Mở đầu về oxyz toán 12

CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN TỦ SÁCH LUYỆN THI THPT QUỐC GIA MỞ ĐẦU OXYZ Lý thuyết áp dụng TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC Lời giới thiệu Chủ đề hình học giải tích khơng gian Oxyz khơng phải khó khơng dễ với bạn học sinh bắt đầu chủ đề Ebook nhỏ nhằm mang tới cho bạn đọc nhìn khái quát vấn đề chủ đề thông qua lý thuyết ví dụ minh họa kèm lời giải chi tiết phần giúp bạn dễ tiếp cận Nội dung Ebook không đè nặng tốn khó lắt léo nhiên có tốn đủ để khiến bạn đau đầu tốn nhiều cơng sức để giải Bên cạnh phần trình bày hình vẽ đầu tư nhiều công sức với mong muốn bạn đọc hiểu, tưởng tượng suy luận hướng mà lời giải giải tốn Kì thi THPT Quốc Gia ngày tới gần, có lẽ lúc thích hợp để bạn nhìn lại ơn tập kiến thức qua đồng thời cung cấp thêm cho số kinh nghiệm để giải toán hay xuất đề thi, tập thể tác giả mong sách giúp ích cho bạn phần q trình ơn luyện Nội dung ebook tham khảo từ nhiều nguồn, bạn xem cuối tài liệu Dù cố gắng để biên soạn nhiên khơng thể tránh khỏi thiếu sót, ý kiến phản hồi vui lòng gửi địa Tạp chí tư liệu tốn học Link liên kết https://www.facebook.com/OlympiadMathematical/ Mục lục Chương Chương Chương Chương Chương Chương Mở đầu hình học tọa độ khơng gian Lý thuyết phương trình đường thẳng Các tốn phương trình mặt phẳng Các tốn phương trình mặt cầu Các tốn cực trị hình học khơng gian Oxyz Phương pháp tọa độ hóa hình cổ điển 32 107 171 261 352 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC CHINH PHỤC OLYMPIC TỐN | Hình học giải tích khơng gian Oxyz Chương Mở đầu hình học tọa độ khơng gian Tóm tắt nội dung Trong chương tìm hiểu khái niệm cơng thức bản, qua tìm hiểu dạng tốn liên quan tới công thức nhằm giúp bạn học sinh nắm vững lý thuyết để sâu vào dạng tập khó A KIẾN THỨC CẦN NẮM I HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN Trong khơng gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i, j , k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ trục tọa độ vng góc khơng gian z k O i j y x 2 Chú ý i = j = k = i j = i.k = k j = II TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ Định nghĩa Ta có vecto u = ( x; y; z )  u = xi + y j + zk Tính chất Cho a = ( a1 ; a2 ; a3 ) , b = ( b1 ; b2 ; b3 ) , k  • a  b = ( a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) Trang | Tạp chí tư liệu tốn học | • ka = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) • a1 = b1  a = b  a2 = b2 a = b  3 • = ( 0;0;0 ) , i = (1;0;0 ) , j = ( 0;1;0 ) , k = ( 0;0;1) ( ) • a phương b b   a = kb ( k  • a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 • a ⊥ b  a1b1 + a2b2 + a3b3 = • a = a12 + a22 + a32 • a = a12 + a22 + a22 • cos a , b = ( ) a.b = a b ) a1 = kb1 a a a   a2 = kb2  = = , ( b1 , b2 , b3  ) b1 b2 b3 a = kb  a1b1 + a2b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22 + b32 (với a , b  ) III TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM Cho điểm A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) • • • • AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) + ( z B − z A ) 2  x + x y + yB z A + z B  Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB M  A B ; A ;   2   x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC  Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC G  A B C ; A ;  3   Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD  x + x + x + xD y A + yB + yC + yD z A + zB + zC + zC  G A B C ; ;   4  IV TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ Định nghĩa Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) Tích có hướng hai vectơ a b , kí hiệu  a, b  , xác định  a a3 a3 a1 a1 a2   a , b  =  ; ;  = ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )  b2 b3 b3 b1 b1 b2  Chú ý Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số Tính chất •  a, b  ⊥ a;  a, b  ⊥ b     Trang | | Hình học giải tích khơng gian Oxyz •  a, b  = − b, a      • i , j  = k ;  j , k  = i ;  k , i  = j •  a, b  = a b sin a , b   • a, b phương   a, b  = (chứng minh điểm thẳng hàng) ( ) Ứng dụng tích có hướng • Điều kiện đồng phẳng vecto a, b c   a, b  c = • Diện tích hình bình hành ABCD S ABCD =  AB, AD  Diện tích tam giác ABC SABC =  AB, AC  • Thể tích khối hộp ABCDABC D VABCD A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  AA Thể tích tứ diện ABCD VABCD =  AB, AC  AD • • Chú ý • Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng • Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương • a ⊥ b  a.b = • a , b phương   a , b  = • a , b , c đồng phẳng   a , b  c = B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng Tìm tọa độ vecto, điểm Định nghĩa a = a1.i + a2 j + a3 k  a = ( a ; a2 ; a3 ) , OM = x.i + y j + z.k  M ( x; y; z ) Tính chất Cho a = ( a1 ; a2 ; a3 ) ; b = ( b1 ; b2 ; b3 ) Ta có • a  b = ( a1  b1 ; a2  b2 ; a3  b3 ) • ka = ( ka1 ; ka2 ; ka3 ) • a1 = b1  a = b  a2 = b2 a = b  • AB = ( xB − xA ; yB − y A ; zB − z A ) Trang | Tạp chí tư liệu tốn học | CÁC BÀI TỐN MINH HỌA Câu Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho vectơ thỏa mãn a = −i + j − 3k , b = ( 3;0;1) , c = 2i + j , d = ( 5; 2; −3) a) Tìm tọa độ vectơ a + b , 3a − 2c b) Tìm tọa độ vectơ a + b − c ; 3a − 2c + 3d c) Phân tích vectơ d theo vectơ a ; b ; c Lời giải a) Ta có • a = ( −1;1; −3) , b = ( 3;0;1)  a + b = ( 2;1; −2 ) • 3a = ( −3;3; −9 ) , 2c = ( 4;6;0 )  3a − 2c = ( −7; −3; −9 ) b) Ta có • a = ( −1;1; −3) , b = ( 3;0;1) , c = ( 2;3;0 )  a + b − c = ( 0; −2; −2 ) • 3a = ( −3;3; −9 ) , 2c = ( 4;6;0 ) , 3d = (15;6; −9 )  3a − 2c + 3d = ( 8;3; −18 ) 5 = −m + 3n + p 19 24  c) Giả sử d = ma + nb + pc  2 = m + p  m = ,n = , p = 11 11 11 −3 = −3m + n  19 24 Vậy d = a + b + c 11 11 11 Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A (1; −3;1) ; B ( 2;5;1) vectơ OC = −3i + j + 5k a) Tìm tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành b) Tìm tọa độ điểm E cho tứ giác OABE hình thang có hai đáy OA ; BE OA = BE c) Tìm tọa độ điểm M cho AB + AM = 3CM Lời giải a) Gọi D ( x; y; z ) Ta có BC = ( −5; −3; ) , AC = ( −4;5; ) Mà −5 −3  BC , AC không phương  −4 AD = ( x − 1; y + 3; z − 1)  x − = −5  x = −4   ABCD hình bình hành  AD = BC   y + = −3   y = −6 Vậy ( −4; −6;5 ) z −1 = z =   b) Gọi E ( x; y; z ) Ta có OA = (1; −3;1) , OB = ( 2;5;1) Mà −3  OA, OB không phương  Ta có EB = ( − x; − y; − z ) Từ đề cho ta suy Trang | | Hình học giải tích khơng gian Oxyz z S N a M y D A a B C x Ta có BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AM  AM ⊥ ( SBC )  AM ⊥ SC Tương tự ta có AN ⊥ SC  ( AMN ) ⊥ SC Gọi  góc đường thẳng SB ( AMN ) ( ) Chuẩn hóa chọn hệ trục tọa độ cho A ( 0;0;0 ) , B ( 0;1; ) , D (1;0;0 ) , S 0;0; , ( ) ( ) C (1;1; ) , SC = 1;1; − , SB = 0;1; − Do ( AMN ) ⊥ SC nên ( AMN ) có vtpt SC sin  = 3 =   = 60o Câu 48 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có tất cạnh a M điển thỏa mãn CM = − AA Cô sin góc hai mặt phẳng ( AMB ) ( ABC ) bao nhiêu? Lời giải Xét hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có tất cạnh a Gắn hệ trục hình vẽ quy ước a = ( đơn vị ) Gọi D giao điểm AM AC Vì tam giác ABC  tam giác cân cạnh a Suy tọa độ điểm hình vẽ AD CDM  =  DA = −2 DC CD a nên ta suy độ dài đường trung tuyến Theo giả thiết ta có CM = − AA  ADA   Vậy tọa độ điểm D là: D  0; ;1   Ta có mặt phẳng ABC có phương trình z =  n( ABC ) = ( 0;0;1) Mặt khác mặt phẳng ( AMB ) mặt phẳng qua ba điểm A , D B Trang | 389 Tạp chí tư liệu tốn học | M z A ( 0;0;1) C ( 0;1;1)   B  ; ,1  2  A ' ( 0;0;0 ) C ' ( 0;1;0 ) x y   B '  , ,   2    1 − 3       Ta có: AD =  0; ;1 AB =   n = A D , A B = ; ;1   A BM ( )    ; ;   2        Vậy cơsin góc tạo hai mặt phẳng ( AMB ) ( ABC ) là: ( ) ( ) cos ( A ' BM ) , ( ABC ) = cos n( ABM ) , n( ABC ) = − 3 + + 36 = 30 = 10 10 Câu 49 Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có cạnh bên cạnh đáy Đường thẳng MN NB ( M  AC; N  BC  ) đường vng góc chung AC BC  Tỷ số NC  Lời giải Kết tốn khơng thay đổi ta xét lăng trụ ABC ABC  có cạnh bên cạnh đáy Trang | 390 | Hình học giải tích khơng gian Oxyz A C O y M B x N C' A' B' z ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ ( O trung điểm BC ) Ta có: A 0; − 3; , B (1;0;0 ) , ( ) C ( −1;0;0 ) , C  ( −1;0; ) , CA = 1; − 3; , BC  = ( −2;0; ) CM = mCA Do  nên ta có M −1 + m; − 3m; 2m , N (1 − 2n;0; 2n )  BN = nBC  ( ) ( )  MN = −m − 2n + 2; 3m; 2n − 2m Đường thẳng MN đường vng góc chung AC BC  nên:  m=   MN CA = − m + n = −  NB BN  =  =n=     NC  BC   − m + 4n =  MN BC = n =  Câu 50 Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng ( ABC ) , AD = 3a, AB = 2a , , AC = 4a, BAC = 60 Gọi H , K hình chiếu vng góc B AC CD Đường thẳng HK cắt đường thẳng AD E Chứng minh BE vng góc với CD tính thể tích khối tứ diện BCDE theo a Lời giải Trang | 391 Tạp chí tư liệu toán học | z D y 3a K H A E C 4a 2a B x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với A trùng gốc tọa độ O ( ) A ( 0;0;0 ) , B ( 2a;0;0 ) , C 2a; 2a 3;0 , D ( 0;0;3a ) , AH = AB.cos 60 = a a a  Suy tọa độ H  ;  2 ;0    ( ) ( ) DC 2a; 2a 3; −3a suy u 2; 3; −3 vecto phương DC nên phương trình đường  x = 2t  thằng DC :  y = 3t Vì K thuộc DC nên K 2t ; 3t ;3a − 3t  z = 3a − 3t  ( ( ) Ta có BK 2t − 2a; 3t;3a − 3t , BK DC =  t = )  26a 26a 36a  13a Vậy K  ; ;  25 25 25   25 a a   27a 27a 36a  Vì E thuộc trục Az nên E ( 0;0; z ) EH  ; ; − z  ; HK  ; ;  50 25  2   50 4a  4a  Vì E , H , K thằng hàng nên EH , HK phương, suy z = − Vậy