Đang tải... (xem toàn văn)
góc với BC tại D cắt AC tại E. Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tia AM cắt BC tại G[r]
(1)UBND THàNH PHố Huế kỳ thi CHọN học sinh giỏi tHàNH PHố PHòNG Giáo dục đào tạo lớp thCS - năm học 2007 - 2008 Mơn : Tốn
Đề thức Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
7 x x
2
2008 2007 2008
x x x
Bài 2: (2điểm)
Giải ph-ơng trình:
3
x x x
2
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
Bài 3: (2điểm)
1 Căn bậc hai 64 cã thĨ viÕt d-íi d¹ng nh- sau: 64 6
Hỏi có tồn hay khơng số có hai chữ số viết bậc hai chúng d-ới dạng nh- số ngun? Hãy tồn số
2 T×m sè d- phÐp chia cđa biĨu thøc x2x4x6x 8 2008 cho ®a thøc
10 21 x x
Bài 4: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đ-ờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đ-ờng vuông góc với BC D cắt AC E
1 Chng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB
2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
(2)PHỊNG GD&ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP
NĂM HỌC 2008-2009
Thời gian làm 150 phút
(Không kể thời gian giao đề)
Bài 1: (3 điểm) Làm để đem lít nước từ sơng tay có hai can, can có dung tích lít, can có dung tích lít khơng can có vạch chia dung tích ?
Bài 2: (3 điểm) Một số gồm chữ giống chia cho số gồm chữ số giống thương 16 số dư số r
Nếu số bị chia số chia bớt chữ số thương khơng đổi số dư giảm bớt 200 Tìm số
Bài 3: (3 điểm) Chứng minh n3 – n chia hết cho với số tự nhiên n
Bài 4: (3 điểm) Tính tổng S = 2 4 8
1
4
2
1
1
x x
x x
x
Bài 5: (4 điểm) Nhân ngày 1- phân đội thiếu niên tặng số kẹo Số kẹo chia hết chia cho người phân đội Để đảm bảo nguyên tắc phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo người sau:
Bạn thứ nhận kẹo lấy thêm 11
1
số kẹo lại Sau bạn thứ lấy phần mình, bạn thứ hai nhận kẹo lấy thêm
11
số kẹo lại Cứ tiếp tục đến bạn cuối thứ n nhận n kẹo lấy thêm
11
số kẹo lại
Hỏi phân đội thiếu niên nói có đội viên đội viên nhận kẹo
Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân A, có góc A = 200 Trên AB lấy điểm D cho AD = BC Tính góc BDC
(3)PHÒNG GD &ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (Năm học 2013-2014) Mơn : TỐN – Thời gian : 150 phút
Họ tên GV đề : Hồ Thị Song Đơn vị: Trường THCS Hoàng Văn Thụ Bài : (5 đ)
a) Khơng tính giá trị biểu thức ,hãy so sánh :
2
2014 2015
2014 2015
2 2
2
2014 2015
2014 2015
b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : (x2 – 8)2 + 36
c) Cho ba số hữu tỉ x, y,z đôi khác Chứng minh : 2 2 2
1
1
x z z y y
x bình phương số hữu tỉ Bài : (5 đ)
a) Chứng minh bất đẳng thức sau :
a c c b b a a c c b b a
22 22
2
b) Tìm giá trị nhỏ A = 2
2 x x
c) Xác định dư phép chia đa thức : x19 + x5 – x1995 cho đa thức x2 -1 Bài : (4 đ) Giải phương trình sau :
a) X4 + 6y2 -7 = b)
5 2014
1
2013
2012 1
2011
x x x
x
Bài : (4đ) Cho hình vng ABCD Gọi E điểm BC Qua E kẻ tia Ax vng góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G
a) Chứng minh : AE = AF tứ giác EGKF hình thoi b) Chứng minh : AEF~ CAF AF2 = FK.FC
c) Khi E thay đổi BC chứng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi
Bài : (2đ) Cho tam giác ABC có A 2B Tính độ dài AB biết AC = 9cm, BC = 12cm
(4)TRƯỜNG THCS KIM ĐỒNG Người đề : TRẦN ĐINH TRAI
ĐỀ ĐỀ NGHỊ HOC SINH GIỎI
Năm học 2013- 2014
Mơn TỐN – Lớp
Thời gian : 150 phút ( không kể thi gian giao ) Câu : (2 điểm)
Cho P =
8 14
4
2
2
a a
a
a a a
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên Câu 2: ( điểm)
Chøng minh r»ng: (n5 – 5n3 + 4n) 120 víi m, n Z C©u 3 : (2 điểm)
a) Giải ph-ơng trình :
18 42 13
1 30
11 20
9
2
2
x x
x x
x x
C©u 4: ( điểm)
Trong hai số sau số lín h¬n: a = 1969 1971 ; b = 1970
C©u 5: (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm
a) Tính tổng
' CC
' HC '
BB ' HB ' AA
'
HA
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM
c) Tam giác ABC biểu thức 2 2 ' CC '
BB '
AA
) CA BC AB (
đạt giá trị nhỏ nhất?
(5)PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI (NĂM HỌC 2013 – 2014) MÔN: TOÁN (Thời gian 150 phút)
GV đề: Võ Công Tiển Đơn vị: Trường THCS Lê Lợi
Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức
2
2
1
:
3 27 3
x A
x
x x x
1) Rút gọn A
2) Tìm x để A < –1
Bài : (2 điểm) Phân tích đa thức sau thừa số: 1) x4
2) x x x x 24
Bài 3: (4 điểm)
1) Giải phương trình 2010 2009 2008
2010 2009 2008
x x x x x x 2) Cho ba số x, y, z khác khác thoả mãn 1
x y z
Chứng minh: 2 2 2
2 2
x yz y zx z xy
Bài 4: (4 điểm)
a.Tìm giá trị lớn A = 23 27 x x
với x -3
b/ Tìm giá trị nhỏ B =
1 2
6
x x
x x
Bài 5: (7,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD
a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK
2
(6)PHÒNG GD & ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ ĐỀ NGHỊ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013- 2014
Mơn: Tốn (Thời gian làm bài: 120 phút)
Người đề: TRẦN MƯỜI
ĐƠN VỊ : TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN
Bài 1(4 điểm)
a) Phân tích đa thức thành nhân tử : : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 b) Tìm số dư phép chia x7
+ x5 + x3 + cho x2 –
Câu (4 điểm)
a) Tìm GTNN, GTLN A = - 4x2 x 1
b) Rút gọn biểu thức 2 :1 22
1 1
x x
x x x x
với x Bài 3(4 điểm)
a) Cho abc = Rút gọn biểu thức A = a b 2c ab + a + 2bc + b + 1ac + 2c + b) Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương
b1) n2 – n + b2) n5 – n +
Bài 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC E F
a) Chứng minh DE + DF không đổi D di động BC
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE
Bài 5(3 điểm) Cho ABC, O điểm nằm tam giác Từ O kẻ OA’ BC, OB’ AC, OC’ AB (A’ BC; B’ AC; C’ AB)
Chứng minh rằng: ' ' ' 1 CI OC BK OB AH OA
(Với AH, BK, CI ba đường cao tam giác hạ từ A, B, C)
- Hết -
(7)PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (NĂM HỌC 2013 - 2014) Môn: Toán (Thời gian: 150 phút)
Họ tên GV đề:Phạm Thanh Bình Đơn vị: Trường THCS Lý Thường Kiệt
ĐỀ BÀI Bài 1(5đ)
a) Phân tích đa thức x3
– 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết
A = 10x2 – 7x – B = 2x – c)Cho x + y = x y 0 Chứng minh 3 3 22 2
1
x y
x y
y x x y
Bài 2(5đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12
b) Tìm số dư đa thức (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2014 chia cho đa thức x2+10x+21 c)
2004 2005
4 2006
3 2007
2
x x x
x
Bài 3(3đ) Giải toán cách lập phương trình:
Một người xe gắn máy từ A đến B với dự định 20 phút Nếu người tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định người
Bài 4(7đ). Cho góc xOy điểm I nằm góc Kẻ IC vng góc với Ox(C thuộc Ox), ID vng góc với Oy(D thuộc Oy) cho IC = ID = a Đường thẳng qua I cắt Ox A cắt Oy B
a/ Chứng minh tích AC DB không đổi đường thẳng qua I thay đổi b/ Chứng minh 22
OB OC DB CA
c/ Biết SAOB =
3
(8)PHỊNG GD&ĐT ĐẠI LỘC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS TRƯỜNG THCS LÝ TỰ TRỌNG Năm học 2013-2014
MƠN : TỐN (8) ( Thời gian : 150 phút ) Họ tên GV đề : NGUYỄN THỊ TRÂM OANH Đơn vị : THCS LÝ TỰ TRỌNG
Câu 1: (2 điểm)
a.Cho a, b, c số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện: ab + ac + bc = Chứng minh rằng:
(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1) bình phương số hữu tỉ b.Tính:
(1 12)(1 2)(1 2) (1 2) ( 1) ( 2) ( 9) A
x x x x
Câu 2: (5 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ
2
2
( )
2
x x
P x
x x
b) Tìm dư phép chia đa thức
f(x) = x1994 + x1993 +1 cho g(x) = x2 –
c) Chứng minh rằng: 16n – 15n – 225 Câu 3: (5 điểm)
a) Định m để phương trình sau có nghiệm nhất:
1
x x
x m x
b)Giải phương trình: | x | + | 2x + 1| - |x - 3| =14
c)Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c
b c a a c ba b c
Câu 4: (2điểm)Tính độ dài đường trung bình hình thang cân có đường chéo vng góc với có độ dài đường cao 10 cm
Câu 5: (6điểm)Cho hình vng OCID cạnh a, AB đường thẳng qua I cắt tia OC, OD A B
a Chứng minh tích CA.CB có giá trị khơng đổi (tính theo a) b.Chứng minh:
2
CA OA
DB OB
c.Xác định đường thẳng AB cho DB = 4CA
2
(9)Phòng GD & ĐT Đại Lộc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP
Trường THCS MỸ HOÀ Năm học: 2013-2014 GV: Nguyễn Hai Môn thi TOÁN
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu ( 6 điểm ) :
1)Cho biểu thức :
2 2 :
3
x y x y
P x y
x x y x x
a) Tìm điều kiện xác định P
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị P x = 3y
2) a)Chứng minh : ( a + b – c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc b) Cho xy = Chứng minh rằng: x2 + y2 ( x – y )
Câu ( 4điểm ) : Giải phương trình :
a) 2005 8038 4004 6022
9 18 24 20
x x x x
b) 21 2 2 1
3 2013
x xx x x x x
Câu ( điểm ): Cho tam giác ABC vuông A có AB = 6cm, AC = 8cm M điểm nằm hai điểm B C Từ M vẽ đường vng góc MH, MK đến AB, AC
a) Chứng minh tứ giác AHMK hình chữ nhật
b) Tìm vị trí M nằm hai diểm Bvà C để HK có giá trị nhỏ nhất, Tìm giá trị nhỏ đó?
Câu ( điểm ) :
Cho tam giác nhọn ABC Trên cạnh BC, AC lấy hai điểm M, N cho
BC = 3BM; AC = 3AN Từ A vẽ tia Ax song song với BC cho Ax cắt MN P.BP cắt AC I
a) Chứng minh AI2 = IN.IC
b)BN cắt PC Q Giả sử diện tích tam giác ABC S Tính theo S diện tích tam giác BPQ?
Câu ( 2điểm) :
1) Chứng minh 11 số nguyên tồn số chia hết cho 10 tồn hai số có hiệu chia hết cho 10?
