(NB) Bài giảng Hệ thống điều khiển tự động: Phần 1 gồm 3 chương với các nội dung chính như: Mô tả toán học hệ thống điều khiển tự động liên tục, Đặc tính động học của các khâu cơ bản và của hệ thống đktđ liên tục, Khảo sát tính ổn định của hệ thống điều khiển tự động liên tục.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ BÀI GIẢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Bậc Cao Đẳng (Bộ Lao động-Thương binh Xã hội) GV: Nguyễn Đình Hồng Bộ mơn: Điện - Điện tử Khoa: Kỹ thuật Công nghệ Quảng Ngãi, năm 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHẠM VĂN ĐỒNG KHOA KỸ THUẬT CÔNG NGHỆ BÀI GIẢNG HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG Bậc học: CAO ĐẲNG SỐ TÍN CHỈ: GV: Nguyễn Đình Hồng Bộ môn: Điện - Điện tử Khoa: Kỹ thuật Công nghệ Quảng Ngãi, năm 2018 Lời nói đầu Nhằm đáp ứng cho việc giảng dạy môn Lý thuyết Điều khiển tự động bậc Cao Đẳng, tác giả biên soạn giảng nhằm làm tài liệu học tập cho lớp chuyên ngành Kỹ thuật Điện- Điện tử Đại học Phạm Văn Đồng Tài liệu sử dụng cho sinh viên lớp Cao đẳng với thời lượng 30 tiết (2TC) Tác giả hy vọng tài liệu thiết thực cho bạn sinh viên Trong q trình biên soạn, chắn tài liệu khơng tránh khỏi có sai sót Mọi góp ý xin gửi địa Nguyễn Đình Hồng - Khoa Kỹ Thuật Công Nghệ Trường Đai học Phạm Văn Đồng Xin chân thành cảm ơn Tác giả MỤC LỤC Chương 1: Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển tự động liên tục 1.1 Khái niệm 1.2 Các phương pháp mô tả toán học HTĐKTĐ 1.3 Các qui tắc biến đổi sơ đồ khối Chương 2: Đặc tính động học khâu hệ thống đktđ liên tục 2.1 Khái niệm 2.2 Đặc tính thời gian 2.3 Đặc tính tần số 2.4 Các khâu động học Chương 3: Khảo sát tính ổn định hệ thống đktđ liên tục 3.1 Khái niệm chung 3.2 Tiêu chuản ổn định đại số Chương 4: Khảo sát chất lượng hệ thống đktđ liên tục 4.1 Chỉ tiêu chất lượng 4.2 Sai số xác lập 4.3 Đáp ứng độ 4.4 Các tiêu chuẩn tối ưu hóa đáp ứng độ Chương 5: Tổng hợp hệ thống đktđ liên tục 5.1 Khái niệm 5.2 Các phương pháp hiệu chỉnh hệ thống 5.3 Thiết kế hệ thống PID Phụ lục Tài liệu tham khảo Trang 1 12 19 19 19 21 25 39 39 44 49 49 50 53 58 62 62 63 64 71 72 CHƯƠNG 1: MƠ TẢ TỐN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG LIÊN TỤC 1.1 Khái niệm 1.1.1 Giới thiệu chung hệ thống điều khiển tự động Một câu hỏi phổ biến với người làm quen với lý thuyết điều khiển “Điều khiển gì?” Để có khái niệm điều khiển xét ví dụ sau Giả sử lái xe đường, muốn xe chạy với tốc độ cố định 40km/h Để đạt điều mắt phải quan sát đồng hồ đo tốc độ để biết tốc độ xe chạy Nếu tốc độ xe 40km/h ta tăng ga, tốc độ xe 40km/h ta giảm ga Kết trình xe chạy với tốc độ “gần” tốc độ mong muốn Quá trình lái xe q trình điều khiển Trong q trình điều khiển cần thu thập thông tin đối tượng cần điều khiển (quan sát đồng hồ đo tốc độ để thu thập thông tin tốc độ xe), tùy theo thông tin thu thập mục đích điều khiển mà có cách xử lý thích