E  0;0; −    4a  4a  Ta có EB =  2a;0;  DC 2a; 2a 3; −3a nên EB.DC = 2a.2a + 0.2a + ( −3a ) =   Vậy BE vng góc với CD Câu 51 ( ) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A, BC = a ABC = 30 Hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) tạo với đáy góc 60 Biết hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) thuộc cạnh BC Tính thể tích khối chóp S ABC theo a Lời giải Trang | 392 | Hình học giải tích khơng gian Oxyz z S y x H C B A Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với A trùng gốc tọa độ O a   a  A ( 0;0;0 ) , B  ;0;0  , C  0; ;0  , S ( x; y; z ) với x  0; y  0; z  0, H ( x; y;0 ) với H hình chiếu     vng góc S lên ( ABC ) n1 = ( 0;0;1) vecto pháp tuyến ( ABC )  a a n2 =  AB AS  =  0; − z; 2   y  vecto pháp  a  a tuyến ( SAB ) n3 =  AC AS  =  x;0; − z  vecto pháp tuyến ( SAC )  2 cos ( ( SAB ) , ( ABC ) ) = cos ( ( SAC ) , ( ABC ) ) = n1.n2  =  = n1 n2 n1.n3 n1 n3 y z +y 2 x z +x 2  z = y (1)  z = 3x ( )  a a  a   Từ (1) , ( ) ta có x = y Nên H ( x; x;0 ) , H thuộc BC nên BC  − ; ;0  , CH  x; x − ;0  2     a x− 3a x x= a phương, suy thay vào (1) , ta z = = a a 1+ 1+ − 2 ( VS ABC ( ) ( ) ) − a3 1 3a a2 = SH SABC = = 3 1+ 32 ( ) Câu 52 Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh AB = a Gọi M , N trung điểm cạnh SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng ( AMN ) vng góc với mặt phẳng ( SBC ) Lời giải Gọi O trung điểm BC , G trọng tâm tam giác ABC , ta có Trang | 393 Tạp chí tư liệu tốn học | a a a , OB+ OC = , OG = 2 Đặt SG = z  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A , tia Oy chứa B tia Oz nằm OA = đường thẳng qua O song song với SG (xem hình vẽ), đó: a   a    a a  a a  a  a A  ;0;0  , B  0; ;0  , C  0; − ;0  ,S  ;0; z  , M  ; ; z  , N  ; − ; z            12   12 Tính z = a 15 a 10 Suy S AMN = 16 Câu 53 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a 2, SA = a SA vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Gọi M , N trung điểm AD SC , I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng ( SAC ) vng góc với mặt phẳng ( SMB ) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Lời giải z S N A M D y I B C x Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A , Ox chứa B , tia Oy chứa D tia Oz chứa S Khi đó:  a  a a a A ( 0;0;0 ) , B ( a;0;0 ) , C a; a 2;0 , D 0; a 2;0 , S ( 0;0; a ) , M  0; ;0  , N  ; ;    2 2 ( ) ( )  a  AS ( 0;0; a ) , AC a;a 2;0 , SM  0; ; − a  , SB ( a;0; −a )   ( ) ( Vecto pháp tuyến ( SAC )  AS ; AC  = −a 2; a ;0 )  a2  Vecto pháp tuyến ( SMB )  SM ; SB  =  − ; −a ;0    Vì  AS ; AC   SM ; SB  = a − a = nên ( SAC ) ⊥ ( SMB ) Ta có IC BC = =  IC = −2 IA Từ tìm IA AM thể tích khối tứ diện ANIB VANIB = Trang | 394 a a  I  ; ;0  3   1 a3 a3  AN AI  AB = =  6 6 36 | Hình học giải tích khơng gian Oxyz Câu 54 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE , N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính (theo a ) khoảng cách hai đường thẳng MN AC Lời giải z S E I M D C N O x A a B y Gọi O giao điểm AC BD , Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa A , tia Oy chứa B tia Oz chứa S (xem hình vẽ) Đặt