2)Tìm số nguyên n biết n2 – n + số phương -Hết -
(10)PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (NĂM HỌC 2013 - 2014) Mơn: TỐN (Thời gian: 150 phút)
Họ tên GV đề: Lê Thị Nề
Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Trãi Bài 1: (3 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4 – 30x2 + 31x – 30
b/ Cho a + b + c = ab + bc + ca = 12 Tính giá trị biểu thức:
(a - b)2012 + (b - c)2013 + (c - a)2014 Bài 2: (4 điểm)
a/ Tìm số nguyên dương n bé cho:
A = n3 + 4n2 - 20n - 48 chia hết cho 36
b/ Chứng minh rằng: A = n8 + 4n7 + 6n6 + 4n5 + n4 chia hết cho 16 với n số nguyên
Bài 3: (5 điểm)
a/ Giải biện luận phương trình sau:
1 x
2 x 1 x
m x
b/ Tìm giá trị nhỏ M biết:
2
2
x
2014 x
2 x
M với x0 Bài 4: (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC có Â = 800, AD phân giác Qua D kẻ đường thẳng song song
với AC cắt AB E, kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC F Tình số đo góc FED
Bài 5: (5,5 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh :
a/ Tứ giác BEDF hình bình hành ? b/ CH.CD = CB.CK
(11)UBND HUYỆN ĐẠI LỘC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THCS
PHÒNG GD&ĐT Năm học 2013-2014
ĐỀ THI MƠN: TỐN - LỚP
Thời gian làm 150 phút - Không tính thời gian giao đề Bài (4 điểm)
Cho biểu thức A = 3
1 :
1
x x x
x x
x x
với x khác -1 a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị biểu thức A x c, Tìm giá trị x để A <
Bài (3 điểm)
Cho a b 2 b c 2 c a24 a b2 c2 ab ac bc Chứng minh ab c
Bài (3 điểm)
Giải tốn cách lập phương trình
Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a42a33a24a5
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi
M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N
a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh
MN CD AB
2 1
(12)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP ( Năm học 2013-2014) MƠN : TỐN ( Thời gian : 150 phút )
Họ tên GV đề : HỒ VĂN VIỆT Đơn vị : THCS PHAN BỘI CHÂU
Bài (4,5 đ)
a/Tính tổng S(n) =
) )( (
1
8
1
1
n n
b/ Chứng minh B = n3 + 6n2 -19n – 24 chia hết cho c/ Tìm giá trị lớn N = 2004 – x2 – 2y2 -2xy +6y
Bài : ( 3đ)
a/ Tìm số dư phép chia biểu thức A= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +2028 cho x2 + 8x +12
b/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 + 2013x2 + 2012x + 2013
Bài : ( 4,5đ)
a/ Giải phương trình :
2007 2008
5 2009
4 2010
3 2011
2 2012
1
x x x x x
x
b/ Tính giá trị biểu thức :
b a
a b b a
b a
3
2
Biết 10a2 - 3b2 +5ab = 9a2 – b2 0
c/ Cho x,y,z số đo ba cạnh tam giác chứng minh x2y + y2z + z2x +zx2 +yz2 + xy2 –x3– y3 –z3 >
Bài 4: (4,5 đ) Cho hình bình hành ABCD , đường chéo lớn AC.Tia Dx cắt AC ,AB,CB I ,M, N Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD,BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng D qua I
Chứng minh : a/ IM.IN = ID2 b/
DN DM KN
KM
c/ AB.AE + AD.AF = AC2
Bài : ( 3,5đ)
Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC ( D B C) Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB E , đường thẳng qua D song song với AB cắt AC F Cho biết diện tích tam giác BED = cm2
, diện tích tam giác CFD = cm2 Tính diện tích tam giác ABC
(13)PHÒNG GD&ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP
Mơn: TỐN_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(Thời gian: _ 180_ _ phút) Họ tên GV đề: _MAI VĂN DŨNG _ _ _
Đơn vị: Trường THCS QUANG TRUNG
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1.
7 x x
2.
2014 2013 2014
x x x
Bài 2: (4điểm) Giải phương trình: 1. x2 3x 2 x 1 0
2.
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
Bài 3: (4điểm) CMR với a,b,c,là số dương ,ta có: (a+b+c)(1 11)9
c b a
3. Tìm số d trong phép chia của biểu thức
x2x4x6x 8 2008 cho đa thức
10 21 x x
Bài 4: (8 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng
góc với BC D cắt AC E
1. Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo mAB
2. Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
(14)Phòng Giáo dục –Đại Lộc
Trường THCS Tây Sơn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN Giáo viên : Trần Đình Mạo Năm học 2013-2014
Thời gian : 120 phút
Bài : (2đ) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử a48a314a28a15
b/ Chứng minh biểu thức
10n 18n1 chia hết cho 27 với n số tự nhiên
Bài : ( 2đ) Tìm tất số phương gồm chữ số ,biết Khi ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn ,thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm ,thêm đơn vị vào chữ số hàng chục ,thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương
Bài : (2đ) a/Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= a42a33a24a5
b/ Giải phương trình
3
2
x x
x x
x x
x
Bài 4: (4đ) Hình thang ABCD (AB//CD ) có hai đường chéo cắt Đường thẳng qua song song với đáy AB cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự M N
a/ Chứng minh OM= ON b/ Chứng minh :
MN CD AB
2 1
c/ Biết 0B 2008 A
S (đơn vị diện tích );SC0D 20092(đơn vị diện tích ) Tính SABCD
(15)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP ( Năm học 2013-2014) MƠN : TỐN ( Thời gian : 150 phút ) Họ tên GV đề : PHẠM THỊ PHƯỢNG Đơn vị : THCS Trần Hưng Đạo
Bài (4,5 đ)
a/Tính tổng S(n) =
) )( (
1
8
1
1
n n
b/ Chứng minh B = n3 + 6n2 -19n – 24 chia hết cho c/ Tìm giá trị lớn N = 2004 – x2 – 2y2 -2xy +6y
Bài : ( 3đ)
a/ Tìm số dư phép chia biểu thức A= (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +2028 cho x2 + 8x +12
b/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 + 2013x2 + 2012x + 2013
Bài : ( 4,5đ)
a/ Giải phương trình :
2007 2008
5 2009
4 2010
3 2011
2 2012
1
x x x x x
x
b/ Tính giá trị biểu thức :
b a
a b b a
b a
3
2
Biết 10a2 - 3b2 +5ab = 9a2 – b2 0
c/ Cho x,y,z số đo ba cạnh tam giác chứng minh x2y + y2z + z2x +zx2 +yz2 + xy2 –x3– y3 –z3 >
Bài 4: (4,5 đ) Cho hình bình hành ABCD , đường chéo lớn AC.Tia Dx cắt AC ,AB,CB I ,M, N Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD,BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng D qua I
Chứng minh : a/ IM.IN = ID2 b/
DN DM KN
KM
c/ AB.AE + AD.AF = AC2
Bài : ( 3,5đ)
Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC ( D B C) Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB E , đường thẳng qua D song song với AB cắt AC F Cho biết diện tích tam giác BED = cm2
, diện tích tam giác CFD = cm2 Tính diện tích tam giác ABC
(16)PHÒNG GD-ĐT ĐẠI LỘC
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP (NĂM HỌC 2013-2014) Mơn Tốn ( Thời gian 150 phút)
Đơn vị : Trường THCS Võ Thị Sáu Người đề: Nguyễn Phước Hai
Bài ( điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a/x4
b/ x x x x 24
Bài 2: (2 điểm) Tìm giá trị m phương trình: 6x - 5m = + 3mx có nghiệm số gấp ba nghiệm số phương trình: ( x + 1)( x - 1) - ( x + 2)2
= Bài ( điểm) Giải phương trình:
a/
3
x x x
b/
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
Bài (2 điểm) Tìm đa thức bậc P(x), cho biết
P(x) = x3 + ax2 +bx+c chia cho x-1; x-2; x-3 có số dư
Bài 5: (6 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD
a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2
Bài 6: (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng
b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ
(17)Câu 1:
Phân tích thành nhân tử:
a, a3 + b3 + c3 – 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3
Câu 2:
Cho A =
2 2
(1 ) x x
x
:
3
1
( )( )
1
x x
x x
x x
a, Rút gọn A b, Tìm A x= -1
2 c, Tìm x để 2A =
Câu 3:
a, Cho x+y+z = Tìm giá trị nhỏ M = x2 + y2 + z2 b, Tìm giá trị lớn P = 2
( 10) x x
Câu 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR: < a a b +
b b c +
c ca< b, Cho x,y 0 CMR:
2
x y +
2
y x
x y +
y x
Câu 5:
Cho ABC có độ dài cạnh a, kéo dài BC đoạn CM =a a, Tính số đo góc ACM
b, CMR: AM AB
(18)Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1 3 5 7 15 A a a a a
Câu 2( đ): Với giá trị a b đa thức:
x a x101
phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên
Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) =
3
x x ax b chia hết cho đa
thức
( ) B x x x
Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vng góc với Hx, AE vng góc Hy
Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vng
Câu 5( đ): Chứng minh
2
1 1
2 100
P
Đáp án biểu điểm
Câu Đáp án Biểu điểm
1
2 ñ
2
2
2
2
2
2
1 15
8 15 15 22 120 11
8 12 10
2 10
A a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ
2
2 đ Giả sử: x a x10 1 x m x n ;( ,m nZ)
2
10 10
10 10
m n a m n a
x a x a x m n x mn
Khử a ta có :
mn = 10( m + n – 10) + 10 10 100
( 10) 10 10)
mn m n
m n n
(19)ĐỀ SỐ 11 Bài 1: (2điểm)
a) Cho 2
x 2xy2y 2x6y 13 0.Tính
2
3x y N
4xy
b) Nếu a, b, c số dương đơi khác giá trị đa thức sau số dương: 3
Aa b c 3abc
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh a + b + c = thì:
A a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
Bài 3: (2 điểm)
Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h
Tính thời gian tơ qng đường AB biết người đến B
Bài 4: (3 điểm)
Cho hình vng ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vng góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC
Bài 5: (1 điểm)
(20)Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a(bc)2(bc)b(ca)2(ca)c(ab)2(ab) b) Cho a, b, c khác nhau, khác 111 0
c b a Rút gọn biểu thức:
ab c
ca b
bc a
N
2
1
1
2
2
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x2 y2 xyx y1
b) Giải phương trình: (y4,5)4 (y5,5)4 10
Bài 3: (2điểm)
Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp tô, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km
Tính quãng đường AB
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vuông ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn
Bài 5: (1điểm)
(21)Câu1
a Phân tích đa thức sau thừa số:
4
x
x x x x 24
b Giải phương trình: x4 30x 31x 30
c Cho a b c
bc caab Chứng minh rằng:
2 2
a b c
0 bc ca ab
Câu2 Cho biểu thức:
2
x 10 x
A : x
x x x x
a Rút gọn biểu thức A. b Tính giá trị A , Biết x =1
2
c Tìm giá trị x để A <
d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên
Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ MEAB, MFAD
a Chứng minh: DECF
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu
a Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1 a b c
b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8
Câu Đáp án Điểm
Câu
(6 điểm)
a x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
= (x2 + 7x + 11)2 - 52
= (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16)
(2 điểm)
b x4 30x 31x 30 <=>
x x x x (*)
(22)Câu 1 : (2 điểm) Cho P=
8 14
4
2
2
a a
a
a a a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập phương chúng chia hết cho
b) Tìm giá trị x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải phương trình :
18 42 13
1 30
11 20
9
2
2
x x x
x x
x
b) Cho a , b , c cạnh tam giác Chứng minh : A = 3
a b c
c b
c a
b a
c b
a
Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác ABC , gọi M trung điểm BC Một góc xMy 600 quay quanh điểm M cho cạnh Mx , My cắt cạnh AB AC D E Chứng minh :
a) BD.CE=
2
BC
b) DM,EM tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giác ADE không đổi
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất tam giác vng có số đo cạnh số nguyên dương số đo diện tích số đo chu vi
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
Câu 1 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4)
(23)Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + = 25
b)
1004 x 1986
21 x 1990
17
x
c) 4x – 12.2x + 32 =
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác z y x
1 Tính giá trị biểu thức:
xy z
xy xz
2 y
xz yz
2 x
yz
A 2 2 2
Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm
a) Tính tổng
' CC
' HC '
BB ' HB '
AA '
HA
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM
c) Tam giác ABC biểu thức 2 2 ' CC '
BB '
AA
) CA BC AB (
đạt giá trị nhỏ nhất?
