Thông tin tài liệu
Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) KĨ THUẬT “ĐÁNH CẢ CỤM” KHI DÙNG CASIO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ (dành cho bạn đọc muốn thử sức với số PT vô tỉ phức tạp phải dùng máy tính Casio trợ giúp thử sức giải phương trình bậc 3) Bài viết xin giới thiệu phương trình dùng máy tính cầm tay tìm biểu thức liên hợp có dạng ax bx c k P ( x ) ,với a,b,c số nguyên Sau thí dụ đơn giản dạng (phương pháp tìm biểu thức nêu chuyên đề phần sau thí dụ) Thí dụ Giải phương trình x 10 x 12 x x 12 x x Hướng dẫn Biểu thức cần tìm x 3x x 10 x x 12 x x 12 PTcó nghiệm x 1 Thí dụ Giải phương trình 3x x x x x x x Hướng dẫn Biểu thức cần tìm x x x x x x x x PTcó nghiệm x 17 Thí dụ Giải phương trình 18 x x 64 x 16 x 23 x x Biểu thức cần tìm x x 18 x x x x 64 x 16 x 23 PTcó nghiệm x 17 33 ;x 4 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Thí dụ Giải phương trình 14 x 11x 32 x 32 x x x Hướng dẫn Biểu thức cần tìm x x 14 x 11x x x 32 x 32 x PTcó nghiệm x 1 17 ; x 1; x Thí dụ Giải phương trình x 10 x 24 x 36 x 17 x x Biểu thức cần tìm x x x 10 x x x 24 x 36 x 17 PTcó nghiệm x 17 Thí dụ Giải phương trình x 10 x ( x 1)(8 x 21x 17) x x Hướng dẫn Biểu thức cần tìm x x x 10 x x x ( x 1)(8 x 21x 17) PTcó nghiệm x 17 Thí dụ Giải phương trình x 10 x x 37 x 44 x 20 x x Hướng dẫn Biểu thức cần tìm x x x 10 x x x x 37 x 44 x 20 PTcó nghiệm x 17 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Thí dụ Giải phương trình (3 x 1) x 14 x x x 1 4x2 x 1 Hướng dẫn Biểu thức cần tìm x x (3 x 1) x x 14 x x x PT cho có nghiệm: x ; x 359 12 78 359 12 78 Thí dụ Giải phương trình (3 x 1) x 14 x x x 1 4x2 x Hướng dẫn Biểu thức cần tìm x x (3 x 1) x x 14 x x x PT cho có nghiệm: x ; x 359 12 78 359 12 78 Thí dụ 10 Giải phương trình ( x 1) 3x x x x 1 2x2 x Hướng dẫn Biểu thức cần tìm x x ( x 1) x x x x x PT cho có nghiệm: x ; x 27 633 27 633 18 Thí dụ 11 Giải phương trình ( x 2) x x x 10 x 1 4x2 x Hướng dẫn Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Biểu thức cần tìm x x ( x 2) x x x x 10 x PT cho có nghiệm: x ; x 5(281 18 249 ) 5(281 18 249 ) 12 Thí dụ 12 Giải hệ phương trình x y xy ( x 2) 3x x x x x y Hướng dẫn Phương trình thứ hệ tương đương với x x y 2 Với x=2 bạn tự xử lí trường hợp dễ Với x y 2 thay vào PT thứ hệ ta ( x 2) x x x x x x 2(*) Biểu thức cần tìm 3x x ( x 2) 3x x x x x 1 PT(*) có nghiệm: x ; x 183 31 3 183 31 4 Đến bạn tự giải tiếp Thí dụ 13 Giải hệ phương trình x y2 0 y4 2y2 x 1 2 2 y 3x 13 x 16 x 41 x y Hướng dẫn Sử dụng Hàm đặc trưng có Phương trình thứ hệ tương đương x y 2 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Với x y 2 thay vào PT thứ hệ ta ( x 2) x 13 x 16 x 41 x x 11(*) Biểu thức cần tìm x x ( x 2) 3x 13 x x 16 x 41 PT(*) có nghiệm: x ; x 23 57 23 57 Đến bạn tự giải tiếp Thí dụ 14 Giải