Hai tiếp cận khác nhau về bài toán mở

Bài báo trình bày hai cách tiếp cận cho phép khái quát hóa các xu hướng nghiên cứu chủ yếu về bài toán mở ở nhiều nước trên thế giới cũng như ở Việt Nam và làm rõ các đặc trưng cơ bản của đối tượng này. Bài báo cũng chỉ ra một số khó khăn, bất cập thể hiện trong các cách tiếp cận và một phần thực trạng nghiên cứu bài toán mở ở Việt Nam.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GỊN SAIGON UNIVERSITY TẠP CHÍ KHOA HỌC SCIENTIFIC JOURNAL ĐẠI HỌC SÀI GÒN OF SAIGON UNIVERSITY Số 70 (04/2020) No 70 (04/2020) Email: tcdhsg@sgu.edu.vn ; Website: http://sj.sgu.edu.vn/ HAI TIẾP CẬN KHÁC NHAU VỀ BÀI TOÁN MỞ Two different approaches to the open problem PGS.TS Lê Văn Tiến(1), Phạm Thị Hoài Thương(2) (1) Trường Cao đẳng Sư phạm Trung ương TP.HCM Trường THCS-THPT Trần Cao Vân, TP.HCM (2) TĨM TẮT Bài báo trình bày hai cách tiếp cận cho phép khái quát hóa xu hướng nghiên cứu chủ yếu toán mở nhiều nước giới Việt Nam làm rõ đặc trưng đối tượng Bài báo số khó khăn, bất cập thể cách tiếp cận phần thực trạng nghiên cứu toán mở Việt Nam Từ khóa: tốn mở, tốn kết thúc mở, phân loại toán mở ABSTRACT The paper presents two approaches that allow generalization of major research trends on open problems in many countries of the world as well as in Vietnam and clarify the essential characteristics of this object Additionally, the article also highlights some of the difficulties and inadequacies expressed in approaches and part of the current open problem research situation in Vietnam Keywords: open problem, open-ended problem, classification of open problems hợp khái niệm liên quan Từ nhiều cơng trình nghiên cứu BTM nước ngồi, phương pháp phân loại hệ thống hóa lí thuyết, chúng tơi trình bày cách tổng quan hệ thống khái niệm BTM, vấn đề gắn với BTM Kết cho phép nhìn rõ quan niệm xu hướng nghiên cứu BTM Việt Nam Sơ lược lịch sử toán mở Theo Pehkonen (1997, tr.7): Phương pháp sử dụng toán kết thúc mở (open-ended problem)1 lớp học để thúc đẩy tranh luận toán học – phương pháp gọi "tiếp cận mở", phát triển Nhật Bản vào năm Đặt vấn đề Nhiều nghiên cứu giới tầm quan trọng toán mở (BTM) dạy học toán từ bậc tiểu học tới đại học Hai trích dẫn sau thể kết luận sống động lợi ích BTM: “Ai gieo tốn mở gặt hái niềm vui trường” (Mathieu, 2010) “Bài toán kết thúc mở: Một phương pháp để đổi giáo dục” (Pehkonen, 1999) Bài toán kết thúc mở loại BTM Ở Việt Nam, có khơng tác giả nghiên cứu toán mở (BTM) Tuy nhiên, tác giả đề cập BTM góc nhìn, quan niệm chun biệt Thậm chí có tác giả sử dụng chưa phù Email: tienlevan@ncehcm.edu.vn 24 LÊ VĂN TIẾN - PHẠM THỊ HỒI THƯƠNG TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN 1970, thể qua cơng trình Shimada (1977) Gần lúc Anh, việc sử dụng điều tra, khảo sát - loại BTM, trở nên phổ biến dạy học toán sau phổ biến rộng rãi Cockcroft (1982) Vào năm 1980, ý tưởng sử dụng số dạng BTM lớp học lan rộng khắp giới việc nghiên cứu khả vận dụng xuất nhiều