ĐÁP ÁN
Bài 1(3 điểm):
a) Tính x = 7; x = -3 ( điểm ) b) Tính x = 2007 ( điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ( 0,25điểm ) 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = ( 0,25điểm ) 2x = 23 2x = 22 x = 3; x = ( 0,25điểm )
Bài 2(1,5 điểm):
z y x
1
0 xz yz xy xyz
xz yz
xy
(24)Bài (4 điểm)
Cho biểu thức A = 3 1 : 1 x x x x x x x
với x khác -1 a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị biểu thức A x c, Tìm giá trị x để A <
Bài (3 điểm)
Cho a b 2 b c 2 c a2 4 a 2 b2 c2 ab ac bc Chứng minh a b c
Bài (3 điểm)
Giải toán cách lập phương trình
Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a4 2a33a24a5
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi
M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N
a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh
MN CD AB 1
c, Biết SAOB= 2008
2 (đơn vị diện tích); S
COD= 2009
2 (đơn vị diện tích) Tính S
ABCD.
Đáp án Bài 1( 4 điểm )
a, ( điểm )
(25)Bài 1:
Cho x =
2 2
2
b c a
bc
; y =
2
2
( )
( )
a b c
b c a
Tính giá trị P = x + y + xy
Bài 2:
Giải phương trình: a,
a b x = a+
1 b+
1
x (x ẩn số)
b,
2
(b c)(1 a) x a
+
2
(c a)(1 b) x b
+
2
(a b)(1 c) x c
=
(a,b,c số đôi khác nhau)
Bài 3:
Xác định số a, b biết:
3
(3 1) ( 1)
x x
=
( 1) a
x +( 1)2 b x
Bài 4: Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm nguyên
Bài 5:
Cho ABC; AB = 3AC
(26)Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
3 2
2 1 x
A 1 :
x x 2x x x
x
a/ Thu gọn A
b/ Tìm giá trị x để A<1
c/ Tìm giá trị nguyên x để Acó giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 x2
y + xy2 + x + y = 2010 Hãy tính x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, b c số nguyên Biết đa thức
x4 + 6x2+25 3x4+4x2+28x+5 chia hết cho P(x) Tính P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I trung điểm AB CD Nối D với E Vẽ tia Dx vng góc với DE, tia Dx cắt tia đối tia CB M.Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho DM = EK Gọi G giao điểm DK EM
a/ Tính số đo góc DBK
b/ Gọi F chân đường vng góc hạ từ K xuống BM Chứng minh bốn điểm A, I, G, H nằm đường thẳng
Bài 5 (1 điểm):
(27)Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức
2
2
1 x
A :
3 x 3x 27 3x x
a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1
c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: a)
y y
y y
y
2
6 10
1
2
2
b)
6 x
x x 1 .
3
2
x
2
Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h
Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy?
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh:
a) BD // MN
b) BD MN cắt K nằm AC
Bài 5: (1 điểm)
(28)ĐỀ SỐ 12 Bài 1:
Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = a2
+ b2 + c2= 14 Tính giá trị A = a4
+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011 Biết x,y,z thoả mãn: x22 y22 z22
a b c
=
2 x a +
2
y b +
2 z c Bài 3:
a, Cho a,b > 0, CMR: a+
1 b
4 a b b, Cho a,b,c,d >
CMR: a d d b
+
d b b c
+
b c c a
+
c a a d
Bài 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất: E = x22 xy y22
x xy y
với x,y >
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = 2 ( 1995)
x
x với x >
Bài 5:
a, Tìm nghiệm Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z PT: x2
+ x + = y2
Bài 6:
Cho ABC M điểm miền ABC D, E, F trung điểm AB,
AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D a, CMR: AB’A’B hình bình hành
(29)Đề SỐ 16: Câu 1 : ( 2Đ ) Phân tích biểu thức sau thừa số
M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Câu 2 : ( 4Đ) Định a b để đa thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức khác
Câu : ( 4Đ) Cho biểu thức :
P =
10 :
6
2
2
x x x
x x x
x x
a) Rút gọn p
b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị x p =
d) Tìm giá trị nguyên x để p có giá trị nguyên
Câu 4 : ( Đ ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥
Câu 5 : ( 3Đ)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm)
(30)Bài 1:(3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết
A = 10x2 – 7x – B = 2x –
c) Cho x + y = x y 0 Chứng minh 3 3 22 2
1
x y
x y
y x x y
Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b)
2003 2004
5 2005
4 2006
3 2007
2 2008
1
x x x x x
x
Bài 3: (2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF
a) Chứng minhEDF vuông cân
b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển
trên AB, AC cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ
HD CHẤM Bài 1: (3 điểm)
a) ( 0,75đ) x3
- 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – (0,25đ)
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ) = ( x – ) ( x – ) (0,25đ) b) (0,75đ) Xét
A 10x 7x
5x
B 2x 2x
(0,25đ)
Với x Z A B
2x3 Z ( 2x – 3) (0,25đ) Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; A B (0,25đ) c) (1,5đ) Biến đổi
3
x y
y 1x 1=
4
3
x x y y
(y 1)(x 1)
=
4
2
x y (x y)
xy(y y 1)(x x 1)
( x + y = 1 y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ)
=
2
2 2 2
x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1)
(31)Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x2 – y2 – 5x + 5y
b) 2x2 5x
Bài 2: Tìm ®a thøc A, biÕt r»ng:
x A x
x
16
2
Bài 3: Cho phân thức:
x x
x 2
5
2
a) Tìm điều kiện x để giá trị phân thức đợc xác định b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức bng
Bài 4: a) Giải phơng trình:
) (
2
2
x x x x
x
b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 +
Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình:
Mt t sn xut lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hồn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày
Bài 6: Cho ∆ ABC vuông A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM
a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diÖn tích AHM ?
Biểu điểm - Đáp án
Đáp án Biểu điểm
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x – y)
= (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm)
(32)Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + = 25
b)
1004 x 1986
21 x 1990
17
x
c) 4x – 12.2x + 32 =
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác z y x
1 Tính giá trị biểu thức:
xy z
xy xz
2 y
xz yz
2 x
yz
A 2 2 2
Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng
' CC
' HC '
BB ' HB ' AA
'
HA
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM
c) Chứng minh rằng: ' CC '
BB '
AA
) CA BC AB (
2
2
2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Bài 1(3 điểm):
a) Tính x = 7; x = -3 ( điểm )
b) Tính x = 2007 ( điểm )
c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ( 0,25điểm )
2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = ( 0,25điểm )
(2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = ( 0,25điểm )
(33)Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1)
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2
2
2
( ) : ( )
2 2
x x x x x
A
x x x x x
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0?
c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| =
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho x y z
a b c
a b c
x y z Chứng minh :
2 2
2 2
x y z
a b c
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD
a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án Điểm
Bài
a 2,0
3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = 1,0
(34)Bài 1: (4 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
2
2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 49 2009 x 2009 x x 2010 x 2010
Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2010x2 2680 x
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông A, D điểm di động cạnh BC Gọi E, F hình chiếu vng góc điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng
b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: AFEBFD, BDFCDE, CEDAEF
a) Chứng minh rằng: BDF BAC
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD
(35)Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1
b) x4 +
c) x x- 3x + x-2 với x
Bài : (1,5điểm)
Cho abc = Rút gọn biểu thức: 2
2
c ac
c b
bc b a
ab a A
Bài 3: (2điểm)
Cho 4a2 + b2 = 5ab 2a b Tính: 2 2
4a b ab P
Bài : (3điểm)
Cho tam giác ABC cân A Trờn BC lấy M cho BM CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F
a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ?
d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC AEMF hình vng
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh với số nguyên n :
(36)
Bài 1: (2 điểm)
a) Phõn tớch thành thừa số: 3 3
)
(abc a b c b) Rỳt gọn:
9 33 19
3
45 12
2
2
2
x x
x
x x
x
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng: An3(n2 7)2 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiờn n
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước giếng Nếu làm mỡnh thỡ mỏy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B
Tớnh xem bao lõu thỡ giếng
b) Giải phương trỡnh: 2xa x2a 3a (a số)
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng vng góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sỏnh hai tam giỏc ABC INC
c) Chứng minh: gúc MIN = 900
d) Tỡm vị trớ điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh số:
0 sè n
09 00 99 224
9 sè -n
(37)Bài 1: (2 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1.
7 x x
2.
2008 2007 2008
x x x
Bài 2: (2điểm) Giải phương trình: 1.
3
x x x
2.
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
Bài 3: (2điểm) CMR với a,b,c,là số dơng ,ta có: (a+b+c)(1 11)9
c b a
3. Tìm số d phép chia biểu thức x2x4x6x 8 2008
cho đa thức
10 21 x x
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông
góc với BC D cắt AC E
1. Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB
2. Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3. Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD BC AHHC
Bài 1
Câu Nội dung Điểm
1 2,0
(38)ĐỀ BÀI:
Bài 1( điểm): Cho biểu thức:
P =
2
2 2
2 21
:
4 12 13 20 4
x x x x
x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P
2
x
c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P >
Bài 2(3 điểm):Giải phương trình:
a)
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
c) x 2 3 5
Bài 3( điểm): Giải tốn cách lập phương trình:
Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời
Bài (7 điểm):
Cho hình chữ nhật ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P
a) Tứ giác AMDB hình gì?
b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng
c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm P
d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm,
16 PD
PB Tính cạnh hình chữ
nhật ABCD
Bài 5(2 điểm): a) Chứng minh rằng: 20092008 + 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z số lớn Chứng minh rằng: 2
1 1 2
(39)Bài 1: Tìm số tự nhiên n biết:
a An3 n2 n số nguyên tố b
4
4
n 16 C
n 4n 8n 16
có giá trị số nguyên c D = n4 + 4n số nguyên tố
Bài Cho a + b +c = 0; abc 0
a Chứng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0 b Tính giá trị biểu thức:
2 2
2 2 2 2 2
c a b
P
a b c b c a c a b
Bài 3:
a Giải phương trình:
xb a ba x cc xa b ab x cc
b Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 - y2 + 2x - 4y -10 =
Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD), O giao điểm hai đường chéo Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA E; cắt BC F
a Chứng minh : SAOD SBOC b Chứng minh: OE = OF
c Chứng minh: 1
AB CD EF
(40)Câu 1: Xác định hệ số a cho:
a) 27x2 + a chia hết cho 3x +
b) 3x2 + ax + 27 chia hết cho x + có số dư Câu2: Cho số a, b, c thỏa mãn abc = 1999
Rút gọn biểu thức:
1999a b c
ab 1999a 1999 bc b 1999ac c Câu 3: Cho abc a + b+ c giải phương trình:
a b x a c x b c x 4x
1
c b a a b c
Câu 4: Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ nửa mặt phẳng có bờ AB hình vng AMCD, BMEF
a Chứng minh AE vng góc với BC
b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng c Những minh đoạn thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB cố định
(41)Câu 1: ( điểm)
Cho biểu thức:
2 2
2
a b a b
P
ab ab b ab a
a Rút gọn P
b Có giá trị a, b để P = 0?
c Tính giá trị P biết a, b thỏa mãn điều kiện: 3a2 + 3b2 = 10ab a > b >
Câu 2: ( 3,5 điểm)
Chứng minh rằng:
a (n2 + n -1)2– chia hết cho 24 với số nguyên n
b Tổng lập phương số nguyên liên tiếp chia hết cho
Câu 3: ( điểm)
Giải phương trình: x4
+ x2 + 6x – =
Câu 4: ( điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình:
x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3) Câu 5: (7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O giao điểm đường trung tực tam giác, H trực tâm tam giác Gọi P, R, M theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC, BC Gọi Q trung điểm đoạn thẳng AH
a Xác định dạng tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện để OPQR hình thoi?
