Tăng cường khả năng giải bài toán thực thế có áp dụng đạo hàm cho học sinh lớp 12

Với xu hướng hiện nay việc dạy và học ở trường phổ thông đối với những môn tự nhiên càng ngày xác định rõ nội dung chương trình phải gắn liền với thực tế, kết hợp sự liên quan một cách chặt chẽ nội môn hoặc liên môn. Môn Toán là môn thể hiện rõ nhất trong vấn đề này, chính vì thế mà những năm gần đây những bài toán thực tế ngày càng xuất hiện nhiều hơn trong các đề thi, bài toán thực tế rất đa dạng tuy nhiên với học sinh việc vận dụng kiến thức toán đặc biệt là kiến thức đạo hàm để giải các bài toán thực tế thường gặp rất nhiều khó khăn, nguyên nhân do chưa biết cách phân tích đưa bài toán thực tế về dạng kiến thức nào đã học để vận dụng, việc học toán và làm toán trước đây mang tính máy móc công thức nên cũng phần nào hạn chế cách tiếp cận bài toán thực tế của học sinh, đề trắc nghiệm bài toán thực tế lại dài gây tâm lý ngại giải vì tốn thời gian cho học sinh.

CỘNG HÒA Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc MÔ TẢ SÁNG KIẾN Mã số (do Thường trực Hội đồng ghi): …… Tên sáng kiến: Tăng cường khả giải Toán thực có áp dụng đạo hàm cho học sinh lớp 12 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến :Giải pháp tác nghiệp Mô tả chất sáng kiến: 3.1 Tình trạng giải pháp biết: Với xu hướng việc dạy học trường phổ thông môn tự nhiên ngày xác định rõ nội dung chương trình phải gắn liền với thực tế, kết hợp liên quan cách chặt chẽ nội mơn liên mơn Mơn Tốn mơn thể rõ vấn đề này, mà năm gần toán thực tế ngày xuất nhiều đề thi, toán thực tế đa dạng nhiên với học sinh việc vận dụng kiến thức toán đặc biệt kiến thức đạo hàm để giải tốn thực tế thường gặp nhiều khó khăn, ngun nhân chưa biết cách phân tích đưa tốn thực tế dạng kiến thức học để vận dụng, việc học toán làm toán trước mang tính máy móc cơng thức nên phần hạn chế cách tiếp cận toán thực tế học sinh, đề trắc nghiệm toán thực tế lại dài gây tâm lý ngại giải tốn thời gian cho học sinh 3.2 Nội dung giải pháp đề nghị cơng nhận sáng kiến - Mục đích giải pháp : + Phân loại dạng tập có áp dụng kiến thức đạo hàm để giải, phân tích hướng giải dạng qua học sinh có phản xạ hình thành hướng giải nhanh toán dạng + Đáp ứng yêu cầu thi cử đặc biệt dạng toán trắc nghiệm, tốn thực tế có áp dụng đạo hàm thường kỳ thi, phần giúp học sinh thấy gần gũi tính ứng dụng cao lý thuyết toán thực tiễn, Tốn học mơn học khác - Nội dung giải pháp + Điểm sáng kiến: Chỉ dạng thường có áp dụng đạo hàm, có câu hỏi dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhỏ nhất, hiểu tốt nhất, thiệt hại nhất, biến thiên Đưa cách tiếp cận tốn cách lơgic có hệ thống theo sơ đồ mang tính đặc thù kiến thức có vận dụng đạo hàm + Sự khác biệt giải pháp so với giải pháp cũ: Giải pháp có đưa sơ đồ hướng giải, đồng thời qua tốn ví dụ có phân tích cách giải để học sinh tích lũy kinh nghiệm giải tốn thực tế, đồng thời đề cập tương đối đầy đủ dạng tập thường gặp thực tế để học sinh rèn luyện Qua việc rèn luyện tốn thực tế có ứng dụng đạo hàm mang tính chuyên sâu giải pháp học sinh thấy gần gũi lý thuyết thực tế, từ khơng cịn lúng túng phải bắt đầu giải dạng lạ từ đâu giải nào, dạng cần áp dụng lý thuyết đạo hàm + Cách thực hiện: Qua tìm hiểu, tổng hợp phân tích, tốn thực tế liên quan đến việc sử dụng đạo hàm chia thành phần lớn: Một là, toán thực tế mơ hình hóa hàm số tốn học Qua ví dụ minh họa sau đây, dạng tốn thường gặp ? Các lĩnh vực khoa học khác ứng dụng đạo hàm việc giải toán mà họ đặt ? Hai là, toán thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển mơ hình tốn học Như biết, để ứng dụng đạo hàm hàm số trước tiên ta phải “thiết lập hàm số” Như ta mơ tả quy trình mơ hình hóa Ta cụ thể hóa bước q trình mơ hình hóa sau: Bước 1: Dựa giả thiết yếu tố đề bài, ta xây dựng mơ hình Tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Tốn học” cho mơ hình mơ thực tiễn Lưu ý ứng với vấn đề xem xét có nhiều mơ hình tốn học khác nhau, tùy theo yếu tố hệ thống mối liên hệ chúng xem quan trọng ta đến việc biểu diễn chúng dạng biến số, tìm điều kiện tồn chúng ràng buộc, liên hệ với giả thiết đề Bước 2: Dựa vào kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế kinh tế, đời sống, khoa học kỹ thuật Vật lý, Hóa học, Sinh học, Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến nhiều biến (Ở nội dung xét ta xét với tính biến) Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm hàm số để khảo sát giải tốn hình thành bước Lưu ý điều kiện ràng buộc biến số kết thu có phù hợp với toán thực tế cho chưa Bài toán 1(hình học) Từ tơn hình chữ nhật có kích thước a�b với a < b Người ta cắt bỏ hình vng góc gị thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Hỏi cạnh hình vng cắt phải để hình hộp tích lớn ?  Phân tích: ● Trước tiên, với câu hỏi tốn ta nên đặt x cạnh hình vng cắt Như ta cần tìm điều kiện giới hạn biến số x Do cạnh nhơm sau bị cắt trở thành a  2x  � x  a a 0x nên ta có ● Và đồng thời ta có cạnh nhơm cịn lại b  2x  Đến ta cần thiết lập công thức tính thể tích khối hộp V  x a  2x  b  2x max V  x  ? ● Bài tốn trở thành tìm � a� x�� 0; � � 2� Mời bạn đọc xem lời giải ! Hướng dẫn giải ● Gọi x cạnh hình vng cắt đi, ta phải có điều kiện Khi thể tích hình hộp 0 x  a V  x  a  2x  b  2x  4x3  2 a  b x2  abx  V  x max V  x  ? ● Bài tốn trở thành tìm Đạo hàm � a� x�� 0; � � 2� V'  f'  x  12x2  4 a b x  ab   '  4 a b  12ab  a2  ab b2  Ta có Do x1  với V'  ln có hai nghiệm phân biệt a b a2  ab b2 a b a2  ab b2  x2  6 Theo định lý Vi-et, ta có � a b x x  0 � �1 � �x x  ab  �1 12 a, b b x a suy  x1  x2 Hơn nữa, ta có Bảng biến thiên �a � �a � V ' � � f' � � a2  ab  a a b  �2 � �2 � x a x1 V'  x   max V  x ● Dựa vào bảng biến thiên ta thấy Do  x1  V đạt giá trị lớn a x 2 x  x1  a  b  a2  ab  b2 Bài toán 2.(vật lý) Một chất điểm chuyển động theo quy luật   ,s tính theo mét, t tính theo giây Trong giây đầu tiên, thời điểm t mà vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn là: A t  B t  C t  D t   Phân tích: s t  6t2  t3  9t  v t  s ' t ● Với kiến thức Vật lý học, ta biết   Do để tìm giá trị lớn giây t � 0;5 ta cần vận dụng kiến thức đạo hàm học Hướng dẫn giải v t  s'  t  12t  3t2  9,v'  t   6t  12,v'  t   � t  Lập bảng biến thiên ta có: t v'  t   v  t max v  t   v    Dựa vào bảng biến thiên ta có t� 0;5 Đáp án C Bài tốn 3(Kinh Tế) Giám đốc nhà hát A phân vân việc xác định giá vé xem chương trình trình chiếu nhà hát Việc quan trọng, định nhà hát thu lợi nhuận hay bị tổn thất Theo sổ ghi chép mình, Ơng ta xác định rằng: giá vé vào cửa 20 USD/người trung bình có 1000 người đến xem Nhưng tăng tiền vé lên thêm USD/người 100 khách hàng số trung bình Biết rằng, trung bình, khách hàng dành 1,8USD cho việc uống nước nhà hát Hãy giúp giám đốc nhà hát xác định xem cần tính giá vé vào cửa để thu nhập lớn ?  