quốc gia, thể qua cơng trình Nohda (1988), Pehkonen (1989, 1995), Silver & Mamona (1989), Williams (1989), Mason (1991), Nohda (1991, 1995), Stacey (1991, 1995), Zimmermann (1991), Clarke & Sullivan (1992), Silver (1993, 1995) Ở số quốc gia, người ta sử dụng tên khác cho BTM; chẳng hạn Hà Lan, gọi "toán học thực tế" (Treffers, 1991) Tư tưởng sử dụng BTM dạy học toán trường phổ thông đưa vào chương trình số nước, hình thức hay hình thức khác Ví dụ, chương trình tốn trường Polyvalente Hamburg (Đức), khoảng 1/5 thời gian giảng dạy để trống nhằm khuyến khích sử dụng hoạt động toán học dạng BTM (Anon, 1990) Ở California (Mỹ), chương trình u cầu: ngồi kiểm tra trắc nghiệm thông thường, nên sử dụng BTM đánh giá (Anon, 1991) Ở Úc, số BTM (ví dụ, dự án khảo sát) sử dụng đánh giá cuối kì kể từ cuối năm 1980 (Stacey, 1995) Trong năm cuối kỉ 19, có viết phản biện việc sử dụng toán kết thúc mở Chẳng hạn, nhà tốn học Mỹ viết báo hồi nghi việc học toán với BTM loại BTM sử dụng trường học California (Wu, 1994) Trong họp, Paul Blanc trích gay gắt việc thực khảo sát trường học Anh (Blanc & Sutherland, 1996) Ông đổ lỗi cho giáo viên phát triển kiểu giám sát học để giải điều tra, khảo sát Hiện nay, yêu cầu sử dụng BTM diện tường minh ngầm ẩn chương trình phổ thơng nhiều nước Chẳng hạn, sau nghiên cứu chương trình từ tiểu học tới trung học phổ thơng hành Cộng hịa Pháp, Vandebrouc et al (2015, tr.3) khẳng định dù thuật ngữ BTM khơng xuất tường minh chương trình, tất dẫn có chương trình liên quan tới việc giải tốn tương thích với loại toán Hơn thế, trang https://eduscol education.fr/ Bộ Giáo dục quốc gia Thanh niên Pháp có nhiều thơng tin, chí tài ngun BTM Hai cách tiếp cận toán mở Theo Vandebrouck et al (2014): “Trong khoa học toán học, thuật ngữ toán mở thường dùng để toán mà suốt thời gian dài chưa có lời giải, định lý cuối Fermat”2 (tr.7) Còn phạm vi giáo dục, “Thuật ngữ tốn mở có nguồn gốc từ Nhật Bản từ năm 1970, cơng trình Shimada (1977), Becker (1997) với mục tiêu cải cách dạy học toán dựa tiếp cận mở thực tế dạy học Tuy nhiên, cộng đồng nhà nghiên cứu giáo dục tốn, khơng có quan niệm chung khái niệm tốn mở” (tr.8) Nói cách khác, phạm vi dạy học tốn, khơng thể đưa định nghĩa cách xếp loại thống chung cho tất quan niệm BTM Tuy nhiên, phạm vi báo này, 25 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 70 (04/2020) tiến hành phân tích tổng hợp số tài liệu, cơng trình biết BTM để xếp quan niệm khác BTM vào hai loại, mà gọi hai cách tiếp cận: tiếp cận nội dung (dựa vào đặc trưng nội dung toán) tiếp cận mục tiêu (dựa vào mục tiêu sử dụng toán) Cần lưu ý rằng, hai cách tiếp cận không độc lập với nhau; dạng BTM thuộc cách tiếp cận hệ dạng khác thuộc cách tiếp cận Đơn giản chúng phân định dựa hai hệ tiêu chí khác nhau, phụ thuộc lẫn 3.1 Quan niệm toán mở theo tiếp cận nội dung 3.1.1 Khái niệm tốn đóng tốn mở Cách tiếp cận xuất phát từ hai khái niệm sở: khái niệm tốn đóng (BTĐ) khái niệm BTM Chẳng