hệ phương trình x xy x y y x 13 x 10 x 67 x 3x 15 Hướng dẫn Phương trình thứ hệ tương đương với x x y 2 Với x=1 bạn tự xử lí trường hợp dễ Với x y 2 thay vào PT thứ hệ ta ( x 2) x 13 x 10 x 67 x x 15(*) Biểu thức cần tìm x x ( x 2) 3x 13 x x 10 x 67 PT(*) có nghiệm: x ; x 17 681 17 681 Đến bạn tự giải tiếp Sử dụng lí thuyết chuyên đề tìm biểu thức cần xuất Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP THẾ TRONG THỦ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH ĐỂ TÌM NHÂN TỬ CHUNG HOẶC TÌM BIỂU THỨC TRONG NHÂN LIÊN HỢP KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Một kĩ hữu ích giúp ta giải phương trình vơ tỉ kĩ tìm nhân tử chung tìm biểu thức nhân liên hợp Đơi việc tìm biểu thức khó khăn ta khơng có máy tính cầm tay trợ giúp Bài viết xin giới thiệu kĩ thuật dùng máy tính cầm tay tìm nhân tử chung biểu thức để ta xử lí nhân liên hợp có dạng ax bx c k P ( x ) ,với a,b,c số nguyên Sau thí dụ Thí dụ Giải phương trình x x x x 10 x x 3x 2 Lời giải Phương trình(PT) cho tương đương với PT: x x x x x 12 x x 0(1) Ta tìm nghiệm PT(1) máy tính CASIO fx-570VN PLUS sau: Nhập biểu thức vế trái(VT) PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X=2 Ấn nút sang trái để quay lại PT(1) Sửa biểu thức thành VT(1):( X-2) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 =, máy cho ta nghiệm X 2,546818277 Bấm SHIFT STO A (lưu nghiệm vừa tìm vào A) Giả sử nhân tử PT(1) có dạng ax bx c x x chứa nghiệm vừa tìm Nghiệm X=2 suy a 2b c c 4 a 2b Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Nhân tử PT(1) trở thành: ax bx 4a 2b x x a ( x 2)( x 2) b ( x 2) x x Xét a ( x 2)( x 2) b( x 2) x x suy b x 3x a ( x 2) (2) x2 Vì A nghiệm PT(2) nên ta tìm a,b số nguyên cách bấm máy tính sau: MODE máy f(X)= ,ta nhập A2 3A ( A 2) X bấm = A2 Máy Start? Ta bấm = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=1=a F(X)=0=b số nguyên Như a=1,b=0,c= Nên nhân tử cần tìm x x x Suy PT xuất 4( x x x ) Biểu thức lại x x x 12 x x Biểu thức chứa nhân tử cần tìm nên chứa nhân tử sau: ( x 2) ( x x 6) x x x Thật vậy,sử dụng kĩ chia đa thức ta x x x 12 x x ( x x x 2)( x 2) Do PT (1) ( x x x 2)( x 2) 4( x x x ) ( x x x )( x x x )( x 2) 4( x x x ) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) ( x x x ) x ( x 2) x x x x x 2(3) x ( x 2) x x 0( 4) Dễ thấy PT(4) vô nghiệm x x PT (3) x 3x x x ( x 2)( x x x 1) 23 Giải tiếp ta nghiệm x x 61 29 61 29 2 23 Vậy PT cho có nghiệm: x ; x 61 29 61 29 2 Thí dụ Giải phương trình 2x x 2x 6x ( x 2) x x 1 Lời giải Phương trình cho tương đương với PT: x x x x ( x 2) x x 0(1) Nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X 2,25992105 Bấm SHIFT STO A Nhập biểu thức VT (1) : ( X A) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm = , chờ gần phút máy Can’t Solve Khi ta chuyển sang hướng tìm nghiệm ngoại