Phương pháp quy nạp toán học

I, Lý chọn đề tài: Toán học mơn khoa học suy diễn Các kết luận Tốn h ọc chứng minh cách chặt chẽ Nhưng q trình hình thành, trước có kết luận mang tính tổng qt, tốn h ọc phải tiến hành xét trường hợp cụ thể, riêng biệt Ta ph ải đối chi ếu quan sát được, suy điều tương tự, phải thử th lại, đ ể t d ự đoán định lý toán học, trước chứng minh chúng Bên cạnh đó, ta phải dự đốn ý phép chứng minh trước vào ch ứng minh chi tiết Hiện nay, tiến hành đổi giáo dục Để công đổi m ới thành cơng phải gắn chặt việc đổi nội dung ch ương trình – SGK với việc đổi phương pháp giảng dạy Một xu h ướng đ ổi m ới phương pháp giảng dạy mơn Tốn dạy cho h ọc sinh bi ết d ự đoán, dạy cho học sinh biết suy luận có lý Thực tế sách giáo khoa Toán bậc THCS nay, cấu trúc học thường là: Phần Xét các trường hợp cụ thể: tính tốn, đo đạc, so sánh, … đối tượng khác Phần Dự đoán kết luận khái quát: nêu mệnh đề tổng quát Phần Chứng minh ( công nhận ) mệnh đề tổng quát, tuỳ đối t ượng trình độ học sinh Phần Các ví dụ tập vận dụng Như học sinh quan sát, thử nghiệm, dự đoán suy luận để đến kiến thức mới, sau vận dụng kiến th ức m ới vào tình khác Chúng ta xét số học cụ thể sau: Mục ( trang 13 SGK Toán tập I ).Giá tị tuyệt đ ối c m ột s ố… Sau đưa định nghĩa giá trị tuyệt đối số, SGK đ ưa tập ?1 điền vào chỗ trống Để từ phân tích, nhận xét, đ ưa k ết qu ả tổng quát: Kết công nhận, không chứng minh Sau tập vận dụng Mục ( trang 106 SGK Tốn tập I ).Tổng ba góc c m ột tam giác SGK yêu cầu học sinh vẽ hai tam giác bất kỳ, đo tính t ba góc tam giác nêu nhận xét Từ đưa d ự đốn t ba góc tam giác Sau chứng minh dự đốn Tiếp theo tập vận dụng Mục ( trang SGK Toán tập I ).Căn bậc hai đ ẳng thức Để dẫn đến định lý: Với số a ta cố: , SGK yêu cầu học sinh điền số thích hợp vào bảng: a -2 -1 a2 Từ nhận xét, khái quát hoá để đưa định lý Sau phát biểu định lý, SGK chứng minh định lý suy luận chặt chẽ Sau tập vận dụng Bên cạnh đó, nội dung ơn luyện Tốn cho học sinh giỏi, m ột chuyên đề thiếu chuyên đề: “ Ph ương pháp quy nạp Tốn học ” Bởi vì, thơng qua việc giảng dạy chuyên đề này, người th ầy dạy Toán đã: 1) Cung cấp cho học sinh hướng suy nghĩ việc tìm tịi l ời gi ải toán; 2) Giúp học sinh giải lớp tốn Số học, Đại số Hình h ọc thuộc đủ dạng toán: chia hết, chứng minh đồng th ức, ch ứng minh bất đẳng thức, mà có liên quan đến tập h ợp s ố t ự nhiên; 3) Đồng thời qua việc nghiên cứu mệnh đề toán học bao hàm m ột s ố vô hạn trường hợp riêng, mà việc chứng minh chúng ch ỉ c ần xét m ột số hữu hạn trường hợp theo lơgic chặt chẽ xác, m rộng tư lôgic cho em học sinh, giúp em say mê, h ứng thú h ọc Tốn II Mục đích đề tài: Qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp bồi dưỡng giáo viên thay sách, tập hợp giảng lại viết chuyên đề nhằm mục đích: 1) Cung