b Chứng minh AQ = OM
(42)Câu 1: Cho a + b = Tính giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) – 3(a2 + b2) Câu 2: Chứng minh rằng:
a b c
1,
ab+a+1 bc+a+1ac+c+1 biết abc =
2
*
4
n n
2, (n N )
n n
không phân số tối giản Câu 3: Cho biểu thức:
2 2 2
1 1 1
P
a a a 3a a 5a a 7a 12 a 9a 20
a Tìm điều kiện để P xác định b Rút gọn P
c Tính giá trị P biết a3 - a2 + = Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x2n + xn +1 chia hết cho đa thức x2 + x +
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ đường thẳng qua C vng góc với AB E Gọi M trung điểm AD
a Chứng minh: tam giác EMC cân b Chứng minh: Góc BAD = góc AEM
(43)Câu 1:
Cho x =
2 2
2 b c a
bc
; y =
2
2
( ) ( ) a b c
b c a
Tính giá trị P = x + y + xy
Câu 2:
Giải phương trình: a,
a b x = a+
1 b+
1
x (x ẩn số)
b,
2
(b c)(1 a) x a
+
2
(c a)(1 b) x b
+
2
(a b)(1 c) x c
=
(a,b,c số đôi khác nhau)
Câu 3:
Xác định số a, b biết:
3
(3 1) ( 1)
x x
=
( 1) a
x +( 1)2 b x
Câu 4:
Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm ngun
Câu 5:
Cho ABC; AB = 3AC
(44)ĐỀ THI SỐ Câu 1: (4,0 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1)
Câu 2: (5,0 điểm)
Cho biểu thức :
2
2
2
( ) : ( )
2 2
x x x x x
A
x x x x x
a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0?
c) Tính giá trị A trường hợp : |x - 7| =
Câu 3: (5,0 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = b) Cho x y z
a b c a b c
x y z Chứng minh :
2 2
2 2
x y z
a b c
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC Gọi H K hình chiếu C xuống đường thẳng AB AD
a) Tứ giác BEDF hình ? Hãy chứng minh điều ? b) Chứng minh : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh : AB.AH + AD.AK = AC2
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
Nội dung đáp án Điểm
Bài
a 2,0
3x2 – 7x + = 3x2 – 6x – x + = 1,0
(45)a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0
= ax(x - a) – (x - a) = 0,5
= (x - a)(ax - 1) 0,5
Bài 2: 5,0
a 3,0
ĐKXĐ :
2
2
2
2
4 0
2
3
2
x
x x
x x
x
x x
x x
1,0
2 2 2
2
2 (2 ) (2 ) (2 )
( ) : ( )
2 2 (2 )(2 ) ( 3)
x x x x x x x x x x
A
x x x x x x x x x
1,0
2
4 (2 )
(2 )(2 )
x x x x
x x x
0,5
2
4 ( 2) (2 )
(2 )(2 )( 3)
x x x x x
x x x x
0,25
Vậy với x0,x 2,x3
2
4x A
x
0,25
b 1,0
Với 0, 3, : x
x x x A
x
0,25
3 x
0,25
3( )
x TMDKXD
0,25
Vậy với x > A > 0,25
c 1,0
7
7
x x
x
0,5
11( )
3( )
x TMDKXD
x KTMDKXD
0,25
Với x = 11 A = 121
2 0,25
Bài 5,0
a 2,5
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 =
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 1,0
9(x - 1)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = (*) 0,5
Do :
(46)b 2,5
Từ : a b c ayz+bxz+cxy
x y z xyz 0,5
ayz + bxz + cxy = 0,25
Ta có :
1 ( )
x y z x y z
a b c a b c 0,5
2 2
2 2 2( )
x y z xy xz yz
a b c ab ac bc
0,5
2 2
2 2
x y z cxy bxz ayz
a b c abc
0,5
2 2
2 2 1( )
x y z
dfcm
a b c
0,25
Bài 6,0
0,25
a 2,0
Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,5
Chứng minh : BEO DFO g( c g) 0,5
=> BE = DF 0,25
Suy : Tứ giác : BEDF hình bình hành 0,25
b 2,0
Ta có: ABC ADCHBCKDC 0,5
Chứng minh : CBH CDK g( g) 1,0
CH CK
CH CD CK CB CB CD
0,5
b, 1,75
Chứng minh : AFD AKC g( g) 0,25
AF
A AK
AD AK F AC
0,25
O
F
E
K H
C
A
(47)CF AH CD AC
0,25
Mà : CD = AB CF AH AB AH CF AC AB AC
0,5
Suy : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2
(đfcm) 0,25
ĐỀ SỐ Câu1.
a Phân tích đa thức sau thừa số:
4
x
x x x x 24
b Giải phương trình: x4 30x 31x 30
c Cho a b c
bcca ab Chứng minh rằng:
2 2
a b c
0 bc caab
Câu2 Cho biểu thức:
2
x 10 x
A : x
x x x x
a Rút gọn biểu thức A. b Tính giá trị A , Biết x =1
2
c Tìm giá trị x để A <
d Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên
Câu Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ MEAB, MFAD a Chứng minh: DECF
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn
Câu
a.Cho số dương a, b, c có tổng Chứng minh rằng: 1
a b c
b Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP
Câu Đáp án Điểm
Câu (6 điểm)
a. x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2
= (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24
= (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24
(48)M F
E
D C
B A
b. x4 30x 31x 30 <=>
x x x x (*) Vì x2 - x + = (x - 1
2)
2 + 3
4 > x
(*) <=> (x - 5)(x + 6) =
x x
x x
(2 điểm)
c. Nhân vế của: a b c bcca ab
với a + b + c; rút gọn đpcm (2 điểm)
Câu (6 điểm)
Biểu thức:
2
x 10 x
A : x
x x x x
a. Rút gọn kq: A
x
(1.5 điểm)
b. x
x
2
x
4 A
3
A
(1.5 điểm)
c. A 0 x (1.5 điểm)
d A Z Z x 1;3
x
(1.5 điểm)
Câu (6 điểm)
HV + GT + KL
(1 điểm)
a Chứng minh: AEFMDF
AED DFC đpcm (2 điểm)
b DE, BF, CM ba đường cao EFC đpcm (2 điểm) c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a không đổi
ME MF a
không đổi
AEMF
S ME.MF
lớn MEMF (AEMF hình vng)
M
(49)Câu 4: (2 điểm)
a. Từ: a + b + c =
1 b c
1
a a a
1 a c
1
b b b
1 a b
1
c c c
1 1 a b a c b c
3
a b c b a c a c b
3 2
Dấu xảy a = b = c =
3
(1 điểm)
b. (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 (a+ b) – ab =
(a – 1).(b – 1) = a = hc b =
Víi a = => b2000 = b2001 => b = b = (loại) Với b = => a2000 = a2001 => a = hc a = (lo¹i) VËy a = 1; b = => a2011 + b2011 =
(1 điểm)
§Ị thi SỐ 3 Câu 1 : (2 điểm) Cho P=
8 14
4
2
2
a a
a
a a a
a) Rót gän P
b) Tìm giá trị ngun a để P nhận giá trị nguyên
C©u 2 : (2 ®iĨm)
a) Chøng minh r»ng nÕu tổng hai số nguyên chia hết cho tổng lập ph-ơng chúng chia hết cho
b) Tìm giá trị x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải ph-ơng tr×nh :
18 42 13
1 30
11 20
9
2
2
x x
x x x
x
b) Cho a , b , c lµ cạnh tam giác Chứng minh : A = 3
a b c
c b
c a
b a
c b
(50)a) BD.CE=
4
2 BC
b) DM,EM lần l-ợt tia phân giác góc BDE CED c) Chu vi tam giỏc ADE khụng i
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất tam giác vuông có số đo cạnh số nguyên d-ơng số ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi
đáp án đề thi học sinh giỏi Câu 1 : (2 đ)
a) (1,5) a3 - 4a2 - a + = a( a2 - ) - 4(a2 - ) =( a2 - 1)(a-4)
=(a-1)(a+1)(a-4) 0,5 a3 -7a2 + 14a - =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4) 0,5
Nêu ĐKXĐ : a1;a 2;a4 0,25 Rút gän P=
2
a a
0,25
b) (0,5®) P=
2
3
a a
a
; ta thấy P nguyên a-2 -ớc cña 3,
mà Ư(3)=1;1;3;3 0,25 Từ tìm đ-ợc a1;3;5 0,25
C©u 2 : (2đ)
a)(1đ) Gọi số phải tìm a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 0,25 Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)(a2 2abb2)3ab
= =(a+b)(ab)2 3ab
0,5 V× a+b chia hÕt cho nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho ;
Do (a+b)(ab)2 3ab chia hết cho 0,25 b) (1đ) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 0,5 Ta thấy (x2+5x)2 0 nên P=(x2+5x)2-36 -36 0,25 Do Min P=-36 (x2+5x)2=0
Từ ta tìm đ-ợc x=0 x=-5 Min P=-36 0,25
C©u 3 : (2đ)
(51)Ph-ơng trình trë thµnh : 18 ) )( ( ) )( ( ) )( (
x x x x x
x 18 6 5
x x x x x
x 18 x
x 0,25
18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0
Từ tìm đ-ợc x=-13; x=2; 0,25 b) (1đ) Đặt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0
Từ suy a=
2 ; ; y x c z x b z y
; 0,5
Thay vào ta đ-ợc A=
) ( ) ( ) ( 2 2 y z z y x z z x y x x y z y x y z x x z y 0,25
Từ suy A (2 2)
1
hay A3 0,25
C©u 4 : (3 ®) a) (1®)
Trong tam gi¸c BDM ta cã : Dˆ1 1200 Mˆ1
V× Mˆ2=600 nªn ta cã :
1
3 120 ˆ
ˆ M
M
Suy Dˆ1 Mˆ3
Chøng minh BMD ∾CEM (1) 0,5 Suy
CE CM BM
BD
, từ BD.CE=BM.CM
V× BM=CM=
2 BC
, nªn ta cã BD.CE=
4
2 BC
0,5
b) (1®) Tõ (1) suy
EM MD CM
BD
mà BM=CM nên ta có
EM MD BM BD
Chøng minh BMD∾MED 0,5
(52)c) (1đ) Gọi H, I, K hình chiếu M trªn AB, DE, AC
Chøng minh DH = DI, EI = EK 0,5 TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn 0,5
Câu 5 : (1đ)
Gi cạnh tam giác vuông x , y , z ; cạnh huyền z (x, y, z số nguyên d-ơng )
Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2) 0,25 Tõ (2) suy z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã :
z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4
(z+2)2=(x+y-2)2 , suy z+2 = x+y-2 0,25 z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đ-ợc :
xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8
(x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 0,25 Từ ta tìm đ-ợc giá trị x , y , z :
(x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;
(x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10) 0,25 ĐỀ THI SỐ
Câu1( đ): Phân tích đa thức sau thành nhân tử
1 3 5 7 15 A a a a a
Câu 2( đ): Với giá trị a b đa thức:
x a x101
phân tích thành tích đa thức bậc có hệ số nguyên
Câu 3( đ): tìm số nguyên a b để đa thức A(x) =
3
x x ax b chia heát cho ña
thức
( ) B x x x
Câu 4( đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx góc AHB phân giác Hy góc AHC Kẻ AD vng góc với Hx, AE vng góc Hy
Chứng minh rằngtứ giác ADHE hình vng
Câu 5( đ): Chứng minh
(53)Câu Đáp án Biểu điểm
2 ñ
2
2
2
2
2
2
1 15
8 15 15
8 22 120
8 11
8 12 10
2 10
A a a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a a a
0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ
2
2 đ Giả sử: x a x10 1 x m x n ;( ,m nZ)
2
10 10
10 10
m n a m n a
x a x a x m n x mn
Khử a ta có :
mn = 10( m + n – 10) + 10 10 100
( 10) 10 10)
mn m n
m n n
vì m,n nguyên ta có: 10 10 10 10
m m
n v n
suy a = 12 a =8
0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ 0,25 ñ
1 ñ Ta coù: A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b +
Để A x B x( ) ( ) ba 3 04 0ab34
0,5 ñ 0,5 ñ
3 ñ
