TUYỂN-TẬP-100-ĐỀ-THI-HỌC-SINH-GIỎI-TOÁN-8

TRNG I HC QUNG NAM KHOA TON TUYN TP 100 THI HC SINH GII MễN: TON LP H v tờn: Lp: Trng: Ngi biờn son: H Khc V Qung Nam, thỏng 11 nm 2016 UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố lớp thCS - năm học 2007 - 2008 PHòNG Giáo dục đào tạo Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 phút Đề thức Bài 1: (2 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 x x4 2008x2 2007 x 2008 Bài 2: (2điểm) Giải ph-ơng trình: x2 3x x 2 x x x x x x x x x Bài 3: (2điểm) Căn bậc hai 64 viết d-ới dạng nh- sau: 64 Hỏi có tồn hay không số có hai chữ số viết bậc hai chúng d-ới dạng nh- số nguyên? Hãy toàn số Tìm số d- phép chia biểu thức x x x x 2008 cho đa thức x2 10 x 21 Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đ-ờng cao AH (H BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đ-ờng vuông góc với BC D cắt AC E Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD BC AH HC Hết PHềNG GD&T HI LNG CHNH THC THI KHO ST HC SINH GII LP NM HC 2008-2009 Thi gian lm bi 150 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Bi 1: (3 im) Lm th no em c lớt nc t sụng v nu tay ch cú hai cỏi can, mt can cú dung tớch lớt, mt can cú dung tớch lớt v khụng can no cú vch chia dung tớch ? Bi 2: (3 im) Mt s gm ch ging chia cho mt s gm ch s ging thỡ c thng l 16 v s d l mt s r no ú Nu s b chia v s chia u bt i mt ch s thỡ thng khụng i v s d gim bt 200 Tỡm cỏc s ú Bi 3: (3 im) Chng minh rng n3 n chia ht cho vi mi s t nhiờn n Bi 4: (3 im) Tớnh tng S = 1 x x x x x8 Bi 5: (4 im) Nhõn ngy 1- mt phõn i thiu niờn c tng mt s ko S ko ny c chia ht v chia u cho mi ngi phõn i m bo nguyờn tc y phõn i trng xut cỏch nhn phn ko ca mi ngi nh sau: Bn th nht nhn cỏi ko v c ly thờm s ko cũn li Sau bn 11 th nht ó ly phn mỡnh, bn th hai nhn cỏi ko v c ly thờm s ko 11 cũn li C tip tc nh th n bn cui cựng th n nhn n cỏi ko v c ly thờm s ko cũn li 11 Hi phõn i thiu niờn núi trờn cú bao nhiờu i viờn v mi i viờn nhn bao nhiờu ko Bi 6: (4 im) Cho tam giỏc ABC cõn ti A, cú gúc A = 200 Trờn AB ly im D cho AD = BC Tớnh gúc BDC PHềNG GD &T I LC THI HC SINH GII LP (Nm hc 2013-2014) Mụn : TON Thi gian : 150 phỳt H v tờn GV : H Th Song NGH n v: Trng THCS Hong Vn Th Bi : (5 ) a) Khụng tớnh giỏ tr mi biu thc ,hóy so sỏnh : 2015 2014 2015 2014 v 2015 2014 2015 2014 b) Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t : (x2 8)2 + 36 c) Cho ba s hu t x, y,z ụi mt khỏc Chng minh : x y y z z x l bỡnh phng ca mt s hu t Bi : (5 ) a2 b2 c2 a b c b2 c2 a2 b c a b) Tỡm giỏ tr nh nht ca A = 6x 9x a) Chng minh bt ng thc sau : c) Xỏc nh d ca phộp chia a thc : x19 + x5 x1995 cho a thc x2 -1 Bi : (4 ) Gii cỏc phng trỡnh sau : a) X4 + 6y2 -7 = b) 1 1 2011x 2012 x 2013x 2014 x Bi : (4) Cho hỡnh vuụng ABCD Gi E l mt im trờn BC Qua E k tia Ax vuụng gúc vi AE Ax ct CD ti F Trung tuyn AI ca tam giỏc AEF ct CD K ng thng qua E song song vi AB ct AI G a) Chng minh : AE = AF v t giỏc