Đang tải... (xem toàn văn)
A. MỞ ĐẦU 1.Lí do chọn đề tài Phương trình vô tỷ là phương trình chứa ẩn trong dấu căn .Trong chương trình đại số 9 ,phương trình vô tỷ là một dạng toán khó. Khi gặp các phương trình có chứa căn tương đối phức tạp, học sinh rất lúng túng không tìm ra cách giải và hay mắc sai lầm khi giải .. Có những phương trình không thể giải bằng các phương pháp quen thuộc. Khi gặp phương trình vô tỷ , học sinh thường chỉ quen một phương pháp là nâng luỹ thừa 2 vế để làm mất dấu căn. Nhưng trong quá trình giải sẽ thường mắc phải một số sai lầm trong phép biến đổi tương đương phương trình ,vì vậy dẫn đến thừa hoặc thiếu nghiệm. Có một số phương trình sau khi làm mất dấu căn sẽ dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đưa về phương trình bậc nhất, bậc 2 để giải lại rất là khó khăn . Vì vậy học sinh sẽ rất lúng túng và không tìm ra lời giải . 2. Mục đích của đề tài Để khắc phục những tồn tại trên khi dạy cho học sinh giải phương trình vô tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa và kiến thức mở rộng, hình thành các phương pháp giải một cách kịp thời. Với mỗi phương trình cần để cho học sinh nhận dạng phát hiện ra cách giải và tìm ra cách giải phù hợp nhất , nhanh nhất. Qua mỗi dạng tổng quát cách giải và hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ đó khắc sâu cách làm cho học sinh. Nếu biết phân dạng , chọn các ví dụ tiêu biểu , hình thành đường lối tư duy cho học sinh thì sẽ tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu và nâng cao hiệu quả giáo dục . Chính vì thế với đề tài Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh khá giỏi rèn luyện cho học sinh năng lực từ những kiến thức quen biết, nhận dạng và đưa những bài tập chưa biết cách giải về dạng bài tập quen biết đã biết cách giải, có được hệ thống bài tập để nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt là ôn luyện cho học sinh thi cuối cấp cũng như thi vào PTTH 3. Phương pháp và giới hạn nghiên cứu Phương pháp đọc và phân tích tài liệu Phương pháp khảo sát thực tế Phương pháp tổng hợp, tham khảo những kinh nghiệm của những giáo viên dạy giỏi. Đề tài này dành cho học sinh lớp 9 đặc biệt là ôn luyện cho học sinh thi vào THPT.
TRƯỜNG CAO ĐẲNG HẢI DƯƠNG KHOA TỰ NHIÊN BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐỀ TÀI: Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ Hải Dương, năm 2020 TRƯỜNG CAO ĐẲNG HẢI DƯƠNG KHOA TỰ NHIÊN BÀI TẬP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐỀ TÀI: Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Liên Khóa học: 2017 – 2020 Ngành học: Tốn - Kỹ K41 Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Tuyết Mai Hải Dương, năm 2020 A MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Phương trình vơ tỷ phương trình chứa ẩn dấu Trong chương trình đại số ,phương trình vơ tỷ dạng tốn khó Khi gặp phương trình có chứa tương đối phức tạp, học sinh lúng túng khơng tìm cách giải hay mắc sai lầm giải Có phương trình khơng thể giải phương pháp quen thuộc