Tứ giác ADHE hình vng
Hx phân giác góc AHB; Hy phân giác góc AHC mà AHB AHC hai góc kề bù nên Hx Hy vuông góc
Hay DHE = 900 mặt khác ADH AEH = 900
Nên tứ giác ADHE hình chữ nhật ( 1)
0
90 45
2
AHB
AHD
0,25 đ
(54)Hay HA phân giác DHE(2)
Từ (1) (2) ta có tứ giác ADHE hình vng
2 đ 2
1 1
2 100
1 1
2.2 3.3 4.4 100.100
1 1
1.2 2.3 3.4 99.100
1 1 1
1
2 99 100 99
1
100 100
P
0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ 0,5 ñ
ĐỀ THI SỐ
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
2
2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 49 2009 x 2009 x x 2010 x 2010
Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A 2010x2 2680 x
(55)a) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vng
b) Xác định vị trí điểm D cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, điểm A, E, F tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho: AFEBFD, BDFCDE, CEDAEF
a) Chứng minh rằng: BDFBAC
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = Tính độ dài đoạn BD
Một lời giải: Bài 1:
a) (x + y + z) – x3 – y3 – z3 = 3 3 x y z x y z
= yz x y z 2 x y z x x2yz y yzz2 = yz 3x 3xy3yz3zx = 3yz x xy z xy = 3xy y z z x
b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = x x 2010x 2010x2010 = x x x x 1 2010 x x 1 = x2 x x x 2010
Bài 2:
x 241 x 220 x 195 x 166 10
17 19 21 23
x 241 x 220 x 195 x 166
1
17 19 21 23
x 258 x 258 x 258 x 258
17 19 21 23
x 258 1 1 17 19 21 23
x 258
Bài 3:
2
2
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 49 2009 x 2009 x x 2010 x 2010
(56)
2 2
2 2
a a a a 19 49 a a a a
2
a a 19 3a 3a 49
2
49a 49a 49 57a 57a 19
8a 8a 30
2
2a 2a 2a
3 a
2 a
2
(thoả ĐK)
Suy x =4023
2 x = 4015
2 (thoả ĐK) Vậy x =4023
2 x = 4015
2 giá trị cần tìm
Bài 4:
A 2010x2 2680 x
=
2 2
2
335x 335 335x 2010x 3015 335(x 3)
335 335
x x
Vậy giá trị nhỏ A – 335 x = –
Bài 5:
a) Tứ giác AEDF hình chữ nhật (vì o E A F 90 ) Để tứ giác AEDF hình vng AD tia phân
giác BAC
b) Do tứ giác AEDF hình chữ nhật nên AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD
3AD + 4EF nhỏ AD nhỏ
D hình chiếu vng góc A lên BC
Bài 6:
a) Đặt AFEBFD , BDFCDE , CEDAEF
Ta có
BAC 180 (*)
Qua D, E, F kẻ đường thẳng vng góc với BC, AC, AB cắt O Suy O giao điểm ba đường phân giác tam giác DEF
o
OFD OED ODF 90 (1)
Ta có o
OFD OED ODF 270 (2) (1) & (2) 180o (**)
(*) & (**) BAC BDF
b) Chứng minh tương tự câu a) ta có:
E F
A B
C
(57)
BD BA 5BF 5BF 5BF
BD BD BD
BF BC 8 8
CD CA 7CE 7CE 7CE
CD CD CD
CE CB 8 8
AE AB 7AE 5AF 7(7 CE) 5(5 BF) 7CE 5BF 24
AF AC
CD BD (3)
Ta lại có CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5
ĐỀ SỐ
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + = 25
b)
1004 x 1986
21 x 1990
17
x
c) 4x – 12.2x + 32 =
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác z y x
1 Tính giá trị biểu thức:
xy z
xy xz
2 y
xz yz
2 x
yz
A 2 2 2
Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm
a) Tính tổng
' CC
' HC '
BB ' HB ' AA
'
HA
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN IC.AM
c) Tam giác ABC biểu thức 2 2 ' CC '
BB '
AA
) CA BC AB (
(58)a) Tính x = 7; x = -3 ( điểm
)
b) Tính x = 2007 ( điểm ) c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ( 0,25điểm )
2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = (2x – 8)(2x – 4) = ( 0,25điểm ) (2x – 23)(2x –22) = 2x –23 = 2x –22 = ( 0,25điểm )
2x = 23 2x = 22 x = 3; x = ( 0,25điểm )
Bài 2(1,5 điểm):
0 z y x
1
0 xz yz xy xyz
xz yz
xy
yz = –xy–xz ( 0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm ) Do đó:
) y z )( x z (
xy )
z y )( x y (
xz )
z x )( y x (
yz A
( 0,25điểm )
Tính A = ( 0,5 điểm ) Bài 3(1,5 điểm):
Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, 0a,b,c,d9,a 0 (0,25điểm)
Ta có:
k
abcd (a1)(b3)(c5)(d3)m2
abcdk2
abcd1353m2 (0,25điểm)
Do đó: m2–k2
= 1353
(m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37
k = 56 k = (0,25điểm)
với k, mN, 31km100 (0,25điểm)
hoặc
(59)Bài (4 điểm):
Vẽ hình (0,25điểm) a) ' AA ' HA BC ' AA BC ' HA S S ABC
HBC
; (0,25điểm) Tương tự: ' CC ' HC S S ABC HAB ; ' BB ' HB S S ABC HAC (0,25điểm) S S S S S S ' CC ' HC ' BB ' HB ' AA ' HA ABC HAC ABC HAB ABC
HBC
(0,25điểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC
BI
(0,5điểm ) AM IC BN CM AN BI BI IC AC AB AI IC BI AI AC AB M A CM NB AN IC BI c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2
(BC+AC)2 – AB2 (0,25điểm) Tương tự: 4AA’2
(AB+AC)2 – BC2 4BB’2
(AB+BC)2 – AC2 -Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2
) (AB+BC+AC)2 ' CC ' BB ' AA ) CA BC AB ( 2 2 (0,25điểm)
Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC
(60)*Chú ý :Học sinh giải cách khác, xác hưởng trọn số điểm câu
ĐỀ SỐ
Bài (4 điểm)
Cho biểu thức A =
2
1 :
1
x x x
x x
x x
với x khác -1 a, Rút gọn biểu thức A
b, Tính giá trị biểu thức A x c, Tìm giá trị x để A <
Bài (3 điểm)
Cho a b 2 b c 2 c a2 4 a 2 b2 c2 ab ac bc Chứng minh a b c
Bài (3 điểm)
Giải toán cách lập phương trình
Một phân số có tử số bé mẫu số 11 Nếu bớt tử số đơn vị tăng mẫu lên đơn vị phân số nghịch đảo phân số cho Tìm phân số
Bài (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = a42a33a24a5
Bài (3 điểm)
Cho tam giác ABC vng A có góc ABC 600, phân giác BD Gọi M,N,I theo thứ tự trung điểm BD, BC, CD
a, Tứ giác AMNI hình gì? Chứng minh
b, Cho AB = 4cm Tính cạnh tứ giác AMNI
Bài (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt O Đường thẳng qua O song song với đáy AB cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự M N
a, Chứng minh OM = ON b, Chứng minh
MN CD AB
2 1
c, Biết SAOB= 2008
2 (đơn vị diện tích); S
COD= 2009
2 (đơn vị diện tích) Tính SABCD.
(61)A= ) ( ) )( ( ) )( ( : 1 2 x x x x x x x x x x x = ) )( ( ) )( ( : ) )( ( 2 x x x x x x x x x x 0,5đ = ) ( : ) ( x x 0,5đ
= (1x2)(1x) 0,5đ
b, (1 điểm) Tại x =
3 =
A = ) ( ) (
1 0,25đ
= ) )( 25
( 0,25đ
27 10 27 272 34
0,5đ
c, (1điểm)
Với x khác -1 A<0 (1x2)(1x)0 (1) 0,25đ Vì 1x2 0 với x nên (1) xảy 1x0x1
KL
0,5đ 0,25đ
Bài (3 điểm)
Biến đổi đẳng thức để
bc ac ab c b a ac a c bc c b ab b
a2 22 2 2 2 22 4 24 24 24 4 4
0,5đ Biến đổi để có (a2b22ac)(b2c22bc)(a2c22ac)0 0,5đ Biến đổi để có (ab)2 (bc)2(ac)2 0 (*) 0,5đ Vì (ab)2 0;(bc)2 0;(ac)2 0; với a, b, c
nên (*) xảy (ab)2 0;(bc)2 0 (ac)2 0;
0,5đ 0,5đ
Từ suy a = b = c 0,5đ
Bài (3 điểm)
Gọi tử số phân số cần tìm x mẫu số phân số cần tìm x+11 Phân số cần tìm
11
x
x (x số nguyên khác -11)
0,5đ
Khi bớt tử số đơn vị tăng mẫu số đơn vị ta phân số 15 x x
(x khác -15)
0,5đ
Theo ta có phương trình 11 x x = 15 x x 0,5đ
(62)Bài (2 điểm)
Biến đổi để có A=a2(a22)2a(a22)(a22)3
0,5đ =(a22)(a22a1)3(a22)(a1)23 0,5đ Vì a2 20a (a1)2 0a nên (a2 2)(a1)2 0a
a a
a 2)( 1) 33
( 2
0,5đ Dấu = xảy a10 a1 0,25đ
KL 0,25đ
Bài (3 điểm)
a,(1 điểm)
Chứng minh tứ giác AMNI hình thang 0,5đ Chứng minh AN=MI, từ suy tứ giác AMNI hình thang cân 0,5đ b,(2điểm)
Tính AD = cm
3
; BD = 2AD = cm
3 AM = BD
2
cm
3
0,5đ
Tính NI = AM = cm
3
4 0,5đ
DC = BC = cm
3
, MN = DC
cm
3
4 0,5đ
Tính AI = cm
3
0,5đ
Bài (5 điểm)
N
I M
D C
A B
O N
M
(63)a, (1,5 điểm) Lập luận để có
BD OD AB OM , AC OC AB ON 0,5đ
Lập luận để có
AC OC DB OD 0,5đ AB ON AB OM
OM = ON 0,5đ
b, (1,5 điểm) Xét ABDđể có
AD DM AB
OM (1), xét ADC
để có
AD AM DC
OM
(2) Từ (1) (2) OM.(
CD AB
1
) 1 AD AD AD DM AM 0,5đ
Chứng minh tương tự ON.( )1 CD
AB
0,5đ từ có (OM + ON).( )2
CD
AB AB CD MN
2 1
0,5đ
b, (2 điểm) OD OB S
S AOD
AOB ,
OD OB S
S DOC
BOC
AOD AOB S S DOC BOC S S
SAOB.SDOC SBOC.SAOD
0,5đ
Chứng minh SAOD SBOC 0,5đ
) ( DOC AOD
AOB S S
S
Thay số để có 20082
.20092 = (SAOD)2 SAOD = 2008.2009
0,5đ Do SABCD= 2008
2
+ 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT)
0,5đ
ĐỀ SỐ
Bài 1:
Cho x =
2 2
2
b c a
bc
; y =
2
2
( ) ( ) a b c
b c a
Tính giá trị P = x + y + xy
Bài 2:
Giải phương trình: a,
a b x = a+
1 b+
1
x (x ẩn số)
b,
2
(b c)(1 a) x a
+
2
(c a)(1 b) x b
+
2
(a b)(1 c) x c
= (a,b,c số đôi khác nhau)
(64)3
(3 1) ( 1)
x x
=
( 1) a
x +( 1)2 b x
Bài 4: Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 khơng có nghiệm ngun
Bài 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B C
ĐỀ SỐ
Bài 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
3 2
2 1 x
A 1 :
x x 2x x x
x
a/ Thu gọn A
b/ Tìm giá trị x để A<1
c/ Tìm giá trị nguyên x để Acó giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm)
a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( với hệ số số nguyên): x2 + 2xy + 7x + 7y + y2 + 10
b/ Biết xy = 11 x2
y + xy2 + x + y = 2010 Hãy tính x2 + y2
Bài 3 (1,5 điểm):
Cho đa thức P(x) = x2+bx+c, b c số nguyên Biết đa thức
x4 + 6x2+25 3x4+4x2+28x+5 chia hết cho P(x) Tính P(1)
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho hình chữ nhật có AB= 2AD, gọi E, I trung điểm AB CD Nối D với E Vẽ tia Dx vuông góc với DE, tia Dx cắt tia đối tia CB
M.Trên tia đối tia CE lấy điểm K cho DM = EK Gọi G giao điểm DK EM
a/ Tính số đo góc DBK
b/ Gọi F chân đường vng góc hạ từ K xuống BM Chứng minh bốn điểm A, I, G, H nằm đường thẳng
Bài 5 (1 điểm):
Chứng minh rằng: Nếu ba số tự nhiên m, m+k, m+ 2k số nguyên tố lớn 3, k chia hết cho
ĐỀ SỐ 10
Bài 1: (3 điểm) Cho biểu thức
2
1 x
(65)b) Tìm x để A < -1
c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên
Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình: a)
y y
y y
y
2
6 10
1
2
2
b)
6 x
x x 1 .