hạn, Pehkonen (1997) định nghĩa: “Khái niệm tốn mở giải thích sau: bắt đầu ngược lại nói tốn tốn đóng tình trạng khởi đầu (starting situation) tình trạng mục tiêu (goal situation) đóng, nghĩa xác định xác (exactly explained) Nếu tình trạng khởi đầu tình trạng mục tiêu mở, tức khơng đóng, ta có tốn mở” (tr.8) Đồng quan niệm với Pehkonen (1997), Kosyvas (2010) mô tả chi tiết hơn: “Khái niệm tốn mở giải thích sau: tốn tốn đóng tình trạng khởi đầu (situation initiale) tình trạng kết thúc (situation finale) xác định rõ Một toán xác định rõ ràng liệu ban đầu, ràng buộc mục tiêu nêu cách rõ ràng đủ để giải vấn đề (de faỗon explicite et opộrationnelle)3 T bi, ngi gii cú tất yếu tố tiêu chí cụ thể rõ ràng để xem xét tiến trình giải, mà tự xác định chúng (Tardif, 1997; Jonassen, 1997) Nếu tình trạng khởi đầu tình trạng cuối mở, có tốn mở” (tr.46); “Trong tốn mở, câu hỏi trình bày rõ ràng cấp độ ngữ pháp – biên tập Ngược lại, cấp độ ngữ nghĩa lại có nhập nhằng (ambigụté)4 câu hỏi” (tr.47) Cái khác biệt hai tác giả mặt thuật ngữ: Kosyvas dùng từ finale (thiên nghĩa: cuối cùng), Pehkonen dùng từ goal (mục tiêu) Dựa vào Pehkonen (1997) Kosyvas (2010) hiểu: “Tình trạng khởi đầu” bao hàm liệu ràng buộc ban đầu có tốn Tình trạng khởi đầu đóng liệu ràng buộc ban đầu xác định rõ ràng, cụ thể đầy đủ Đầy đủ theo nghĩa người giải đủ thông tin để giải tốn, mà khơng cần điều chỉnh hay bổ sung thông tin vào liệu hay ràng buộc ban đầu Tình trạng khởi đầu mở (nghĩa khơng đóng) liệu ràng buộc ban đầu chưa xác định rõ ràng, cụ thể chưa đủ để giải toán Để giải toán, người giải cần điều chỉnh bổ sung thông tin vào liệu ràng buộc ban đầu “Tình trạng mục tiêu” (hay tình trạng kết thúc) bao hàm: yêu cầu cần giải hay câu hỏi cần trả lời, phương pháp giải toán, kết giải… dựa vào liệu ràng buộc ban đầu 26 LÊ VĂN TIẾN - PHẠM THỊ HỒI THƯƠNG TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GỊN Tuy nhiên, cịn có khó khăn liên quan tới nghĩa khái niệm “tình trạng mục tiêu” Cụ thể, cơng trình mà chúng tơi tham khảo cho báo (kể Pehkonen, 1997 Kosyvas, 2010), khơng có cơng trình cho phép hiểu cách xác: Thế “tình trạng mục tiêu”? Tình trạng mục tiêu cịn bao hàm khác (ngoài yêu cầu cần giải quyết, câu hỏi cần trả lời, giải pháp cần thực hiện, kết đạt được)? Thế “tình trạng mục tiêu mở” (nghĩa khơng đóng)? 3.1.2 Phân loại tốn mở theo tiếp cận nội dung Ngay sau cho định nghĩa BTM mục 2.1.1 trên, Pehkonen (1997) giải thích: “Theo định nghĩa này, có ba loại tốn mở (open problems), mà số tốn kết thúc mở (open-ended problems)” (tr.8) Nói cách khác, Pehkonen phân biệt loại BTM tương ứng với ba cặp quan hệ Tình trạng mục tiêu (M) Tình trạng khởi đầu (K) Đóng (Được xác định xác) Mở tình trạng khởi đầu (K) tình trạng mục tiêu (M), là: (K đóng, M mở); (K mở, M đóng); (K mở, M mở) Đặc biệt hơn, Pehkonen (1997, tr.8) cho rằng, quan niệm BTM mục 3.1.1 bao hàm loại vấn đề đưa bàn cãi Hội thảo tâm lí học giáo dục toán học, diễn vào tháng 7/1993 Tsukuba (Nhật Bản) tranh luận “thế tốn mở” Đó vấn đề thể tên gọi khác khảo sát, điều tra (investigations), lập tốn (problem posing), tình thực tế (real-life situations), dự án (projects), chuỗi toán (problem fields, or problem sequences), tốn khơng có câu hỏi (problems without question), Biến thể toán (problem variations) Nói cách khác, tất vấn đề BTM Pehkonen (1997, tr.9) tóm tắt quan điểm qua bảng đây, mà ông gọi “Phân loại tốn theo tình trạng khởi đầu tình trạng mục tiêu”: Đóng (Được xác định xác) - Bài tốn đóng - Tình thực tế - Biến thể toán 27 Mở - Bài toán kết thúc mở Tình thực tế Khảo sát điều tra Chuỗi tốn Biến thể tốn - Tình thực tế Biến thể toán Dự án Lập BT (Problem Posing) SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 70 (04/2020) SGK đó” 3.2 Quan niệm tốn mở theo tiếp cận mục tiêu Trong quan niệm này, lại ghi nhận hai cách tiếp cận mục tiêu khác nhau: Quan niệm theo mục tiêu phát triển người học thái độ lực nghiên cứu (chúng gọi tắt “mục tiêu phát triển lực nghiên cứu”) Quan niệm theo mục tiêu phát triển người học lực tạo lập toán từ “tình khung” ban đầu (chúng tơi gọi tắt “mục tiêu lập toán”) 3.2.1 Quan niệm toán mở theo tiếp cận mục tiêu phát triển lực nghiên cứu Bài toán mở (BTM) hiểu toán nhắm tới phát triển người học thái độ lực nghiên cứu Đó lực có tính phương pháp đặt câu hỏi, thực thử nghiệm, đưa giả thuyết, đoán kiểm chứng chúng, triển khai thực kế hoạch cá nhân, đánh giá hiệu giải pháp, kết quả… lí giải giải pháp người khác.v.v Sau số minh chứng cho nhận định chúng tơi: “Bài tốn mở tốn mà việc giải khơng nhằm mục tiêu đưa vào khái niệm để củng cố hay áp dụng kiến thức học, mà để phát triển học sinh sở thích lực nghiên cứu” (Stéphanie, 2010, tr.11) “Bài toán mở gọi toán để khám phá (problèmes pour chercher) […] Nó đặt học sinh vào tình tương tự nhà toán học gặp vấn đề chưa biết cách giải Bài toán mở cho phép phát triển lực mặt phương pháp […] thử nghiệm, đưa giả thuyết, đoán kiểm chứng chúng, Nhận xét: Khái niệm BTM Pehkonen có nghĩa rộng, khơng bó hẹp phạm vi trường học, với nhiều kiểu vấn đề khác Tuy nhiên, phạm vi báo không cho phép sâu nghiên cứu đặc trưng tất loại vấn đề Chúng tập trung vào khái niệm: BTĐ, BTM toán kết thúc mở Theo bảng phân loại Pehkonen, toán kết thúc mở thuộc loại (K đóng, M mở) Tuy nhiên, theo chúng tơi, tốn kết thúc mở bao hàm trường hợp (K mở, M mở)5 Nhận định phù hợp cách phân loại BTM theo đặc trưng K M với quan niệm số tác giả khác, chẳng hạn: “Các toán kết thúc mở thường coi nhiệm vụ có nhiều giải pháp chúng cung cấp cho sinh viên nhiều cách tiếp cận toán” (Chan Chun Ming Eric, 2005, tr.2) Một câu hỏi khác cần đặt là: Liệu có BTM dạng (K mở, M đóng) khơng? Vì thường ta suy luận rằng, K mở tất yếu M mở! Theo chúng tôi, câu trả lời “có” Ví dụ, xét tốn sau, Bùi Huy Ngọc (2004, tr.24) xem BTM phía giả thiết tức K mở: “Đầu năm học, bố mẹ cho em mua toàn sách giáo khoa (SGK) lớp Tính tổng số tiền bố mẹ cho em để mua số SGK đó” Rõ ràng