Khi gặp phương trình vơ tỷ , học sinh thường quen phương pháp nâng luỹ thừa vế để làm dấu Nhưng trình giải thường mắc phải số sai lầm phép biến đổi tương đương phương trình ,vì dẫn đến thừa thiếu nghiệm Có số phương trình sau làm dấu dẫn đến phương trình bậc cao, mà việc nhẩm nghiệm để đưa phương trình bậc nhất, bậc để giải lại khó khăn Vì học sinh lúng túng khơng tìm lời giải Mục đích đề tài Để khắc phục tồn dạy cho học sinh giải phương trình vơ tỷ , giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức sách giáo khoa kiến thức mở rộng, hình thành phương pháp giải cách kịp thời Với phương trình cần học sinh nhận dạng phát cách giải tìm cách giải phù hợp , nhanh Qua dạng tổng quát cách giải hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ khắc sâu cách làm cho học sinh Nếu biết phân dạng , chọn ví dụ tiêu biểu , hình thành đường lối tư cho học sinh tạo nên hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu nâng cao hiệu giáo dục Chính với đề tài "Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ" làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh giỏi rèn luyện cho học sinh lực từ kiến thức quen biết, nhận dạng đưa tập chưa biết cách giải dạng tập quen biết biết cách giải, có hệ thống tập để nâng cao chất lượng giáo dục, đặc biệt ôn luyện cho học sinh thi cuối cấp thi vào PTTH Phương pháp giới hạn nghiên cứu - Phương pháp đọc phân tích tài liệu - Phương pháp khảo sát thực tế - Phương pháp tổng hợp, tham khảo kinh nghiệm giáo viên dạy giỏi - Đề tài dành cho học sinh lớp đặc biệt ôn luyện cho học sinh thi vào THPT B NỘI DUNG I.Các kiến thức cần thiết 1.Định nghĩa Phương trình vơ tỷ phương trình có chứa ẩn số thức Ví dụ: 3x x Các bước giải phương trình (dạng chung) - Điều kiện xác định phương trình - Dùng phép biến đổi tương đương đưa dạng phương trình học - Giải phương trình vừa tìm - Đối chiếu kết tìm với điều kiện xác định kết luận nghiệm Chú ý: Với phương trình có ĐKXĐ x R (trong q trình biến đổi khơng đặt điều kiện) tìm nghiệm phải thử lại Các kiến thức thức - Một số âm khơng có bậc chẵn - Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế phương trình để phương trình tương đương phải đặt điều kiện A2 A A B A A2 B A A2 B với A > 0; A2 > B > Các dạng phương trình 4.1 Dạng 1: Sơ đồ cách giải: (1) f ( x) g ( x) f ( x ) g ( x) g (x) > (2) f(x) = [g(x)]2 (3) Giải (2) tìm điều kiện ẩn Giải (3) đối chiếu với điều kiện ẩn để kết luận nghiệm 4.2 Dạng 2: f ( x ) g ( x ) h ( x ) (1) Tìm điều kiện có nghĩa phương trình: f(x) > g(x) > (2) h (x) > Với điều kiện (2) hai vế phương trình (1) khơng âm nên bình phương vế phương trình (1) rút gọn ta được: [h( x)] f ( x) g ( x) f ( x ).g ( x) (3) Phương trình (3) có dạng nên giải theo phương pháp dạng Đối chiếu nghiệm tìm (3) với điều kiện kết luận nghiệm 4.3 Dạng 3: f ( x ) g ( x ) h( x ) (Cách giải dạng 2) 4.4 Dạng 4: f ( x ) g ( x ) h( x ) p ( x ) (1) Điều kiện có nghĩa phương trình: f(x) > g(x) > (2) h (x) > p (x) > Bình phương hai vế đưa dạng: F ( x) G ( x) H ( x) Tuỳ theo trường hợp để giải phương trình vô tỷ (căn bậc n) 4.5 Dạng 5: f ( x) g ( x) n f ( x).g ( x) h( x) (1) Điều kiện: f(x) > g(x) > Đặt ẩn phụ a = f ( x ) g ( x) (a > 0) => a f ( x) g ( x ) f ( x ).g ( x) Đưa phương trình (1) phương trình biết cách giải giải II Một số phương pháp giải phương trình vơ tỷ Trên dạng phương trình vơ tỷ khơng phải ta gặp dạng phương trình vơ tỷ đưa dạng Sau phương pháp giải phương trình vơ tỷ Phương pháp nâng lên luỹ thừa ( Thường dùng vế phương trình có luỹ thừa bậc) a.Phương pháp giải Để làm bậc n ta nâng vế phương trình lên luỹ thừa n Nếu n chẵn ta thực vế phương trình khơng âm b.Các ví dụ Ví dụ1: Giải phương trình: 25 x 3 x 4 (1) Giải: ĐKXĐ: x R Lập phương hai vế phương trình (1) ta được: (1) 25 + x + - x + 3 (25 x)(3 x) (3 25 x 3 x ) 64 (2) Vì 25 x 3 x 4 (theo 1), (2) 28 + 12 (25 x).(3 x) 64 12 (25 x).(3 x) 36 (25 x).(3 x) 3 Lập phương hai vế (3) ta được: (25 + x)(3 - x) = 27 - x2 - 22x + 75 = 27 x2 + 22x - 48 =0 (x - 2)(x + 24) =0 x=2 x = - 24 Thử lại: + Với x = ta có 25 3 3 4 + Với x = - 24 ta có 24 25 3 24 1 4 Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = 2; x = -24 Ví dụ 2: (1) x x 3 Giải : Điều kiện - < x < (*) Khi vế phương trình (1) khơng âm, bình phương hai vế ta có: (1) - x + + x + (1 x)(4 x) 9 (1 x)(4 x) 2 (2) Bình phương hai vế phương trình (2) ta có: (2) (1 - x)(4 + x) = - x2 - 3x + = x(x + 3) = x = x=-3 Đối chiếu với điều kiện (*) ta có nghiệm phương trình (1) là: x = 0; x = -3 Ví dụ 3: Giải phương trình x 1 (1) x 3x Hướng dẫn : + phương trình (1) hai vế có bậc hai, học sinh mắc sai lầm để nguyên hai vế bình phương hai vế để làm Vì giáo viên cần phân tích kỹ sai lầm mà học sinh mắc phải tức cần khắc sâu cho học sinh tính chất luỹ thừa bậc 2: a = b a2 = b2 ( Khi a, b dấu ) Vì bình phương hai vế phương trình tương đương với phương trình ban đầu hai vế dấu phương trình (1), VP , vế trái chưa ta nên chuyển vế đưa phương trình có vế (1) x x 3x Đến học sinh bình phương hai vế: x x 3x x 2 15 x 13 x (*) Ta lại gặp phương trình có vế chứa , học sinh mắc sai lầm bình phương tiếp vế để vế phải mà không để ý hai vế dấu hay chưa 14 x 49 x 4(15 x 13 x 2) 11 x 24 x 0 (11x 2)( x 2) 0 x 11 Và trả lời phương trình (*) có nghiệm : x1 ; x 2 11 x 2 Sai lầm học sinh gì? Tơi cho học sinh khác phát sai lầm : + Khi giải chưa ý đến điều kiện để thức có nghĩa nên sau giải khơng 11 chiếu với điều kiện (1) : ĐK : x 1 x1 nghiệm (1) + Khi bình phương hai vế phương trình (*) cần có điều kiện x 0 x x 2 không nghiệm (1) - Sau phân tích sai lầm mà học sinh thường gặp , từ tơi cho học sinh tìm cách giải khơng phạm sai lầm phân tích x 2 thử lại (1) không nghiệm Vậy (1) vô 11 C1: Sau tìm x nghiệm ( cách thử lại làm việc tìm TXĐ phương trình cho tương đối phức tạp ) x 1 x x 1 x C2: Đặt điều kiện tồn thức (1) Sau giải đến (*) bình phương hai vế đặt thêm điều kiện x x thoả mãn x nên phương trình (1)vơ nghiệm : x 1 C3: Có thể dựa vào điều kiện ẩn để xét nghiệm phương trình Điều kiện (1) : x 1 x x x x x 5x Vế trái 0xR