lai (nếu có)của PT cách đổi dấu trước PT cho.Dẫn tới tìm nghiệm PT sau: x x x x ( x ) x x ( 2) Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) PT(2) sau: Bấm MODE máy f(X)= Ta nhập biểu thức vế trái PT(2) bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Khi xem bảng ta thấy X `1 F(X)=0 Vậy nghiệm ngoại lai cần tìm x= -1 Giả sử nhân tử PT(1) có dạng ax bx c x x Vì x= -1 nghiệm ngoại lai nên nghiệm PT: ax bx c x x suy a b c c a b Nhân tử PT(*) trở thành: ax bx a b x x a ( x 1)( x 1) b( x 1) x x Xét a ( x 1)( x 1) b( x 1) x x suy b 8x x a ( x 1) Z x 1 Ta tìm a,b cách bấm máy tính sau: MODE máy f(X)= ,ta nhập A3 A ( A 1) X bấm = A 1 Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=1 F(X)=3 số nguyên Như a=1,b=3,c=0.Ta nhân tử x x x x Mà ( x x ) (8 x x 3) x x Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) PT(1) trở thành: x x ( x 2)( x x x x ) ( x x x x )( x x x x ) x x x x(3) 2( x ) x x 0( 4) Dễ thấy PT(4) vô nghiệm x x x 1 PT (3) ( x 1) ( x 1) Vậy PT cho có nghiệm x Thí dụ Giải phương trình 5x 3x x 36 x 44 x 17 x x 1 Lời giải Phương trình cho tương đương với PT: x x 36 x 44 x 17 x x x 0(1) Ta tìm nghiệm “đẹp” (nếu có) PT(1) sau: Bấm MODE máy f(X)= Ta nhập biểu thức vế trái PT(1) bấm = Máy Start? Ta bấm -9 = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Khi ta thấy X=1 F(X)=0 Nhập biểu thức VT(1):( X-1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi X=? ta bấm =, máy cho ta nghiệm X 0,629960524 10 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 5x 3x a ( x 1) x 1 Làm tương tự thí dụ ta được: b 36 x 44 x 17 x x a ( x 1) x 1 b x x ( x x 1) x 3x 36 x 44 x 17 x x Nên biểu thức cần xuất phương trình PT(1) trở thành: 2( x x x x 1) ( x x 36 x 44 x 17 x x ) 2 4 x x 3x x x x 3x x x 4x 4x x [ x 36 x 44 x 17 x x 4 x x 36 x 44 x 17 x x 2 x 3x x x 5 x x 36 x 44 x 17 x x x x x x ( x 1)( x 1) x 3 4 3 Kiểm tra điều kiện xác định thấy nghiệm thỏa mãn Vậy PT cho có nghiệm x ; x 3 Thí dụ Giải phương trình x x 14 x x x x x x x 16 x 12 x 11 1 Lời giải Phương trình cho tương đương với PT: x x x x x 16 x 12 x 11 x x x x 0(1) Bấm máy tính thí dụ để tìm nghiệm ngun ta thấy khơng có Tìm lưu nghiệm ta nghiệm A 2,732050808 ; B 1,414213562 ; C 0,732050807 11 0 ]0 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Chú ý: Nếu máy Continue:[=] ta bấm = ,đợi lúc ta nghiệm Giả sử biểu thức thứ có dạng ax bx c x x x Do A,B,C nghiệm biểu thức nên ta có aA bA c A A A aB bB c B B B aC bC c 4C 7C 2C Bấm MODE bấm để giải hệ ẩn a,b,c gồm PT trên.Ta a=1;b=1;c=1 Như biểu thức thứ cần tìm x x x x x Tương tự biểu thức thứ hai cần tìm x x x 16 x 12 x 11 PT (1) x x x x x x x x 16 x 12 x 11 x x x x ( x x x x 4) P ( x) 0( 2) với P ( x) x x 4x 7x 2x x x x 16 x 12 x 11 1 x Suy PT ( 2) x x x x ( x x 2)( x 2) x Kiểm tra điều kiện xác định thấy nghiệm thỏa