Chuyên đề tam giác vuông cân

Chuyên đề: TAM GIÁC VUÔNG TAM GIÁC CÂN A TAM GIÁC VNG : 1/ Định nghĩa tam giác vng ? tam giác vng cân ? 2/ Tính chất : - Tam giác ABC : Â=90 độ Bˆ  Cˆ 90 - Định lý PyTago: ABC : Aˆ 90  BC  AB  AC - Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29) - Các hệ thức tam giác vuông: ABC : Aˆ 90 ; AH  BC  AH BC  AB AC AB  BH BC ; AC CH BC ; ABC : Aˆ 90 ; AB MC AM  BC S AMB = S AMC - - Tam giác vng có góc nhọn 60 độ (30 độ) nửa tam giác ( cạnh cạnh huyền ) - Các trường hợp hai tam giác vng nhau: cgv-Chuyền Tốn nâng cao: BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông A góc C = 45 độ Vẽ phân giác AD.Trên tia đối AD lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB Chứng minh : a/ BE = CF b/ BE = BF Hướng dẫn: a/ Chứng minh : BÂE = B Cˆ F 135 A Ch/minh : BAE FCB(cgc)  BE CF D b/ ABF : Aˆ 90  ABˆ F  Fˆ 90 A C F Mà: Fˆ  Bˆ (cmt )  ABˆ F  Bˆ 90 hayEBˆ F 90 BE  BF BÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = AB M trung điểm BC; D trung điểm BM Chứng minh : AC = AD -1- A Hướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA => ADB EMD(cgc)  AB  ME ; ABˆ D  EMˆ D => AB=ME= BC ME MC (1) (1) B D M C Mặt khác: EMˆ A Mˆ  Mˆ ; CMˆ A  Bˆ  BAˆ M ( gocngoai) Mà: Mˆ  B(cmt ); Mˆ  ABˆ M Vậy : AMˆ E  AMˆ C (2) AM chung (3) E Từ (1),(2) và(3) suy MCME AMC AE AC AC 2AD BÀI 3: Cho tam giác ABC vng A góc B= 60 độ Vẽ tia C x  BC lấy CE = CA ( CE CA phía với BC) Kéo dài CB lấy F cho BF = BA Chứng minh : a/ ACE b/ E,A,F thẳng hàng ? Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => CEAcan Chứng minh tiếp góc ACE = 60 độ Suy : CAE E b/ Ta có : BA = BF (gt) => BFAcan Suy : góc BA F = 30 độ; A Vậy: FBˆ A  BAˆ C  CAˆ E 30  90  60 180 Ta suy ba điểm F;A;E thẳng hàng EAF F B C BÀI 4: Cho tam giác ABC vuông A Tia phân giác góc B C cắt O Qua O kẻ đường song song BC,cát AB D cắt AC E Chứng minh : a/ Góc BOC khơng đổi b/ DE = DB + EC A HD : a/ BOˆ C 180  ( Bˆ  Cˆ ) 180  45 135 b/ DBOcan DB  DO EOC can EC  EO O D E Vậy DB+EC=DO+OE=DE B C -2- BÀI : Cho tam giác ABC: Góc B = góc C Kẻ AH vng góc BC (H thuộc BC) Trên tia đối BA lấy BE = BH Đường thẳng EH cắt AD F Chứn minh : FH = FA = FC A Hướng dẫn: Ta có BH= BE =>  BEH cân => Eˆ  Hˆ Mà Hˆ  Hˆ & Bˆ 2 Hˆ  Bˆ 2 Hˆ Hˆ  Cˆ F Vậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1) Mặt khác :  = 90  Cˆ & AHˆ F 90  Hˆ B Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2) H C Từ (1) (2) => HF = FA = FC E Bài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngồi tam giác vẽ tam giác vuông cân ABD, AC F ( AB = BD AC = CF) a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ? b/ Từ A F kẻ đường D D ' , FF ' vng góc xuống BC Chứng minh : DD '  FF '  BC HD: a/  = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng DBD ' BAH DD '  BH A b/ Kẻ AH  BC => CFF ' AHC FF '  HC DD '  FF '  BH  HC  BC B C Bài : Cho ABC : BAˆ C 