Một số phương pháp giải toán hình học không gian ở trường THPT

Mục đích của nghiên cứu này nhằm xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học không gian giải bằng các phương pháp khác nhau từ đó giúp cho học sinh tiếp cận hình học và giải toán hình học một cách dễ hơn.

                                                1.  MỤC LỤC  ­ Đôi t ́ ượng nghiên cứu………………… ……… …………………   ­ Muc đich nghiên c ̣ ́ ứu ………………………… ………………… 1 ­ Đôi t ́ ượng nghiên cứu……………………………….… .………   ­Phương phap nghiên c ́ ứu………………………………… ……  1                                                 2. NÔI DUNG ̣                                                   2   2.1. Cơ sở li luân ……………………………………… .………     2 ́ ̣ 2.1.1. Vai net vê s ̀ ́ ̀ ự hinh thanh vec t ̀ ̀ ơ va toa đô…… …………      2 ̀ ̣ ̣ 2.1.2. Căn cư vao ban chât hinh hoc…………………… .………      2 ́ ̀ ̉ ́ ̀ ̣ 2.2. Thực trang vân đê tr ̣ ́ ̀ ước khi ap dung sang kiên kinh nghiêm      3 ́ ̣ ́ ́ ̣ 2.3. Thực hanh giai môt sô dang bai toan hinh hoc không gian     3 ̀ ̉ ̣ ́ ̣ ̀ ́ ̀ ̣                     thông qua 3 phương phap giai khac nhau ́ ̉ ́ 2.3.1. Cac bai toan vê tinh thăng hang……………… .……………   3 ́ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ̀ 2.3.2. Cac bai toan vê quan hê song song……………… …………   6 ́ ̀ ́ ̀ ̣ 2.3.3.Cac bai toan vê quan hê vuông goc……… ………………      10 ́ ̀ ́ ̀ ̣ ́ 2.3.4. Cac bai toan vê tinh khoang cach……………… …… …    13 ́ ̀ ́ ̀ ́ ̉ ́ 2.3.5. Cac bai toan vê tinh goc……………… …………… ……    16 ́ ̀ ́ ̀ ́ ́ 2.4.  Thực nghiêm s ̣ ư pham…………………………………… .…     ̣ 18                                 3. KÊT LUÂN VA KIÊN NGHI ́ ̣ ̀ ́ ̣                                  20 Tai liêu tham khao  ̀ ̣ ̉ Phu luc ̣ ̣ 1. MỞ ĐẦU    ­LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI    Việc tổ chức dạy học các kiến thức hình học bằng các phương pháp khác   nhau nhăm tao ra cho hoc sinh tinh linh hoat, đa dang khi tiêp cân mơt bai ̀ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣ ̀  toan hinh hoc ́ ̀ ̣            Thực trạng hiện nay, tại trường THPT việc học hình học với một bộ  phận học sinh là điều miễn cưỡng, mơn hình chỉ đưa lại say mê với số ít học  sinh khá và giỏi thì việc tạo ra cho các em hứng thú trong học hình bằng các  cách tiếp cận  đối với một bài tốn bằng các phương pháp khác nhau  là một  việc nên làm. Điều đó sẽ góp phần làm cho các em nắm vững kiến thức hình  học,hiểu được bản chất các đối tượng hình học trong chương trình phỏ  thơng     Hình học khơng gian chiếm một vị  trí quan trọng trong chương trình tốn  cấp THPT, do vậy việc tìm kiếm các con đường tổ  chức dạy học cho phần  hình học khơng gian ln được nhiều người quan tâm. Đặc biệt, hiện nay với  những tiện ích do việc sử dụng phương tiện dạy học hiện đại đưa lại, giáo  viên có thể trình chiếu và nhanh chóng phân tích, so sánh những phương pháp  giải khác nhau cho một bài tốn cụ thể trong một đơn vị thời gian nhất định,  cách làm này đã tạo được ấn tượng rất tốt và thực sự có hiệu quả đối với học  sinh Vi vây tơi chon đê tai: ̀ ̣ ̣ ̀ ̀        ‘’ Mơt sơ ph ̣ ́ ương phap giai tốn hình h ́ ̉ ọc khơng gian ở trường THPT’’  ­ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU     Mục đích nghiên cứu của đề  tài là xây dựng hệ  thống các dạng bài tập   hình học khơng gian giải bằng các phương pháp khác nhau từ đo giup cho ́ ́   hoc sinh tiêp cân hinh hoc va giai toan hinh hoc môt cach dê h ̣ ́ ̣ ̀ ̣ ̀ ̉ ́ ̀ ̣ ̣ ́ ̃ ơn ­ĐÔI T ́ ƯỢNG NGHIÊN CƯU ́      Xây dựng cơ sở lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện năng lực chuyển đổi   của ba phương pháp     Xây dựng hệ thống các dạng bài tập hình học khơng gian giải bằng các  phương pháp khác nhau ­PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU     Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp giảng dạy tốn, sách giáo khoa,  sách giáo viên về  chương trình hình học   cấp THPT; Điêu tra tim hiêu, ̀ ̀ ̉   khao sat th ̉ ́ ực tê va thu thâp thơng tin ́ ̀ ̣     Tìm hiểu về  việc dạy và học hình học   trường THPT Ham Rơng theo ̀ ̀   các chủ đề: hình học tổng hợp,vec tơ và toạ độ Đơi chiêu kêt qua kiêm tra  ́ ́ ́ ̉ ̉ ở 2 lơp thuôc khôi 12 tr ́ ̣ ́ ường THPT Ham Rông ̀ ̀                                             2. NỘI DUNG 2.1. CƠ SỞ LI LUÂN ́ ̣  2.1.1 Vài nét về sự hình thành kiến thức vec tơ và toạ độ   Phương pháp toạ độ  đã có nguồn gốc trong lịch sử cổ đại. Các nhà thiên  văn học Hy lạp(Hippocrates