cấp số kiến thức phép quy nạp, phép quy n ạp hồn tồn, quy nạp khơng hồn tồn, ngun lý quy nạp tốn học 2) Giúp học sinh có thêm số phương pháp để giải m ột số toán Toán học khác 3) Cung cấp thêm số tập hấp dẫn nhiều vẻ, qua c ủng cố mở rộng thêm kiến thức học 4) Rèn luyện tư duy, phát huy tính sáng tạo gây h ứng thú h ọc toán cho học sinh III Nội dung đề tài: Nội dung đề tài bao gồm: Phần I Một số sở lý luận Phần II Vận dụng vào Dạy & Học tốn trường phổ thơng A Vận dụng phép quy nạp hoàn toàn chứng minh mệnh đề toán học B Vận dụng phương pháp quy nạp toán học để giải toán Phát quy luật chứng minh quy luật Vận dụng vào giải toán chia hết Vận dụng vào chứng minh đồng thức Vận dụng vào chứng minh bất đẳng th ức Vận dụng vào tốn hình học C Có thể có cách giải khác? D Bổ sung: Một số dạng nguyên lý quy nạp Toán h ọc Phần III Hiệu đề tài Phần IV Kết luận - đánh giá khái quát Với lý do, mục đích nội dung mong chun đề đ ược đơng đảo đồng chí giáo viên em học sinh tham kh ảo góp ý kiến xây dựng Nội dung Phần I Cơ sở lý luận Quy nạp hoàn toàn khơng hồn tồn: 1.1 Danh từ “quy nạp” theo nghĩa dùng để quy luật nhờ mà thu kết luận tổng quát, dựa vào lo ạt khẳng định riêng biệt Quy nạp hoàn toàn mệnh đề tổng quát chứng minh theo trường hợp số hữu hạn trường hợp có Ví dụ 1.: Chúng ta xác lập : “ Mỗi số chẵn n khoảng tổng số nguyên tố ” Muốn phân tích: biểu diễn dạng = 2+2 = 3+3 = 5+3 10 = 7+3 12 = 7+5 98 = 93+5 100 = 97+3 Sau thử 49 trường hợp, từ 49 đẳng thức chứng tỏ rằng, th ực tế số chẵn khoảng xét biểu diễn duới dạng tổng s ố ngun tố 1.2 Quy nạp khơng hồn tồn: Trong trường hợp kết luận tổng quát rút không d ựa s ự ki ểm tra tất trường hợp xảy mà sở m ột số đ ủ l ớn trường hợp ta có quy nạp khơng hồn tồn Quy nạp khơng hồn tồn vận dụng nhiều khoa h ọc thực nghiệm Chẳng hạn cách người ta thiết lập nên đ ịnh lu ật bảo toàn khối lượng: định luật Lômônôxôp phát bi ểu thừa nhận Lavoadiê kiểm tra đ ắn c v ới đ ộ xác đủ lớn điều kiện đủ khác Trong toán học, quy nạp khơng hồn tồn khơng xem m ột phương pháp chứng minh chặt chẽ, áp d ụng h ạn chế Bởi mệnh đề tốn học bao hàm số vô hạn trường h ợp riêng, người ta tiến hành kiểm tra số vô h ạn trường hợp được.Chẳng hạn sau có kết với 49 trường hợp nh ví d ụ 1, ta ch ưa th ể đ ưa kết luận rằng, số tự nhiên chẵn có th ể phân tích đ ược thành tổng hai số nguyên tố Đương nhiên, quy nạp không hoàn toàn m ột ph ương pháp “g ợi m ở” hiệu lực để tìm chân lý Chúng ta tham khảo m ột vài ví d ụ Ví dụ Xét tổng n số tự nhiên lẻ liên tiếp Chúng ta xét trường hợp riêng biệt: + với n=1 : 1=1 mà + với n=2 : 1+3=4 mà + với n=3 : 1+3+5=9 mà + với n=4 : 1+3+5+7=16 mà + với n=5 : 1+3+5+7+9=25 mà Sau xét số trường hợp riêng này, ta n ảy k ết lu ận t quát : 1+3+5+7+9+ +(2n-1) = (1) tức : “ tổng n số lẻ liên tiếp ” Việc