SO = z , a   a   a   a  A  ;0;0  , B  0; ;0  , C  − ;0;0  , D  0; − ;0  , S ( 0;0; z ) , 2          a a  a a z a z a a  N  − ; ;0  , M  ; ;  , I  ;0;  E  ; ; z  4 2  2  2      3a  z a  ;0;  , BD =  0; − ;0  Có MN =  4     Ta thấy MN BD =  MN ⊥ BD Góc hai đường thẳng MN AC d ( MN , AC ) = a Câu 55 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD bình hành, AD = 4a , cạnh bên hình chóp 6a Tìm cơsin góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) thể tích khối chóp S ABCD lớn Lời giải Trang | 395 Tạp chí tư liệu toán học | z S B x C O M N A D y Gọi O giao điểm AC BD , M , N trung điểm AB AD , từ giả thiết suy SO ⊥ AC  2   SO ⊥ ( ABCD ) OA = OB = OC = OD = 6a − SO nên ABCD hình chữ nhật SO ⊥ BD  OA = x + 4a Đặt ON = x  Khi   SO = SA2 − OA2 = 2a − x Thể tích khối chóp S ABCD VS ABCD = AB AD.SO = ax 2a − x với x  0; a áp dụng 3 bất đẳng thức Caushy ta suy VS ABCD lớn x = a Suy SO = a ( ) Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi a   a   a   B  2a; − ;0  , C  −2a; − ;0  , D  −2a; ;0  , S ( 0;0; a )       Gọi  góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( SCD ) cos  = Câu 56 Cho hình lăng trụ đứng ABC A1 B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a BAC = 120 Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( A1BM ) Lời giải Trang | 396 | Hình học giải tích khơng gian Oxyz z C1 B1 A1 y C B 2a a A yx Kẻ AO ⊥ BC Ta có BC = a + 4a − 2a.2a.cos120 = a AO.BC = AB AC.sin120  AO = OB = AB − AO = a − AB AC.sin120 a 21 = BC 21a 2 a = 49 7a Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi đó: OC = BC − OB =  a 21       a 21  A  ;0;0  , B  0; ;0  , M  0; − ; a  , A1  ;0; 2a  7          a 21 5a  ; ; a  , MB = 0; −a 7; a Ta có MA1 =    ( ) MA1.MB = 5a − 5a =  MA1 ⊥ MB  MA1 ⊥ MB  2a  Phương trình mặt phẳng ( A1 BM ) là: 12 x − 15  y −  − 21z =   Khoảng cách từ A đến ( A1 BM ) là: d ( A; ( A1MB ) ) = a Câu 57 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C có độ dài cạnh bên 2a đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A ' ABC cosin góc hai đường thẳng AA ' B 'C ' Lời giải Trang | 397 Tạp chí tư liệu toán học | z C' B' A' O B C H K x A y Gọi O trung điểm BC , H trung điểm AB , K trung điểm AC OHAK hình chữ nhật Ta có BC BC = AB + AC = 2a, OA = = a, OA ' = AA '2 − OA2 = 4a − a = a a2 a OH = OA − AH = a − = 2 2 3a a = Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho tia Ox chứa H , tia Oy chứa K tia Oz chứa A ' (xem hình vẽ) OK = OA2 − AK = a − a a  a a   a a  ; ;0  , B  ; − ;0  , C  − ; ;0  Khi A ' 0;0; a , A  2 2 2       ( ) Thể tích khối chóp A ' ABC VA ' ABC = ( 1 3a3 3a3 a3  A ' A; A ' B  A ' C = − − =  6 2 ) BC = −a 3; a;0 Gọi  góc AA ' B ' C ' Khi đó: ( ) cos  = cos AA ', BC = AA '.BC AA '.BC = Câu 58 Cho hình lăng trụ đứng ABC A 'B'C' có BC = AB, AB ⊥ BC Gọi M , N trung điểm A ' B ' BC Khoảng cách hai đường thẳng AM B ' C ( AB ' C ) 2a Góc hai mặt phẳng ( BCC ' B ') 60 Tính thể tích khối chóp MABC bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B ' ANC theo a Lời giải Trang | 398 | Hình học giải tích không gian Oxyz z A' C' M B' y x A C N B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm B Đặt AB = x ( x  ) BC = x Ta có B ( 0;0;0 ) , C ( x;0;0 ) , A ( 0; x;0 ) N ( x;0;0 )  x  A ' ( 0; x; y )( y  ) , B ' ( 0;0; y ) , C ' ( x;0; y ) , M  0; ; y    x    xy  AM =  0; − ; y  , B ' C = ( x;0; − y )   AM ; B ' C  =  ; xy; x      Ta có AC = ( x; − x;0 )  AM ; B ' C  AC   d ( AM , B ' C ) =   AM ; B ' C    − x2 y 2 = x y + x2 y + x4 ( 2a  xy x + 17 y 2 = a (1) ) AB ' = ( 0; − x; y ) AC = ( x; − x;0 ) nên AC AB ' = xy; xy; x nên ( AB ' C ) có vecto pháp tuyến n = ( y; y; x ) (vì n phương với  AC AB ' ) ( BCC ' B ') có vecto pháp tuyến j = ( 0;1;0 ) cos ( ( AB ' C ) , ( BCC ' A ' ) ) = n j n j  2y 11 =  y + x = 16 y  x = y ( 2) 2 2 y + 4x Thế ( ) vào (1) , giải phương trình ta kết y = 4a x = 2a 11 1  4a 16 11a = Vậy VMABC = S ABC AA ' =  2a.4a  3 33  11 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp B ' ANC theo a Phương trình mặt cầu ( S ) ngoại tiếp khối chóp B ' ANC có dạng: Vì ( S ) : x + y + z + 2a1 x + 2by + 2cz + d = với tâm T ( −a1; −b; −c ) , R = a12 + b2 + c − d B ', A, N , C thuộc mặt cầu ( S ) nên tọa độ chúng thỏa mãn phương trình mặt cầu, ta có hệ: Trang | 399 Tạp chí tư liệu tốn học | 16 11 a1 = −3a ac + d =  a + b = −3a 11  11 31 4a + 4ab + d =   13a  R = 3a  11  4a + 4a a + d = c = − 11   16a + 8a1a + d = d = 8a Câu 59 Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình vng, tam giác A ' AC vuông cân, A ' C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB ' C ' khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ') theo a Lời giải z B' A' C' D' B A D y C x a a AB = 2 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ với gốc tọa độ O trùng điểm A Từ giả thiết ta tính AC = AA ' =  a  a a  a  Ta có: A ( 0;0;0 ) , B  0; ;0  , C  ; ;0  , D  ;0;0    2  2  • a   a a  a   a a a  a A '  0;0;  , B '  0; ; , C ' ; ;  , D '  ;0;  2  2 2 2    •  a a  a a a   a  AB =  0; ;0  , AB ' =  0; ; , AC ' =  ; ;      2 2 2 • 2a  a2  a3    AB AB ' =     V = AB AB ' AC ' = ;0;0  AB AB ' AC ' = ABB ' C '       6 48 2  •  a2 a2  a a    a    CB =  − ;0;0  , CD ' =  0; − ;  CB.CD ' =  0; ;  2       2 4 ( )  n = 0; 2;1 VTPT mặt phẳng ( BCD ') nên Trang | 400 | Hình học giải tích khơng gian Oxyz ( BCD ') : 2y + z − a =  d ( A, ( BCD ' ) ) = 2.0 + − ( 2) a 2 + 12 = a 6 Trang | 401 TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC CHINH PHỤC OLYMPIC TOÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Thầy Nguyễn Đăng Ái [2] Đề thi thử trường nước [3] Các chuyên đề hình học tọa độ khơng gian Oxyz trang toanmath.com [4] Nhóm Strong Team Toán VD – VDC ... a = a12 + a22 + a32 • a = a12 + a22 + a22 • cos a , b = ( ) a.b = a b ) a1 = kb1 a a a   a2 = kb2  = = , ( b1 , b2 , b3  ) b1 b2 b3 a = kb  a1b1 + a2b2 + a3b3 a12 + a22 + a32 b12 + b22... +  ? ?12 + 129 m  −  m= 2   6m + 30 = ( 4m + ) 10m + 48m + =  ( u , a ) = 60  cos ( u , a ) = Câu ( ) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai vectơ a b cho a , b = 120 ... AC = ( −1; −5;1)   AB, AC  = (12; 0 ;12 ) Khi diện tích tam giác ABC SABC = Trang | 16 1  AB, AC  = 2 .122 = (đvdt)   2 | Hình học giải tích khơng gian Oxyz b) Gọi D ( 0;0; z ) Ta có AD