thế kỷ II­TCN,Ptolemaeus thế kỷ II ) đã dùng  các toạ  độ  cầu (vĩ độ  và kinh độ)để  xác định các điểm khác nhau trên trái  đất, tuy nhiên sự phát triển của phương pháp tốn học này đã bị kìm hãm do  chưa có ký hiệu bằng chữ  và quan niệm tổng qt về số   Việc khơng có những phương pháp tốn học tổng qt để giải các bài tốn   và chứng minh một số  định lý hình học là một hạn chế  rất lớn của hình  học sơ  cấp.Trong vật lý, cơ  học, kỹ  thuật   người ta thấy hạn chế  này  một cách sâu sắc khi gặp những đường, những mặt phức tạp như  đường  Parabol,   đường   hypecbol,   đường   elip ,  mặt   Paraboloit,   mặt  Hypecboloit, Cho   đến     kỷ   XVII,   nhà   tốn   học   Đêcac(R.Descartes) (1596­1650) đã sáng lập ra mơn hình học giải tích một cách độc lập với   Phecma(P.Fermat)(1601­1665)   Hai   ông     cống   hiến   cho   khoa   học   một  phương pháp mới – phương pháp toạ  độ  làm cơ  sở cho hình học giải tích,  mơn học đã dùng hệ  toạ  độ  để  chuyển những hình  ảnh của hình học về  ngơn ngữ của đại số    Có thể nói, sự ra đời của khái niệm toạ độ và sau đó là khái niệm vec tơ  đã góp phần thúc đẩy sự phát triển của lý thuyết tốn học  và sự ứng dụng  của tốn học vào thực tế đời sống   2.1.2 Căn cứ vào bản chất tốn học của kiến thức hình học    Một nội dung,một khái niệm tốn học có thể diễn đạt theo ngơn ngữ,ký   hiệu khác nhau.Chẳng hạn:   + Khái niệm: “M là trung điểm của đoạn thẳng AB”                                                     M AB           (theo ngôn ngữ tổng hợp) MA = MB MA MB        ( theo ngôn ngữ vec tơ) x A + xB y +y                           � yM = A B     (theo ngôn ngữ toạ độ) z +z zM = A B xM =    + Khái niệm: “đường thẳng AB”                           M / AM � t AB, t                           � �M ( x; y; z ) / � R                ( theo ngôn ngữ vec tơ) x − xA y − yA z − zA � = = � (theo ngôn ngữ toạ độ) xB − x A y B − y A z B − z A    Như vậy,một khái niệm tốn học có thể có những vỏ ngơn ngữ khác nhau  và ta có thể dựa vào mỗi cách diễn đạt theo các ngơn ngữ khác nhau ấy mà   định hướng để  tìm ra các phương pháp khác nhau để  giải quyết bài tốn  hình học.  Chẳng hạn,dựa vào cách diễn đạt khái niệm:”Hai mặt phẳng   vng góc với nhau trong khơng gian” ta sẽ  định hướng cách chứng minh  hai mặt phẳng vng góc:    1/ Theo ngơn ngữ tổng hợp: Để chứng minh hai mặt phẳng vng góc với  nhau,ta chứng minh góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 900     2/ Theo ngơn ngữ  vec tơ: Để  chứng minh hai mặt phẳng vng góc với  nhau,ta chứng minh tích vơ hướng  (qua phép biến đổi) của hai vec tơ pháp  tuyến của hai mặt phẳng bằng 0   3/ Theo ngơn ngữ toạ độ:Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z +  D1 = 0 và A2x + B2y + C+C2z + D2 = 0 vng góc với nhau, ta chứng minh  biểu thức toạ  độ  của tích vơ hướng hai vec tơ  pháp tuyến của hai mặt  phẳng bằng 0                                           A1.A2 + B1.B2 + C1.C2  = 0  2.2  THỰC TRANG VÂN ĐÊ TR ̣ ́ ̀ ƯỚC KHI AP DUNG SANG KIÊN KINH NGHIÊM ́ ̣ ́ ́ ̣   Trươc khi ap dung sang kiên kinh nghiêm tôi nhân thây viêc hoc sinh THPT ́ ̣ ́ ́ ̣ ̣ ́ ̣ ̣   (     cu thê hoc sinh cac l ̣ ̉ ̣ ́ ơp 12) khi giai môt bai toan hinh hoc không gian ́ ̉ ̣ ̀ ́ ̀ ̣   thương rât lung tung, lam bai rât châm, ̀ ́ ́ ́ ̀ ̀ ́ ̣  cac đôi t ́ ́ ượng hoc sinh trung binh tr ̣ ̀ ở  xuông th ́ ường không lam đ ̀ ược cac bai hinh ́ ̀ ̀           2.3.  THỰC   HÀNH   GIẢI   MỘT   SỐ   BÀI   TOÁN   HÌNH   HỌC   KHƠNG   GIAN   THƠNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC NHAU  2.3.1.  CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH THẲNG HÀNG    Dạng tốn 1: Chứng minh ba điểm thẳng hàng * Phương pháp tổng hợp: Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta có  thể sử dụng một trong các hướng sau:   + Chứng minh A,B,C cùng thuộc hai mặt phẳng khác nhau nào đó   + Chứng minh AB và AC cùng song song với một đường thẳng nào đó * Phương  pháp vec tơ   + Chứng minh  AC t AB (t R)   + Chứng minh với điểm O tuỳ ý có:  OC t.OB (1 t ).OA (t 1)   + Chứng minh với điểm O tuỳ ý có:  OC t.OB l.OA (t l 1) * Phương pháp toạ độ    Chọn hệ trục toạ độ Oxyz + Biểu thị  toạ  độ  A,B,C  theo hệ  toạ  độ  đã chọn:  A(xA;yA;zA), B(xB;yB;zB)  ,C(xC;yC;zC) + Tính toạ độ của  AB( x B xA , yB yA , zB z A ) ,  AC ( x C xC xA t.( x B xA + Chỉ ra sự tồn tại  t R  sao cho  y C yA t.( y B yA ) zC zA t.