong n vec tơ pháp tuyến đơn vị mặt biên 𝜕Ω, |Ω| thể tích vật liệu FRC 618 Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 615-625 𝟏 phép ⨂𝑠 tích ten xơ đối xứng hai vec tơ a b sau 𝐚⨂𝑠 𝐛 = 𝟐 (𝐚 ⨂ 𝐛 + 𝐛⨂𝐚) Hình Vật liệu FRC nhân tuần hồn XÁC ĐỊNH TÍNH ĐÀN HỒI CÓ HIỆU BẰNG PHƯƠNG PHÁP FFT Áp chuyển vị đồng lên mặt giới hạn 𝜕 vật liệu : 𝐮(𝐱) = 𝐄𝟎 𝐱, 𝐱 ∈ 𝛛 (8) Trong 𝐄𝟎 ten xơ biến dạng khơng đổi đặt biên Quan sát điều kiện biên phương trình (8) phương trình biến dạng vĩ mơ (7) thấy ten xơ biến dạng vĩ mô E = E0 Do vật liệu FRC nghiên cứu có tính tuần hồn mặt cắt vng góc với sợi nên ta cần nghiên cứu nhân tuần hồn 𝒰 thay nghiên cứu tồn vật liệu , nhân tuần hoàn 𝒰 định nghĩa sau: ℎ ℎ 𝒰 = {𝐱 ∈ |−𝜆𝛼 ≤ 𝑥𝛼 ≤𝜆𝛼 , − ≤ 𝑥3 ≤ 2} (9) với 𝛼 = 1,2; 2𝜆1 2𝜆2 kích thước nhân tuần hồn mặt phẳng vng góc với phương dọc trục sợi h chiều dài sợi, chiều này phải đủ lớn so với 𝜆𝛼 Khi vật liệu có phân bố vng ta chọn 2𝜆1 = 2𝜆2 = 1, bán kính sợi thay đổi từ đến giá trị 𝜆1 ứng với tỷ lệ phần trăm thể tích sợi khác Ở ta đưa khái nhiệm “môi trường đối chứng” với ten xơ đàn hồi 𝕃(0) , đồng thời đặt ∆𝕃 = 𝕃 − 𝕃(0) , phương trình (5) viết lại sau: ∇ ∙ [(∆𝕃 + 𝕃(0) ): 𝛆] = (10) Ten xơ biến dạng 𝛆(𝐱) tách thành hai phần sau 𝛆(𝐱) = 𝐄𝟎 + 𝛆∗ (𝐱) (11) 𝛆∗ (𝐱) trường ten xơ biến dạng nhiễu tuần hoàn, vec tơ chuyển vị liên hệ với trường ten xơ biến dạng nhiễu tuần hoàn ký hiệu 𝐮∗ (𝐱) theo phương trình (2) Thay phương 619 Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 615-625 trình (11) vào (10) ta được: ∇ ∙ [𝕃(0) : (𝐄𝟎 + 𝛆∗ (𝐱))] + ∇ ∙ 𝝉 = ∇ ∙ [𝕃(0) : (∇𝐮∗ (𝐱))] + ∇ ∙ 𝝉 (12) với 𝝉(𝐱) = ∆𝕃: [𝐄𝟎 + 𝛆∗ (𝐱)] = [𝕃 − 𝕃(0) ]: 𝛆(𝐱) 𝑁 (2) = [𝕃 (0) −𝕃 ]: 𝛆(𝐱) + ∑[𝕃(i) − 𝕃(2) ]𝜒 (𝑖) : 𝛆(𝐱) (13) 𝑖=1 trường ten xơ phân cực Áp dụng biến đổi nhanh Fourier (FFT), trường chuyển vị 𝐮, biến dạng 𝛆 ten xơ phân cực 𝝉 viết lại dạng sau 𝑁𝑘 𝑁𝑘 𝐮∗ (𝐱) = ∑ 𝐮 ̂ ∗ (𝝃)𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 , 𝑁𝑘 𝝉(𝐱) = ∑ 𝝉̂(𝝃)𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 , 𝝃 𝛆(𝐱) = ∑ 𝛆̂(𝝃)𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 𝝃 (14) 𝝃 phương trình (14) 𝑖 = √−1 số ảo, vec tơ 𝐮 ̂ ∗ (𝝃), ten xơ 𝝉̂(𝝃), 𝛆̂(𝝃) 𝑛 𝜋 𝑛2 𝜋 biến đổi Fourier rời rạc 𝐮∗ (𝐱), 𝝉(𝐱), 𝛆(𝐱); 𝝃=(𝜉1 , 𝜉2 , 0) = ( 𝜆1 , 𝜆2 ,0) với n1 n2 = -Nk+1, - Nk+2, …,0,1, …, Nk vec tơ sóng rời rạc 2D, tổng tất vec tơ sóng rời rạc 2NkX2Nk Đưa biểu thức (14) vào phương trình (12) ta có (0) − ∑ 𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 𝜉𝑙 𝜉𝑞 𝑢̂𝑘∗ (𝝃)𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 + ∑ 𝜏̂ 𝑝𝑞 (𝝃)𝜉𝑞 𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 = 𝜉 (15) 𝜉 Tương tự, trường ứng suất phân cực viết không gian Fourier sau: 𝑁 𝜏𝑝𝑞 = (2) ∑(𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 𝜉 − (0) 𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 ) ε̂𝒌𝒍 (𝝃)𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 (𝑖) (2) ′ + ∑ ∑(𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 − 𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 ) 𝜒 (𝑖) 𝑒 𝑖𝝃 ∙𝐱 ε̂𝑘𝑙 (𝝃′ ) (16) 𝑖=1 𝜉 𝑛′ 𝜋 𝑛2′ 𝜋 Ở đây, vec tơ sóng rời rạc 𝝃′ định nghĩa 𝝃′ =(𝜉1′ , 𝜉2′ , 0) = ( 𝜆1 , = -Nk+1, - Nk+2, …,0,1, …, Nk biến đổi Fourier hàm đặc trưng 𝜒 𝑒 sau: ′ ′ 𝜒 (𝑖) 𝑒 𝑖𝝃 ∙𝐱 = ∑ Ϝ[𝜒 (𝑖) 𝑒 𝑖𝝃 ∙𝐱 ] 𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 = ∑ 𝜒̂ (𝑖) (𝝃 − 𝝃′ )𝑒 𝑖𝝃∙𝐱 𝜉 ,0) với 𝑛1′ 𝑛2′ 𝜆2 (𝑖) 𝑖𝝃′ ∙𝐱 biểu diễn (17) 𝜉 với ′ Ϝ[𝜒 (𝑖) 𝑒 𝑖𝝃 ∙𝐱 ] = ′ ∫ 𝑒 −𝑖(𝝃−𝝃 )∙𝐱 𝑑𝐱 = 𝜒̂ (𝑖) (𝝃 − 𝝃′ ) |𝒰| 𝑈 (𝑖) 620 (18) Transport and Communications Science Journal, Vol 71, Issue 05 (06/2020), 615-625 thay phương trình (17) vào (16) ta nhận biểu thức trường ứng suất phân cực 𝑵 𝜏̂𝒑𝒒 (𝝃) = (2) (𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 − (0) 𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 )ε̂𝒌𝒍 (𝝃) + (𝑖) (2) ∑(𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 − 𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 )[𝜒̂ (𝑖) ∗ ε̂𝒌𝒍 (𝝃)] (19) 𝒊=𝟏 với ký hiệu * tích “convolution” [7, 10] không gian Fourier Biến đổi Fourier 𝜒̂ (𝑖) (𝝃 − 𝝃′ ) 𝜒 (𝑖) (𝐱) gọi hệ số hình dạng kích thước pha hạt tính sau ′ 𝜒̂ (𝑖) 𝑒 −𝑖(𝝃−𝝃 )∙𝐱 (𝝃 − 𝝃 = |𝑈| (𝑖) ′) ′ ∫ 𝑒 −𝑖(𝝃−𝝃 )∙𝐱̃ 𝑑𝐱̃ (20) Ω(𝑖) lưu ý hệ số phụ thuộc vào kích thước hình dạng pha cốt [7] Từ phương trình (15) (19) ta xác định phần nhiễu vec tơ chuyển vị không gian Fourier sau: (0) 𝑢̂𝑘∗ = [𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 𝜉𝑞 𝜉𝑙 ] −1 𝜏̂ 𝒑𝒒 𝒊𝜉𝑝 (21) Áp dụng biến đổi nhanh Fourier kết hợp với phương trình (2) cho vec tơ chuyển vị nhiễu ta có ∗ 𝜀̂𝑘𝑡 = ∗ [𝑢̂ 𝑖𝜉 + 𝑢̂𝑡∗ 𝑖𝜉𝑘 ] 𝑘 𝑡 (22) Thay (21) vào (22) ta −1 −1 (0) (0) ∗ 𝜀̂𝑘𝑡 = − ([𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 𝜉𝑞 𝜉𝑙 ] 𝜉𝑞 𝜉𝑡 + [𝐿𝑡𝑞𝑙𝑝 𝜉𝑞 𝜉𝑙 ] 𝜉𝑞 𝜉𝑘 ) 𝜏̂𝒑𝒒 (23) Kết hợp phương trình (19) (23) đồng thời xét đến tính chất 𝜺̂(𝝃) = 𝐄̂ 𝟎 (𝝃) + 𝛆̂∗ (𝝃) với 𝐄𝟎 𝝃 = 𝟎 𝐄̂𝟎 (𝝃) = { 𝟎 𝝃 ≠ 𝟎 dẫn tới 𝑁 ̂𝑘𝑡 E = 𝜀̂𝑘𝑡 + (2) Γ̂𝑘𝑡𝑝𝑞 {(𝐿𝑝𝑞𝑣𝑙 − (0) 𝐿𝑝𝑞𝑣𝑙 )𝜀̂𝑣𝑙 (𝑖) (2) + ∑(𝐿𝑝𝑞𝑣𝑙 − 𝐿𝑝𝑞𝑣𝑙 )𝜒̂ (𝑖) ∗ ε̂𝒗𝒍 } (24) 𝑖=1 phương trình (24) viết lại dạng ten xơ 𝑁 ̂𝟎 𝐄 = 𝛆̂ + 𝚪̂ {(𝕃 (2) −𝕃 (0) (1) ): 𝛆̂ + [𝕃 (0) −𝕃 ] ∑ 𝜒̂ (𝑖) ∗ 𝛆̂} 𝑖=1 621 (25) Tạp chí Khoa học Giao thơng vận tải, Tập 71, Số 05 (06/2020), 615-625 Trong Γ̂𝑘𝑡𝑝𝑞 (𝝃) ten xơ tốn tử Green khơng gian Fourier biểu diễn sau: −1 −1 −1 (0) (0) (0) Γ̂𝑘𝑡𝑝𝑞 = {[𝐿𝑝𝑞𝑘𝑙 𝜉𝑞 𝜉𝑙 ] 𝜉𝑞 𝜉𝑡 + [𝐿𝑡𝑞𝑙𝑝 𝜉𝑞 𝜉𝑙 ] 𝜉𝑞 𝜉𝑘 + [𝐿𝑝𝑘𝑞𝑙 𝜉𝑝 𝜉𝑙 ] 𝜉𝑝 𝜉𝑡 −1 (0) + [𝐿𝑡𝑝𝑙𝑞 𝜉𝑝 𝜉𝑙 ] 𝜉𝑝 𝜉𝑘 } (26) 𝝃⨂𝝃 hay dạng ten xơ sau: 𝚪̂ = 𝝃.𝕃(0).𝝃 Trong không gian Fourier ten xơ ứng suất tính thơng qua ten xơ biến dạng sau 𝑁 (2) 𝝈 ̂ (𝝃) = 𝕃 (1) 𝛆̂(𝝃) + (𝕃 (2) −𝕃 ) ∑[𝜒̂ (𝑖) ∗ 𝛆̂](𝝃) (27) 𝑖=1 Để xác định trường nghiệm vec tơ chuyển vị u, ta giải phương trình (25) khơng gian Fourier theo thuật tốn số sau: • Vịng lặp thứ 1: 𝛆1 (𝑦1 , 𝑦2 ) = 𝐄, 𝛔1 (𝑦1 , 𝑦2 ) = 𝕃(𝑦1 , 𝑦2 )𝛆1 (𝑦1 , 𝑦2 ), • (28) (29) Vịng lặp i > 1: Giả sử giá trị 𝛆𝑖 (𝑦1 , 𝑦2 ), 𝛔𝑖 (𝑦1 , 𝑦2 ) biết, 𝝈 ̂ 𝒊 (𝜉1 , 𝜉2 ) = 𝐹(𝛔𝑖 (𝑦1 , 𝑦2 ) ), (30) Kiểm tra độ hội tụ - Vòng lặp dừng lại ‖𝝈 ̂ 𝒊 (𝜉1 , 𝜉2 ) − 𝝈 ̂ 𝒊−𝟏 (𝜉1 , 𝜉2 )‖