Hon 100 de Toán học sinh giỏi.doc

Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9 Năm học 2009 - 2010 2008 Tuyển chọn đề thi HSG toán 9 http://quanghieu030778.violet.vn/ Sở giáo dục và đào tạo hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS Môn thi : Toán Mã số: Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề Đề thi gồm 1 trang Cõu 1:(2 im) 1) Tính: 9 17 9 17 2A = + + 2) Tính: ( ) ( ) 6 2 10 5 3 2 3B = + . 3) Cho 1 2 2009 1 2008 1C = và 2 2 2.2009 2009 1 2008 1 D = + . Không dùng máy tính hãy so sánh C và D . Câu 2: (2điểm) 1) Cho đa thức ( ) ( ) 1.2 2.3 3.4 . . 1f x x x= + + + + + . Tìm x để ( ) 2010f x = 2) Giải hệ phơng trình: 2 2 2 x y z 6 xy yz zx 1 x y z 14 + + = + = + + = Câu 3: (2điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ ( ) 1;1 và điểm A di động ( ) A m;0 1) Viết phơng trình họ đờng thẳng ( ) m d vuông góc với AB tại A. 2) Chứng minh rằng không có 3 đờng thẳng nào của họ ( ) m d đồng qui. 3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đờng thẳng của họ ( ) m d đi qua Câu 4: (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD. Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đờng thẳng PD. a) Tính số đo góc NEB. b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất. b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đờng thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5: (1điểm) Cho các số 1 2 2009 , a , . . . ,a a đợc xác định theo công thức sau: = + + + n 2 a (2n 1)( n n 1) với n = 1, 2, , 2008. Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9 Năm học 2009 - 2010 2008 Chứng minh rằng: < 1 2 2009 2008 a + a + . . . + a 2010 Hết Sở giáo dục và đào tạo hải dơng Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS Môn thi : Toán Mã số: Hớng dẫn chấm gồm . . . trang . H ớng dẫn chấm Câu Phần Nội dung Điể m Câu 1 2 điểm 1) 0,5điểm 9 17 9 17 2A = + + ( ) 2 9 17 9 17 2 2 + + = 18 2 17 18 2 17 4 2 + + = ( ) ( ) 2 2 17 1 17 1 2 2 + + = 0,25 ( ) ( ) 2 17 1 17 1 17 1 2 2 17 2 2 17 1 2 2 2 + + = = = = 0,25 2) 0,5điểm ( ) ( ) 6 2 10 5 3 2 3B = + ( ) ( ) 3 1 10 5 3 2. 2 3= + ( ) ( ) ( ) 3 1 10 5 3 2 2 3= + ( ) ( ) ( ) 2 3 1 10 5 3 3 1= + 0,25 ( ) ( ) 2 3 1 10 5 3= + ( ) ( ) 4 2 3 10 5 3= + ( ) ( ) 10 2 3 2 3= + 10= 0,25 3) 1,0điểm 1 2 2009 1 2008 1C = ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2009 1 2008 1 2009 1 2008 1 2009 1 2008 1 + = + ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 2009 1 2008 1 2009 1 2008 1 = + 0,25 2 2 1 2 2009 1 2008 1 2009 1 2008 1 + = + ( ) ( ) 2 2 2009 2008 2009 2008 2009 1 2008 1 + = + 2 2 4017 2009 1 2008 1 = + 0,25 Mà 4017 4018 2.2009 < = 2 2 4017 2009 1 2008 1 + < 2 2 4018 2009 1 2008 1 + 0,25 Vậy C < D 0,25 Câu 2 2 1) 1,0điểm Ta có ( ) ( ) 1.2 2.3 3.4 . . 1f x x x= + + + + + ( ) ( ) 3. 1.2.3 2.3.3 3.4.3 . . 1 .3f x x x= + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1.2. 3 0 2.3. 4 1 3.4. 5 2 . . 1 . 2 1x x x x= + + + + + + 0,25 H AB C D E H M N I P O K 45 0 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9 Năm học 2009 - 2010 2008 điểm ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1.2.3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 . 1 . 1 . 1 2x x x x x x= + + + + + + ( ) ( ) . 1 2x x x= + + ( ) ( ) ( ) 1 . 1 2 3 f x x x x= + + Để ( ) 8f x = ( ) ( ) 1 . 1 2 8 3 x x x+ + = ( ) ( ) . 1 2 24x x x+ + = 3 2 3 2 24 0x x x+ + = ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 5 10 12 24 0x x x x x + + = 0,25 ( ) ( ) 2 2 5 12 0x x x + + = 2 2 0 5 12 0 x x x = + + = ( ) ( ) 1 2 0,25 Giải phơng trình ( ) 1 ta đợc x = 2 Giải phơng trình ( ) 2 Vô nghiệm Vậy với x = 2 thì ( ) 8f x = . 