EGKF l hỡnh thoi b) Chng minh : AEF ~ CAF v AF2 = FK.FC c) Khi E thay i trờn BC chng minh : EK = BE + DK v chu vi tam giỏc EKC khụng i Bi : (2) Cho tam giỏc ABC cú A B Tớnh di AB bit AC = 9cm, BC = 12cm TRNG THCS KIM NG Ngi : TRN INH TRAI NGH NGH HOC SINH GII Nm hc 2013- 2014 Mụn TON Lp Thi gian : 150 phỳt ( khụng k thi gian giao ) Câu : (2 điểm) Cho P= a 4a a a 7a 14a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: ( điểm) Chứng minh rằng: (n5 5n3 + 4n) 120 với m, n Z Câu : (2 điểm) a) Giải ph-ơng trình : 1 1 x x 20 x 11x 30 x 13x 42 18 Câu 4: ( điểm) Trong hai số sau số lớn hơn: a = 1969 1971 ; b = 1970 Câu 5: (4 im): Cho tam giỏc ABC nhn, cỏc ng cao AA, BB, CC, H l trc tõm HA' HB' HC' AA' BB' CC' b) Gi AI l phõn giỏc ca tam giỏc ABC; IM, IN th t l phõn giỏc ca gúc AIC v gúc AIB Chng minh rng: AN.BI.CM = BN IC.AM a) Tớnh tng (AB BC CA) c) Tam giỏc ABC nh th no thỡ biu thc t giỏ tr nh nht? AA' BB' CC' PHềNG GD&T I LC THI HC SINH GII (NM HC 2013 2014) MễN: TON (Thi gian 150 phỳt) NGH GV : Vừ Cụng Tin n v: Trng THCS Lờ Li x2 Bi 1: (3 im) Cho biu thc A : x x 3x 27 3x 1) Rỳt gn A 2) Tỡm x A < Bi : (2 im) Phõn tớch cỏc a thc sau tha s: 1) x 2) x x x x 24 Bi 3: (4 im) x x x x 2010 x 2009 x 2008 2010 2009 2008 1 2) Cho ba s x, y, z khỏc v khỏc tho x y z 1 Chng minh: x yz y zx z xy 1) Gii phng trỡnh Bi 4: (4 im) a Tỡm giỏ tr ln nht ca A = 2x x3 27 b/ Tỡm giỏ tr nh nht ca B = vi x -3 3x x x 2x Bi 5: (7,0 im) Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú ng chộo AC ln hn ng chộo BD Gi E, F ln lt l hỡnh chiu ca B v D xung ng thng AC Gi H v K ln lt l hỡnh chiu ca C xung ng thng AB v AD a) T giỏc BEDF l hỡnh gỡ ? Hóy chng minh iu ú ? b) Chng minh rng : CH.CD = CB.CK c) Chng minh rng : AB.AH + AD.AK = AC2 Ht PHềNG GD & T I LC NGH KIM TRA HC SINH GII NM HC 2013- 2014 Mụn: Toỏn (Thi gian lm bi: 120 phỳt) Ngi : TRN MI N V : TRNG THCS Lấ QUí ễN NGH Bi 1(4 im) a) Phõn tớch a thc thnh nhõn t : : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) Tỡm s d ca phộp chia x7 + x5 + x3 + cho x2 Cõu (4 im) - 4x x2 1 x 2x b) Rỳt gn biu thc vi x : 2 x x 1 x x a) Tỡm GTNN, GTLN ca A = Bi 3(4 im) a) Cho abc = Rỳt gn biu thc A = a b 2c ab + a + bc + b + ac + 2c + b) Tỡm s nguyờn dng n cỏc biu thc sau l s chớnh phng b1) n2 n + b2) n5 n + Bi (5 im) Cho tam giỏc ABC, trung tuyn AM Qua im D thuc cnh BC, v ng thng song song vi AM, ct AB, AC ti E v F a) Chng minh DE + DF khụng i D di ng trờn BC b) Qua A v ng thng song song vi BC, ct FE ti K Chng minh rng K l trung im ca FE Bi 5(3 im) Cho ABC , O l mt im nm tam giỏc T O k OA BC, OB AC, OC AB (A BC; B AC; C AB) Chng minh rng: OA' OB' OC' (Vi AH, BK, CI l ba ng cao ca tam giỏc h AH BK CI ln lt t A, B, C) - Ht PHềNG GD&T I LC THI HC SINH GII LP (NM HC 2013 - 2014) Mụn: Toỏn (Thi gian: 150 phỳt) NGH H v tờn GV : Phm Thanh Bỡnh n v: Trng THCS Lý Thng Kit BI Bi 1(5) a) Phõn tớch a thc x3 5x2 + 8x thnh nhõn t b) Tỡm giỏ tr nguyờn ca x