nên x 1 x 2 => x x 3 Hay vế trái lớn mà vế phải Vậy phương trình cho vơ nghiệm * Sử dụng tính đơn điệu hàm số: (*) x x 1 ĐKXĐ: x R Dự đoán nghiệm: x = Với x = ta có:Vế trái 2.1 1 1 => vế trái = vế phải = => x = nghiệm phương trình (1) Nếu x > 2x Nếu x < => vế trái> = vế phải(loại) x 10 2x => vế trái < = vế phải (loại) x 10 Vậy x = nghiệm phương trình (1) * Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt Ví dụ: Giải phương trình: 36 x Điều kiện: x -2 > y-1>0 y 28 - x x>2 y >1 23 y (1) (*) x y 28 (2) x y Khi (1) áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương ta có: x y x 2 x 2.3 6 x y 2 y y 2.2 4 x y 4.6 28 x y => (3) Để phương trình (2) có nghiệm (3) phải lấy dấu “=” tức có: x y x y x = 11 (4) y=5 Ta thấy (4) thoả mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm phương trình (1) x = 11 y = * áp dụng bất đẳng thức để đánh giá vế phương trình kết hợp với phương trình cho kết luận nghiệm Ví dụ: Giải phương trình x x x x 1 x x ĐKXĐ: x2 + x - > (1) (*) x - x2 + > áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số hạng vế trái (1) Ta có: x x x x 1 x x 1 x x 1 1 24 => x x x x 1 x 1 Kết hợp với phương trình (1) ta được: x2 - x + < x+1 (x-1)2 < Đẳng thức xảy x=1 (thoả mãn điều kiện (*)) Thử : Thay x=1 vào phương trình (1) ta thấy x=1 nghiệm phương trình (1) *, Bài tập áp dụng x 36 x 53 x 25 3 3x x 13x x 2 x 3x 3 24 x 11 16 x x 0 x 63 x x 23 x Phương pháp sử dụng tam thức bậc hai: Đưa phương trình cho dạng tắc ax2 + bx +c = ) (a 0) Ví dụ: Giải phương trình x2 - 7x + 2(x+2) x 24 (1) ĐKXĐ: x -3 Khi (1) x2 + x - 8x - 24 + 2(x+2) - 8(x +3) + 2(x +2) x 0 x 3 + x + x = Đặt y = x (y > 0) , (2) - 8y2 + 2(x + 2)y + x2 + x = ' = (x + 2)2 + 8(x2 + x) = (3x + 2)2 y1 = + Với y1 = x 3x x x 3x x , y2 = 8 8 x ta có x 3 x x + x 0 ' = + = => x < (loại) x > 25 x +3 + x 0 x +3 = + - x = - < -3 (loại) + Với y2 = x 1 ta có x 3 x + - x 0 x 1 x 1 x + - x 0 , ' = + = 3 0 (loại) x 1 (TMĐK) x + = + + x = + (thoả mãn) Vậy x = + nghiệm phương trình (1) * Bài tập áp dụng x x ( x 1) x 24 (2 x 1) x 3x x 53 2 x x x 16 3x x x x 12 (3x 2) x x 4 Phương pháp đưa dạng tổng đa thức không âm khơng Ví dụ: Giải phương trình x + y + z + = x 4 y 6 z ĐKXĐ: x > ; y > ; z > (1) (*) (1) (x - - x 1) ( y y 4) ( z z 9) 0 ( x 1) ( y 2) ( z 3) 0 x 0 x 0 z 0 x-2=1 x=3 y - = y=7 z -5 = z = 14 Đối chiếu với điều kiện (*) nghiệm phương trình (1) là: x = 3; y = 7; z = 14 *, Bài tập áp dụng 26 x y 2 x y 2 x y z x y z 3 x y z 2 x y z Phương pháp đoán nghiệm, chứng minh nghiệm Ví dụ: Giải pt: x6 3 x 1 Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp khó giải nên suy nghĩ để tìm cách giải khác Hướng dẫn: + Thử nhẩm tìm nghiệm pt + Chứng minh nghiệm Giải: Nhận thấy x 1 nghiiệm pt + Xét x x x x x x6 3x nên pt vô nghiệm x + xét x ta có: x x6 3 x nên pt vô nghiệm Vậy pt có nghiệm x=-1 x=1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x x x Giải: Nhận thấy x=0 nghiệm phương trình +Nếu x0 VP1 nên phươnhg trình vơ nghiệm Vậy x=0 nghiệm phương trình BT tương tự: Giải