chứng minh kết luận cách chặt chẽ (xem ví dụ 7) chứng tỏ kết luận Ví dụ 3: Tính tổng lập phương số tự nhiên liên tiếp đầu tiên: Ta xét trường hợp riêng biệt: Do nảy kết luận tổng quát : (2) Tất nhiên, điều nhận xét s ự ch ứng minh s ự đắn công thức (1) hay (2) phần sau, làm quen v ới phương pháp giúp chứng minh công th ức (1) (2) Chúng ta cần ý rằng, suy luận quy n ạp d ẫn đ ến kết luận sai, ví dụ sau: Ví dụ 4: Khi nghiên cứu hiệu số có chữ số trở lên với số có chữ số viết theo thứ tự ngược lại Trong trường h ợp số có chữ số, chữ số ta thấy kết luận hiệu chia h ết cho 99 Cụ thể là: Nảy kết luận quy nạp là: Kết luận sai chẳng hạn ta có: 2231-1322 = 909 khơng chia hết 999 Ví dụ 5: Khi xét số có dạng nhà tốn học Fecma nhận xét với n = 1; 2; thu số nguyên tố T ơng đ ưa gi ả thiết tất số có dạng ( với ) số nguyên tố Nhưng ơle với n = ta số số ngun tố số chia hết cho 641 Điều có nghĩa k ết lu ận c nhà tốn học Fecma sai lầm Ví dụ Xét số 15 ta thấy với với trường hợp n = 1, 2, 3; ; số nguyên tố Từ kết luận là số nguyên tố với số hay không? Với n =16 ta số số nguyên tố, tức kết luận quy nạp khơng phải là số nguyên tố với số sai Phương pháp quy nạp toán học 2.1 Như vậy, quy nạp khơng hồn tồn đường để dẫn đến phát minh: người ta nghiên cứu số h ữu h ạn trường hợp riêng để tìm quy luật tổng quát Thế nh ưng, nh ta bi ết, quy nạp khơng hồn tồn thường dẫn đến kết sai đắn, Vậy làm để biết quy luật tổng quát mà ta đ ưa ta lại thử tiếp, thử tiếp gặp m ột tr ường h ợp riêng mà kết luận khơng ( ví dụ 6: th đến l ần th ứ 16 ) Và lấy để đảm bảo số lần thử hữu hạn Trong nhiều trường hợp để tránh khó khăn nh th ế ta áp dụng phương pháp suy luận đặc biệt gọi “ ph ương pháp quy nạp toán học”, cho phép thay hình dung tìm tịi theo ph ương pháp quy nạp khơng hồn tồn chứng minh chặt chẽ Ví dụ : Xét lại cơng thức (1) ví dụ Giả sử ta chứng minh công thức với n =7, ch ứng minh cơng thức với n = 8, ta không cần phải tính tổng s ố h ạng đ ầu c tổng : mà ta biết viết ngay: có Tổng quát, sau chứng minh công thức với n = k (nghĩa ta ), ta chứng minh với cách: Có thể sử dụng phương pháp tổng quát sau xét ; việc chuyển từ đẳng thức khác : ; v v trường hợp riêng phép tính Khái qt điều nói trên, phát bi ểu quy t ắc t quát sau: Để chứng minh mệnh đề tổng quát với với số , ta cần: a) Xác lập mệnh đề với n =1 b) Chứng minh mệnh đề với n = k ( ) mệnh đề với n = k+1 Tính hợp pháp phương pháp chứng minh “hiển nhiên” Nhưng “hiển nhiên” khơng phải chứng minh chặt chẽ Ng ười ta chứng minh mệnh đề tổng quát ch ứng minh xuất phát từ số mệnh đề tổng quát khác, th ừa nh ận tiên đề Tuy nhiên, thân tiên đề không rõ ràng h ơn nguyên lý quy nạp mà trình bày đây, coi ngun lý quy nạp tốn học tiên đề mức độ “ h ợp pháp ” ngang 2.2 Nguyên lý quy nạp toán học: Một mệnh đề phụ thuộc