( z B x A , yC y A , zC zA) zA) Hoặc thay toạ độ  cuả  điểm C vào phương trình đường thẳng AB thấy thoả  mãn Ví dụ  1:Cho hình hộp chữ  nhật  ABCD.A1B1C1D1  Gọi  G  là trọng tâm tam  giác  A1BD. Chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng Lời giải * Phương pháp tổng hợp:   Chứng minh A,G,C1  cùng thuộc hai mặt phẳng   khác nhau Ta có:  G A1O ( ACC1 A1 ) nên  G ( ACC1 A1 ) Vậy  A, G, C1 ( ACC1 A1 ) Mặt khác  G DI ( ADC1 B1 ) nên G ( ADC1 B1 ) Vậy  A, G, C1 ( ADC1 B1 ) Từ trên suy ra ba điểm A,G,C1  thẳng hang ̀ A D O B C G I A1 D1 B1 C1 Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc,biểu diễn các dữ kiện của bài tốn sang ngơn ngữ vec  tơ:     ­ Chọn hệ vec tơ gốc  AA1 , A1 B1 , A1 D1 Theo bài ra, G là trọng tâm tam giác  A1BD nên  A1G A1O     ­  Để chứng minh rằng A,G,C1 thẳng hàng, ta chứng minh   A1G t.AC1 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với u cầu bài tốn Ta có:  AC1 AA1      = AA1 ( A1 B A1C1 A1 A A1 B1 A1 D) =  ( A1 A A1 D1 ,  AG A1 B1 A1 D1 ) AA1 A1G A1 A A1O AC1 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngơn ngữ hình học tổng hợp    Như vậy,ta có: A1G A1O hay A,G,C1 thẳng hàng * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài tốn gồm:   + Bước 1: Chọn hệ  toạ  độ,chuyễn các dữ  kiện bài tốn sang ngơn ngữ toạ độ Chọn hệ  trục toạ  độ  Oxyz  sao cho:  O A1 ,  D1 Ox , B1 Oy , A Oz Khi     ta   có:  A1(0;0;0),D1(a;0;0),B1(0;b;0),A(0;0;c), B(0;b;c),D(a;0;c),C1(a;b;0).Vì  G    trọng  tâm tam giác nên: G =  z A B C G I c ) (a; b; c) y AC1 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngơn ngữ hình học tổng hợp D1 B1 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ a b 3 x A1 a b c ; ; 3 Ta có:  AC1 (a; b; c) , AG ( ; ; D O C1 AG AC1  hay A,G,C1 thẳng hàng Dạng tốn 2:Cho ba điểm A,B,C thẳng hàng, từ đó suy ra các tính chất khác Ví dụ  2: Cho hình hộp chữ  nhật  ABCD.A1B1C1D1.  P  là điểm trên đường  thẳng  CC1 sao cho  CP trên  CC1 , M là một điểm trên đường thẳng  AD, N là điểm  đường thẳng BD1 sao cho M,N,P thẳng hàng.Tính  MD MA Lời giải: MP; BD1 MD1   Phương pháp tổng hợp: Ta có: ADD1 A1 BCC1 B1 MP; BD1 BP Vì   ADD1 A1 // BCC1 B1  nên MD1// BP,  do đó  MD1D= suy ra  MD1 D BPC ,vậy nên    từ đó  MD MA MD  hay  AD P D1 C1 A1 c B1 3 CC1 b Vì  2 D,M,A thẳng hàng nên:  DM x.DA x.a N Theo   giả   thiết,ta   có:   CP D   Vì M,N,P thẳng hàng nên:      A B            CN CM (1 ).CP     Vì B,N,D1 thẳng hàng nên:      CN CD1 (1 ).CB + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với u cầu bài tốn Tacó:  CN (CD DM ) (1 ).CP (c                                                             Lại   có CN   * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài   tốn gồm:            + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn   các dữ kiện của bài tốn sang ngơn ngữ vec   tơ: Chọn hệ  vec tơ  gốc :   CB a , CC1 b , CD DD1 CP MD DC (CC1 CD) (1 x.a x.a ) (1 (b ).CB (2) (1 ) .b   (1) ) .b c) (1 C c ) a (1 ).a b c .x Từ   (1)     (2)suy   ra: DM DA MD MA (1 ) ;x   Vậy  Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chun các d ̉ ữ kiện bài tốn sang ngơn ngữ toạ   độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C O ,  B Ox , D Oy , C1 Oz Khi đó: C(0;0;0), B(a;0;0), D(0;b;0),C1(0;0;c) ,D1(0;b;c), D  0;0; 3c + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ Mặt phẳng (BD1P) (chứa N) đi qua B(a;0;0)  có vec tơ chỉ phương là  BP ( a;0; z P 3c ) và  BD1 ( a; b; c) D1 nên có phương trình:  3bcx+acy+2abz­3abc =  0  (3)     x a.t Đường thẳng AD có phương trình:  y b    (4) z  do đó M có toạ độ là nghiệm của hệ (3)  và (4) nên M= 2a ; b;0 ,từ đó có  DM 2a ;0;0 , MA C1 A1 B1 N y D M C C A B M a ;0;0   x DM MA + Bước 3:  Chuyển kết luận ra ngơn ngữ  hình học tổng hợp   DM MD MA 2MA  2.3.2 CÁC BÀI TỐN VỀ QUAN  HỆ SONG SONG Dạng tốn 1:  Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng,   đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song Phương pháp tổng hợp:    + Để  chứng minh hai đường thẳng  a   b  song song với nhau,ta chứng  minh chúng đồng phẳng rồi áp dụng các cách chứng minh trong hình học  phẳng như:  tính chất   đường trung bình,  định lý Talet  đảo hoặc chứng  minh hai đường thẳng đó cùng song song với một đường thẳng thứ ba,   + Để chứng minh a//(P) ta chứng minh a//b với b (P)   + Để chứng minh hai mặt phẳng song song với nhau, ta chứng minh mặt   phẳng này chứa hai đường thẳg cắt nhau cùng song song với mặt