hợp (quyết định tăng hay giảm ga), cuối ta phải tác động vào đối tượng (tác động vào tay ga) để hoạt động đối tượng theo yêu cầu mong muốn Điều khiển trình thu thập thông tin, xử lý thông tin tác động lên hệ thống để đáp ứng hệ thống “gần” với mục đích định trước Điều khiển tự động q trình điều khiển khơng cần tác động người Trong năm gần đây, hệ thống điều khiển (HTĐK) có vai trị quan trọng việc phát triển tiến kỹ thuật công nghệ văn minh đại Thực tế khía cạnh hoạt động ngày bị chi phối vài loại hệ thống điều khiển Dễ dàng tìm thấy hệ thống điều khiển máy cơng cụ, kỹ thuật khơng gian hệ thống vũ khí, điều khiển máy tính, hệ thống giao thơng, hệ thống lượng, robot, 1.1.2 Các thành phần hệ thống điều khiển Hình 1.1 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển Chú thích ký hiệu viết tắt: - r(t) (reference input): tín hiệu vào, tín hiệu chuẩn - c(t) (controlled output): tín hiệu - cht(t): tín hiệu hồi tiếp - e(t) (error): sai số - u(t) : tín hiệu điều khiển Để thực trình điều khiển định nghĩa trên, hệ thống điều khiển bắt buộc gồm có ba thành phần thiết bị đo lường (cảm biến), điều khiển đối tượng điều khiển Thiết bị đo lường có chức thu thập thơng tin, điều khiển thực chức xử lý thông tin, định điều khiển đối tượng điều khiển chịu tác động tín hiệu điều khiển Hệ thống điều khiển thực tế đa dạng, sơ đồ khối hình 1.1 cấu hình hệ thống điều khiển thường gặp 1.1.3 Các toán lĩnh vực điều khiển tự động Trong lĩnh vực điều khiển tự động có nhiều toán cần giải quyết, nhiên toán điều khiển thực tế quy vào ba tốn sau: Phân tích hệ thống: Cho hệ thống tự động biết cấu trúc thông số Bài toán đặt sở thơng tin biết tìm đáp ứng hệ thống đánh giá chất lượng hệ Bài toán giải Thiết kế hệ thống: Biết cấu trúc thơng số đối tượng điều khiển Bài tốn đặt thiết kế điều khiển để hệ thống thỏa mãn yêu cầu chất lượng Bài tốn nói chung giải Nhận dạng hệ thống: Chưa biết cấu trúc thông số hệ thống Vấn đề đặt xác định cấu trúc thơng số hệ thống Bài tốn khơng phải lúc giải a Các nguyên tắc điều khiển Các nguyên tắc điều khiển xem kim nam để thiết kế hệ thống điều khiển đạt chất lượng cao có hiệu kinh tế Nguyên tắc 1: Nguyên tắc thông tin phản hồi Muốn trình điều khiển đạt chất lượng cao, hệ thống phải tồn hai dịng thơng tin: từ điều khiển đến đối tượng từ đối tượng ngược điều khiển (dịng thơng tin ngược gọi hồi tiếp) Điều khiển không hồi tiếp (điều khiển vịng hở) khơng thể đạt chất lượng cao, có nhiễu Các sơ đồ điều khiển dựa nguyên tắc thông tin phản hồi là: Điều khiển bù nhiễu (hình 1.2): sơ đồ điều khiển theo nguyên tắc bù nhiễu để đạt đầu c(t) mong muốn mà khơng cần quan sát tín hiệu c(t) Về nguyên tắc, hệ phức tạp điều khiển bù nhiễu khơng thể cho chất lượng tốt Hình 1.2 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển bù nhiễu Điều khiển san sai lệch (hình 1.3): Bộ điều khiển quan sát tín hiệu c(t) , so sánh với tín hiệu vào mong