0,25 2) 1,0điểm 2 2 2 x y z 6 (1) xy yz zx 1 (2) x y z 14 (3) + + = + = + + = (1) (x + y + z) 2 = 36 x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) = 36 xy + yz + zx = 11 (kết hợp với (3)) (2) xy + yz = zx 1 xy + yz + zx = 2zx 1 2zx = 12 zx = 6 xy + yz = 5 y(x + z) = 5 (4) 0,25 Mà y + x + z = 6 x + z = 6 y (4) y(6 y) = 5 y(6 y) = 5 (y 1)(y 5) = 0 y 1 y 5 = = 0,25 +) Với y = 1 thì (4) x + z = 5 x = 5 z mà zx = 6 (5 z)z = 6 (z 2)(z 3) = 0 z 2 x 3 z 3 x 2 = = = = 0,25 +) Với y = 5 thì (4) x + z = 1 x = 1 z mà zx = 6 (1 z)z = 6 (z 1 2 ) 2 = 23 4 (phơng trình vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của hệ phơng trình là { } S (3; 1; 2),(2; 1; 3)= 0,25 Câu 3 2 1) 0,75điểm Phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b (d) A, B (d) nên = y 1 x 1 (m 1) 0 1 m 1 0,25 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9 Năm học 2009 - 2010 2008 điểm = + = x 1 1 y m 1 m 1 my y x 1 = = y(1 m) x m 1 m y x 1 m 1 m Gọi phơng trình họ đờng thẳng ( ) m d là y = ax + b Vì ( ) m d AB tại A nên a.a = - 1 = 1 .a ' 1 1 m a = m 1 y = (m 1)x + b 0,25 Vì ( ) m d đi qua A(m; 0) ta có: 0 = (m 1)m + b Vậy họ đờng thẳng ( ) m d cần tìm là: y = (m 1)x + (m m 2 ) (m 1) 0,25 2) 0,5điểm Giả sử 3 đờng thẳng trong họ (d m ) đồng qui tại điểm (x o ; y ô ) y o = (m 1)x o + (m m 2 ) m 2 m(x o + 1) + x o + y o = 0 0,25 Vì phơng trình trên là phơng trình bậc hai ẩn m nên chỉ có nhiều nhất 2 nghiệm Chỉ có 2 đờng thẳng trong họ (d m ) đi qua điểm (x o ; y o ) Vậy không có 3 đờng thẳng nào của họ (d m ) đồng qui. 0,25 3) 0,75điểm Gọi các điểm N(x 1 ; y 1 ) mà chỉ có đờng thẳng trong họ (d m ) đi qua y 1 = (m 1)x 1 + m m 2 m 2 m(x 1 + 1) + x 1 + y 1 = 0 0,25 Vì chỉ có 1 đờng thẳng trong họ (d m ) đi qua N nên phơng trình trên chỉ có 1 nghiệm. = 0 ( ) ( ) 2 1 1 1 x + 1 - 4 x + y = 0 0,25 = 2 1 1 (x 1) y 4 Vậy các điểm cần tìm sẽ nằm trên Parabol = 2 1 1 (x 1) y 4 0,25 Câu 4 3điểm 1) 0,5điểm Vẽ hình đúng 0,25 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9 Năm học 2009 - 2010 2008 0,25 2) 0,5điểm 0,25 0,25 0,25 3) 1,0điểm Vẽ đờng tròn đờng kính AB. Gọi giao của HN với đờng tròn là I. 0,25 Do DHI là tam giác vuông tại H nên DI là đờng kính. 0,25 Mà D là điểm cố định nằm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB nên I là điểm chính giữa của nửa đờng tròn đờng kính AB 0,25 Điểm I đối xứng với D qua AB. Vậy I là điểm cố định. 0,25 Câu 5 1 điểm = + + + n 2 a (2n 1)( n n 1) + + = < = + + + + 2( n 1 n ) 2( n 1 n ) 1 1 n 1 n 2 n(n 1) n n 1 0,25 Do đó + + + < + + + = 1 2 2009 1 1 1 1 1 1 a . a . 1 2 2 3 2009 2010 1 1 2010 0,25 Mặt khác: ( ) + = ữ = = > 2 2008 1 2008 2009 2010 2009 2010 1 2010 2009 2010 2009 2009 1 2010 2 2009 0 2010 2009 2010 2009 0,25 nên < 1 2008 1 2010 2009 . Vậy < 1 2 2009 2008 a + a + . . . + a 2010 0,25 Câu Nội dung cần trình bày Điểm 5 3 điểm Gọi E là giao điểm của PD với đờng thẳng vuông góc với AB. +) Xét DCP và DBE có: ã ã = DCP DBE (so le trong) DC = DB (AD là trung truyến của ABC) ã ã = CDP BDE (đối đỉnh) DCP = DBE (g.c.g) CP = BE (1) +) Mặt khác ta có tứ giác MNAP là hình chữ nhật có AM là tia phân giác của à A nên MNAP là hình vuông. AN = AP CP = BN (2) Từ (1) và (2) BE = BN BEN cân 0,25 Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9 Năm học 2009 - 2010 2008 ã = 0 NEB 45 +) Gọi O là trung điểm của EN. Ta có BEN và EHN là tam giác vuông có chung cạnh huyền EN nên bốn điểm B, E, H, N cùng thuộc đờng tròn tâm O. Kéo dài HO cắt đờng tròn (O) tại K. Khi đó: ã ã = 1 OHN KON 2 ( ã KON góc ngoàicủa tam giác cân OHN) ã ã = 1 OHB KOB 2 ( ã KOB góc ngoài của tam giác cân OHB) ã ã OHN OHB = ã ã ( ) = 0 1 1 KON KOB .90 2 2 ã = 0 BHN 45 Vậy có ã ã = = 0 BHN BEN 45 (3) Chứng minh tơng tự ta có: ã ã = = 0 NHA NPA 45 (4) Từ (3) và (4) có ã = 0 AHB 90 và NH là đờng phân giác của góc ã AHB Gọi H là hình chiếu của H trên AB. Khi đó SAHB = 1 AB.HH' 2 Do đó SAHB lớn nhất khi HH lớn nhất. Điểm H chạy trên cung tròn đờng kính AB nên HH lớn nhất khi nó bằng bán kính, tức là khi H D. Khi đó M D. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 . Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9 Năm học 2009 - 2010 2008 Tuyển chọn đề thi HSG toán 9 http://quanghieu030778.violet.vn/ Sở. + n 2 a (2n 1)( n n 1) với n = 1, 2, , 2008. Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi Toán 9 Năm học 2009 - 2010 2008 Chứng minh rằng: < 1 2 2009 2008 a + a