phẳng   kia, Phương pháp vec tơ, phương pháp toạ độ    Khi giải bài tốn dạng này, ta có thể  tiến hành:Chuyển các dữ  kiện của   bài tốn ra ngơn ngữ vec tơ hoặc toạ độ,sau đó biến đổi các đẳng thức vec  tơ  (hoặc toạ  độ) thu được về  dạng các đẳng thức vec tơ  ( hoặc toạ  độ)  tương đương với các điều kiện song song Ví dụ3:  Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1. M là điểm chia đoạn AD  theo tỉ  số   , N là điểm chia đoạn A1C theo tỉ  số   Chứng minh: MN// (BC1D) Lời giải  * Phương pháp tổng hợp:  Đặt O =  AC BD , I =  MC BD , J =  A1C C1O D1 A1 JC Ta có:  JA 1 CJ CA1 OC  suy ra  A1C1 CJ CN  Vậy     (1) 3 CN IC CB AD Mặt khác   IM MD MD   IC CM CJ Từ  (1) và (2) có:   CN C1 B1 N J D M I A CI   hay MN//IJ ( CM C O B BC1 D ), do đó   MN// (BC1D) * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài tốn sang ngơn   ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc :  BA a , BB1 b , BC c  M là điểm chia đoạn AD theo tỉ  số   A1 N MN 1 AD   N    điểm   chia   đoạn  A1C  theo   tỉ   số   ,nên AM nên A1C ,   để   chứng   minh:  MN//(BC1D)   ta     chứng   minh  m.BD n.BC1 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với u cầu bài tốn Ta có:  BD a c , BC1 b c , MN BN BM = BA AA1 A1 N BA AM (c a b) a BD BC1 5 a b c a b c (a c) (b c) +  Bước   3:  Chuyển   kết   luận     ngôn   ngữ   hình   học   tổng   hợp   MN BD BC1 5 * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chuyển các dữ kiện   bài tốn sang ngơn ngữ toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: C O ,  B Ox , D Oy , C1 Oz  Giả sử ba kích thước  của hình hộp là a,b,c, khiđó:  A C(0;0;0),B(a;0;0),D(0;b;0),C1(0;0;c),  A(a;b;0),A1  a; b; c  M là điểm chia đoạn AD  z P D1 B theo tỉ số  4a 3a 3b 3c ,nên M=( , b,0) ,N=( , , ) 5 5 N x M D C A B M y 3  bcx+acy+abz+abc = 0 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ Mặt phẳng (BC1D) có phương trình là:  x a y b z c Đường thẳng MN có vec tơ chi phương  MN ( a 2b 3c , , ) 5 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngơn ngữ hình học tổng hợp Vì  n.MN nên  n MN  hay MN//(BC1D) Dạng tốn 2:Cho biết các quan hệ song song,từ đó suy ra các tính chất hình học   khác Ví dụ  4: Cho hình hộp chữ  nhật  ABCD.A1B1C1D1. M  là điểm trên đường  chéo AC của mặt phẳng (ABCD), N là điểm trên đường chéo thẳng C1D của  MN mặt phẳng (CDD1C1) sao cho MN//BD1. Tính  tỉ só  BD * Phương pháp tổng hợp:  Đặt I =  BM D1 N , vì  I BM ( ABCD) và  I DN DI CD // C1 D1 , NC1 C1 D1 IM CM CI AB // CD  mặt  MB MA AB IN IM khác  ND MB MN // BD1  nên  DI CI suy ra:  C D AB  do đó DI = CI hay  1 D1 N (CDD1C1 ) nên  I CD IN Ta có:  ND A1 D1 B1 C1 N A I là trung điểm của CD M B 10 I C D Vậy  IM MB IM  hay  IB MN    BD1 * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài tốn sang ngơn   ngữ vec tơ:  Chọn hệ vec tơ gốc :  BA a , BB1 b , BC c  Theobài ra A, M, C thẳng hàng  nên   MC x AC ,  C1,   N,   D  thẳng   hàng   nên   C1 N y.C1 D ,    MN//BD1  nên  MN k BD1 + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với u cầu bài tốn Tacó: MN k (a b c) (1) AC c a , CC1 b , C1 D a b , MN MC CC1 C1 N   x y x k (2) . Vì   a , b , c  đồng phẳng nên từ (1) và (2) suy ra  y k x k  Vậy  MN y k 3 BD1 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngơn ngữ hình học tổng hợp MN BD1 MN BD1 hay  MN = BD1 3 Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài tốn gồm:    + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chun các d ̉ ữ kiện bài tốn sang ngơn ngữ toạ   độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A O ,  B Ox , D Oy , A1 Oz  Giả sử  ba kích thước của hình hộp là a,b,c, khiđó:  A(0;0;0),B(a;0;0),D1(0;b;c),C1(0;0;c),C(a;b;0),C1  a; b; c Vì nên M(xM;yM;0), Vì nên N=(xN;b;zN)  + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ ,,,,, .        