A B bit A = 10x2 7x v B = 2x c) Cho x + y = v x y Chng minh rng x y x y 2 y x x y 3 Bi 2(5) Gii cỏc phng trỡnh sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b) Tỡm s d ca a thc (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2014 chia cho a thc x2+10x+21 c) x x x x 2007 2006 2005 2004 Bi 3(3) Gii bi toỏn bng cỏch lp phng trỡnh: Mt ngi i xe gn mỏy t A n B vi d nh mt gi 20 phỳt Nu ngi y tng tc thờm km/h thỡ s n B sm hn 20 phỳt Tớnh khong cỏch AB v tc d nh i ca ngi ú Bi 4(7) Cho gúc xOy v im I nm gúc ú K IC vuụng gúc vi Ox(C thuc Ox), ID vuụng gúc vi Oy(D thuc Oy) cho IC = ID = a ng thng qua I ct Ox A ct Oy B a/ Chng minh rng tớch AC DB khụng i ng thng qua I thay i b/ Chng minh rng c/ Bit SAOB = CA OC DB OB 8a Tớnh CA; DB theo a PHềNG GD&T I LC Kè THI CHN HC SINH GII CP THCS TRNG THCS Lí T TRNG Nm hc 2013-2014 MễN : TON (8) ( Thi gian : 150 phỳt ) H v tờn GV : NGUYN TH TRM OANH n v : THCS Lí T TRNG Cõu 1: (2 im) a.Cho a, b, c l cỏc s hu t tha iu kin: ab + ac + bc = Chng minh rng: (a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) l bỡnh phng ca mt s hu t b.Tớnh: NGH A (1 1 1 )(1 )(1 ) (1 ) 2 x ( x 1) ( x 2) ( x 9) Cõu 2: (5 im) a) Tỡm giỏ tr nh nht ca P( x) x2 x x2 x b) Tỡm d phộp chia a thc f(x) = x1994 + x1993 +1 cho g(x) = x2 c) Chng minh rng: 16n 15n 225 Cõu 3: (5 im) a) nh m phng trỡnh sau cú nghim nht: x2 x x m x b)Gii phng trỡnh: | x | + | 2x + 1| - |x - 3| =14 c)Cho a, b, c l ba cnh ca tam giỏc Chng minh rng: a b c b c a a c b a b c Cõu 4: (2im)Tớnh di ng trung bỡnh ca hỡnh thang cõn cú cỏc ng chộo vuụng gúc vi v cú di ng cao bng 10 cm Cõu 5: (6im)Cho hỡnh vuụng OCID cnh a, AB l ng thng bt kỡ i qua I ct tia OC, OD ln lt A v B a Chng minh rng tớch CA.CB cú giỏ tr khụng i (tớnh theo a) b.Chng minh: CA OA2 DB OB c.Xỏc nh ng thng AB cho DB = 4CA d.Cho din tớch tam giỏc AOB bng 8a Tớnh CA + DB theo a Ht M (7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; thỡ A B (0,25) 4 x y = x x y3 y y x (y 1)(x 1) x y4 (x y) c) (1,5) Bin i ( x + y = y - 1= -x v x - 1= - y) (0,25) xy(y y 1)(x x 1) x y x y x y2 (x y) = (0,25) xy(x y y x y yx xy y x x 1) = = x y (x y 1) xy x y xy(x y) x y xy x y (x (0,25) x y y) = x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3) xy x y (x y) = (0,25) = x y x( y) y( x) = x y (2xy) xy(x y 3) xy(x y 3) = (0,25) 2(x y) Suy iu cn chng minh x y2 (0,25) Bi 2: (3 )a) (1,25) (x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 t y = x2 + x y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y -12 = (y + 6)(y - 2) = y = - 6; y = * x2 + x = - vụ nghim vỡ x2 + x + > vi mi x * x2 + x = x2 + x - = x2 + 2x - x - = x(x + 2) (x + 2) = (x + 2)(x - 1) = x = - 2; x = Vy nghim ca phng trỡnh x = - ; x =1 x x x x x x b) (1,75) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x x2 x x4 x5 x6 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 ) (0,5) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Do ú : 