muốn r(t) để tính tốn tín hiệu điều khiển u(t) Nguyên tắc điều khiển điều chỉnh linh hoạt, loại sai lệch, thử nghiệm sửa sai Đây nguyên tắc điều khiển Hình Sơ đồ khối hệ thống điều khiển san sai lệch Điều khiển phối hợp: Các hệ thống điều khiển chất lượng cao thường phối hợp sơ đồ điều khiển bù nhiễu điều khiển san sai lệch hình 1.4 Hình 1.4 Sơ đồ khối hệ thống điều khiển phối hợp Nguyên tắc 2: Nguyên tắc đa dạng tương xứng: Muốn q trình điều khiển có chất lượng đa dạng điều khiển phải tương xứng với đa dạng đối tượng Tính đa dạng điều khiển thể khả thu thập thông tin, lưu trữ thông tin, truyền tin, phân tích xử lý, chọn định, Ý nghĩa nguyên tắc cần thiết kế điều khiển phù hợp với đối tượng Hãy so sánh yêu cầu chất lượng điều khiển điều khiển sử dụng hệ thống sau: • Điều khiển nhiệt độ bàn ủi (chấp nhận sai số lớn) với điều khiển nhiệt độ lị sấy (khơng chấp nhận sai số lớn) • Điều khiển mực nước bồn chứa khách sạn (chỉ cần đảm bảo ln có nước bồn) với điều khiển mực chất lỏng dây chuyền sản xuất (mực chất lỏng cần giữ không đổi) Nguyên tắc 3: Nguyên tắc bổ sung ngoài: Một hệ thống tồn hoạt động môi trường cụ thể có tác động qua lại chặt chẽ với mơi trường Ngun tắc bổ sung ngồi thừa nhận có đối tượng chưa biết (hộp đen) tác động vào hệ thống ta phải điều khiển hệ thống lẫn hộp đen Ý nghĩa nguyên tắc thiết kế hệ thống tự động, muốn hệ thống có chất lượng cao khơng thể bỏ qua nhiễu môi trường tác động vào hệ thống Nguyên tắc 4: Nguyên tắc dự trữ: Vì nguyên tắc coi thông tin chưa đầy đủ phải đề phịng bất trắc xảy khơng dùng tồn lực lượng điều kiện bình thường Vốn dự trữ không sử dụng, cần để đảm bảo cho hệ thống vận hành an toàn Nguyên tắc 5: Nguyên tắc phân cấp: Đối với hệ thống điều khiển phức tạp cần xây dựng nhiều lớp điều khiển bổ sung cho trung tâm Cấu trúc phân cấp thường sử dụng cấu trúc hình cây, ví dụ hệ thống điều khiển giao thông đô thị đại, hệ thống điều khiển dây chuyền sản xuất b Phân loại hệ thống điều khiển • Hệ thống tuyến tính - Hệ thống phi tuyến Hệ thống tuyến tính khơng tồn thực tế, tất hệ thống vật lý phi tuyến Hệ thống điều khiển tuyến tính mơ hình lý tưởng để đơn giản hóa q trình phân tích thiết kế hệ thống Khi giá trị tín hiệu nhập vào hệ thống nằm giới hạn mà phần tử cịn hoạt động tuyến tính (áp dụng ngun lý xếp chồng), hệ thống cịn tuyến tính Nhưng giá trị tín hiệu vào vượt ngồi vùng hoạt động tuyến tính phần tử hệ thống, khơng thể xem hệ thống tuyến tính Tất hệ thống thực tế có đặc tính phi tuyến, ví dụ khuếch đại thường có đặc tính bão hịa tín hiệu vào trở nên lớn, từ trường động có đặc tính bão hịa Trong truyền động khí đặc tính phi tuyến thường gặp phải khe hở vùng chết bánh răng, đặc tính ma sát, đàn hồi phi tuyến Các đặc tính phi tuyến thường đưa vào HTĐK nhằm cải thiện chất lượng hay tăng hiệu điều khiển Ví dụ để đạt thời gian điều khiển tối thiểu hệ thống tên lửa hay điều khiển phi tuyến người