K mở, giả thiết tốn cịn dạng khái qt, chưa cụ thể Để giải, học sinh phải cụ thể hóa giả thiết cách tìm hiểu để bổ sung thơng tin (bộ sách gồm nào? giá tiền cuốn) Nhưng M tốn có đặc trưng “đóng”, u cầu hồn tồn rõ ràng, xác: “tính tổng số tiền… để mua số 28 LÊ VĂN TIẾN - PHẠM THỊ HỒI THƯƠNG TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN triển khai thực kế hoạch cá nhân; đánh giá hiệu quả, lí giải giải pháp học sinh khác.v.v […] Bài toán mở cho phép điều chỉnh thái độ học sinh với toán học Quả thực, toán buộc học sinh phải khám phá tìm nhanh lời giải” (Mathieu, 2010, tr.5) “Mục tiêu tốn mở đặt học sinh vào vị trí nhà nghiên cứu toán học Nghĩa đặt học sinh vào tình học tập dẫn đến việc thực phép thử, đoán, kiểm chứng, chứng minh…” (Arsac et Mante, 2007, trích theo Vandebrouck et al, 2014, tr.5) Charnay (1992) đề xuất phân loại, giải thích sau theo mục tiêu học tập để phân biệt BTM với loại BT khác: “Các toán nhằm dẫn học sinh vào việc kiến tạo kiến thức (thường gọi “tình - vấn đề”); Các toán cho phép học sinh sử dụng kiến thức học (thường gọi “bài toán tái đầu tư”); Các toán cho phép học sinh mở rộng phạm vi sử dụng khái niệm học (đơi gọi “bài tốn chuyển giao”, thuật ngữ mơ hồ); Các tốn phức tạp học sinh phải sử dụng đồng thời nhiều loại kiến thức (đôi gọi “bài tốn tích hợp tổng hợp”); Các tốn có mục tiêu cho phép giáo viên học sinh nắm bắt cách thức nắm vững kiến thức (“bài toán đánh giá”); Các toán nhằm đặt học sinh vào tình nghiên cứu để phát triển lực có tính phương pháp (“bài toán mở”) […] Phân loại làm rõ đặc trưng toán mở Tất loại toán khác tập trung vào việc tiếp thu nắm vững khái niệm toán học Riêng toán mở, chủ yếu nhằm phát triển thái độ nghiên cứu lực có tính phương pháp như: thực quản lý phép thử, đưa giả thuyết, đề xuất giải pháp, kiểm tra tính hợp thức chúng, lập luận ” Nhận xét: Theo quan niệm BTM theo tiếp cận mục tiêu phát triển lực nghiên cứu trên, tất toán cho phép đạt mục tiêu phát triển học sinh thành tố lực nghiên cứu BTM Tuy nhiên, điều lại dẫn tới số khó khăn, chẳng hạn: Khó khăn phân biệt loại tốn phân loại Charnay Ví dụ, tốn dạng “tình - vấn đề” hay tốn chuyển giao cho phép phát triển HS số thành tố lực nghiên cứu! Khó khăn thiết kế toán cho phép đạt mục tiêu Nói cách khác, tốn cần có đặc trưng (hiểu theo khía cạnh nội dung: giả thiết, kết luận… phải nào?) Điều buộc phải xác định tốn theo tiếp cận nội dung Có thể xuất phát từ khó khăn mà nhóm nghiên cứu Arsac et Mante, thuộc Viện nghiên cứu dạy học toán (IREM) Lyon, Pháp đề nghị tiêu chí sau BTM (dù rằng, nhóm quan niệm BTM theo tiếp cận mục tiêu nghiên cứu): “Một tốn mở tốn có đặc điểm sau: Đề ngắn Đề khơng có gợi ý phương pháp, lời giải hay kết (không có câu 29 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 70 (04/2020) hỏi trung gian câu hỏi kiểu “chứng minh rằng”) Trong trường hợp, lời giải kết việc áp dụng tức kiến thức học Bài toán thuộc lĩnh vực nhận thức quen thuộc để đảm bảo cho học sinh