vào n ( ) coi chứng minh với số n điều kiện sau thoả mãn: a Mệnh đề với n = b Từ đắn mệnh đề với số tự nhiên n = k suy đắn với n = k+1 2.3 Ví dụ: Sau xét vài ví dụ sử dụng ph ương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề tốn học Ví dụ Chứng minh rằng: Giải: a) Ta có với Do mệnh đề với n = b) Giả sử mệnh đề với n = k ( ) tức chứng minh rằng: Ta chứng minh mệnh đề với n = k+1 Nghĩa phải chứng minh: Thật vậy, ta có: (vì với ) => bất đẳng thức (3) Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học thì: với Bài tốn 9: Chứng minh bất đẳng thức sau với : (1) (vế trái bất đẳng thức (1) tổng phân số mà m ẫu số tăng liên tiếp từ n+1 đến 3n+1; ví dụ với n = bất đẳng th ức (1) có d ạng: n +1 = 3+1 = 4; 3n+1 = 3.3+1 = 10) Giải : a) Khi n = ta có bất đẳng thức : b) Giả sử với n = k ta có: Ta chứng minh với n = k+1 có: (3) Thật ta có : (2) theo (2) : => (3) Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học thì: với Vận dụng vào tốn hình học Bài tốn 9: Chứng minh n đường thẳng khác m ặt phẳng qua điểm chia mặt phẳng 2n phần Giải:* Với n = mệnh đề khẳng định đúng, đ ường th ẳng chia mặt phẳng phần * Giả sử mệnh đề với n = k đó, nghĩa v ới k đ ường th ẳng khác qua điểm chia mặt phẳng thành 2k phần Để chứng minh mệnh đề với k + đường th ẳng, ta nhận xét dựng đường thẳng thứ k + 1, qua điểm cho khơng trùng với đường thẳng tạo thêm ph ần n ữa c m ặt phẳng; số phần mặt phẳng tạo k + đường th ẳng khác qua điểm 2k + = ( k + ) Theo nguyên lý quy nạp tốn học mệnh đề với m ọi số tự nhiên n khác Bài toán 10: Cho n hình vng Chứng minh ta có th ể c chúng thành số phần để từ phần có th ể ghép lại thành m ột hình vng Giải: * Với n = mệnh đề hiển nhiên * Với n = ta chứng minh mệnh đề * Giả sử mệnh đề với n = k, nghĩa từ k hình vng, ta có th ể cắt ghép thành hình vng Xét k + hình vng: V 1, V2, …, Vk-1, Vk, Vk+1 Ta lấy hình vng số k + hình vng này, ch ẳng hạn Vk, Vk+1 Theo ta cắt ghép thành hình vng V’; ta có k hình vng V1, V2, …, Vk-1, V’ Theo giả thiết quy nạp, từ k hình vng ta cắt ghép lại thành hình vng m ới Vậy mệnh đề với n = k + Theo ngun lý quy nạp tốn h ọc mệnh đề với n hình vng Bài toán 11: Trong mặt phẳng cho n điểm, tất không nằm đường thẳng Chứng minh tất đường th ẳng nối ểm điểm cho tạo số đường thẳng không nhỏ n Giải: * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng: với điểm không thẳng hàng, nối đôi lại với tạo đường thẳng khác * Giả sử mệnh đề với n = k điểm Ta chứng minh với k + điểm Ta nhận thấy có đường thẳng chứa điểm Ak Ak+1 chẳng hạn + Nếu điểm A1, A2, ,,,,; Ak+1 , Ak nằm đường thẳng ( đường thẳng d chẳng hạn ) số đường th ẳng k + ( k đường thẳng nối Ak+1 với n điểm A1, A2, ….,; Ak-1, Ak đường thẳng d ) + Nếu A1, A2,…; Ak-1, Ak không nằm đường thẳng theo giả thiết quy nạp ta có k đường thẳng khác