ta sử dụng điều khiển on-off (bang-bang hay relay) Các ống phản lực đặt cạnh động để tạo mômen phản lực điều khiển Các ống thường điều khiển theo kiểu full on - full off, nghĩa lượng khí nạp vào ống định trước khoảng thời gian xác định, để điều khiển tư phi tuyến • Hệ thống bất biến - hệ thống biến đổi theo thời gian Khi thông số HTĐK không đổi suốt thời gian hoạt động hệ thống, hệ thống gọi hệ thống bất biến theo thời gian Thực tế, hầu hết hệ thống vật lý có phần tử trơi hay biến đổi theo thời gian Ví dụ điện trở dây quấn động bị thay đổi bị kích hay nhiệt độ tăng Một ví dụ khác HTĐK biến đổi theo thời gian hệ điều khiển tên lửa, khối lượng tên lửa bị giảm trình bay Mặc dù hệ thống biến đổi theo thời gian khơng có đặc tính phi tuyến, coi hệ tuyến tính, việc phân tích thiết kế loại hệ thống phức tạp nhiều so với hệ tuyến tính bất biến theo thời gian c Phân loại theo loại tín hiệu hệ thống • Hệ thống liên tục Hệ thống liên tục hệ thống mà tín hiệu phần hệ hàm liên tục theo thời gian • Hệ thống rời rạc Khác với HTĐK liên tục, HTĐK rời rạc có tín hiệu hay nhiều điểm hệ thống dạng chuỗi xung hay mã số Thông thường HTĐK rời rạc phân làm hai loại: HTĐK lấy mẫu liệu HTĐK số HTĐK lấy mẫu liệu dạng liệu xung HTĐK số liên quan đến sử dụng máy tính số hay điều khiển số tín hiệu hệ mã số hóa, mã số nhị phân chẳng hạn 1.2 Các phương pháp mơ tả tốn học hệ thống ĐKTĐ Để có sở cho phân tích, thiết kế hệ thống điều khiển có chất vật lý khác nhau, sở tốn học Tổng quát quan hệ tín hiệu vào tín hiệu hệ thống tuyến tính biểu diễn phương trình vi phân bậc cao Việc khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khăn Có hai phương pháp mơ tả toán học hệ thống tự động giúp cho việc khảo sát hệ thống dễ dàng hơn, phương pháp hàm truyền đạt phương pháp không gian trạng thái Phương pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace, phương pháp khơng gian trạng thái biến đổi phương trình vi phân bậc cao thành hệ phương trình vi phân bậc cách đặt biến phụ (biến trạng thái) Mỗi phương pháp mơ tả hệ thống có ưu điểm riêng Trong tài liệu mô tả hệ thống hương pháp hàm truyền đạt 1.2.1 Phép biến đổi Laplace a Định nghĩa: Cho f(t) hàm xác định với t = 0, biến đổi Laplace f(t) là: + F (s) = L f (t ) = f (t ).e − st dt (1.1) đó: s - biến phức (biến Laplace) s = ϭ + jω L - toán tử biến đổi Laplace F(s) - ảnh hàm f(t) qua phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace tồn tích phân biểu thức định nghĩa (1.1) hội tụ b Tính chất phép biến đổi Laplace • Tính tuyến tính: Nếu hàm f1(t) có biến đổi Laplace L{f1(t)} = F1(s) hàm f (t) có L{f (t)} = F (s) 2 Pha: Q( ) −1 = tg (T ) P ( ) ( ) = tg −1 (2.29) So sánh biểu thức (2.28) (2.29) với (2.20) (2.21) ta rút kết luận: biểu đồ Bode khâu vi phân bậc khâu quán tính bậc đối xứng qua trục hồnh (hình 2.13a) Do G(jω) có phần thực P(ω) ln ln 1, phần ảo Q(ω) có giá trị dương tăng dần từ đến +∞ thay đổi từ đến +∞ nên biểu đồ Nyquist khâu vi phân bậc nửa đường thẳng qua điểm có hồnh độ song song với trục tung hình 2.13b Hình 2.13 Đặc tính tần số khâu vi phân bậc a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist 2.4.6 Khâu dao động bậc hai Hàm truyền : G (s) = T s + 2Ts + 2 (2.30) Đặc tính thời gian: 34 R( s)n2 C ( s) = R( s).G ( s) = ( víi n = ) s + 2n s + n T Hàm trọng lượng: g(t) = g(t) = −1 L (2.31) n2 2 s + 2n s + n n e − t n 1− ( ) sin n − t (2.32) Hàm độ: h(t) = L h(t) = − −1 1 n2 2 s s + 2n s + n n e − t n 1− ( ) sin n − t + (2.33) θ góc lệch pha Biểu thức cho thấy đặc tính thời gian khâu dao động bậc hai có dạng dao động suy giảm, hàm trọng lượng dao động suy giảm 0, hàm độ dao động suy giảm đến giá trị xác lập (hình 2.14) - Nếu ξ=0 o h(t) = - sin( t - 90 ), đáp ứng hệ dao động không suy giảm n với tần số ωn, ωn gọi tần số dao động tự nhiên khâu dao động bậc hai - Nếu 1: L() = -20lg √(−𝜔 𝑇 )2 = -40lgT ta vẽ gần đường thẳng có độ dốc –40dB/dec Ta thấy tần số 1/T độ dốc đường tiệm cận thay đổi nên tần số 1/T gọi tần số gãy khâu dao động bậc hai Biểu đồ Bode pha khâu dao động bậc hai đường cong, để ý biểu thức (2.37) ta thấy biểu đồ Bode pha có điểm đặc biệt sau đây: → 0: () → ω = 1/T: () → - 90 →: () → - 180 o o Hình 2.15a minh họa biểu đồ Bode khâu dao động bậc hai Các đường cong biểu 36 đồ Bode biên độ đường L(ω) vẽ xác Biểu đồ Bode biên độ xác có đỉnh cộng hưởng 𝑀𝑝 = 1/(2𝜉√1 − 𝜉 ) tần số 𝜔𝑝 = 𝜔𝑛 √1 − 𝜉 dễ thấy ξ nhỏ đỉnh cộng hưởng cao Khi ξ=0 tần số cộng hưởng tiến đến tần số dao động tự nhiên 𝜔𝑝 → 𝜔𝑛 = 1/𝑇 Biểu đồ Nyquist khâu dao động bậc hai có dạng đường cong minh họa hình 2.15b Khi ω =0 G(jω) có biên độ 1, pha 0; 𝜔 → ∞ G(jω) có biên độ 0, pha –1800 Giao điểm đường cong Nyquist với trục tung có ∠𝐺(𝑗𝜔) = −900 tương ứng với tần số ω =1/T , thay ω =1/T vào biểu thức ta suy biên độ giao điểm với trục tung 1/2ξ Hình 2.15 Đặc tính tần số khâu dao động bậc hai a) Biểu đồ Bode; b) Biểu đồ Nyquist 37 Câu hỏi ôn tập chương Ý nghĩa việc phân tích động học khâu Đặc tính thời gian tần số khâu quán tính bậc Đặc tính thời gian tần số khâu dao động bậc 38 CHƯƠNG 3: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG LIÊN TỤC 3.1 Khái niệm chung 3.1.1 Định nghĩa Hệ thống gọi trạng thái ổn định, với tín hiệu vào bị chặn đáp ứng hệ bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO) Yêu cầu hệ thống ĐKTĐ hệ thống phải giữ trạng thái ổn định chịu tác động tín hiệu vào chịu ảnh hưởng nhiễu lên hệ thống Hệ phi tuyến ổn định phạm vị hẹp độ lệch ban đầu nhỏ không ổn định phạm vị rộng độ lệch ban đầu lớn Đối với hệ tuyến tính đặc tính q trình q độ khơng phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích Tính ổn định hệ tuyến tính khơng phụ thuộc vào thể loại giá trị tín hiệu vào hệ tuyến tính tồn trạng thái cân Phân biệt ba trạng thái cân bằng: Biên giới ổn định, ổn định khơng ổn định Trên hình 3.1 thay