Từ giả thiết suy ra: MN//BD1 suy  ra    z A1 B1 C1 N A D M B x 11 D1 C y xN MN k BD1 b yM zN N x y k C1 D C1 N xM ka kb     (1),M AC kc yC1 D  như vậy  MN 3 xN a zN c MC x AC a xM b yM xa    (2) ,  xb y x k     (3) . Từ (1),(2),(3) suy ra  y k yc x k ya BD1 + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngơn ngữ hình học tổng hợp   2.3.3  CÁC BÀI TỐN VỀ QUAN HỆ VNG GĨC Dạng tốn 1:  Chứng minh tính vng góc của các đường thẳng và mặt   phẳng Phương pháp tổng hợp: * Để chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P), ta có thể chứng  minh: + a vng góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (P) + a song song với dường thẳng b mà b  (P) + Sử dụng định lý:” Nếu a thuộc mặt phẳng (P) mà (P) vng góc với (Q)  và a vng góc với giao tuyến của (P) và (Q) thì  a  (P)” + Sử dụng định lý:” Nếu a là giao tuyến của hai  mặt phẳng  (P) và (Q) cùng  vng góc với mặt phẳng (R) thì a vng góc với mặt phẳng (R)” * Để chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau,ta có thể chứng minh : + Mặt phẳng này chứa một đường thẳng vng góc với mặt phẳng kia + Góc giữa hai mặt phẳng có số đo bằng 900 Phương pháp vec tơ: Để  chứng minh hai mặt phẳng vng góc với nhau,ta quy về  chứng minh  đường   thẳng   vng   góc   với   mặt   phẳng,   để   chứng   minh   đường   thẳng   vng góc với mặt phẳng,ta quy về  chứng minh đường thẳng vng góc  với đường thẳng. Như  vậy đối với phương pháp vec tơ  ta chỉ  cần chú ý:  AB CD AB.CD Phương pháp toạ độ + Để chứng minh AB CD ta chứng minh:                          (xB­xA)(xD­xC)+ (yB­yA)(yD­yC)+ (zB­zA)(zD­zC)=0 + Để  chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta chứng minh  vec tơ  chỉ  phương của đưịng thẳng cùng phương với vec tơ  pháp tuyến  của mặt phẳng 12 + Để chứng minh hai mặt phẳng A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và A2x + B2y +  C2z + D2 = 0 vng góc với nhau, ta chứng minh  A1.A2 + B1.B2 + C1.C2  = 0 Ví dụ5: Cho hình lập phương  ABCD.A1B1C1D1. Gọi  P  là trung điểm của  AB, Q là giao điểm của BC1 và CB1. Chứng minh rằng D1Q (PB1C) Lời giải: * Phương pháp tổng hợp:    B C P R D B C Vì   1   đều và  Q  là trung điểm của  B1C  D A nên D1Q B1C    (1) Q Gọi R và S lần lượt là trung điểm của CD và  CC1, khi đó: RC1//PB1, QS (CDD1C1) nên    QS RC1.Mặt khác D1S RC1  nên RC1 (QSD1). Vậy  RC1 D1Q nên .   S B1 C1 A1 D1 D1Q PB1    (2).Từ (1) và (2) suy ra D1Q (PB1C).       Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài tốn sang  ngơn ngữ vec tơ: Chọn hệ vec tơ gốc  D1Q ( D1 B1 D1C ) + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với yêu cầu bài toán 1 B1 B ) = ( B1 A1 2.B1 B ) a b , B1C 2 1 1 1 D1Q ( D1 B1 D1C ) = ( a b c a) = a b c 2 2 2 1 b c )= 0 B1 P D1Q = ( a b) ( a 2 1 b c)  = 0 B1C D1Q (b c) ( a 2  Ta có  B1 P ( B1 A B1 B B1C1 b c + Bước 3: Chuyển kết luận ra ngơn ngữ hình học tổng hợp B1 P D1Q = 0   D1Q PB1     B1C D1Q  = 0   D1Q B1C .Vậy D1Q B1C  * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài tốn gồm: +  Bước  1:  Chọn  hệ  toạ  độ,chuyển  các  d  ữ  kiện bài tốn sang ngơn ngữ toạ độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: B1, . Giả  A sử kích thước của hình lập phương là a,  khiđó: B1(0;0;0),C1(a;0;0), P là trung điểm  của AB nên , B(0;0;a),C(a;0;a), D1(a;a;0), A  A .  z B C D Q x B1 C1 y 13 D1 a a Q là trung điểm của B1C nên   Q ( ;0; )       + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ a a Ta có:  QD1 ( ; a; )  là vec tơ  chỉ phương của đường thẳng QD1.Mặt phẳng  (PB1C) qua B1 nhận hai vec tơ chỉ phương là  B1 P  và  B1C  nên có vec tơ pháp  a a )  cùng phương với  QD1 ( ; a; ) nên D1Q (PB1C).   2 tuyến là  n ( ;1; Dạng tốn 2: Cho biết các đường thẳng hay mặt phẳng vng góc rồi   từ đó suy ra các tính chất hình học khác Ví dụ 5  Cho hình chóp S.ABCD, đáy là nửa lục giác đều.AB = B = CD = a.  Cạnh bên SA vng góc với đáy và  SA a  .M là điểm trên cạnh SB sao  cho M khác B và  AM MD 1)Tính tỉ số  SM   SB 2)Tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng (AMD) S Lời giải:* Phương pháp tổng hợp:  1) Ta có:  BD BD AB  suy ra BD SA (SAB) và BD AM.Mặt khác AM MD nên AM (BMD), do đó: AM SB.khi đó: SA2­SM2 = AB2 – BM2,  hơn nữa SM + BM =SB. Suy ra:  SM SM 2 BM 2a BM 2a SM BM 3a a M N A SM SB D B C 2/ Thiết diện là hình thang AMND có diện tích S được tính theo cơng thức:  S (MN AD).MH    MN là đường cao của hình thang và AD = 2a , MN  Tính MH: Vì AM MD nên:  a  với AM =  ,  MD 2 11 39a Vậy  S 64 SM MH SD AM MD 2.SM SD cos DSM BC 13a a MH a 39 * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện của bài tốn sang ngơn  ngữ vec tơ:  Chọn hệ vec tơ gốc :  AB a , AD b , AS c ; a a , b 2a , c a   14 Khi đó ta có:  a.b a , b.c a.c  AM MD  MA.MD    (1)  + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với u cầu bài tốn 1) Ta có  SM ( a = c SB ( AB ( D1 B1 (a c) , D1Q SA) D1C ) = 1 1 b c a) = a b c ( Với  , do M B);  MA SA 2 2 (a c ) MD MA AD = a ( 1)c b SM  Khi đó  (1)  [ c Vậy  SM (a c ) ].