Phân tích: ● Gọi x số tiền cần tăng thêm giá vé vào cửa ( 20USD ) Nếu x  có nghĩa ta nên giảm giá vé ● Khi tổng thu nhập nhà hát bao gồm thu nhập từ việc bán vé bán nước uống Dĩ nhiên tăng giá vé lên tác động đến việc nhu cầu xem phim rạp Và lợi nhuận từ việc bán nước lại phụ thuộc vào số người xem Hướng dẫn giải Gọi x số tiền cần tăng thêm giá vé vào cửa ( 20USD ) Nếu x  có nghĩa ta nên giảm giá vé Khi tổng thu nhập nhà hát gồm thu nhập từ việc bán vé bán nước uống Ta xác định sau: R  x   1000  100x  20  x  1,8 1000  100x � R  x  100x2  1180x  21800 Bài tốn trở thành tìm giá trị lớn hàm số R'  x  200x  1180,R'  x  � x   Lại có R''  x  200  0,x R  x với x�� 59  5,9  10     Do (USD) Vậy, để tổng thu nhập lớn nhất, nhà hát nên tính giá tiền vé 20  5,9  14,1 (USD) Giá vé hấp dẫn nhiều người đến xem maxR x  R 5,9  25281   Cụ thể khách hàng Khi tổng thu nhập lớn 25281(USD) Bài toán (Ứng dụng Sinh học) Trong mơi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn cấy vào Bằng thực nghiệm xác định số lượng vi khuẩn 1000  100 5,9  1590 N  t   1000  100t 100  t2 (con vi khuẩn), t tăng theo thời gian qui luật thời gian (đơn vị giây)) Hãy xác định thời điểm sau thực cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên lớn ?  Phân tích: ● Tương tự tốn trước, đề mơ hình hóa tốn dạng hàm nên ta cần vận dụng kiến thức đạo hàm tìm số lượng tăng nhanh vi khuẩn Hướng dẫn giải Ta có tốc độ phát triển đàn vi khuẩn thời điểm t N'  t    100 100  t2  100t  2t   100 t  N'  t   � t2  100 � t  10  Xét Lập bảng biến thiên ta được: t 1002  100t2  100  t  10 ( t  ) N ' t  �   1005 N  t    Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận Bài toán (Ứng dụng Hóa học) Đốt cháy hidrocacbon dãy đồng maxN t  N 10  1005 đẳng tỉ lệ mol H 2O : mol CO2 giảm dần số cacbon tăng dần ? A.Ankan B Anken C Ankin D Ankylbenzen  Phân tích: ● Để làm này, ta cần có hiểu biết kiến thức chương Hidrocabon học chương trình hóa lớp hóa lớp 11 ● Từ ta thiết lập công thức tổng quát hidrocacbon Cn H 2n22k xt,t Cn H 2n 2 2k  O2 ��� � nCO2   n  1 k H 2O o ● Sau thực phản ứng cháy Đến ta thấy tỉ lệ mol nước khí cacbonic sinh nH 2O nCO2  n  1 k n f  n  Tới ta xét hàm điều kiện k (chính số liên kết  ) Hướng dẫn giải n  1 k ,n �N * n Khảo sát tìm Cơng thức tổng quát hidrocacbon Cn H 2n 22k với k số liên kết  phân tử Phương trình phản ứng cháy là: xt,t Cn H 2n 2 2k  O2 ��� � nCO2   n  1 k H 2O o nH 2O Ta có Ta có nCO2  n  1 k n f '  n  Xét hàm số f  n  n  1 k ,n �N * n k n2 Theo giả thiết ta có f  n hàm nghịch biến nên f '  n  � k k��  � k   � k  1��� � k  � CTTQ : Cn H 2n : ankan n Bài toán (Ứng dụng Y Học) Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G(x) = 0,025x (30- x) với x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x : miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm ?  Phân tích: ● Tương tự toán cho sẵn hàm số, việc ứng dụng đạo hàm khơng cịn q khó khăn Hướng dẫn giải G  x     1 x  30  x  30x2  x3 � G'  x  60x  3x2 40 40 40  � x  20 G'  x  � � x  0 ktm � Cho Ta có bảng biến thiên sau: x G'  x 20  �  100 G  x Dựa vào bảng biến thiên ta có maxG  x  100 � x  20 Bài toán (Ứng dụng thể thao) Trong nội dung thi điền kinh bơi lội phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 50m chiều dài 200m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc hai) phải thực lộ trình xuất phát từ A đến B hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa (quãng đường x) vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi đích nhanh ? Biết vận tốc vận động viên chạy bờ bơi 4,5 m/s 1,5 m/s  Phân tích: ● Với lộ trình vạch sẵn hình vẽ, ta thấy, với chiều rộng chiều dài hồ bơi, ta nhận thấy tổng quảng đường vận động viên phải AC + CB ● Giả sử đặt AC = x (x > 0) Khi ta nhận thấy để tính quãng đường bơi từ C đến B phải dựa vào chiều rộng hồ, quãng