đổi nhỏ trạng thái cân cầu, chẳng hạn cho vận tốc ban đầu đủ bé cầu tiến tới trạng thái cân (Hình 3.1a), dao động quanh vị trí cân (Hình 3.1b d), khơng trở trạng thái ban đầu (Hình 3.1c) Trong trường hợp đầu, ta có vị trí cân biên giới ổn định, trường hợp sau ổn định trường hợp thứ ba không ổn định Cũng vị trí b d hình 3.1, cầu với độ lệch ban đầu lớn không trở trạng thái cân ban đầu - Hai trạng thái b d cầu ổn định phạm vị hẹp mà không ổn định phạm vi rộng Hình 3.1 Minh họa trạng thái ổn định 39 Trong trường hợp việc khảo sát tính ổn định giới hạn cho hệ tuyến tính bất biến theo thời gian Đó hệ thống mơ tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số áp dụng nguyên lý xếp chồng 3.1.2 Ổn định hệ tuyến tính Một hệ thống ĐKTĐ biểu diễn phương trình vi phân dạng tổng quát: 𝑑𝑛 𝑐(𝑡) 𝑑𝑛−1 𝑐(𝑡) 𝑑𝑚 𝑟(𝑡) 𝑑𝑚−1 𝑟(𝑡) 𝑎0 + 𝑎1 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑐(𝑡) = 𝑏0 + 𝑏1 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑟(𝑡) 𝑑𝑡 𝑛 𝑑𝑡 𝑛−1 𝑑𝑡 𝑚 𝑑𝑡 𝑚−1 (3.1) Phương trình ứng với tín hiệu vào hệ thống r(t) tín hiệu c(t) Hàm truyền đạt hệ thống mô tả (4.1) có dạng: 𝐺 (𝑠 ) = 𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) = 𝑏0 𝑠 𝑚 +𝑏1 𝑠 𝑚−1 +⋯+𝑏𝑚 𝑎0 𝑠 𝑛 +𝑎1 𝑠 𝑛−1 +⋯+𝑎𝑛 = 𝐵(𝑠) (3.2) 𝐴(𝑠) Nghiệm (3.1) gồm hai thành phần: c(t) = c0(t) + cqđ(t) (3.3) đó: co(t) - nghiệm riêng (3.1) có vế phải, đặc trưng cho trình xác lập cqđ(t) - nghiệm tổng qt (3.1) khơng có vế phải, đặc trưng cho trình độ Dạng nghiệm tổng quát đặc trưng cho trình độ hệ thống: 𝑐𝑞đ = ∑𝑛𝑖=1 𝜆𝑖 𝑒 𝑝𝑖𝑡 (3.4) pi nghiệm phương trình đặc tính: A(s) = a0sn + a1sn-1 +…+ an =0 (3.5) pi nghiệm thực nghiệm phức liên hợp gọi nghiệm cực hệ thống Đa thức mẫu số hàm truyền đạt A(s) bậc n hệ thống có n nghiệm cực pi (Pole), i = 1, 2, , n 40 Zero nghiệm phương trình B(s) = Tử số hàm truyền đạt G(s) đa thức bậc m (m< n) nên hệ thống có m nghiệm zero – zj với j = 1, 2, , m Hệ thống ổn định nếu: lim 𝑐𝑞đ (𝑡) = 𝑡→∞ (3.6) Hệ thống không ổn định nếu: lim 𝑐𝑞đ (𝑡) = ∞ 𝑡→∞ (3.7) Trong phương trình (3.4) hệ số λi số phụ thuộc vào thông số hệ trạng thái ban đầu Nghiệm cực pi viết dạng: pi = i j i (3.8) lim i e pit t → Nếu i < Hệ ổn định 0 2Me it cos( t + ) Nếu pi nghiệm phức i i = Nếu pi nghiệm thực (hệ biên giới ổn định) i Hệ không ổn định Phân biệt ba trường hợp phân bố cực mặt phẳng phức số 1- Phần thực nghiệm cực dương αi > 2- Phần thực nghiệm cực không αi = 3- Phần thực nghiệm cực âm αi < Ổn định hệ thống phụ thuộc vào nghiệm cực mà không phụ thuộc vào nghiệm zero, mẫu số hàm truyền đạt A(s) = gọi phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng hệ thống 41 Hình 3.2 Phân bố cực mặt phẳng s Kết luận: 1- Hệ thống ổn định tất nghiệm phương trình đặc tính có phần thực âm: Re{pi} < 0, αi < nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức: A(s) = a0sn + a1sn-1 +…+ an =0 (3.9) 2- Hệ thống khơng ổn định có dù nghiệm phương trình đặc tính (3.9) có phần