[ a ( 1)c b ] =0 (loai ) 3 SB Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ, chun các d ̉ ữ kiện bài tốn sang ngơn ngữ toạ   độ Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho: A O ,  D Ox , S Oz , Oy ( ABCD) : Oy Oz a a ;0)      2 Khi đó: A(0;0;0),D(2a;0;0), S(0;0;a ),  B ( ; + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ Đặt M= ( x0;y0;z0) SB  Đường thẳng SB có phương trình:   x                       a Vì  M SB nên:   khác AM MD  x0 ta tìm được:  y z0 Vậy  SM ( y a y0 3x0 z0 a z a a z 3a Mặt  MA.MD     do đó  3a 3a a S N M x A D C B y 3a 3a 3a a a ; ; )  ;  SB ( ; ; a )  do đó  SM 8 2 SB  2.3.4  CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH Dạng tốn 1: Chứng minh tính vng góc của các đường thẳng và mặt   phẳng 15 Phương pháp tổng hợp: + khoảng cách từ  điểm M đến đường thẳng a: d(M;a) = MH ( MH a;H a ) + khoảng cách từ  điểm M đến mặt phẳng (P) được xác định như  sau: - Chọn trong  (P)  một đường thẳng a rồi dựng mặt   phẳng   (Q)  qua  A  vng góc  với a( nên chọn a để mặt phẳng (Q) dễ xác định) Q - Xác định  b P - Dựng  AH b  tại H, khi đó d(A;( P)) = AH + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Ngoại trừ  trường hợp đoạn vng góc chung có sẵn, ta phải dựng đoạn  vng góc chung bằng các cách sau: Cách 1: (áp dụng cho trường hợp a b) - Dựng mặt phẳng (P) chứa b và vng góc với a tại A - Dựng AB  b tại B, khi đó: d(a;b) = AB Cách 2:  - Dựng mặt phẳng (P) chứa b và song song với a - Chọn M  a , dựng  MH (P )  tại H - Từ H dựng a///a;  a / b B - Từ B dựng đường thẳng song song với MH cắt a tại A,khi đó d(a;b) = AB Phương pháp vec tơ:  đối với phươngpháp này, ta cần chú ý áp  dụng tích vơ hướng của hai vec tơ để tính khoảng cách - Khoảng cách giữa hai điểm A và B:  AB AB AB Khoảng cách từ điểm M đến đuờng thẳng a: Giải theo trình tự sau:   Chọn A  a  và đặt  AM b Gọi N là hình chiếu vng góc của điểm M trên  a,     đó:   MH AH AM = x a b   Tìm  x  nhờ   điều   kiện   vng   góc   của  MH , a :  -     ( x a b  ).  a  suy ra  MH x a b  .  - Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) có cặp vec tơ chi phương  là  a , b : Chọn  A  a   và đặt   AM m Gọi  H  là hình chiếu vng góc  M  trên mặt  phẳng (P),khi đó:   MH AH AM = x a yb m Ta tìm được các hệ  số  x,y  nhờ  điều kiẹn vng góc của  MH ; a ; b  từ đó suy ra khoảng cách cần tìm  là:  MH xa yb m + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt có hai vec  tơ chỉ phương  a , b , Giải theo trình tự sau: - Chọn A  a  và B  b  và đặt  AB m 16 MA x a - Gọi MN là đoạn vng góc chung của a và b, khi đó:  BN yb MN a MN b Biểu diễn  MN  theo các vec tơ không đồng phẳng                            MN MA AB + BN = x a yb m   - Ta tìm được các hệ số  x,y nhờ điều kiên vng góc c ̣ ủa  AB ; a ; b  từ đó  - suy ra khoảng cách cần tìm là:  MH xa yb m * Phương pháp toạ  độ: Đối với phương pháp này, ta cần chú ý một số  công thức: - Khoảng   cách     hai   điểm  A    B:  AB - xB xA yB yA 2 zB zA Khoảng cách từ một điểm  M ( x ; y ; z )  đến đường thẳng  đi qua điểm  M x1 ; y1 ; z1  và có vec tơ chỉ phương  u (a; b; c) :  d ( M ; ) - u Khoảng cách từ điểm  M x1 ; y1 ; z1  đến mặt phẳng (P):Ax + By +Cz +D =                          d ( M ; ( P)) - MM ,u Ax By A2 B2 Cz D C2 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b lần lượt đi qua hai  điểm M, M1 có  hai vec tơ chỉ phương  a , b :   d (a; b) a,b MM a, b   Chú ý: ­ Việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có thể quy    tính khoảng cách giưã hai điểm hoặc giữa đường thẳng và mặt phẳng  song song hoặc giữa hai mặt phẳng song song - Việc tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song,  giữa hai mặt phẳng song song có thể quy về tính khoảng cách từ  một   điểm đến mặt phẳng Ví dụ 6:  Cho tứ diện OABC có các góc AOB=BOC=COA = 900 và OA = a, OB = b, OC = c. Gọi D là trung điểm của OC 1) Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD 2) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) Lời giải: * Phương pháp tổng hợp: 1) Gọi M là hình chiếu vng góc của A trên BD,khi đó có: OM  BD Xét tam giác vng AOM có: AM2 = AO2+OM2 = a2+OM2 17 Mặt khác,xét tam giác vng OBD có: OM OB d ( A; BD) OD b2 AM a c2 O 2 b c 4b c OM D b c 4b c M 2) Gọi H là hình chiếu vng góc của O trên  mặt phẳng  (ABC)    £ AH BC Vì  OH  C BC và  OA   BC nên  BC (OAH) do đó  BC AH và BC  OE A H E B Ta OH   có: a2 1 1   2 2 OH OA OE a OE 1  hay  d (O; ( ABC ) OH 2 c b c2   b2 với,   vậ y     abc a 2b b2c c2a2 * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ kiện  sang ngơn ngữ vec   tơ:   Chọn   hệ   vec   tơ   gốc   :   OA a , OB b , OC c ;khi     a a , b b , c c   và  a.b b.c a.c D là trung điểm của OC nên  OD OC c      + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với u cầu bài tốn 1) Ta có  AM AM BD BM BA x.BD AM BD Vậy  d ( A; BD) AM AM AB a [ a (1 x)b a2 x c Vì  x c) ] .