120 Kẻ AD phân giác góc A Từ A hạ DE  AB ; DF  AC a/ Tam giác DE F tam giác ? b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB M , tam giác ACM tam giác ? A HD: a/ Chứng minh DE = DF góc EDF = 60 độ =>  F b/Tam giác ACM E B D C -3- BÀI 8: Tam giác ABC có AB > AC Từ trung điểm M BC kẻ đường thẳng vng góc với tia phân giác góc A cắt tia phân giác H cắt AB,AC E F Chứng minh rằng: a/ BE = CF c/ góc BME = b/ AE = AB  AC AB  AC ; BE  2 ACˆ B  Bˆ HD: a/ Chứng minh góc F = góc E Kẻ CD // AB =>BE=CD (1) Mà  CDF cân => CF=CD (2) => BE=CF b/ Ta có AE = AB - BE Mà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+AC A AB  AC AB  AC Tương tự : 2BE=AB-AC => BE = ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ CEF ACB - F & BME E - B ˆ ˆ c/ Ta có : ˆ E ACˆB - B ˆ BM ˆ E  ACB - B 2BM  AE= E M C F B TAM GIÁC CÂN BỔ SUNG KIẾN THỨC: Trong tam giác vng có góc nhọn 30 độ cạnh đối diện với góc nửa cạnh huyền Một tam giác vng có góc nhọn 30 độ (hay 60 độ) tam giác vng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vng cạnh tam giác cạnh đối diện góc nhọn 60 độ chiều cao tam gióc -4- Trong tam giác vng có cạnh góc vng nửa cạnh huyền góc đối diện cạnh với cạnh góc vng 30 độ Trong tam giác cân: - Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên - Hai phân giác ứng với cạnh bên - Hai đường cao ứng với cạnh bên TOÁN CHO HS GIỎI: BÀI 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ Đường cao BD Gọi M,N trung điểm AB ; AC a/ Xác định dạng tam giác BMD ? Tam giác AMD ? b/ Trên tia AB lấy điểm E cho AE=AN Chứng minh CE vng góc AB ? HD: A D M E N B C Xét tam giác vng ABD có DM trung tuyến ứng với cạnh huyềnAB nên: MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD tam giác AMD cân Mà Â=60 độ => tam giác AMD b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 độ=>tam giác AEN đều=>EN=NA=CN=AC:2 Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2=>tam giác EAC vng E => CE vng góc AB BÀI 10: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh BC lấy điểm M,N cho BM=BA;CN=CA Tính góc MÂN ? HD: B N = = M A C 180  Bˆ 180  Cˆ Tam giác CAN cân C=> Nˆ  Vậy : MAˆ N 180  ( Mˆ  Nˆ ) 180  135 45 Tam giác BAM cân B=> Mˆ  -5- BÀI 11: Cho tam giác ABC đường cao AH trung tuyến AM chia góc A thành góc a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ? b/ Tam giấcBM tam giác ? HD: A I B H M C a/ Vẽ MI vng góc AC Chưng minh 1 MAI MAH (C.h  g n) BH  MH  BM  MC Cˆ 30 & HAˆ C 60 2 Vây BÂC= (60.3):2=90 độ => Tam giác ABC vng A b/ Ta có góc C=30 độ;góc B=60 độ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABM cân có góc 60 độ => tam giác ABM BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 độ,góc C 60 độ Kéo dài BC đoạn CD cho CD=1/2BC Tính góc ADB ? HD: A H 2 1 B C -6- D - Kẻ BH vuông góc AC Xét tam gica vng BHC vng H góc C=60 độ => góc 1 Bˆ1 30 CH  BC CH CD CDH can  Dˆ  ACˆ B 30 HDBcan HB  HD(1) 2 - Xét tam giác HAB vuông H có góc B2=75-30=45 độ=>tam giác HAB vng cân=>HA=HB(2) Từ (1) (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân 0 Ta suy Dˆ  Hˆ 15  ADˆ B 30  15 45 ĐỊNH LÝ: PY-TA-GO KIẾN THỨC BỔ SUNG: Trong tam giác vuông cân có cạnh bên băng a cạnh huyền a 2 Khoảng cách giải điểm mựt phẳng toạ độ: A( x1 ; y1 ); B( x ; y )  AB ( x  x1 )  ( y  y1 )  AB  ( x  x1 )  ( y  y1 ) BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 AC=32 Trên cạnh AC lấy M cho AM =7 Chứng minh : a/ Tam giác ABC vuông ? b/ góc AMB = 2góc C HD: A M 24 B 32 40 C a/ Tam giác ABC có: BC 40.40 1600 AB AC 24.24  32.32 1600 Vậy AB  AC  BC 1600 ABCvuongtaiA -7- b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM= 24  25 AC  AM 32  25 Suy : góc MBC=góc C Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngồi) Vậy góc AMB = góc C BÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 Đường cao AH = 24 Tính BC ? A A 25 24 24 B H (H1) 26 25 26 C H B C (H.2) - Tính HB= ; HC= 10 - Nếu góc B nhọ=>H nằm BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1) - Nếu góc B tù => H nằm BC=>BC=HC HB=10-7=3 (h2) BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng tỷ lệ 15 Cạnh huyền 51 cm Tính độ dài cạnh góc vng ? HD: Giả sử tam giác ABC vng A =>AB=8k AC=15k Ta có AB  AC (8k )  (15) 512 289k 2601 k 3 Vậy AB= 8.3= 24 m AC=15.3= 45 m BÀI 16: Cho tam giác ABC vuông A Đường cao AH,trên lấy điểm D Trên tia đối HA lấy E cho HE=AD Đường vuông góc AH D cắt AC F Chứng minh EB vng góc E F ? HD: A D B F H C -8- E Vì AD=HE=>AH=DE Áp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE F ta được: BF  AB  A F ( BH  AH )  ( AD  DF ) BF  HB  DE  HE  DF ( BH  HE )  ( DE  DF )  BE  EF Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vng E=> EB vng góc E F BÀI 17: Một tre cao m Bị gãy ngang thân Ngọn chạm đất cáh gốc 3m Hỏi điểm gãy cách gốc mét ? HD : B = C x? = A D Gọi AB chiều cao tre Điểm gãy C Ngọn cham đất cách gốc m điểm C CB=CD Tam giác vng ACD có : AC  AD CD x  (9  x )  x 4met BÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A(5;4); B(2;3) C(6;1) Tính góc tam giác ABC ? HD x A(5;4) B(2;3) -9- C(6;1) x O Ta có : AB (5  2)  (4  3) 10(1) AC (5  6)  (4  1) 10(2) BC (6  2)  (1  3) 20 Từ (1) (2) => tam giác ABC cân AB 2  AC  BC 20 ABCvuong Vậy góc A =90 độ góc B = góc C= 45 độ CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦTAM GIÁC VUÔNG BÀI 19: Cho tam giác ABC Trung tuyến AM phân giác a/ Chứng minh tam giác ABC cân b/ Cho AB=37; AM =35 Tính BC ? HD: (H.1) A A F H (H.1) B D K M C (H.2) B E C a/ Vẽ thêm MH vng góc AB & MK vng góc AC Chứng minh HAM KAM (ch  gn) MH  MKA HMB KMC (ch  cgv) Bˆ Cˆ ABCcantaiA b/ Tam giác ABC cân =>AH vng gócBC =>BM= AB  AM 12 BC 24 BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao a/ Chứng minh tam giác ? b/ Cho biết đường cao có độ dài a Tính độ dài cạnh tam giác đó? HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao là: AD=BE=C F - 10 - a/ Ta chứng minh FBC ECB(ch  cgv) Bˆ Cˆ ; Cˆ  Aˆ ABCdeu b/ Gọi độ dài cạnh x.Xét tam giac ADC vng D có AC  AD  CD x a : BÀI 21: Cho tam giác ABC cân  Â=80 độ Gọi O điểm nằm tam gốc cho góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ Chứng minh tam giác COA cân.? M M A A O O B C B (H.1) C ( H.2) HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độ Vẽ thêm tam giác BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC)  góc MCA=60-50=10 độ  AMB AMC (CCC )  AMˆ B  AMˆ C 60 : 30  OBC AMC ( gcg ) CO CA COAcan BÀI 22: Cho tam giác ABC cân A góc Â= 100 độ.Goi O điểm nằm tia phân giác góc C cho góc CBO=30 độ Tính góc CAO ? HD: (Xem hình 2) Vẽ tam giác BCM9M,A nửa mặt phẳng bờ BC) Chứng minh tương tự 19=> COAcantaiC  ACˆ O 40 : 20 Suy ra: CAˆO (180 - 20) : 80 Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC Kẻ đường vng góc AB B vng góc AC C hai đường nầy cắt D a/ Chứng minh AD phân giác góc A ? b/ So sánh AD & CD ? HD: (H1) A A ( Hình 2) - 11 - B D C B E M N C D (xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> Aˆ1  Aˆ Suy AD phân giác góc  b/ Suy AD=CD ( cạnh tương ứng) BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D điểm thuộc AB E môt điểm thuộc AC cho AD=AE Từ D E hạ đường vng góc với BC Chứng minh BM=CN ? HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc C Suy tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CN BÀI 25: Cho góc xƠy O x lấy điểm A Trên O y lấy điểm B Gọi M trung điểm AB Từ A, B hạ đường thẳng AE ; BF vng góc với tia OM Chứng minh AE=BF ? HD: Chứng minh tam giác MAE=tam giác MBF x (Ch+gn)=>AE=BF A E M O F y BÀI 26: Cho tam giác ABC tia phân giác góc B,góc C cắt O Kẻ OE,O F,OG thứ tự vng góc với AC,AB,BC a/ Chứng minh OE = O F=O b/ Tia AO cắt BC D Chứng minh góc BOD=góc góc COG - 12 - HD: A E F O 2 B G D C BOß BOG(ch  gn) OF OG (1) a/ Chưng minh: COG COE(ch  gn) OE OG(2) T u (1) & (2) OE OFOG 1 b/ AOE AO F Aˆ  Aˆ  Aˆ ;Bˆ  Bˆ  Bˆ & Cˆ Cˆ  Cˆ 2 ˆ ˆ Suy A1  B  C 180 : 90 (1) Mặt khác tam giác vng BOG(góc G=90 độ)=> Bˆ  BOˆ G 90 ( 2) Từ (1) và(2) => Aˆ1  Cˆ  BOˆ G (3)  Từ (3) (4)=> BOˆ G COˆ D BOG GOˆ D COˆ D  GOˆ D, BOˆ D COˆ G  - 13 - ... giác ABD tam giác AMD cân Mà Â=60 độ => tam giác AMD b/ Xét tam giác AEN có AE=AN= >tam giác AEN cân+ Â=60 độ= >tam giác AEN đều=>EN=NA=CN=AC:2 Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2= >tam giác EAC... C F B TAM GIÁC CÂN BỔ SUNG KIẾN THỨC: Trong tam giác vng có góc nhọn 30 độ cạnh đối diện với góc nửa cạnh huyền Một tam giác vng có góc nhọn 30 độ (hay 60 độ) tam giác vng nửa tam giác đều.Cạnh... phân giác góc A Từ A hạ DE  AB ; DF  AC a/ Tam giác DE F tam giác ? b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB M , tam giác ACM tam giác ? A HD: a/ Chứng minh DE = DF góc EDF = 60 độ =>  F b /Tam giác