3
2
x
2
Bài 3: (2 điểm)
Một xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h
Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe đạp xe máy?
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đường chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB N AD) Chứng minh:
a) BD // MN
b) BD MN cắt K nằm AC
Bài 5: (1 điểm)
Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4) Chứng minh rằng: a + b + số phương
ĐỀ SỐ 11
Bài 1: (2điểm)
a) Cho 2
x 2xy2y 2x6y 13 0.Tính
2
3x y N
4xy
b) Nếu a, b, c số dương đôi khác giá trị đa thức sau số dương: 3
Aa b c 3abc
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh a + b + c = thì:
A a b b c c a c a b
c a b a b b c c a
Bài 3: (2 điểm)
Một ô tô phải quãng đường AB dài 60 km thời gian định Nửa quãng đường đầu với vận tốc lớn vận tốc dự định 10km/h Nửa quãng đường sau với vận tốc vận tốc dự định km/h
(66)Cho hình vuông ABCD cạnh BC lấy điểm E Từ A kẻ đường thẳng vng góc vơi AE cắt đường thẳng CD F Gọi I trung điểm EF AI cắt CD M Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI N
a) Chứng minh tứ giác MENF hình thoi
b) Chứng minh chi vi tam giác CME không đổi E chuyển động BC
Bài 5: (1 điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình: x 3x 1 y
ĐỀ SỐ 12
Bài 1:
Phân tích thành nhân tử: a, (x2 – x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1
Bài 2:
a, Cho a, b, c thoả mãn: a+b+c = a2
+ b2 + c2= 14 Tính giá trị A = a4
+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị D = x2011 + y2011 + z2011 Biết x,y,z thoả mãn: x22 y22 z22
a b c
=
2 x a +
2 y b +
2 z c
Bài 3:
a, Cho a,b > 0, CMR: a+
1 b
4 a b b, Cho a,b,c,d >
CMR: a d d b
+ d b b c +
b c c a +
c a a d
Bài 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất: E = x22 xy y22 x xy y
với x,y > b, Tìm giá trị lớn nhất: M = 2
( 1995) x
x với x >
Bài 5:
a, Tìm nghiệm Z PT: xy – 4x = 35 – 5y b, Tìm nghiệm Z PT: x2
+ x + = y2
Bài 6:
Cho ABC M điểm miền ABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D
(67)Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a(bc)2(bc)b(ca)2(ca)c(ab)2(ab) b) Cho a, b, c khác nhau, khác 111 0
c b a Rút gọn biểu thức:
ab c
ca b
bc a
N
2
1
1
2
2
Bài 2: (2điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M x2 y2xyxy1
b) Giải phương trình: (y4,5)4(y5,5)410
Bài 3: (2điểm)
Một người xe máy từ A đến B với vận tốc 40 km/h Sau 15 phút, người gặp tơ, từ B đến với vận tốc 50 km/h ô tô đến A nghỉ 15 phút trở lại B gặp người xe máy một địa điểm cách B 20 km
Tính quãng đường AB
Bài 4: (3điểm)
Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Kẻ ME MF vng góc với AB AD
a) Chứng minh hai đoạn thẳng DE CF vng góc với
b) Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng quy
c) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn
Bài 5: (1điểm)
Tìm nghiệm nguyên phương trình:3x2 5y2 345
§Ề SỐ 14
Bài 1: (2,5điểm)
Phân tích đa thức thành nhân tử a) x5 + x +1
b) x4 +
c) x x- 3x + x-2 với x
Bài : (1,5điểm)
Cho abc = Rút gọn biểu thức: 2
2
c ac
c b
bc b a
ab a A
Bài 3: (2điểm)
(68)Cho tam giác ABC cân A Trên BC lấy M cho BM CM Từ N vẽ đường thẳng song song với AC cắt AB E song song với AB cắt AC F Gọi N điểm đối xứng M qua E F
a) Tính chu vi tứ giác AEMF Biết : AB =7cm b) Chứng minh : AFEN hình thang cân c) Tính : ANB + ACB = ?
d) M vị trí để tứ giác AEMF hình thoi cần thêm điều kiện ABC
để cho AEMF hình vng
Bài 5: (1điểm)
Chứng minh với số nguyên n :
52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hết cho 23
§Ị SỐ 15
Bài 1: (2 điểm)
a) Phân tích thành thừa số: 3 3
)
(abc a b c b) Rút gọn:
9 33 19
3
45 12
2
2
2
x x
x
x x
x
Bài 2: (2 điểm)
Chứng minh rằng: An3(n2 7)2 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n
Bài 3: (2 điểm)
a) Cho ba máy bơm A, B, C hút nước giếng Nếu làm máy bơm A hút 12 giờ, máy bơm B hút hếtnước 15 máy bơm C hút 20 Trong đầu hai máy bơm A C làm việc sau dùng đến máy bơm B
Tính xem giếng
b) Giải phương trình: 2xa x2a 3a (a số)
Bài 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông C (CA > CB), điểm I cạnh AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C người ta kẻ tia Ax, By vng góc với AB Đường thẳng vng góc với IC kẻ qua C cắt Ax, By điểm M, N
a) Chứng minh: tam giác CAI đồng dạng với tam giác CBN b) So sánh hai tam giác ABC INC
c) Chứng minh: góc MIN = 900
d) Tìm vị trí điểm I cho diện tích ∆IMN lớn gấp đơi diện tích ∆ABC
Bài 5: (1 điểm)
Chứng minh số:
09 00 99
(69)Đề SỐ 16:
Câu 1 : ( điểm ) Phân tích biểu thức sau thừa số M = xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 )
Câu 2 : ( ñieåm ) Định a b để đa thức A = x4 – x3 + ax2 + bx + bình phương đa thức khác
Câu : ( điểm ) Cho biểu thức :
P =
10 :
6
2
2
x x x
x x x
x x
a) Rút gọn p
b) Tính giá trị biểu thức p /x / = c) Với giá trị x p =
d) Tìm giá trị nguyên x để p có giá trị nguyên
Câu 4 : ( điểm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh : abc + ( + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥
Câu 5 : ( 3điểm)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB BC M N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC 75 (cm)
Câu 6 : ( điểm ) Cho tam giác ABC M, N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM = CN xác định vị trí M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ
(70)Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1.
7 x x
2.
2008 2007 2008
x x x
Bµi 2: (2điểm) Giải phơng trình: 1.
3
x x x
2.
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
Bµi 3: (2điểm) CMR với a,b,c,là số dơng ,ta có: (a+b+c)(
) 1
c b a
3. T×m sè d phÐp chia cđa biĨu thøc x2x4x6x 8 2008 cho
®a thøc
10 21 x x
Bài 4: (4 điểm)Cho tam giác ABC vuông A (AC > AB), đờng cao AH (H
BC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC E
1. Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m AB
2. Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM
3. Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD BC AH HC
Bài 1
Câu Nội dung §iĨm
1 2,0
(71)
2
7 6 6
x x x x x x x x
x1x6
0.5 0,5
1.2 (1,25 ®iĨm)
4 2
2008 2007 2008 2007 2007 2007
x x x x x x x 0,25
2
4 2 2
1 2007 1 2007
x x x x x x x x
0,25
1 2007 1 2008
x x x x x x x x x x
0,25
2 2,0
2.1
3
x x x (1)
+ NÕu x1: (1) x12 0 x (tháa m·n ®iỊu kiƯn x1)
+ NÕu x1: (1) x24x 3 x2 x 3x 1 x1x 3
x 1; x3 (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x1
0,5
0,5 2.2
2 2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
(2)
Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x0
(2)
2
2
2
2
1 1
8 x x x x x
x x x x
2 2 1
8 x x x x 16
x x
0
x hay x
vµ x0
Vậy phơng trình cho có nghiệm x 8
0,25
0,5 0,25
3 2.0
3.1 Ta cã:
A=( )(1 11)1 1 1 b c a c c b a b c a b a c b a c b a
=3 ( ) ( ) ( ) c b b c a c c a a b b a
Mµ: 2 x y y x
(BĐT Cô-Si)
Do ú A32229 Vy A9
0,5
0,5 3.2 Ta cã:
( ) 2008
10 16 10 24 2008
P x x x x x
x x x x
Đặt t x210x21 (t 3;t 7), biểu thức P(x) đợc viết lại:
( ) 2008 1993
P x t t t t
Do chia t2 2t 1993 cho t ta có số d 1993
0,5
(72)4.1 + Hai tam giác ADC BEC có:
Góc C chung
CD CA
CE CB (Hai tam gi¸c
vng CDE CAB đồng dạng)
Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c)
Suy ra: BEC ADC1350(vì tam giác AHD vng cân H theo giả thiết) Nên AEB450 tam giác ABE vng cân A Suy ra:
2
BEAB m
1,0
0,5 4.2
Ta cã: 1
2
BM BE AD
BC BC AC (do BEC ADC)
mµ AD AH (tam giác AHD vuông vân H)
nªn 1
2 2
BM AD AH BH BH
BC AC AC AB BE (do ABH CBA)
Do BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC1350AHM450
0,5
0,5
0,5 4.3 Tam gi¸c ABE vuông cân A, nên tia AM phân gi¸c gãc BAC
Suy ra: GB AB
GC AC , mµ //
AB ED AH HD
ABC DEC ED AH
AC DC HC HC
0,5
Do đó: GB HD GB HD GB HD
GC HC GB GC HDHC BC AHHC
0,5
Phòng GD & ĐT huyện Thờng Tín Trờng THCS Văn Tự
Gv: Bùi Thị Thu HiÒn
đề SỐ 18 đề bài:
Bài 1( điểm): Cho biểu thức: P =
2
2 2
2 3 2 8 3 21 2 8
: 1
4 12 5 13 2 20 2 1 4 4 3
x x x x
x x x x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị P
2
x
c) Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P >
Bài 2(3 điểm):Giải phơng trình: a)
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
(73)c) x 2 3 5
Bài 3( điểm): Giải toán cách lập phơng trình:
Một ngời xe gắn máy từ A đến B dự định 20 phút Nếu ngời tăng vận tốc thêm km/h đến B sớm 20 phút Tính khoảng cách AB vận tốc dự định ngời
Bµi (7 ®iĨm):
Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M điểm đối xứng điểm C qua P
a) Tứ giác AMDB hình gì?