hiểu tình thực phép thử, đoán, giải pháp giải, phản ví dụ” (Arsac et Mante, 2007, tr.20) Như vậy, để đạt mục tiêu phát triển lực nghiên cứu, Arsac et Mante đặt đặc trưng nội dung cho BTM (tiếp cận nội dung) Đây minh chứng cho thấy, BTM theo tiếp cận nội dung BTM theo tiếp cận mục tiêu không hoàn toàn độc lập, mà phụ thuộc lẫn 3.2.2 Quan niệm toán mở theo tiếp cận mục tiêu “lập tốn” Vì khó khăn nguồn tài liệu nên chúng tơi mơ tả sơ lược mà sâu vào cách tiếp cận Kosyvas (2010) mô tả quan niệm BTM theo mục tiêu “lập toán” (Problem Posing) sau: “Một quan niệm khắt khe toán mở gọi “lập toán” (Silver, 1994; Crespo, 2003; Cickyham, 2004) Lập toán hướng học sinh vào quy trình mở hơn, quy trình nghiên cứu tạo toán sở "tình khung" Tình khung phạm vi tham khảo ban đầu, từ học sinh khuyến khích dùng trí tưởng tượng để đặt câu hỏi, nêu lên vấn đề có giải pháp toán học Trong lập toán, học sinh làm theo động riêng (Brown Walter, 1983) Từ góc độ giảng dạy, hoạt động lập toán dẫn tới nhiều chủ đề thiết yếu liên quan đến hiểu biết, khả thái độ học sinh trở thành công cụ đánh giá tốt” (tr.47) Các toán mở nghiên cứu Việt Nam Ở Việt Nam, theo tìm hiểu chúng tơi, chưa có nghiên cứu BTM có tính khái qt hệ thống, thể phân biệt rạch ròi cách tiếp cận Hầu hết nghiên cứu đề cập khía cạnh, yếu tố quan niệm phân loại theo tiếp cận nội dung Pehkonen.E Có tác giả đầu quan niệm BTM có đặc trưng theo tiêu chí Arsac et Mante (2007)6, lại phân loại theo quan niệm Pehkonen (1997) đặc biệt không sử dụng BTM triệt để theo mục tiêu phát triển lực nghiên cứu Arsac et Mante Trong tất nghiên cứu, “tình trạng khởi đầu” (K) hiểu giả thiết tốn Ngược lại, “tình trạng mục tiêu” (M) lại hiểu khác Đặc biệt, khái niệm kết luận toán dùng cách tự nhiên mà khơng có giải thích Nói cách khác, hiểu “thế kết luận?” vấn đề gây trang cãi Bảng sau trình bày định nghĩa chủ yếu BTM nghiên cứu Việt Nam Ở cột thứ hai bảng nhận xét đặc trưng BTM “tình trạng mục tiêu” (M) ứng với quan niệm cột thứ nhất: 30 LÊ VĂN TIẾN - PHẠM THỊ HỒI THƯƠNG TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Quan niệm Đặc trưng toán M “Bài tập mở dạng tập điều phải tìm khơng nêu lên cách tường minh, người ta phải tìm chứng minh tất kết có, phải đoán nhận, phát kết luận cần chứng minh” (Tơn Thân, 1995) - BTM ≡ tốn kết thúc mở (tức M mở) - M kết cần tìm (hiểu kết giải) “Bài tốn mở hiểu toán mà đáp số khơng - BTM ≡ tốn kết thúc phải nhất, có nhiều phương án khác để giải mở với kết khác nhau” (Bùi Văn Nghị, 2009) - M kết giải, phương pháp giải “Bài tốn đóng tốn có giả thiết kết luận phát biểu cách đầy đủ, rõ ràng, đồng thời người học cần tìm lời giải” “Bài tốn mở tốn có câu trả lời yếu tố giả thiết kết luận tốn đóng câu trả lời nhiều lời giải khác tốn đóng” (Nguyễn Sơn Hà, 2014) - Khó giải thích BTM theo quan niệm - M kết luận toán, phương pháp giải, kết - Kết luận ≡ Yêu cầu cần thực - Có dạng BTM “Bài tốn mở có tính chất: a) tốn ngắn, dễ hiểu thuộc lĩnh vực nhận thức quen