thực dương (một nghiệm phải) lại nghiệm có phần thực âm (nghiệm trái) 3- Hệ thống biên giới ổn định có dù nghiệm có phần thực khơng cịn lại nghiệm có phần thực âm (một nghiệm cặp nghiệm phức liên hợp nằm trục ảo) Vùng ổn định hệ thống nửa trái mặt phẳng phức số S Đáp ứng độ dao động không dao động tương ứng với nghiệm phương trình đặc tính nghiệm phức hay nghiệm thực Tất phương pháp khảo sát ổn định xét đến phương trình đặc tính (3.9) theo cách Tổng quát, ba cách đánh giá sau thường dùng để xét ổn định: 1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz 2- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikhailov - Nyquist - Bode 3- Phương pháp chia miền ổn định phương pháp quỹ đạo nghiệm số 42 3.2 Tiêu chuẩn ổn định đại số 3.2.1 Điều kiện cần Điều kiện cần để hệ thống ổn định tất hệ số phương trình đặc trưng phải khác dấu Ví dụ: Hệ thống có phương trình đặc trưng: s3+3s2 - 2s +1=0 không định s4 + 2s2 +5s +3 = không ổn định s4 +4s2 +5s2 +2s +1 = chưa kết luận 3.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Cho hệ thống có phương trình đặc trưng a0sn + a1sn-1 +…+ an =0 Muốn xét tính ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc: - Bảng Routh có n+1 hàng - Hàng bảng Routh gồm hệ số có số chẵn - Hàng bảng Routh gồm hệ số có số lẻ - Phần tử hàng i cột j bảng Routh (i = 3) tính theo công thức: cij = ci −2, j +1 − i ci −1, j +1 n s n-1 s c11 c 21 s 4 = c 21 c31 s n-2 n-3 - ci −1,1 - c11= a0 c =a c21=a1 c =a c31=c12-3c22 c =c - c c =c - c c =c - c c41=c22-4c32 c =c - c c =c - c c =c - c 12 22 c =a 13 c =a 23 c =a 14 c =a 24 - 32 42 13 23 - 23 33 33 43 14 24 - 24 34 34 44 15 25 25 35 - cn −2,1 cn −1,1 ci − 2,1 - 3 = n = với i = s cn1=cn-2,2-ncn-1,2 43 Phát biểu tiêu chuẩn Routh: Điều kiện cần đủ để tất nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức tất phần tử nằm cột bảng Routh dương Số lần đổi dấu phần tử cột bảng Routh số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức Ví dụ 3.1 : Hãy xét tính ổn định hệ thống có phương trình đặc trưng là: s4+ 4s3+5s2 +2s+1=0 Giải: Bảng Routh: 𝛼3 = 81 𝛼3 = 20 𝛼3 = S4 S3 S2 S1 S0 − = 10 − = 9 1 0 Vì tất phần tử cột bảng Routh dương nên tất nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức, hệ thống ổn định Ví dụ 3.2: Hãy xét tính ổn định hệ thống tự động có sơ đồ khối sau: Hình 3.3: Sơ đồ khối hệ thống tự động ví dụ 3.2 44 Giải Phương trình đặc trưng hệ thống 1+G(s).H(s) =0 1+ 50 =0 𝑠(𝑠 + 3)(𝑠 + 𝑠 + 5) 𝑠 + ⇔ 5𝑠 + 6𝑠 + 16𝑠 + 31𝑠 + 30𝑠 + 50 = Vì phần tử cột bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, hệ thống khơng ổn định Ví dụ 3.3: Cho hệ thống có sơ đồ khối sau Hình 3.4: Sơ đồ khối hệ thống tự động Xác định điều kiện K để hệ thống ổn định Giải Phương trình đặc tính 1+G(s) = 1+ 𝑠(𝑠 𝐾 =0 + 𝑠 + 1) 𝑠 + ⇔ 𝑠 + 3𝑠 + 3𝑠 + 2𝑠 + 𝐾 = 45 Bảng Routh: 𝛼3 = 𝛼3 = S4 S3 S2 − = 3 2− 𝐾 S1 S0 K K 0 K Điều kiện để hệ thống ổn định: 2= 𝐾 >0 K > Suy ra: 0