( c b)  = 0  2 (1 x).b x= 4b 4b c2 b c 4b c  *Phương pháp toạ độ: Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ toạ độ,chun ̉       kiện    tốn   sang   ngơn   ngữ toạ độ Chọn   hệ   trục   toạ   độ  Oxyz  sao  cho:  A Ox , B Oy , C Oz khiđó:  O(0;0;0),A(a;0;0),B(0,b;0)   C(0;0;c),  Vì  D  là trung điểm của  O D M C A c OC nên D (0;0; )      H x B 18 z + Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ 1) Đặt M là hình chiếu vng góc của A trên BD. Ta có:   BD 0, b, c ; BA a, b,0 Vậy  BA, BD d ( A; BD) AM b c 4b c a2 BD 2) Gọi  H  là hình chiếu  vng góc của  O  trên mặt phẳng (ABC), mặt  phẳng (ABC) có phương trình ( theo đoạn chắn) là:                     x a y b z c   =>  d (O; ( ABC )) OH bcx acy abc    abz abc a 2b b 2c c2a2  2.3.5 CÁC BÀI TỐN VỀ TÍNH GĨC * Phương pháp vec tơ: + Góc giữa hai đường thẳng d1  và d2  lần lượt có hai vec tơ  chỉ  phương  a1 , a được xác định: cos(d ; d ) a1 a cos(a1 ;a ) a1 a + Việc tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng quy về  tính góc giữa   đường thẳng đó và hình chiếu của nó trên mặt phẳng + Việc tính góc giữa hai mặt phẳng quy về tính góc giữa hai đường thẳng  tương ứng vng góc với hai mặt phẳng đó * Phương pháp toạ độ:    + Góc giữa hai vec tơ  a1 ( x1 ; y1 ; z1 ) , a ( x ; y ; z ) la  ̀ ur ur cos( α 1,α ) =                                 x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 x + y12 + z12 x22 + y22 + z22 + Góc giữa hai đường thẳng   d1 và d2 lần lượt có hai vec tơ  chỉ  phương  a1 , a được xác định: cos(d ; d ) + Góc giữa đường thẳng d:  x x0 a1 a cos(a1 ;a ) y a y0 z b a1 a z0  và mặt phẳng P):  c                                                                                                Ax + By +Cz +D = 0 được xác định: sin(d ; ( P)) Aa A2 B2 Bb Cc C a2 b2 c2 + Góc giữa hai mặt phẳng (P):A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (Q): A2x + B2y +  C2z + D2 = 0 được xác định:  cos(( P); (Q)) 19 A1 A1 A2 B1 B2 C1 A2 B1 C1C 2 B2 C2 Ví dụ 7: Cho hai tia Ax1 và By1 hợp với nhau một góc 600. Đường thẳng AB  vng góc với cả hai Ax1 và By1. AB = a. Hai điểm M, N lần lượt nằm trên  hai tia  Ax1   By1sao cho  AM = m, BN = n.  Tính cosin của góc giữa hai  đường thẳng MN và AB theo a, m ,n Lời giải: Phương pháp tổng hợp: N Dựng At//By1 và NH//AB ( H At )Ta  B y có: AB AH ,  AB AM AB (MHA) Mặt khác NH//AB nên  NH (MHA) NH MH Vì NH = AB = a,MH2 =  A AM2 + AH2 ­ 2.AM.AH.cos600  H t M 2 2  2  2  2 = m  + n  –m.n suy ra MN = MH + AH  = m + n  + a  – m.n Vậy  cos(MN ; AB) cos MNH x1 a m n a2 mn * Phương pháp vec tơ. Quy trình giải bài tốn gồm: + Bước 1: Chọn hệ vec tơ gốc, biểu diễn các dữ  kiện sang ngôn ngữ  vec   tơ:  Chọn hệ vec tơ gốc :  MA a , AB b , BN c ;khi đó  a m , b a , c n  và  a.b b.c 0; a.c mn + Bước 2: Biến đổi các biểu thức vec tơ phù hợp với u cầu bài tốn Ta có:  MN MA AB BN a b c ;  AB MN b.(a b c) a ;  AB MN (a b c) m2 n2 a2 b a ;  m.n * Phương pháp toạ độ: Quy trình giải  bài tốn gồm:+ Bước 1: Chọn hệ toạ  độ,chuyển các dữ kiện bài tốn sang  ngơn ngữ toạ độ. Chọn hệ trục toạ độ  Oxyz sao cho:  O A ,  Ox �Ax1 , B �Oz , Oy �(Oxz ), Oy ⊥ Oz , khiđó: A(0;0;0),M(m;0;0),B(0,0;a),.    y B N y1 A H M x1 20 t n  Bước 2: Biến đổi các biểu thức toạ độ. Ta có:  MN AB m2 0,0, a  suy ra  MN n2 a2 m.n ; AB m, n ,a , a ; MN AB a2 a Vậy  cos( MN ; AB) 2 m n a2 2.4. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM mn 2.4.1 Mục đích thực nghiệm: Nhằm đánh giá tính khả thi, kiểm tra tính  đúng đắn của gỉả thuyết khoa học,tính hiệu quả của quy trình giải các bài  tốn bằng các phương pháp khác nhau: tổng hợp, vec tơ và toạ độ  2.4.2 Nội dung thực nghiệm: Các tiết thực nghiệm là tiết 38­Tự chon, và ̣   một bài  kiểm tra 45 phút trong chương trình lớp 12. Sau khi đã dạy cho học sinh quy   trình giải bài tốn bằng các phương pháp khác nhau, ở tiết bài tập 38, chúng   tơi muốn kiểm tra kỹ năng vận dụng quy trình đó của các em 2.4.3 Tổ chức thực nghiệm  Chúng tơi tiến hành thực nghiệm tại hai lớp  của trường THPT Ham Rơng, ̀ ̀   lớp thực nghiệm là 12C6 và chọn lớp đối chứng  là lớp 12C2   Thời gian thực nghiệm: Năm học 2015­2016 Bài kiểm tra 45 phút Hãy giải các bài tốn sau bằng các phương pháp khác nhau: Bài 1: Cho tứ diện OABC có các tam giác AOB, BOC, COA là những tam giác  vng đỉnh O và OA =a, OB = b,OC = c. Tính khoảng cách từ O tới mặt phẳng  (ABC) Bài 2: Cho hình hộp chữ  nhật  ABCD.A1B1C1D1  Gọi  M, N  lần lượt là các  điểm chia hai đoạn thẳng CA và DC1 theo tỉ số  (ABC1D1) 3.2  Kết quả thực nghiệm Điểm Lớp Thực   nghiệm Đối   chứng  Chứng minh rằng MN// 2 10 Số  12 13 11 47 11 13 48 Kết quả sơ bộ: + Lớp thực nghiệm tỉ lệ học sinh đạt kết quả trung bình trở  lên là: 44( tỉ lệ khá giỏi là:55% ) 21 + Lớp đối chứng tỉ lệ học sinh đạt kết quả  trung bình trở  lên là: 22 ( tỉ  lệ  khá giỏi là:18% ) 3.3  Kết luận thực nghiệm   + Việc dạy học cho học sinh quy trình giải các bài tốn hình học khơng   gian bằng các phương pháp khác nhau thơng qua một số  tiết và dạng bài  tập đã giúp cho các em thấy được các mối liên hệ giữa các chủ đề hình học   tổng hợp, vec to và toạ độ  + Giúp các em có kỹ năng thực sự  giả một bài tốn hình theo quy trình đã   đưa ra, + Việc tổ  chức dạy học tốt nhờ   ứng dụng cơng nghệ  thơng tin,dùng các  phương tiện dạy học hiện đại đã gây cho học sinh hứng thú học tập mơn  hình, nâng cao hiệu quả của giờ dạy   Như vậy, mục đích thực nghiệm đã đạt và giả thuyết khoa học của đề tài là chấp  nhận được                                         3. KẾT LUẬN VA KIÊN NGHI ̀ ́ ̣ ­ Kêt ln: ́ ̣      Qua q trình nghiên cứu đề  tài: “Mơt sơ ph ̣ ́ ương phap gi ́ ải tốn hình  học khơng gian ở trường THPT ” đã thu được một số kết quả:   + Đề tài đã làm sáng tỏ các căn cứ lý luận và thực tiễn của việc rèn luyện   năng lực chuyển đổi ngơn ngữ 22    + Đề  tài đã đưa ra quy trình giải một lớp các bài tốn bằng các phương   pháp hìmh học tổng hợp, vec tơ và toạ độ   +Dựa trên kinh nghiệm thực tế của giáo viên và qua kết quả thực nghiệm   cho phép xác nhận giả  thuyết của đề  tài là chấp nhận được, có tính hiệu   quả và mục đích nghiên cứu đã hồn thành - Kiên nghi: Đôi v ́ ̣ ́ ơi giao viên day hoc môn toan cân tach loc cac đôi ́ ́ ̣ ̣ ́ ̀ ́ ̣ ́ ́  tượng hoc sinh đê t ̣ ̉ ừ đo co ph ́ ́ ương phap day hoc phu h ́ ̣ ̣ ̀ ợp. Đôi v ́ ới hoc̣   sinh  ở mưc trung binh va d ́ ̀ ̀ ươi trung binh thi trang bi cho cac hoc sinh ́ ̀ ̀ ̣ ́ ̣   phương phap hê truc toa đô hoa đê cac em co s ́ ̣ ̣ ̣ ̣ ́ ̉ ́ ́ ự tiêp cân dê h ́ ̣ ̃ ơn Xác nhận của thủ  trưởng đơn        Thanh Hố, ngày 30 tháng 3 năm 2016 vị    Tơi xin cam đoan đây là SKKN do mình  viết, khơng sao chép  nội dung của người  khác                          Người viết                     Trinh Đinh Chiên ̣ ̀ ́ TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 1. Tài liệu bồi dưỡng giáo viên mơn Tốn­ Nhà xuất bản giáo dục 2. Phương pháp giải tốn hình học, Lê Hồng Đức – Đào Thiện Khải –  Lê Bích Ngọc,Nhà xuất bản đại học sư phạm­Năm 2004 3. Sách Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2008 4. Sách Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2008 5. Sách Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2007 6. Sách Hình học  11 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2007 7. Sách Giáo viên Hình học 12, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2008 8. Sách Giáo viên Hình học 12 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm  2008 9. Sách Giáo viên Hình học 11, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm 2007 10.Sách Giáo viên Hình học 11 Nâng cao, Nhà xuất bản giáo dục­ Năm  2007 24 ...  Thực trạng hiện nay, tại? ?trường? ?THPT? ?việc? ?học? ?hình? ?học? ?với một bộ  phận? ?học? ?sinh là điều miễn cưỡng, mơn? ?hình? ?chỉ đưa lại say mê với số ít? ?học? ? sinh khá và giỏi thì việc tạo ra cho các em hứng thú trong? ?học? ?hình? ?bằng các ... cách tiếp cận  đối với một bài tốn bằng các? ?phương? ?pháp khác nhau  là một  việc nên làm. Điều đó sẽ góp phần làm cho các em nắm vững? ?kiến? ?thức? ?hình? ? học, hiểu được bản chất các đối tượng? ?hình? ?học? ?trong chương trình phỏ  thơng    ? ?Hình? ?học? ?khơng? ?gian? ?chiếm một vị...  việc dạy và? ?học? ?hình? ?học? ? ? ?trường? ?THPT? ?Ham Rơng theo ̀ ̀   các chủ đề:? ?hình? ?học? ?tổng hợp,vec tơ và toạ độ Đơi chiêu kêt qua kiêm tra  ́ ́ ́ ̉ ̉ ở 2 lơp thuôc khôi 12 tr ́ ̣ ́ ường? ?THPT? ?Ham Rông