t k ểm này; Ngồi ta có đường thẳng nối A k+1 với điểm A1, A2, ; …; Ak-1, Ak , đường thẳng AkAk+1 không chứa điểm điểm A1, A2, ; …; Ak-1 nên đường thẳng AkAk+1 khác đường thẳng nối Ak+1+ với điểm A1, A2, …; Ak-1 Từ số đường thẳng tạo không nhỏ k + Vậy mệnh đề với n = k + Theo ngun lý quy n ạp tốn học mệnh đề với n Bài toán 12: Chứng minh tổng góc n-giác lồi ( n – ) 1800 Giải: * Với n = 3, mệnh đề hiển nhiên đúng: Tổng góc tam giác ( – ).1800 = 1800 * Giả sử mệnh đề tất k-giác, với k < n Ta ch ứng minh với n – giác.Ta nhận thấy n – giác có th ể chia thành đa giác đường chéo, số cạnh đa giác m + s ố cạnh đa giác n – m + số nh ỏ h ơn n Do t góc đa giác tương ứng ( m – ).180 ( n – m ) 1800 Khi tổng góc n – giác tổng góc c đa giác đó, tức bằng: ( m – + n – m - ).1800 = ( n – ) 1800 Vậy theo nguyên lý quy nạp tốn học mệnh đề v ới m ọi n C có cách khác hay không ? Một kết luận chứng minh phương pháp quy nạp tốn h ọc, chứng minh phương pháp khác đó, ngắn g ọn h ơn, hay phương pháp quy nạp toán học Ta xét vài ví dụ: Xét lại toán trên: Chứng minh : Giải: -> đpcm 2) Chứng minh: Giải: Xét với có: Từ với k = 1, ta có: k = 2, ta có: k = 3: ………………… k = n: Cộng đẳng thức với nhau, ta được: -> đpcm 3) Chứng minh Giải: Xét với có: Từ đó: với k = 1, ta có: k = 2, ta có: k = 3: ta có: ……………… k = n: Cộng đẳng thức với nhau, ta được: -> đpcm Tuy nhiên, phương pháp quy nạp tốn học ph ương pháp có nhi ều ưu điểm trội giải lớp toán thuộc dạng khác nhau, phân mơn Số học, Đại số Hình học phần D bổ xung: Một số dạng nguyên lý quy nạp toán học Chúng ta xét số dạng nguyên lý quy nạp khác, phát biểu dạng cácc định lý định lý Sau m ỗi định lý chúng tơi tuyển chọn số tốn minh hoạ Định lý Cho p số nguyên dương dãy mệnh đề P(1); P(2); …; P(n); … Nếu: A) P(1); P(2); …; P(p) mệnh đề B) Với số tự nhiên k p mệnh đề P(k-p+1); P(k- p+2); …; P(k) dúng, suy mệnh đề P(k+1) Thì mệnh đề P(n) với số nguyên dương n Chứng minh định lí hồn tồn lặp lại định lí 1.1 Sau ta xét m ột số ví dụ sử dụng dạng định lí 2.1 Bài tốn 2.1 Cho sau với số tự nhiên k có đẳng thức chứng minh Giải: Bước sở: Với n=0 n=1 kết luận toán đúng, điều ki ện cho Bước quy nạp: Giả sử Theo ngun lí quy nạp tốn học dạng định lí 2.1, suy với số tự nhiên n Bài toán 2.2 Cho nghiệm phương trình n số tự nhiên Chứng minh tổng không chia hết cho 715 Giải: Theo công thức Viet ; Bước sở: Các số không chia hết cho 715 Suy mệnh đề toán với n=1, 2, Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với n=k-2, n=k-1, n=k ta tính Do khơng chia hết cho 715, 378 khơng chia hết cho 715, nói cách khác mệnh đề với n=k+1 Bài toán 2.3 Chứng minh với số thực x > số tự nhiên n bất đẳng thức sau Giải: 1a) Với n=1 bất đẳng thức (2.1) có dạng (2.2) bất đẳng thức (2.2) suy từ bất đẳng th ức hiển nhiên: 1b) Với n=2 bất đẳng thức (2.1) có dạng (2.3) Bất đẳng thức (2.2) với giá trị x > nên cho x Do ta có ; từ suy (2.3) 2) Giả sử bất đẳng thức (2.1) với n=k, với k m ột số tự nhiên đó; tức ta có: (2.4) ta chứng minh bất đẳng thức (2.1) với n= k+2, (2.5) Thật vậy, (2.2) thê x ta nhận (2.6) Cộng vế tương ứng bất đẳng thức (2.4) (2.6), ta có (2.5) Tóm lại: Bước sở: Trong 1a) 1b) ta chứng minh bất đẳng th ức cho n=1 n=2 Bước quy nạp: Trong 2) ta chứng minh từ giả thiết (2.1) với n=k suy với n=k+2 Kết là: + Từ 1a) 2) cho ta khẳng định bất đẳng thức (2.1) v ới m ọi s ố l ẻ n + Từ 1b) 2) cho ta khẳng định bất đẳng th ức (2.1) v ới m ọi s ố chẵn n Như vậy, bất đẳng thức (2.1) với số tự nhiên n Định lý Cho dãy mệnh đề P(1); P(2); …; P(n); … Nếu: A) P(1) mệnh đề B) Với số tự nhiên n mệnh đề P(1); P(2); …; P(k) dúng, suy mệnh đề P(k+1) Thì mệnh đề P(n) với số nguyên dương n Dạng khác với dạng trước giả thiết m ạnh h ơn b ước quy nạp Ta giả thiết tất khẳng định P(1), P(2),…,P(k) suy P(k+1) Dễ dàng chứng minh hai cách phát biểu định lý 1.1 đ ịnh lí 2.2 tương đương Nhưng thực tế áp dụng vào toán cụ th ể dùng định lí 2.2 dễ dàng giải Bài tốn 3.1 Chứng minh số nguyên số nguyên với số tự nhiên n Giải: Bước sở: Khi n=1 mệnh đề hiển nhiên Bước quy nạp: Giả sử với số tự nhiên từ đến k, số nguyên Ta cần chứng minh số nguyên Thật Theo giả thiết biểu thức nguyên Vậy , , biểu diễn số số nguyên Bài toán 2.3 Chứng minh số tự nhiên lớn có th ể bi ểu di ễn dạng tích số nguyên tố Giải: Bước sở: Hiển nhiên mệnh đề với số nguyên tố, trường hợp đặc biệt n=2 Bước quy nạp: Giả sử mệnh đề với số tự nhiên k, mà Nghĩa số biểu diễn dạng tích thừa số nguyên tố Ta xét hai trường hợp 1) Nếu n số nguyên tố mệnh đề 2) Nếu n hợp số theo định nghĩa hợp số tồn hai số nguyên cho Theo giả thiết quy nạp biểu diễn thành tích số nguyên tố Do suy n biểu di ễn đ ược thành tích số nguyên tố Phần Iii Hiệu đề tài I Một số kiểm tra: Chúng chọn số toán để bạn tự kiẻm tra sau nghiên cứu chuyên đề này, lấy làm đề kiểm tra cho học sinh Bài số 1: Phương án 1: 1) Chứng minh 2) Chứng minh rằng: với số tự nhiên với Phương án 2: 1) Chứng minh với số dương a; b bất đ ẳng th ức sau với 2) Chứng minh rằng: Bài số 2: Phương án 1) Chứng minh rằng: 2) Chứng minh rằng: với Phương án : 1) Chứng minh rằng: 2) Chứng minh rằng: Bài số 3: 1) Chứng minh : đúng: với 2) Chứng minh với số tự nhiên n, đ ồng nh ất th ức sau 3) Chứng minh bất đẳng thức sau với với x > -1 Bài số 1) Chứng minh với : 2) Chứng minh rằng: 3) Chứng minh với số tự nhiên ta có: Bài số 1) Chứng minh rằng: với 2) Chứng minh với số tự nhiên : 3) Tìm cơng thức tính tổng: II Hiệu đề tài: 1) Kết kiểm tra: Tôi chọn kiểm tra cho em sau h ọc xong chuyên đ ề ( tuỳ theo mức độ khối lớp ): Khối 6, 7: Kiểm tra 20 em Kết quả: Tổng số Điểm - 10 Điểm – 8,5 Điểm – 6,5 Điểm