phương trình x 28 23 x 23 x x Hướng dẫn: TXĐ: x 1 Nhận thấy x=2 nghiệm 27 Chứng tỏ: x2 phương trình vơ nghiệm (ở phương trình phức tạp mà việc sử dụng phương pháp đến phương pháp không giải ta nghĩ đến phương pháp 5) *,Bài tập áp dụng x x 3 x 26 x x 8 x x 3x x x x x x 23 x x x 8 x x 3x x x x Phương trình vơ tỷ có biện luận Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình: a x 3 a x (1) b ĐKXĐ: x > Lập phương vế phương trình (1) ta được: a + x a x 3 a x a x a x b (2) b 2a Vì a x a x 3 b nên (2) 3 a x b b 2a a x 3 b (b a ) (b a ) 8a b 6ab 15a b (b 0) a - x = x = a x = 27b 27b 27b x = (a b) (8a b) 8a 16a b 8ab b a b 2ab x = 27b 27b Vì x > nên (a b) (8a b) >0 27b - Nếu a + b 0 thì: + Khi a > 0; < b < 8: Phương trình (1) vơ nghiệm (a b) (8a b) + Khi a > 0; b < b > 8: Phương trình (1) có nghiệm: x = 27b 28 - Nếu a + b = phương trình (1) có nghiệm x = - Nếu a = b = 0; Phương trình (1) có vơ số nghiệm x > Kết luận: Nếu a > < b < 8: Phương trình (1) vô nghiệm Nếu a > b < b > 8; Phương trình (1) có nghiệm x= (a b) (8a b) 27b Nếu a = - b 0 : Phương trình (1) có nghiệm x = Nếu a = b = : Phương trình (1) có vơ số nghiệm x > Nếu a < : Phương trình (1) vơ nghiệm Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình: ( a x ) x b ( x b) a x ĐKXĐ: a x 4 x b a b (a, b tham số: a b ) a-x>0 x-b>0 + Nếu a > b b < x < a (2) Đặt x b u , Khi (1) a x v ,(u, v > 0) Ta có u4 + v4 = a - b v u u v u v u5 + v5 - u4v - uv4 = u v u4(u - v) - v4 (u - v) = (u - v)(u4 - v4) = (u - v)2 (u + v)(u2 + v2) = Vì u2 + v2 nên u + v nên u -v = u => u =v x b 4 a x x - b = a – x x = a b (thoả mãn điều kiện (2) + Nếu a < b: Phương trình (1) vô nghiệm Kết luận: Nếu a > b: Phương trình (1) có nghiệm x = Nếu a < b: Phương trình (1) vơ nghiệm *,Bài tập áp dụng Giải biện luận phương trình sau: 29 a b x x m x 3x m x x m m x x m x x (3 x)(6 x) m 4( x 3) x 1 ( x 3)( x 1) m x x x x x m III Một số sai lầm giải phương trình vơ tỷ Thường học sinh hay mắc sai lầm giải phương trình vơ tỷ mà có bậc chẵn, là: - Khơng tìm tập xác định giải: - Không đặt điều kiện biến đổi tương đương phương trình Ví dụ: Giải phương trình: 3x x x (1) Giải sai: Chuyển vế: 3x x x x - = 5x - + 2x - + (5 x 1)(2 x 3) 10 x 17 x x 10 x 17 x 1 x (2) 10x2 - 17x + = + 4x2-4x (3) 6x2 – 13x + = (x - 2)(6x - 1) = x=2 x= Vậy nghiệm phương trình (1) x = 2; x = Phân tích sai lầm: học sinh khơng ý đến điều kiện có nghĩa thức Trong ví dụ trên: Điều kiện x > 3 Do < nên x = không nghiệm 6 30 phương trình (1) Để khắc phục sai lầm ta tìm ĐKXĐ phương trình giải thử giá trị tìm ẩn vào phương trình cho để kết luận nghiệm - Khơng đặt điều kiện để biến đổi tương đương phương trình ví dụ trên: phương trình (2) (3) khơng tương đương mà Phương trình (2) - 2x > 10x2 - 17x + = (1- x)2 => Như phương trình (3) tương đương với phương trình (2) x< =>x = khơng nghiệm phương trình (1) Giải đúng: ĐKXĐ: x > (*) Ta có: (1) 10 x 17 x 1 x 1 x 0 x 2 10 x 17 x 13 1 x x x 13x 0 x x x 2, x Đối chiếu với điều kiện (*) => phương trình (1) vơ nghiệm 