đường lại vận động viên dọc theo bờ hồ ● Do vận tốc nước khác nên thời gian di chuyển khác Việc xác định x thỏa mãn yêu cầu tốn, ta sử dụng ứng dụng đạo hàm Hướng dẫn giải Gọi C vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh AC  x  x  200 Khi ta có t1  AC x  vchay 4, thời gian từ A đến C Đồng thời qng đường bơi Khi ta có BC t2   vboi BC  502   200  x 502   200  x 1,5 2 thời gian từ C đến B 502   200  x x T  t1  t2   , 1,5 Tổng thời gian vận động viên 502   200  x x f  x   ,0  x  200 , , Xét hàm Bài toán trở thành tìm f'  x  Ta có: 2  f  x  ? x� 0;200   200  x 50   200  x 2 ,x � 0; 200 f'  x  � 3 200  x  502   200  x � 8 200  x  502 � xo  2 400  25 �182,322 Lập bảng biến thiên ta có x f '  x xo �  f  x  f  xo  �400  25 � f  x  f � ��75,87s � � x� 0;200 � � Dựa vào bảng biến thiên ta có: Bài tốn (Ứng dụng Xây Dựng) Hãy xác định độ dài ngắn cánh tay nâng cần cẩu bánh dùng để xây dựng tòa nhà cao tầng mái có chiều cao H chiều rộng  ? (Biết cần cẩu thỏa mãn yêu cầu sau đây: Có thể xê xích cẩu góc nghiêng cánh tay nâng để cho điểm cuối cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng trùng với trung điểm bề rộng (Hình vẽ) Ta giả sử nhà xây dựng miếng đất rộng, cần cẩu di chuyển thoải mái Hướng dẫn giải Gọi h khoảng cách tính từ mặt đất đến đầu cánh tay cần cẩu  0 h H 10 Gọi  ,A,B,C,E kí hiệu hình vẽ Khi cánh tay cần cầu Đặt f   AC  AB  BC  H h l  sin cos với    900 f     ? H h l � �   �� 0; � sin cos Bài tốn trở thành tìm � � l sin3    H  h cos3   cos sin f '      H  h l  sin2  cos  sin2  cos2  Ta có: f'     � tan3   H h  � tan  l Cho Lập bảng biến thiên ta có  f '   H h  k l  arctan k  f    ff    � �  �� 0; � � 2�  arctank   H  h k2   l 1 k2 Dựa vào bảng biến thiên ta có: Như vậy, Trong phạm vi giới hạn cho phép giải pháp sáng kiến điểm qua loạt toán ứng dụng đạo hàm thực tế thường gặp Có thể thấy ngồi lĩnh vực trên, nhiều lĩnh vực khác cần đến kiến thức đạo hàm 3.3 Khả áp dụng giải pháp: Giải pháp áp dụng cho đối tượng học sinh lớp 12 trình ôn tập để kiểm tra, thi học kỳ, thi THPT quốc gia, phân tích hướng dẫn cách tiếp cận học sinh hình thành kỹ quy lạ quen giải toán chắn 3.4 Hiệu quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: - Qua thời gian thực giải pháp cho thấy học sinh cảm thấy tự tin tiếp cận với dạng tốn thực tế có áp dụng đạo hàm, học sinh nhanh 11 chống nhận dạng phân loại tốn qua việc phân tích kiện nên việc thiết lập tốn hình thành hướng giải nhanh Kết trước áp dụng sáng kiến tỉ lệ học sinh lớp 12A3 năm học 2016 – 2017 học sinh 12A6 năm học 2017-2018 trường THPT An Thới giải dạng 40%, sau áp dụng tỉ lệ giải dạng toán đạt 70% (tăng 30%), làm quen giải có phương pháp thời gian hồn thành câu giảm so với lúc chưa áp dụng giảm khoảng – phút - Khắc phục tâm lý ngại chinh phục dạng tốn thực tế có ứng dụng đạo hàm, học sinh cảm thấy hứng thú thấy kiến thức lý thuyết lâu học thật gần gũi với 3.5 Tài liệu kèm theo: khơng có 12 ... pháp sáng kiến điểm qua loạt toán ứng dụng đạo hàm thực tế thường gặp Có thể thấy ngồi lĩnh vực trên, cịn nhiều lĩnh vực khác cần đến kiến thức đạo hàm 3.3 Khả áp dụng giải pháp: Giải pháp áp dụng. .. quả, lợi ích thu dự kiến thu áp dụng giải pháp: - Qua thời gian thực giải pháp cho thấy học sinh cảm thấy tự tin tiếp cận với dạng tốn thực tế có áp dụng đạo hàm, học sinh nhanh 11 chống nhận dạng... ? ?áp ứng yêu cầu thi cử đặc biệt dạng toán trắc nghiệm, toán thực tế có áp dụng đạo hàm thường kỳ thi, phần giúp học sinh thấy gần gũi tính ứng dụng cao lý thuyết toán thực tiễn, Toán học môn học