thuộc học sinh; b) tốn khơng quy việc áp dụng trực tiếp thuật toán hay thủ thuật giải biết, khơng có hướng dẫn phương pháp giải nội dung lời giải, đó, tốn khơng có câu hỏi chứng minh; c) Người giải phải vận hành thao tác mị mẫm, dự đốn, biện luận phải lựa chọn, điều chỉnh thêm giả thiết mới… tìm đầy đủ lời giải kết quả” - Một biến thể quan niệm Arsac et Mante (2007) - M kết luận, khơng giải thích rõ kết luận - Có dạng BTM “Bài tốn mở mà học sinh có tham gia vào việc xây dựng giả thiết hay phải lựa chọn, điều chỉnh thêm giả thiết tốn mở phía giả thiết”, “Bài tốn mở mà giải phải mị mẫm, dự đoán, biện luận nhiều trường hợp tốn mở phía kết luận” (Nguyễn Văn Bàng, 1997, dùng lại Bùi Huy Ngọc, 2004) Một số nghiên cứu khác Hoa Ánh Tường (2011), Trương Khánh Phương (2011)… nghiên cứu tốn kết thúc mở thuộc dạng (K mở, M mở) Về xếp loại BTM, có hai xu hướng xếp loại chủ yếu sau: - Bài tốn mở phía giả thiết, tốn mở phía kết luận, BTM giả thiết 31 SCIENTIFIC JOURNAL OF SAIGON UNIVERSITY No 70 (04/2020) kết luận Chẳng hạn, xếp loại Bùi Huy Ngọc (2004) - BTM phía giả thiết, BTM phía kết luận, BTM giả thiết kết luận, BTM lời giải (có nhiều lời giải khác nhau) Chẳng hạn, xếp loại Nguyễn Sơn Hà (2014) Hình thức “lập tốn” vài tác giả xem cách thiết kế BTM, chí có tác giả xếp vào dạng BTM phía giả thiết Kết luận Phân loại theo hai cách tiếp cận cho nhìn rõ xu hướng nghiên cứu BTM, đặc trưng BTM cách tiếp cận Tuy nhiên, để có sở lí luận chặt chẽ rõ ràng hơn, cần khắc phục bất cập thể cách tiếp cận Chẳng hạn, cách tiếp cận nội dung (dựa vào đặc trưng nội dung tốn), cần thiết có câu trả lời xác cho câu hỏi: Thế tình trạng mục tiêu? Tình trạng mục tiêu bao hàm yếu tố nào? Còn theo tiếp cận mục tiêu (dựa vào mục tiêu sử dụng toán) nhằm phát triển lực nghiên cứu, ngồi tiêu chí xác định BTM Arsac et Mante (2007), cịn có hệ tiêu chí khác? Chú thích Bài báo trích dẫn số thuật ngữ gốc từ tiếng Anh tiếng Pháp, tùy theo cơng trình tham khảo trình bày ngôn ngữ Anh Pháp Định lý chứng minh vào năm 1993 Còn giải thuyết Goldbach, đến chưa có câu trả lời, dạng BTM theo nghĩa Theo từ điển Le petit Larousse (1999): “Opérationnelle: Qui est prêt entrer en activité, réaliser parfaitement une, des opérations” Theo từ điển Le Petit Larousse (1999), thuật ngữ ambigụté giải thích là: lập lờ, nước đơi; hiểu theo cách khác Một điều ngạc nhiên khác là: công bố khác, Pehkonen lại có quan niệm hồn tồn khác Cụ thể, ông định nghĩa: “Các nhiệm vụ (Tasks) cho mở, tình trạng khởi đầu tình trạng mục tiêu chúng khơng cho cách xác […] Các toán kết thúc mở nhiệm vụ mở vậy” (Pehkonen, 1999, tr.57) Nếu theo mô tả này, hai khái niệm BTM BT kết thúc mở đồng nhất! Sự không quán nguyên nhân khác biệt quan niệm BTM BT kết thúc mở không cơng trình có tham chiếu vào nghiên cứu Pehkonen Như làm rõ trên, Arsac et Mante (2007) quan niệm BTM theo tiếp cận mục tiêu phát triển lực nghiên cứu, lại đề tiêu chí cụ thể nội dung cho BTM TÀI LIỆU THAM KHẢO