b) Gọi E F lần lợt hình chiếu điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC ba điểm E, F, P thẳng hàng
c) Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P
d) Giả sử CP BD CP = 2,4 cm,
16 PD
PB TÝnh c¸c cạnh hình chữ nhật
ABCD
Bài 5(2 ®iÓm): a) Chøng minh r»ng: 20092008 + 20112010 chia hÕt cho 2010 b) Cho x, y, z lµ số lớn Chứng minh rằng: 2
1 1 2
1 x 1 y 1 xy
áp án biểu điểm Bài 1: Phân tích:
4x2 – 12x + = (2x – 1)(2x – 5) 13x – 2x2 – 20 = (x – 4)(5 – 2x)
21 + 2x – 8x2 = (3 + 2x)(7 – 4x)
4x2 + 4x – = (2x -1)(2x + 3) 0,5đ
Điều kiện:
1 5 3 7
; ; ; ; 4
2 2 2 4
x x x x x 0,5®
a) Rót gän P =
2
2
x x
2®
b)
2
x
2
x
hc
x
+)
1
x … P =
1
+)
1
x …P =
(74)Ta cã: 1Z VËy PZ
2
5 Z
x
x Ư(2) Mà Ư(2) = { -2; -1; 1; 2}
x – = -2 x = (TM§K) x – = -1 x = (KTM§K) x – = x = (TM§K) x – = x = (TM§K)
KL: x {3; 6; 7} P nhận giá trị nguyên 1đ d) P =
2
2
x x
=
2
5
x
0,25đ Ta có: >
Để P > th×
2 5
x > x – > x > 0,5đ Với x > P > 0,25
Bµi 2:
a)
15 1 1
1 12
3 4 4 3 3
x
x x x x
415 1 1 12 14 3 1 1
x
x x x x
§K: x 4;x 1
3.15x – 3(x + 4)(x – 1) = 12(x -1) + 12(x + 4)
…
3x.(x + 4) =
3x = hc x + = +) 3x = => x = (TM§K) +) x + = => x = -4 (KTM§K)
S = { 0} 1®
b)
148 169 186 199
10
25 23 21 19
x x x x
148 1 169 2 186 3 199 4 0
25 23 21 19
x x x x
(123 – x)
1 1
25 23 21 19
=
Do
1 1
25 23 21 19
(75)c) x 2 3 5
Ta cã: x 2 0 x => x 2 3 > nªn x 2 3 x 2 3 PT đợc viết dới dạng:
x 2 3 5
x2 = –
x2 =
+) x - = => x = +) x - = -2 => x =
S = {0;4} 1đ Bài 3(2 đ)
Gọi khoảng cách A B x (km) (x > 0) 0,25đ Vận tốc dự định ngời đ xe gắn máy là:
3
( / )
1 10
3 3
x x
km h
(3h20’ = 31
3 h ) 0,25®
VËn tèc cđa ngêi xe gắn máy tăng lên km/h là:
3
5 /
10
x
km h
0,25®
Theo đề ta có phơng trình:
3
5 3 10
x
x
0,5®
x =150 0,5đ Vậy khoảng cách A B 150 (km) 0,25đ Vận tốc dự định là: 3.150 45 /
10 km h
Bài 4(7đ)
Vẽ hình, ghi GT, KL 0,5đ
C D
(76)a) Gäi O lµ giao điểm đờng chéo hình chữ nhật ABCD
PO đờng trung bình tsm gi¸c CAM
AM//PO
tứ giác AMDB hình thang 1đ b) Do AM //BD nên góc OBA = góc MAE (đồng vị)
Tam gi¸c AOB cân O nên góc OBA = góc OAB
Gọi I giao điểm đờng chéo hình chữ nhật AEMF tam giác AIE cân I nªn gãc IAE = gãc IEA
Từ chứng minh : có góc FEA = góc OAB, EF//AC (1) 1đ Mặt khác IP đường trung bình tam giác MAC nên IP // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm E, F, P thẳng hàng 1đ c) MAF DBA g g nên MF AD
FA AB không đổi (1đ)
d) NÕu
16 PD
PB th× 16 , 16
PD PB
k PD k PB k
NÕu CPBD th×
CP PB
CBD DCP g g
PD CP
1®
do CP2 = PB.PD
hay (2,4)2 = 9.16 k2 => k = 0,2 PD = 9k = 1,8(cm)
PB = 16k = 3,2 (cm) 0,5d BD = (cm)
C/m BC2= BP.BD = 16 0,5đ BC = (cm)
CD = (cm) 0,5đ Bài 5:
a) Ta cã: 20092008 + 20112010 = (20092008 + 1) + ( 20112010 – 1)
V× 20092008 + = (2009 + 1)(20092007 - …)
= 2010.(…) chia hÕt cho 2010 (1) 20112010 - = ( 2011 – 1)(20112009 + …)
= 2010.( …) chia hÕt cho 2010 (2) 1đ Từ (1) (2) ta có ®pcm
b) 2
1 1 2
(77)
2
2
2
2
1 1 1 1
0
1 1 1 1
0
1 1 1 1
1
0 2
1 1 1
x xy y xy
x y x y x y
x xy y xy
y x xy
x y xy
V× x1;y1 => xy1 => xy 1
=> BĐT (2) => BĐT (1) (dấu ‘’=’’ xảy x = y) 1đ
ĐỀ SỐ 19
Bài 1:(3đ) a) Phân tích đa thức x3 – 5x2 + 8x – thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên x để A B biết
A = 10x2 – 7x – B = 2x –
c)Cho x + y = x y 0 Chứng minh 3 3 22 2
1
x y
x y
y x x y
Bài 2: (3đ) Giải phương trình sau: a) (x2 + x)2 + 4(x2 + x) = 12 b)
2003 2004
5 2005
4 2006
3 2007
2 2008
1
x x x x x
x
Bài 3:(2đ) Cho hình vng ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, tia đối tia CB lấy F cho AE = CF
a) Chứng minhEDF vuông cân
b) Gọi O giao điểm đường chéo AC BD Gọi I trung điểm EF Chứng minh O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân A Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển AB, AC
cho BD = AE Xác địnhvị trí điểm D, E cho: a/ DE có độ dài nhỏ
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ
H-íng dÉn chÊm vµ biĨu ®iĨm Bài 1: (3 điểm)
a) ( 0,75đ) x3 - 5x2 + 8x - = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – (0,25đ) = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) (0,25đ)
= ( x – ) ( x – ) 2 (0,25đ) b) (0,75đ) Xét
A 10x 7x
5x
B 2x 2x
(78)Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; - 2; ; A B (0,25đ) c) (1,5đ) Biến đổi
3
x y
y 1x 1
= 4
3
x x y y
(y 1)(x 1)
=
4
2
x y (x y)
xy(y y 1)(x x 1)
( x + y = 1 y - 1= -x x - 1= - y) (0,25đ)
=
2
2 2 2
x y x y x y (x y) xy(x y y x y yx xy y x x 1)
(0,25đ)
=
2
2 2
x y (x y 1)
xy x y xy(x y) x y xy
(0,25đ) = 2
2 2
x y (x x y y) xy x y (x y)
= 2
x y x(x 1) y(y 1) xy(x y 3)
(0,25đ)
=
2
x y x( y) y( x) xy(x y 3)
=
2
x y ( 2xy) xy(x y 3)
(0,25đ)
=
2
2(x y) x y
Suy điều cần chứng minh (0,25đ) Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)
(x2 + x )2 + 4(x2 + x) = 12 đặt y = x2 + x y2 + 4y - 12 = y2 + 6y - 2y -12 = (0,25đ)
(y + 6)(y - 2) = y = - 6; y = (0,25đ) * x2 + x = - vơ nghiệm x2 + x + > với x (0,25đ)
* x2 + x = x2 + x - = x2 + 2x - x - = (0,25đ)
x(x + 2) – (x + 2) = (x + 2)(x - 1) = x = - 2; x = (0,25đ) Vậy nghiệm phương trình x = - ; x =1 b) (1,75đ) x x x x x x
2008 2007 2006 2005 2004 2003
x x x x x x ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2008 2007 2006 2005 2004 2003
2003 2009 2004 2009 2005 2009 2006 2009 2007 2009 2008
2009
x x x x x
x
x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009
2008 2007 2006 2005 2004 2003
(0,25đ)
) 0
2003 2004 2005 2006 2007 2008 )( 2009
(x (0,5đ) Vì 1
20082005
; 1
20072004;
1
20062003
Do : 0
2003 2004 2005 2006 2007 2008
1 (0,25đ) Vậy x + 2009 = x = -2009
Bài 3:(2 điểm)
a) (1đ)
Chứng minh EDF vng cân
Ta có ADE =CDF (c.g.c)EDF cân D Mặt khác: ADE =CDF (c.g.c) Eˆ1Fˆ2
B
E I
(79)Theo tính chất đường chéo hình vng CO trung trực BD MàEDF vuông cân DI =1
2EF
Tương tự BI =1
2EF DI = BI
I thuộc dường trung trực DB I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2 điểm) a) (1đ)
DE có độ dài nhỏ
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a) Áp dụng định lý Pitago với ADE vng A có:
DE2 = AD2 + AE2 = (a – x)2 + x2 = 2x2 – 2ax + a2 = 2(x2 – ax) – a2 (0,25đ) = 2(x –
2 a
4 )2 + a
2 a
2 (0,25đ)
Ta có DE nhỏ DE2 nhỏ x =a
2 (0,25đ)
BD = AE =a
2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ) b) (1đ)
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ Ta có: SADE =
1
2AD.AE =
2AD.BD =
2AD(AB – AD)=
2 (AD2 – AB.AD) (0,25đ) = –1
2(AD2 – AB
2 AD +
2 AB
4 ) + AB
8 = –
1
2(AD – AB
4 )2 +
2
AB
2
2 AB
8 (0,25đ)
Vậy SBDEC = SABC – SADE
2 AB
2 – AB
8 = 8AB
2không đổi (0,25đ)
Do SBDEC =
3
8AB2 D, E trung điểm AB, AC (0,25đ)
ĐỀ SỐ 20 Bµi 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – y2 – 5x + 5y
b) 2x2 5x
Bài 2: Tìm đa thøc A, biÕt r»ng:
x A x
x
2 16
2
x 5
A D
B
(80)b) Tìm giá trị x để giá trị phân thức Bài 4: a) Giải phơng trình :
) ( 2 x x x x x
b) Giải bất phơng trình: (x-3)(x+3) < (x=2)2 +
Bài 5: Giải toán sau cách lập phơng trình:
Mt tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, ngày sản xuất đợc 50 sản phẩm Khi thực hiện, ngày tổ sản xuất đợc 57 sản phẩm Do hồn thành trớc kế hoạch ngày vợt mức 13 sản phẩm Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất sản phẩm thực ngày Bài 6: Cho ∆ ABC vng A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm Kẻ đờng cao AH trung tuyến AM
a) Chøng minh ∆ ABC ~ ∆ HBA b) TÝnh : BC; AH; BH; CH ? c) TÝnh diƯn tÝch ∆ AHM ?