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bi 3: (2 im) a) (1) (0,25) (0,25) (0,25) (0,25) x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 ( x 2009)( (0,25) EDF vuụng cõn ADE = CDF (c.g.c) EDF cõn ti D Mt khỏc: ADE = CDF (c.g.c) E F2 (0,25) Vỡ 1 ; ; 2008 2005 2007 2004 (0,25) Vy x + 2009 = x = -2009 E I 1 B C Chng minh Ta cú M E E F1 = 900 F2 E F1 = 900 EDF = 90 Vy EDF vuụng cõn b) (1) Chng minh O, C, I thng 1 2006 2003 O A D F Theo tớnh cht ng chộo hỡnh vuụng CO l trung trc BD M EDF vuụng cõn DI = Tng t BI = EF EF DI = BI B I thuc dng trung trc ca DB I thuc ng thng CO Hay O, C, I thng hng Bi 4: (2 im) a) (1) DE cú di nh nht t AB = AC = a khụng i; AE = BD = x (0 < x < a) = 2(x a a a ) + 2 E (0,25) (0,25) Ta cú DE nh nht DE2 nh nht x = BD = AE = C A p dng nh lý Pitago vi ADE vuụng ti A cú: DE2 = AD2 + AE2 = (a x)2 + x2 = 2x2 2ax + a2 = 2(x2 ax) a2 D a D, E l trung im AB, AC a (0,25) b) (1) T giỏc BDEC cú din tớch nh nht (0,25) 1 1 AD.AE = AD.BD = AD(AB AD)= (AD2 AB.AD) (0,25) 2 2 2 AB AB AB2 AB AB AB = (AD AD + )+ = (AD ) + (0,25) 2 4 8 AB2 AB2 Vy SBDEC = SABC SADE = AB2 khụng i (0,25) 8 Do ú SBDEC = AB2 D, E ln lt l trung im AB, AC (0,25) Ta cú: SADE = S 20 Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y2 5x + 5y b) 2x2 5x Bài 2: Tìm đa thức A, biết rằng: x 16 A x x2 Bài 3: Cho phân thức: 5x 2x 2x a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phơng trình : x2 x x x( x 2) b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 + Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình: Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hoàn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM a) Chứng minh ABC ~ HBA b) Tính : BC; AH; BH; CH ? c) Tính diện tích AHM ? Biểu điểm - Đáp án Đáp án Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 y2 5x + 5y = (x2 y2) (5x 5y) = (x + y) (x y) 5(x y) = (x - y) (x + y 5) (1 điểm) b) 2x2 5x = 2x2 + 2x 7x = (2x2 + 2x) (7x + 7) = 2x(x +1) 7(x + 1) = (x + 1)(2x 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 điểm) A= x(4 x 16 x[(2 x) x(2 x 4)(2 x 4) x.2( x 2).2( x 2) 4( x 2) x x( x 2) x( x 2) x 2x x 2x Bài 3: (2 điểm) a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 2x x + x x -1 b) Rút gọn: 5x 5( x 1) 2 x x x( x 1) x 5 2x x 2x (1 điểm) (0,5 điểm) (0,25 điểm) Biểu điểm Vì 5 thoả mãn điều kiện hai tam giác nên x 2 (0,25 điểm) Bài 4: a) Điều kiện xác định: x 0; x - Giải: x(x 2) - (x - 2) x2 + 2x x +2 = 2; x( x 2) x( x 2) x= (loại) x = - Vậy S = b) x2 < x2 + 4x + x2 x2 4x < + - 4x < 16 x> - Vậy nghiệm phơng trình x > - Bài 5: Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày Điều kiện: x nguyên dơng x > Vậy số ngày tổ thực là: x- (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13 57x 57 50x = 13 7x = 70 x = 10 (thoả mãn điều kiện) Vậy: số ngày dự định sản xuất 10 ngày Số sản phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm) Bài 6: a) Xét ABC HBA, có: Góc A = góc H = 900; có góc B chung ABC ~ HBA ( góc góc) b) áp dụng pitago vuông ABC AB AC = 15 20 = 625 = 25 (cm) AB AC BC 15 20 25 ABC ~ HBA nên hay HB HA BA HB HA 15 20.05 AH = 12 (cm) 25 15.15 BH = (cm) 25 ta có : BC = 1đ 1đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 1đ 1đ 1đ 1đ 1đ HC = BC BH = 25 = 16 (cm) BC 25 BH 3,5(cm) 2 1 SAHM = AH HM = 12 3,5 = 21 (cm2) 2 c) HM = BM BH = - Vẽ hình: 1đ A B H M C 1đ S 21 Bi 1(3 im): Tỡm x bit: a) x2 4x + = 25 x 17 x 21 x b) 1990 1986 1004 c) 4x 12.2x + 32 = 1 x y z yz xz xy Tớnh giỏ tr ca biu thc: A x yz y 2xz z 2xy Bi (1,5 im): Cho x, y, z ụi mt khỏc v Bi (1,5 im): Tỡm tt c cỏc s chớnh phng gm ch s bit rng ta thờm n v vo ch s hng nghỡn , thờm n v vo ch s hng trm, thờm n v vo ch s hng chc, thờm n v vo ch s hng n v , ta c mt s chớnh phng Bi (4 im): Cho tam giỏc ABC nhn, cỏc ng cao AA, BB, CC, H l HA' HB' HC' trc tõm a) Tớnh tng AA' BB' CC' b) Gi AI l phõn giỏc ca tam giỏc ABC; IM, IN th t l phõn giỏc ca gúc AIC v gúc AIB Chng minh rng: AN.BI.CM = BN.IC.AM (AB BC CA) c) Chng minh rng: AA'2 BB'2 CC'2 P N THI CHN HC SINH GII Bi 1(3 im): a) Tớnh ỳng x = 7; x = -3 im ) b) Tớnh ỳng x = 2007 im ) c) 4x 12.2x +32 = 2x.2x 4.2x 8.2x + 4.8 = 0,25im ) x x x x x (2 4) 8(2 4) = (2 8)(2 4) = 0,25im ) x x x x (2 )(2 ) = 2 = hoc 2 = 0,25im ) ( (1 ( ( ( x x = hoc = x = 3; x = ( 0,25im ) Bi 2(1,5 im): xy yz xz 1 xy yz xz yz = xyxz xyz x y z 0,25im ) x2+2yz = x2+yzxyxz = x(xy)z(xy) = (xy)(xz) 0,25im ) ( ( Tng t: y2+2xz = (yx)(yz) ; z2+2xy = (zx)(zy) 0,25im ) Do ú: A ( yz xz xy ( x y)(x z) ( y x )( y z) (z x )(z y) ( 0,25im ) Tớnh ỳng A = im ) Bi 3(1,5 im): Gi abcd l s phi tỡm a, b, c, d (0,25im) ( 0,5 N, a, b, c, d 9, a Ta cú: abcd k vi k, m N, 31 k m 100 (a 1)(b 3)(c 5)(d 3) m (0,25im) abcd k abcd 1353 m (0,25im) Do ú: m2k2 = 1353 (m+k)(mk) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25im) m+k = 123 m+k = 41 hoc mk = 11 mk = 33 m = 67 m = 37 hoc k = 56 (0,25im) abcd Kt lun ỳng (0,25im) k = = 3136 Bi (4 im): V hỡnh ỳng (0,25im) HA'.BC S HBC HA' a) ; S ABC AA' AA'.BC (0,25im) S HAB HC' SHAC HB' Tng t: ; S ABC CC' SABC BB' A C H N x B M I A C B D (0,25im) HA' HB' HC' SHBC SHAB SHAC AA' BB' CC' SABC SABC SABC (0,25im) b) p dng tớnh cht phõn giỏc vo cỏc tam giỏc ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; IC AC NB BI MA AI (0,5im ) BI AN CM AB AI IC AB IC IC NB MA AC BI AI AC BI BI AN.CM BN.IC.AM c)V Cx CC Gi D l im i xng ca A qua Cx (0,25im) -Chng minh c gúc BAD vuụng, CD = AC, AD = 2CC (0,25im) - Xột im B, C, D ta cú: BD BC + CD (0,25im) - BAD vuụng ti A nờn: AB2+AD2 = BD2 2 AB + AD (BC+CD) (0,25im) AB2 + 4CC2 (BC+AC)2 4CC2 (BC+AC)2 AB2 Tng t: 4AA2 (AB+AC)2 BC2 4BB2 (AB+BC)2 AC2 (0,25im) -Chng minh c : 4(AA2 + BB2 + CC2) (AB+BC+AC)2 (0,5im ) (0,5im ) (AB BC CA) AA'2 BB'2 CC'2 (0,25im) (ng thc xy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC u) Đề S 22 Câu 1: (5điểm) a, Tìm số tự nhiên n để: A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b, B = n 3n 2n 6n Có giá trị số nguyên n2 D= n5-n+2 số ph-ơng Chứng minh : c, Câu 2: (5điểm) (n 2) a, a b c biết abc=1 ab a bc b ac c b, Với a+b+c=0 a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 a2 b2 c2 c b a b2 c2 a2 b a c c, Câu 3: (5điểm) a, Giải ph-ơng trình sau: x 214 x 132 x 54 86 84 82 b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9 c, x2-y2+2x-4y-10=0 với x,ynguyên d-ơng Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đ-ờng chéo.Qua kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b Chứng minh: 1 AB CD EF c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đ-ờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF Câu Nội dung giải a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 n=2 A=5 Điểm 0,5 0,5 n B có giá trị nguyên n2+2 n2+2 -ớc tự nhiên Câu n2+2=1 giá trị thoả mãn (5điểm) Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên c, (2điểm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 =n(n-1)(n+1) n +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n1)(n+1)+2 Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 (tich 5số tự nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+1 Vậy D chia d- Do số D có tận 7nên D số ph-ơng Vậy giá trị n để D số ph-ơng B=n2+3n- b, (2điểm) a b c ab a bc b ac c ac abc c abc ac c abc abc ac ac c ac abc c abc ac = 1 ac c c ac ac c abc ac 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a, (1điểm) b, (2điểm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2= 2(ab+ac+bc) a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) Vì Câu a+b+c=0 (5điểm) a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1) Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) Vì a+b+c=0 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Từ (1)và(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2điểm) x=y áp dụng bất đẳng thức: x +y 2xy Dấu a2 b2 a b a ; b c c b c 2 c b c b b 2 a c a a c 2 a2 c2 a c c ; b a b b a Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: a b2 c2 a c b 2( ) 2( ) b c a c b a 2 a b c a c b b c a c b a 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 x 214 x 132 x 54 86 84 82 x 214 x 132 x 54 ( 1) ( 2) ( 3) 86 84 82 x 300 x 300 x 300 86 84 82 1 (x-300) x-300=0 x=300 Vậy S = 300 86 84 82 a, (2điểm) 1,0 0,5 0,5 b, (2điểm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9 2 0,5 (64x -16x+1)(8x -2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72 2 Câu Đặt: 64x -16x+0,5 =k Ta có: (k+0,5)(k-0,5)=72 k =72,25 0,5 (5điểm) k= 8,5 Với k=8,5 tacó ph-ơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; 0,5 x= ; x 0,5 Với k=- 8,5 Ta có ph-ơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 vô nghiệm Vậy S = , c, (1điểm) x2-y2+2x-4y-10 = (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên d-ơng Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Ph-ơng trình có nghiệm d-ơng (x,y)=(3;1) 0,5 0,5 a,(1điểm) Vì AB//CD S DAB=S CBAA (cùng đáy đ-ờng cao) S DAB SAOB = S CBA- SAOB E Hay SAOD = SBOC B 0,5 0,5 K I N O F M D 0,5 C 1,0 0,5 EO AO b, (2điểm) Vì EO//DC Mặt khác AB//DC Câu DC AC (5điểm) AB AO AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 1 DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c, (2điểm) +Dựng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đ-ờng thẳng KN đ-ờng thẳng phải dựng Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) và(2) SDEKN=SKFN 1,0 1,0 B thi hc sinh gii Toỏn lp www.PNE.edu.vn Đề số 1: (lớp 8) Bài 1: (2 điểm) Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 1,25) 31,64 B (11,81 8,19).0,02 : 11,25 Trong hai số A B số lớn lớn lần ? b) Số A 101998 có chia hết cho không ? Có chia hết cho không ? Câu 2: (2 điểm) Trên quãng đ-ờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quãng đ-ờng ng-ời tới lúc gặp ? Câu 3: a) Cho f ( x) ax2 bx c với a, b, c số hữu tỉ Chứng tỏ rằng: f (2) f (3) Biết 13a b 2c b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A x có giá trị lớn Câu 4: (3 điểm) Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B E nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F C nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AB a) Chứng minh rằng: ABF = ACE b) FB EC Câu 5: (1 điểm) Tìm chữ số tận 18 A 195 19 29 Cỏc b ti liu ễn thi HSG Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Đề số Bài 1: (2 điểm) 1) Chứng minh P 2P + số nguyên tố lớn 4P + hợp số 2) Hãy tìm BSCNN ba số tự nhiên liên tiếp Bài 2: (2 điểm) Hãy thay chữ số vào chữ x, y N 20 x0 y04 để N chia hết cho 13 Bài 3: (2 điểm) Vòi n-ớc I chảy vào đầy bể 30 phút Vòi n-ớc II chảy vào đầy bể 11 40 phút Nếu vòi n-ớc I chảy vào giờ; vòi n-ớc II chảy vào 25 phút l-ợng n-ớc chảy vào bể vòi nhiều Khi l-ợng n-ớc bể đ-ợc phần trăm bể Bài 4: (2 điểm) Bạn Huệ nghĩ số có ba chữ số mà viết ng-ợc lại đ-ợc số có ba chữ số nhỏ số ban đầu Nếu lấy hiệu số lớn số bé hai số đ-ợc 396 Bạn Dung nghĩ số thoả mãn điều kiện Hỏi có số có tính chất trên, tìm số Bài 5: (2 điểm) Chứng minh rằng: số có chẵn chữ số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số đứng vị trí chẵn tổng chữ số đứng vị trí lẻ, kể từ trái qua phải chia hết cho 11 (Biết 102n 102n chia hết cho 11) B thi Hc sinh gii Toỏn Lp www.PNE.edu.vn Đề số (t0án 8) Bài 1: (3 điểm) x2 Cho biểu thức A : x x 3x 27 3x a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1 c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm) Giải ph-ơng trình: a) 6y y 10 y y 1 y x x x b) x 2 Bài 3: (2 điểm) Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lần l-ợt lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy Bài 4: (2 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đ-ờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh: a) BD // MN b) BD MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 điểm) Cho a = 111 (2n chữ số 1), b = 444 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a + b + số ph-ơng