tom-tat-mon-toan

giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 GIẢI TÍCH TỔ HP Giai thừa : n! = 1.2 n 0! = n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn : m + n Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng : m x n Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : Cnk = n! k!(n − k )! Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác số cách : A nk = n! , A nk = Cnk Pk (n − k)! Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị Tam giác Pascal : 1 1 1 3 1 Tính chất : C00 C10 C20 C30 C04 C11 C12 C13 C14 C22 C32 C24 C0n = C nn = 1, C nk = Cnn − k Cnk −1 + C nk = Cnk +1 Nhị thức Newton : * (a + b)n = C0n an b + C1n an −1b1 + + Cnn a0 b n a = b = : C0n + C1n + + C nn = n C33 C34 C44 giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh nhiều đẳng C 0n , C1n , , C nn thức chứa : * (a + x )n = C0n an + C1n an −1x + + Cnn x n Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa C 0n , C1n , , C nn cách : - Đạo hàm lần, lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2, - Nhaân với xk , đạo hàm lần, lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2, ±1 - Cho a = ±1, ±2, , ∫ hay ±2 β α ∫ hay ∫ Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : Ckn a n −k b k = Kx m Giaûi pt : m = 0, ta k * (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ k n −k n Ca m p b = Kc d k r q ⎧m / p ∈ Z , tìm k ⎨ ⎩r / q∈ Z k k Giải pt , bpt chứa A n , Cn : đặt điều kiện k, n ∈ N* , k ≤ n Giải hệ pt : * Cần biết đơn giản giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung * Cần phân biệt : qui tắc cộng qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp) * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp * Với toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p trường hợp hơn, ta làm sau : số cách chọn thỏa p = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật xác giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 * Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số đứng đầu (tính từ trái sang phải) * Dấu hiệu chia hết : - Cho : tận 0, 2, 4, 6, - Cho : tận 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tận hay - Cho : chia hết cho - Cho 25 : tận 00, 25, 50, 75 ĐẠI SỐ Chuyển vế : a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎡b = c = ⎢⎧ b ≠ ⎢⎨ ⎣⎩ a = c / b a/b = c ⇔ ⎧ a = bc ; ⎨ ⎩b≠ a2 n +1 = b ⇔ a = n +1 b a 2n = b ⇔ a = ± b, a = 2n 2n ⎧ b = a 2n b ⇔ ⎨ ⎩a ≥0 ⎧ b = ±a a= b ⇔⎨ , a = log α b ⇔ b = α a ⎩a≥ b = 0, c > ⎧b>0 a + b < c ⇔ a < c − b ; ab < c ⇔ ⎨ ⎩ a < c/ b ⎧b c/ b Giao nghieäm : ⎧x >a ⎧x max{ a, b} ; ⎨ ⇔ x < min{ a, b} ⎨ ⎩x > b ⎩x < b giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 ⎧p ⎨ ⎧x >a a < x < b(neá u a < b) ⎧ p ∨ q ⎩Γ ; ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ V N (neá u a ≥ b) ⎧q ⎩Γ ⎩x 0, y ↑ neáu a > 1, y ↓ < a < giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 a =1; a −m / n m m n = 1/ a ; a a = a n m +n am / an = am −n ; (am )n = am n ; an / b n = (a/ b)n an b n = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1) ∨ a = am < a n ⇔ d m < n (neáu a > 1) , α = aloga α m > n (neáu < a < 1) log : y = logax , x > , < a ≠ 1, y ∈ R y↑ neáu a > 1, y↓ neáu < a < 1, α = logaaα loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ ) loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ ) loga M = loga M , loga M = loga M (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, log aα M= loga M α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N loga M < loga N ⇔ < M < N (neá u a > 1) M > N > 0(neá u < a < 1) Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện Đổi biến : a Đơn giản b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t Hàm số hợp : bước làm theo cách Xét dấu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > c d a b : t = ax + b∈ R, t = x ≥ 0, t = x ≥ 0,t = x ≥ 0, t = ax > 0,t = loga x ∈ R c giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm : xét tính liên tục đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f So sánh nghiệm phương trình bậc với α : f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = không đối xứng, giải hệ pt : ⎧g = ⎪ ⎨ S = x1 + x ⎪ P = x x ⎩ Biết S, P thỏa S2 – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = * Duøng Δ, S, P để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 ⇔ P < 0, < x1 < x2 ⇔ x1 < x2 < ⇔ ⎧Δ > ⎪ ⎨P> ⎪S > ⎩ ⎧Δ > ⎪ ⎨P> ⎪S < ⎩ * Dùng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < α < x1 < x2 ⇔ ⎧Δ >0 ⎪ ⎨ a.f (α ) > ⎪α < S/2 ⎩ α < x1 < β < x2 ⇔ ⎧ a.f (β) < ⎪ ⎨ a.f (α) > ⎪α ⎪α ⎪ ⎨ a.f (α ) > ⎪S/2 < α ⎩ giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 Viête : ax3 + bx2 + cx + d = x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Bieát x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C x1, x2, x3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = b Soá nghiệm phương trình bậc : • x = α ∨ f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) : a nghiệm phân biệt ⇔ ⎧Δ > ⎨ ⎩ f (α ) ≠ nghiệm phân biệt ⇔ ⎧Δ > ∨ ⎨ α = f ( ) ⎩ nghieäm ⇔ ⎧Δ = ⎨ ⎩f (α ) ≠ ⎧Δ = Δ < hay ⎨ ⎩f ( α ) = • Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m • Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = f(x, m) vaø (Ox) : y = nghieäm ⇔ ⎧Δ y ' > ⎨ ⎩y CĐ y CT < nghiệm ⇔ ⎧Δ y ' > ⎨ ⎩y CÑ y CT = nghiệm ⇔ Δy' ≤ ∨ c Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC : ⇔ d ⎧Δ y ' > ⎨ ⎩y CÑ y CT > ⎧Δ y ' > ⎨ ⎩y uốn = So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) : so saùnh nghiệm phương trình bậc f(x) với α giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 10 • Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao f(x) = y: (C) y = m: (d) , đưa α vào BBT • Không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (coù m) ,(a > 0) vaø (Ox) α < x1 < x2 < x3 ⇔ ⎧ Δy ' > ⎪ ⎪ y CÑ y CT < ⎨ ⎪ y(α) < ⎪α ⎪ y y < ⎪ CÑ CT ⎨ ⎪ y (α ) < ⎪⎩ x CÑ < α x1 < x2 < x3 < α ⇔ ⎧ Δy ' > ⎪ ⎪ y CÑ y CT < ⎨ ⎪ y(α) > ⎪x , nghieäm ⇔ α x1 x1 x1 x1 x α α x α ⎧Δ > ⎨ ⎩ f (α ) = ⎧Δ = ⎨ ⎩ f (α ) ≠ giải đề thi tuyển sinh đại học môn toán năm 2004 – 2008 Vô nghieäm ⇔ Δ < ∨ a ⎧Δ = ⎨ ⎩ f (α ) = 11 Neáu a có tham số, xét thêm a = với trường hợp nghiệm, VN Phương trình bậc : ax + bx + c = (a ≠ 0) ⇔ Trùng phương : t = x2 ⇔ x = ± nghieäm ⇔ ⎧Δ > ⎪ ⎨P> ⎪S > ⎩ t ; nghieäm ⇔ ⎧P= ⎨ ⎩S > P< nghieäm ⇔ ⎧ Δ = ;1 nghieäm ⇔ ⎨ ⎩S/2 > VN ⇔ Δ < ∨ ⎧Δ ≥ ⎪ ⎨P> ⎪S < ⎩ ⎧ t = x2 ≥ ⎨ ⎩ f (t ) = ⎧P= ⎨ ⎩S < ⎧Δ = ⎨ ⎩S/2 = ⎧ ⎪ ⇔Δ0 ⎪S * f baäc (hay baäc / baäc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ CT ⇔ Δf/ >0 * f baäc (hay baäc / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = coù nghiệm α < x1 < x2 • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = coù nghiệm x1 < x2 < α • bên (Ox) ⇔ • bên (Ox) ⇔ ⎧⎪ Δ f / > ⎨ ⎪⎩ yCD yCT > ⎧⎪ Δ f / > ⎨ ⎪⎩ yCD yCT < * Với hàm bậc / bậc 1, điều kiện yCĐ.yCT < (>0) thay y = VN (có nghiệm.) * Tính yCĐ.yCT : • Hàm bậc : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCÑ.yCT = (CxCÑ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = • Hàm bậc 2/ bậc : y= u v