BiĨu ®iĨm - Đáp án
Đáp án Biểu điểm
Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) x2 – y2 – 5x + 5y = (x2 – y2) – (5x – 5y) = (x + y) (x – y) – 5(x
– y)
= (x - y) (x + y – 5) (1 ®iĨm)
b) 2x2 – 5x – = 2x2 + 2x – 7x – = (2x2 + 2x) – (7x + 7) = 2x(x +1) – 7(x + 1)
= (x + 1)(2x – 7) (1 điểm) Bài 2: Tìm A (1 điểm) A = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) [( 16 ( 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
Bµi 3: (2 ®iĨm)
a) 2x2 + 2x = 2x(x + 1) 2x vµ x +
x vµ x -1 (1 ®iĨm) b) Rót gän:
x x x x x x x ) ( ) ( 2 5
2
(81)V×
2
thoả mÃn điều kiện hai tam giác nên
2
x (0,25 ®iÓm)
Bài 4: a) Điều kiện xác định: x0; x 2 - Giải:
) (
2 )
2 (
2) -(x -2) x(x
x x x
x x
2
+ 2x – x +2 = 2; x= (loại) x = - VËy S = 1
b) x2 – < x2 + 4x +
x2 – x2 – 4x < + - 4x < 16 x> -
VËy nghiÖm phơng trình x > -
1 ®
1đ Bài 5: – Gọi số ngày tổ dự định sản xuất : x ngày
§iỊu kiện: x nguyên dơng x >
Vy số ngày tổ thực là: x- (ngày)
- Số sản phẩm làm theo kế hoạch là: 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực là: 57 (x-1) (sản phẩm) Theo đề ta có phơng trình: 57 (x-1) - 50x = 13
57x – 57 – 50x = 13 7x = 70
x = 10 (thoả mÃn điều kiện)
Vy: s ngy dự định sản xuất 10 ngày
Sè s¶n phẩm phải sản xuất theo kế hoạch là: 50 10 = 500 (sản phẩm)
0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ đ Bài 6: a) Xét ∆ ABC vµ ∆ HBA, cã:
Gãc A = gãc H = 900; cã gãc B chung ∆ ABC ~ ∆ HBA ( gãc gãc)
b) ¸p dơng pitago ∆ vu«ng ABC ta cã : BC = 2
AC
AB = 2
20
15 = 625= 25 (cm) v× ∆ ABC ~ ∆ HBA nªn
15 25 20 15
HA HB hay BA BC HA AC HB AB
AH = 12
25 05 20
(cm)
BH =
25 15 15
(cm)
HC = BC – BH = 25 – = 16 (cm)
c) HM = BM – BH = 3,5( )
2 25
2 BH cm
BC
SAHM =
2
AH HM =
2
12 3,5 = 21 (cm2)
- Vẽ hình: A
1 ® ® ®
1 ®
(82)B H M C ®
ĐỀ SỐ 21
Bài 1(3 điểm): Tìm x biết:
a) x2 – 4x + = 25
b)
1004 x 1986
21 x 1990
17
x
c) 4x – 12.2x + 32 =
Bài 2 (1,5 điểm): Cho x, y, z đôi khác z y x
1 Tính giá trị biểu thức:
xy z
xy xz
2 y
xz yz
2 x
yz
A 2 2 2
Bài (1,5 điểm): Tìm tất số phương gồm chữ số biết ta thêm đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta số phương
Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AA’, BB’, CC’, H trực tâm a) Tính tổng
' CC
' HC '
BB ' HB ' AA
'
HA
b) Gọi AI phân giác tam giác ABC; IM, IN thứ tự phân giác góc AIC góc AIB Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN.IC.AM
c) Chứng minh rằng:
' CC '
BB '
AA
) CA BC AB (
2
2
2
ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
Bài 1(3 điểm):
a) Tính x = 7; x = -3 (
1 điểm )
b) Tính x = 2007 ( điểm )
c) 4x – 12.2x +32 = 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = ( 0,25điểm )
(83) 2x = 23 2x = 22 x = 3; x = ( 0,25điểm )
Bài 2(1,5 điểm):
0 z y x
1
0 xz yz xy xyz
xz yz
xy
yz = –xy–xz (
0,25điểm )
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z) ( 0,25điểm )
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) ( 0,25điểm )
Do đó:
) y z )( x z (
xy )
z y )( x y (
xz )
z x )( y x (
yz A
( 0,25điểm )
Tính A = ( 0,5 điểm )
Bài 3(1,5 điểm):
Gọi abcd số phải tìm a, b, c, d N, 0a,b,c,d9,a 0 (0,25điểm)
Ta có:
k
abcd (a1)(b3)(c5)(d3)m2
abcdk2
abcd1353m2 (0,25điểm)
Do đó: m2–k2
= 1353
(m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) (0,25điểm)
m+k = 123 m+k = 41
m–k = 11 m–k = 33 m = 67 m = 37
k = 56 k = (0,25điểm)
Kết luận abcd = 3136 với k, mN, 31km100
(0,25điểm)
hoặc
(84) Bài (4 điểm):
Vẽ hình (0,25điểm) a) ' AA ' HA BC ' AA BC ' HA S S ABC
HBC
; (0,25điểm) Tương tự: ' CC ' HC S S ABC HAB ; ' BB ' HB S S ABC HAC (0,25điểm) S S S S S S ' CC ' HC ' BB ' HB ' AA ' HA ABC HAC ABC HAB ABC
HBC
(0,25điểm)
b) Áp dụng tính chất phân giác vào tam giác ABC, ABI, AIC: AI IC MA CM ; BI AI NB AN ; AC AB IC
BI
(0,5điểm ) AM IC BN CM AN BI BI IC AC AB AI IC BI AI AC AB M A CM NB AN IC BI c)Vẽ Cx CC’ Gọi D điểm đối xứng A qua Cx (0,25điểm)
-Chứng minh góc BAD vng, CD = AC, AD = 2CC’ (0,25điểm)
- Xét điểm B, C, D ta có: BD BC + CD (0,25điểm)
-BAD vuông A nên: AB2+AD2 = BD2 AB2 + AD2 (BC+CD)2 (0,25điểm)
AB2 + 4CC’2 (BC+AC)2 4CC’2
(BC+AC)2 – AB2 Tương tự: 4AA’2
(AB+AC)2 – BC2 4BB’2
(AB+BC)2 – AC2 (0,25điểm)
-Chứng minh : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2
(85)4 ' CC ' BB ' AA ) CA BC AB ( 2 2 (0,25điểm)
(Đẳng thức xảy BC = AC, AC = AB, AB = BC AB = AC =BC ABC đều)
§Ị SỐ 22
Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:
a, A=n3-n2+n-1 số nguyên tố b, B =
2 2 n n n n n
Có giá trị số nguyên c, D= n5-n+2 số ph-ơng (n2)
Câu 2: (5điểm) Chøng minh r»ng :
a,
1
1
ac c
c b bc b a ab a biÕt abc=1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2
c, c a a b b c a c c b b a 22 22
2
Câu 3: (5điểm) Giải ph-ơng trình sau:
a,
82 54 84
132 86
214
x x
x
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyªn d-ơng
Câu 4: (5điểm) Cho hình thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đ-ờng chéo.Qua kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F
a, Chøng minh :DiƯn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diƯn tÝch tam gi¸c BOC b Chøng minh:
EF CD AB 1
c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đ-ờng thẳng qua Kvà chia đơi diện tích tam giác DEF
C©u Nội dung giải Điểm a, (1điểm) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1)
Để A số nguyên tố n-1=1n=2 A=5
(86)C©u (5®iĨm)
b, (2®iĨm) B=n2
+3n-2 n
2
2
B có giá trị nguyên n2+2 n2+2 -ớc tự nhiên
n2+2=1 giá trị thoả mÃn
Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c, (2®iĨm) D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1)n2 45 +2= 1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2
Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+25 (tich 5sè tù nhiên liên tiếp) Và n(n-1)(n+15 Vậy D chia d-
Do số D có tận 7nên D khơng phải số ph-ơng
Vậy khơng có giá trị n để D số ph-ơng
Câu (5điểm)
a, (1điểm)
1 ac c c b bc b a ab a
2
ac c
c ac abc abc abc c ac abc ac = 1 1
1
abc ac
ac abc c ac c ac c abc c ac ac 0,5 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0,5 0,5 0,5 0,5 b, (2®iĨm) a+b+c=0 a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 a2+b2+c2=
-2(ab+ac+bc)
a4+b4+c4+2(a2b2+a2c2+b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8abc(a+b+c) V× a+b+c=0
a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác 2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2)+4abc(a+b+c) V×
a+b+c=0
2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+b2c2) (2) Tõ (1)vµ(2) a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2
c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu
x=y c a c b b a c b b a 2 2 ; b c a c b a a c b a 2 2 ; a b c b a c c b a c 2 2
Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
) a b b c c a ( ) a c c b b a ( 2 2 2 b c a c b
(87)Câu (5điểm)
a, (2®iĨm) 82
54 84
132 86
214
x x
x
3)
82 54 ( ) 84
132 (
) 86
214
(x x x
82
300 84
300 86
300
x x
x
(x-300)
82 84
1 86
1
x-300=0 x=300 VËy S = 300
1,0 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
(64x2-16x+1)(8x2-2x)=9 (64x2-16x+1)(64x2-16x) = 72
Đặt: 64x2-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72 k2=72,25 k=± 8,5
Víi k=8,5 tacó ph-ơng trình: 64x2-16x-8=0 (2x-1)(4x+1)=0; x=
4 ;
2
x
Với k=- 8,5 Ta có ph-ơng trình: 64x2-16x+9=0 (8x-1)2+8=0 vô nghiÖm
VËy S =
4 ,
c, (1®iĨm) x2-y2+2x-4y-10 = (x2+2x+1)-(y2+4y+4)-7=0 (x+1)2-(y+2)2=7 (x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên
d-ơng
(88)Câu (5điểm)
a,(1im) Vì AB//CD S DAB=S CBA (cùng đáy đ-ờng cao)
S DAB –SAOB = S CBA- SAOB Hay SAOD = SBOC
b, (2®iĨm) V× EO//DC
AC AO DC EO
Mặt khác AB//DC
DC AB
AB DC
EO AC
AO BC AB
AB OC
AO AO BC
AB AB OC
AO DC
AB
EF AB DC EF
DC AB
DC AB DC
AB AB DC
EF 1
2
c, (2®iĨm) +Dùng trung tuyến EM ,+ Dựng EN//MK (NDF) +Kẻ đ-ờng thẳng KN đ-ờng thẳng phải dựng
Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I SIKE=SIMN
(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) SDEKN=SKFN
0,5 0,5
0,5 1,0 0,5 1,0
1,0
A B
C D
O
E K F
I
(89)Bộ đề thi học sinh giỏi Tốn lớp www.PNE.edu.vn §Ị sè 1: (lớp 8)
Bài 1: (2 điểm)
Cho 1,25) 31,64
5 25 , ).( ,
(
A
25 , 11 :
02 , ) 19 , 81 , 11 (
B
Trong hai sè A B số lớn lớn lần ?
b) Số A1019984 có chia hết cho kh«ng ? Cã chia hÕt cho kh«ng ? Câu 2: (2 điểm)
Trờn quãng đ-ờng AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quãng đ-ờng ng-ời tới lúc gặp ?
C©u 3:
a) Cho f(x)ax2 bxc với a, b, c số hữu tỉ
Chøng tá r»ng: f(2).f(3)0 BiÕt r»ng 13ab2c0
b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức
x A
6
có giá trị lớn Câu 4: (3 điểm)
Cho ABC dựng tam giác vuông cân BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nửa
mặt phẳng khác bờ AC Dựng tam giác vuông cân FAC, FAC = 900 F C nằm hai nửa mặt phẳng khác bờ AB
a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB EC
Câu 5: (1 điểm)
Tìm ch÷ sè tËn cïng cđa
9
9
9
2
19
(90)Các tài liệu Ơn thi HSG Tốn Lớp www.PNE.edu.vn
Đề số Bài 1: (2 điểm)
1) Chøng minh r»ng nÕu P vµ 2P + số nguyên tố lớn 4P + hợp số
2) HÃy tìm BSCNN ba số tự nhiên liên tiếp Bài 2: (2 ®iÓm)
Hãy thay chữ số vào chữ x, y N 20x0y04 để N chia hết cho 13
Bài 3: (2 điểm)
Vòi n-ớc I chảy vào đầy bể 30 phút Vòi n-ớc II chảy vào đầy bể 11 40 phút Nếu vòi n-ớc I chảy vào giờ; vòi n-ớc II chảy vào 25 phút l-ợng n-ớc chảy vào bể vịi nhiều Khi l-ợng n-ớc bể đ-ợc phần trăm bể
Bµi 4: (2 ®iĨm)
Bạn Huệ nghĩ số có ba chữ số mà viết ng-ợc lại đ-ợc số có ba chữ số nhỏ số ban đầu Nếu lấy hiệu số lớn số bé hai số đ-ợc 396 Bạn Dung nghĩ số thoả mãn điều kiện
Hái cã bao nhiªu sè cã tÝnh chất trên, hÃy tìm số Bài 5: (2 ®iĨm)
Chứng minh rằng: số có chẵn chữ số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số “ đứng vị trí chẵn” tổng chữ số đứng “vị trí lẻ”, kể từ trái qua phải chia hết cho 11
(91)Bộ đề thi Học sinh giỏi Toán Lp www.PNE.edu.vn
Đề số (t0án 8)
Bài 1: (3 điểm)
Cho biểu thức
3
27 : 3
2 2
x x x x
x A
a) Rút gọn A b) Tìm x để A < -1
c) Với giá trị x A nhận giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm)
Giải ph-ơng trình: a)
y y
y y
y
2
6 10
1
2
2
b)
2
4
2
x x
x x
Bài 3: (2 điểm)
Mt xe đạp, xe máy ô tô từ A đến B Khởi hành lần l-ợt lúc giờ, giờ, vận tốc theo thứ tự 15 km/h; 35 km/h 55 km/h Hỏi lúc ô tô cách xe đạp xe p v xe mỏy
Bài 4: (2 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD từ điểm P thuộc đ-ờng chéo AC ta dựng hình chữ nhật AMPN ( M AB vµ N AD) Chøng minh:
a) BD // MN
b) BD vµ MN cắt K nằm AC Bài 5: (1 ®iÓm)
(92)Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh
nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học
trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II. Khoá Học Nâng Cao HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS
lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần
Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia
III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia