Chọn mẫu và phân phối mẫu
Chương 5CHỌN MẪU VÀ PHÂN PHỐI MẪU1. Chọn mẫu từ một tổng thể1.1 Tổng thểTổng thể là tập hợp tất cả các đối tương mà ta quan tâm nghiên cứu trong một vấn đề nào đó. Số phần tử của tổng thể được ký hiệu là N. - Nếu N là số hữu hạn ta có tổng thể hữu hạn- Nếu N là số vô hạn ta có tổng thể vô hạn1.2 MẫuMẫu là tập hợp con của tổng thể. Số phần tử của mẫu ký hiệu là n (cỡ mẫu).1.2.1 Mẫu ngẫu nhiênMẫu được gọi là mẫu ngẫu nhiên nếu nó được chọn một cách nào đó để đảm bảo tính khách quan, ngẫu nhiên.1.2.2 Phân loại mẫu theo phương pháp chọn mẫu1.2.2.1 Mẫu không hoàn lại: Là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát thì loại khỏi tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theo1.2.2.2 Mẫu hoàn lại: Là mẫu được chọn bằng cách phần tử đã lấy ra quan sát được bỏ trở lại tổng thể rồi mới lấy phần tử tiếp theoVí dụ 1: Khi nghiên cứu về số cá trong một ao cá thì số cá trong ao là kích thước của tổng thể.Nếu từ ao ta bắt lên 5 con cá thì ta được một mẫu không hoàn lại, kích thước 5Nếu từ ao ta bắt lên một con cá sau đó thả xuống ao mới bắt tiếp con khác, tiến hành như vậy 5 lần thì ta được một mẫu có hoàn lại, kích thước 5.1.2.3 Phân loại mẫu theo mục đích nghiên cứu1.2.3.1 Mẫu định tính: Là mẫu mà ta chỉ quan tâm đến các phần tử của nó có một tính chất A nào đó không1.2.3.2 Mẫu định lượng: Là mẫu mà ta quan tâm đến một yếu tố về lượng của các phần tử như khối lượng, chiều dài, nhiệt độ,…2. Chọn mẫu ngẫu nhiên đơn giảnĐó là cách chọn n phần tử từ tập hợp chính gồm N phần tử sao cho mỗi tổ hợp trong nNCtổ hợp đều có cùng khả năng được chọn như nhau. Kết quả của việc chọn này cho ta các mẫu ngẫu nhiên (random sample).1 Ví dụ 2: Một kệ chứa các đĩa nhạc với giá như sauGiá ( ngàn VNĐ) 20 25 30 35 40Số đĩa 35 10 25 17 13Xét tổng thể về mặt định lượng:*Lấy ngẫu nhiên 1 đĩa nhạc trong kệGọi X là giá của đĩa nhạc này. Ta thấy X có quy luật ppxs như sau:X 20 25 30 35 40P 0.35 0.10 0.25 0.17 0.13* Lấy ngẫu nhiên ( có hoàn lại) 4 đĩa nhạc từ trong kệGọi Xi là giá của đĩa nhạc thứ i lấy được i=1,…,4Ta thấy các Xi độc lập và có cùng quy luật ppxs giống như XLập WX= ( X1, X2, X3, X4), gọi là mẫu ngẫu nhiên.3. Phân phối mẫu Các mẫu đều có các đặc trưng thống kê của mẫu như số trung bình X , phương sai 2XSPhân phối xác suất của các đặc trưng thống kê của mẫu được gọi là phân phối mẫu4. Phân phối mẫu của trung bình mẫuPhân phối mẫu của số trung bình của mẫu là phân phối xác suất của đại lượng X.4.1 Kỳ vọng của số trung bình mẫuLà giá trị trung bình của tổng thể Xµ. Nói cách khác, phân phối mẫu của X có số trung bình là Xµ.XE(X) = µVới trung bình Nii 1XXN=µ =∑ và phương sai Ni2i 1X(X )N=−µσ =∑Ví dụ 3: Giả sử tập hợp chính gồm 5 học sinh có số tuổi là 2, 4, 6, 8 và 10. Trong trườnghợp này số trung bình của tập hợp chính sẽ là Xµ = 1/5(2+4+6+8+10) = 6.Giả sử lấy mẫu ngẫu nhiên không hoàn lại với cỡ mẫu là 2. Ta sẽ có 25C= 10 mẫu khác nhau (với cỡ mẫu là 2). Và mỗi mẫu sẽ có số trung bình của mẫu X như sau :Mẫu 2,4 2,6 2,8 2,10 4,6 4,8 4,10 6,8 6,10 8,10X3 4 5 6 5 6 7 7 8 9Phân phối mẫu của số trung bình X là :(Phân phối xác suất của đặc trưng thống kê của mẫu X)Mẫu 3 4 5 6 7 8 9 10X0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.12 Kỳ vọng của X là XE(X) 6= µ =4.2 Phương sai của số trung bình mẫua) Trường hợp tổng thể vô hạnPhương sai của số trung bình mẫu X được ký hiệu là 2Xσ22XXVar(X)=nσσ =b) Trường hợp tổng thể hữu hạnVới 2Xσlà phương sai của tập hợp chính, n là cỡ mẫu.22XXN nVar(X)=n N 1σ − σ = − Ví dụ 4: Tính phương sai của X trong Ví dụ 34.3 Độ lệch chuẩn của số trung bình mẫuĐộ lệch chuẩn của Xđược ký hiệu ( )XσXX Xnσσ = σ = Đối với tổng thể vô hạnHayXXN nN 1nσ−σ =−Đối với tổng thể hữu hạn4.4 Lấy mẫu từ tổng thể tuân theo phân phối chuẩn4.4.1 Luật phân phối của số trung bình mẫuNếu tổng thể của biến X tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là Xµ và phương sai Xσthì số trung bình mẫu Xsẽ tuân theo phân phối chuẩn với số trung bình là Xµ và phương sai là 2X/ nσ.22XX X XX ~ N( , ) X ~ N( , )nσµ σ ⇒ µ4.4.2 Chuẩn hóa số trung bình mẫuĐặt XXXZ−µ=σNếu Xcó số trung bình là Xµ và phương sai là 2Xσthì Z có số trung bình là 0 và phương sai là 1.Nếu 2XXX ~ N( , ) Z ~ N(0,1)µ σ ⇒3 4.4.3 Định lý giới hạn trung tâmKhi n lớn thì XXXZ/ n−µ=σ sẽ gần đúng phân phối chuẩn chuẩn hóa hay X có phân phối chuẩn với số trung bình là Xµ và phương sai là 2X/ nσKhi n lớn 2XXZ ~ N(0,1)hay X ~ N ,n σ⇒ µ Ví dụ 5: Chiều dài của các cây thước kẻ trong dây chuyền sản xuất thước tuân theo phân phối chuẩn với µ = 30cm. Độ lệch chuẩn xung quanh số trung trung bình là σ= 0,1cm. Nhân viên thanh tra lấy mẫu với cỡ mẫu n = 4 và nhận thấy số trung bình của mẫu là X = 29875 cm. Tìm xác suất để số trung bình của mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 29875cm.Ví dụ 6: Một nhà sản xuất phụ tùng xe ôtô cho biết tuổi thọ của phụ tùng xe tuân theo luật phân phối chuẩn với số trung bình là 36.000 dặm và độ lệch chuẩn là 4.000 dặm. Đối với một mẫu được chọn một cách ngẫu nhiên với cỡ mẫu là 16 thì tuổi thọ trung bình của mẫu là 34.500 dặm. Nếu nhà sản xuất nói đúng thì xác suất để số trung bình mẫu nhỏ hơn hoặc bằng giá trị của mẫu đã đo là bao nhiêu.5. Phân phối mẫu của phương sai mẫu5.1 Kỳ vọng của phương sai mẫuPhương sai mẫu ký hiệu là 2XSn2 2X ii 11S (X X)N 1== −−∑Kỳ vọng của phương sai mẫu ( )2XE Schính là phương sai của tổng thể 2Xσ. Nói cách khác, phân phối mẫu của 2XS có số trung bình là 2Xσ.( )2 2X XE S = σĐiều kiện: n <<N5.2 Phương sai của phương sai mẫuPhương sai của phương sai mẫu được ký hiệu Var(2XS).Var(2XS) tùy thuộc vào luật phân phối của tổng thể. Nếu tổng thể tuân theo phân phối chuẩn thìVar(2XS)4X2n 1σ=−5.3 Luật phân phối của 22X2X(n 1)S(n 1)−= χ −σNếu tổng thể có phân phối chuẩn thì ta có 4 2n2Xi2 2i 1X X(n 1)S 1(X X) ~ (n 1).=−= − χ −σ σ∑Ví dụ 7: Một nhà sản xuất sữa hộp muốn trọng lượng trung bình của các hộp sữa sản xuất ra phải gần bằng trọng lượng đã được quảng cáo. Giả sử phân phối trọng lượng của tập hợp chính tuân theo phân phối chuẩn. Nếu lấy ngẫu nhiên 20 hộp đem đi kiểm tra. Tìm 2 số K1 và K2 sao cho :a) 2X12XSP K 0,05 < = σ b) 2X22XSP K 0,05 > = σ 6. Phân phối mẫu của tỷ lệ mẫu6.1 Tỷ lệ mẫu Gọi f là tỷ lệ mẫu thì ta có f = m/nn: cỡ mẫum: số phần tử có tính chất A quan tâm trong mẫu6.2 Kỳ vọng và phương sai của tỷ lệ mẫuGiả sử F là tỉ lệ mẫu tổng quát, đặt Xi =1 nếu phần tử thứ i có tính chất A và 0 nếu trái lại.Nếu tổng thể có tỷ lệ p thì E(F)= p và Var(F) =pqn.6.3 Luật phân phối của tỷ lệ mẫuPhân phối mẫu của tỷ lệ mẫu có thể được xẩp xỉ bởi phân phối chuẩn khi cỡ mẫu là đủ lớn*np 5*n(1 p) 5≥− ≥pqF ~ N p,n 5 . 2XSPhân phối xác suất của các đặc trưng thống kê của mẫu được gọi là phân phối mẫu4 . Phân phối mẫu của trung bình mẫuPhân phối mẫu của số trung bình của mẫu. E(F)= p và Var(F) =pqn.6.3 Luật phân phối của tỷ lệ mẫuPhân phối mẫu của tỷ lệ mẫu có thể được xẩp xỉ bởi phân phối chuẩn khi cỡ mẫu là đủ lớn*np 5*n(1 p) 5≥−