Arsac, G, & Mante, M (2007) Les pratiques du problème ouvert IREM de Lyon, CRDP, Villeurbanne Bùi Huy Ngọc (2004) Bài tốn mở phía giả thiết tốn mở phía kết luận Tạp chí Nghiên cứu giáo dục số 32 LÊ VĂN TIẾN - PHẠM THỊ HỒI THƯƠNG TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC SÀI GÒN Bùi Văn Nghị (2009) Vận dụng lí luận vào thực tiễn giảng dạy mơn Tốn trường phổ thông NXB Đại học Sư phạm Hà Nội Charnay, R (1992) Problème ouvert – problème pour chercher Grand N n°51 Chan Chun Ming Eric (2005), Using Open-Ended Mathematics Problems A Classroom Experience (Primary) Proceedings of the Redesigning pedagogy: research, policy, practice conference, Singapore, May - June 2005 Kosyvas, G (2010) Problèmes ouverts: Notion, catégogies et difficultés Annales de didactique et de sciences cognitives, volume 15, p 45 – 73 IREM de STRASBOURG Le Petit Larousse Edition Larousse – Bordas 1999 Mathieu, A (2010) Qui sème le problème ouvert récolte le plaisir scolaire Retrieved from http://irem.univ-reunion.fr/spip.php?article114 Nguyễn Sơn Hà (2014) Phát triển tư độc lập tư sáng tạo học sinh thông qua dạy học tốn mở trường trung học phổ thơng Luận án tiến sĩ Giáo dục học, Đại học Sư phạm Hà Nội Nguyễn Văn Bàng (1997) Lại bàn tốn mở Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, số Pehkonen, E (1997) Use of Open-Ended Problems in Mathematics Classroom Research Report 176 University of Helsinki, Finland Pehkonen, E (1999) OPEN-ENDED PROBLEMS: A method for an educational change Retrieved from http://szalonta.hu/mm/resources/task2/Pehkonen.pdf Petit Robert Edition DicoRobert, Canada, 1993 Stéphanie, V.B (2010) Un exemple de pratique d’enseignement pour la résolution de problèmes additifs en CE1 Mémoire de Master de Sciences de l'Éducation Université Paris Descartes Tôn Thân (1995) Bài tập mở, dạng tập góp phần bồi dưỡng tư sáng tạo cho học sinh Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, số Trương Khánh Phương (2011) Tiềm toán kết thúc mở việc hỗ trợ học sinh phát triển lực suy luận ngoại suy Tạp chí Giáo dục, số 276, kì Vandebrouck, F., Baroux-Raymond, D., Bonal, G., Derouet, CH., Ruis Dos Santos., Hérault, F., Prouteau, C., & Temam, G (2015) Autour des Problèmes Ouverts en classe de mathématiques Brochure IREM, n°96 Éditeur: IREM de Paris Ngày nhận bài: 21/3/2020 Biên tập xong: 15/4/2020 33 Duyệt đăng: 20/4/2020 ... niệm khác BTM vào hai loại, mà gọi hai cách tiếp cận: tiếp cận nội dung (dựa vào đặc trưng nội dung toán) tiếp cận mục tiêu (dựa vào mục tiêu sử dụng toán) Cần lưu ý rằng, hai cách tiếp cận không... độc lập với nhau; dạng BTM thuộc cách tiếp cận hệ dạng khác thuộc cách tiếp cận Đơn giản chúng phân định dựa hai hệ tiêu chí khác nhau, phụ thuộc lẫn 3.1 Quan niệm toán mở theo tiếp cận nội dung... cho BTM (tiếp cận nội dung) Đây minh chứng cho thấy, BTM theo tiếp cận nội dung BTM theo tiếp cận mục tiêu khơng hồn tồn độc lập, mà phụ thuộc lẫn 3.2.2 Quan niệm toán mở theo tiếp cận mục tiêu