31 C KẾT LUẬN Trên tơi trình bày cách nhận dạng phương pháp giải phương trình vơ tỷ Trước giải học sinh nhận xét thử biện pháp từ đễ đến khó để tìm phương pháp phù hợp để giải Sau học sinh giải tập tương tự dạng, tự đặt thêm số tập để khắc sâu thêm phương pháp giải Tôi nghĩ với vấn đề , chuyên đề toán học dạy theo dạng , sâu dạng tìm hướng tư ,hướng giải phát triển tốn Sau tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm cách giải thích hợp cho chắn học sinh nắm vững vấn đề Và tơi tin tốn học niềm say mê với tất học sinh Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm mang lại nhiều hiệu việc giải tốn có liên quan giải tốn thuộc dạng Phần đơng em có hứng thú làm tập tập có phương pháp giải vận dụng phương pháp giải loại toán khác giải Đối với khối lượng đại trà việc học em vấn đề xung quanh SGK nhận dìu dắt tận tình cụ thể việc học em đỡ vất vả có hứng thú Đối với loại tốn học sinh khơng dừng lại cấp THCS mà em vận dụng đến lớp 12 chí thi vào Đại học Cao đẳng Đây dạng toán cần quan tâm đa dạng phong phú đề cập đến kiến thức trường phổ thơng có tính tổng hợp, cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức lúc giải vấn đề Với cách học cách hướng dẫn học sinh làm nâng cao kiến thức cho em mà cịn hình thức củng cố, khắc sâu kiến thức cho em Trong đề tài nêu số phương pháp giải phương trình vơ tỷ, phương pháp có số ví dụ minh hoạ tuyển chọn số liệu tham khảo Do điều kiện vừa học tập vừa công tác, kinh nghiệm cịn hạn chế nên q trình viết khó tránh khỏi đơn điệu, tơi hy vọng phần giúp hiểu kỹ tốn giải phương trình vơ tỷ phương pháp giải 32 dạng Thông qua nghiên cứu đề tài này, thân thực rút nhiều kiến thức q báu, giúp tơi hồn tành tốt cho công việc giảng dạy sau Tôi mong nhận đóng góp ý kiến quý báu thầy, cô bạn bè đồng nghiệp để vốn kiến thức tơi ngày hồn thiện phong phú Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hải Dương, ngày 14 tháng 12 năm 2019 Người thực Nguyễn Thị Liên 33 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.SGK Toán – Nhà xuất GD 2003 2.SGK Đại số – Nhà xuất GD Sách tập Đại số – Nhà xuất GD Một số vấn đề phát triển Đại số – Nhà xuất GD 2001 Tóan bồi dưỡng Đại số – Nhà xuất GD 2002 Toán nâng cao chuyên đề Đại số – Nhà xuất GD 1995 Để học tôt Đại số – Nhà xuất GD 1999 Tham khảo số đề thi số tài liệu có liên quan khác Tham khảo trang violet ( Thư viện đề thi kiểm tra) 35 36 37 ... pháp giải phương trình vơ tỷ Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Liên Khóa học: 2017 – 2020 Ngành học: Tốn - Kỹ K41 Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Thị Tuyết Mai Hải Dương, năm 2020 A MỞ ĐẦU 1.Lí chọn... 4 Vậy nghiệm phương trình (1) là: x = 2; x = -24 Ví dụ 2: (1) x x 3 Giải : Điều kiện - < x < (*) Khi vế phương trình (1) khơng âm, bình phương hai vế ta có: (1) - x + + x + (1 x)(4... Phương trình (1) vơ nghiệm (a b) (8a b) + Khi a > 0; b < b > 8: Phương trình (1) có nghiệm: x = 27b 28 - Nếu a + b = phương trình (1) có nghiệm x = - Nếu a = b = 0; Phương trình (1) có vơ số