mãn Vậy PT cho có nghiệm x ; x Chú ý: Do A C ; AC 2 nên PT có nhân tử x x Mở rộng dạng toán: Nếu a,b,c nghiệm PT số hữu tỉ ta đưa tìm biểu thức dạng n k P ( x ) ( px qx r ) ,với p,q,r số nguyên n số nguyên dương ta tìm ta thử chọn Vấn đề đặt liệu có phương trình mà ta phải tìm biểu thức dạng phức tạp chẳng hạn k P ( x ) ( ax bx cx d ) Hãy làm tập bạn rõ Bài tập Giải phương trình 12 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 1) x 13x x x 16 x x 1 x x3 x3 9x 2) 3 x 3x 3) x x 3x x ( x x 1) x x 14 3x x x 3x x 1 3x x 4) 5) 6) 7) 8) 9) 1 16 x 12 x x 24 x 23 x x x 14 x 13 x x 12 x x 1 12 x x x 3 x x 3x x x x 3x x 1 1 1 x x x 27 x x 20 x x x 26 x x 1 x x x x 10 x x 3 ( x 2)3 x x 12 x x 1 18 x 12 20 x x 30 x 20 10) 2 x x x 3x 8x ( x x) x x x x x 11) 1 3x x x x x 12) x x x 21x 15 x 27 x x 14 x x 11x x 11x 13 1 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 13) (28 x 29 x 11) x 43 x x x x 1 x (36 x 25 x 11) x 35 x x 14) 21x 19 x 13 x x x x x x 20 x 19 x 19 x 12 x x x Chuyên đề PHƯƠNG PHÁP CỘNG DÙNG TRONG THỦ THUẬT MÁY TÍNH CẦM TAY TRỢ GIÚP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ Điều kiện sử dụng phương pháp: Bấm máy tính tìm nghiệm A,B phân biệt Nếu PT có chứa P (x ) giả sử biểu thức cần xuất có dạng: ax bx c P ( x ) ,trong a,b,c số nguyên Do A,B nghiệm biểu thức nên aA bA c P ( A) 0(*) aB bB c P ( B ) Chú ý: Nếu B nghiệm ngoại lai ta có aB bB c P ( B ) (các bạn tự xử lí TH này) Trừ vế với vế ta được: a ( A B )( A B ) b( A B ) Suy b P ( A) P ( B ) P ( A) P ( B ) ( A B)a A B Trường hợp 1: A B b Nhập biểu thức P ( A) P ( B ) A B P ( A) P ( B ) bấm = máy giá trị b cần tìm A B Từ (*) suy c P ( A) aA bA 14 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Ta tìm a,c máy tính sau: Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P ( A) XA bA bấm = Máy Start? Ta bấm = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Suy a=X,c=F(X) Trường hợp 2: A B Do b P ( A) P ( B ) ( A B ) a nên ta tìm a,b máy tính sau: A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức P ( A) P ( B ) ( A B ) X bấm = A B Máy Start? Ta bấm = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta lấy X làm F(X) nhận giá trị nguyên Từ suy a=X,b=F(X) Từ PT(*) ta tìm c Nhập biểu thức P ( A) aA bA P ( A) aA bA bấm = máy giá trị c cần tìm Sau thí dụ Thí dụ Giải phương trình x x 6x 6x 2x 2x 1 3x 12 x x 10 Lời giải Phương trình cho tương đương với PT: 15 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) P( x) x x 12 x x 10 0(1) Với P ( x) x x x x x Nhập biểu thức vế trái(VT) PT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm 10 = máy cho ta nghiệm X 2,25992105 Bấm nút mũi tên sang trái để quay lại VT(1) ta bấm = để lưu VT(1) Bấm ALPHA X SHIFT STO A để lưu nghiệm vào A Bấm nút mũi tên lên để VT(1) bấm SHIFT SOLVE Máy hỏi Solve for X ta bấm -10 = máy cho ta nghiệm X 2,25992105 Bấm SHIFT STO B Bấm máy A+B máy suy b Nhập biểu thức P ( A) P ( B ) A B P ( A) P ( B ) bấm = máy -1 Vậy b=-1 A B Do b= -1 nên c P ( A) aA ( 1) A P ( A) aA A Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P ( A) A X A bấm = Máy Start? Ta bấm = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy X=3 F(X)=1 nguyên Suy a=3,c=1 Biểu thức cần tìm là: x x x x x (3 x x 1) PT(1) trở thành P( x) (3 x x 1) x x x P( x) (3x x 1) 2 P( x) x x x 3x x 16 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) x 3x x P ( x) x x [ x 3x x P( x) 3x x 1]( x x x 9) x 3x x ( x x ) (3 x 3) ( x x x 3)( x x x 3) ( x 1) 2 x (1 ) ( x 1) ( x `1) ( x 1) Vậy PT cho có nghiệm x (1 ) Thí dụ Giải phương trình 4x x 2x 4x x 5x x x x x x 10 x 12 x 1 Lời giải Phương trình cho tương đương với PT: P( x) Q( x) 3x x 4(1) Với P ( x) x x x 10 x 12 x Q( x) x x x x x Tìm lưu nghiệm thí dụ ta nghiệm A 0,793700526 ; B 1,25992105 Ta có A B 0,4662205239 Có b P ( A) P ( B ) ( A B ) a nên ta tìm a,b sau: A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập P ( A) P ( B ) ( A B ) X bấm = A B 17 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) Máy Start? Ta bấm = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy F(X)=-2 X=1 Suy a=1,b= -2 Khi c P( A) A A Nhập biểu thức P ( A) A A bấm = máy số Ta c=3 P( x) ( x x 3) Biểu thức cần tìm Tương tự biểu thức cần tìm Q( x) (2 x x 1) PT(1) trở thành P( x) ( x x 3) Q( x) (2 x x 1) P( x) ( x x 3) P( x) x x x 3x P ( x) x x ( x 2)(2 x 1)[ Q( x) (2 x x 1) Q( x) x x x 3x Q( x) x x 1 P ( x) x x 0 0 Q( x ) x x ]0 x 3 ( x 2)( x 1) x Vậy phương trình có nghiệm x 3 ; x Vấn đề đặt liệu với biểu thức P (x ) có có nhiều lựa chọn biểu thức dạng ax bx c P ( x ) hay khơng.Ví dụ sau làm sáng tỏ điều Thí dụ Giải phương trình 18 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) x 2x3 x 2x 12 x 24 x x 12 x 51x 1 Lời giải Phương trình cho tương đương với PT: x x x x P( x) Q( x) 0(1) Với P ( x) 12 x 24 x x Q( x) 12 x 51x Tìm lưu nghiệm ta nghiệm A 3,449489743 ; B 1,449489743 Bấm máy tính có A B ; AB 5 (Theo Định lí Vi-ét PT có nhân tử x x ) Có b P ( A) P ( B ) ( A B ) a nên ta tìm a,b sau: A B P ( A) P ( B ) ( A B ) X bấm = A B Bấm MODE máy f(X)= ta nhập biểu thức Máy Start? Ta bấm = Máy End? Ta bấm = Máy Step? Ta bấm = Quan sát bảng ta thấy tất giá trị F(X) nguyên Vì ta chọn cặp X=2;F(X)= Suy a=2,b=1 c P ( A) A A Nhập biểu thức P ( A) A A bấm = máy số 1.Ta c=1 Suy x x P( x) biểu thức cần tìm Tương tự ta chọn 3x x Q( x) biểu thức cần tìm Phương trình(1) tương đương với PT: x x P( x) 3x x Q( x) x x x x 19 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) x x P ( x ) x x Q ( x ) ( x x 5)( x 1) 4x 9x2 0 ( x x 5) x x x P ( x) x x Q( x ) x 2x x Vậy phương trình có nghiệm x Chọn cặp biểu thức khác chẳng hạn x 3x P( x) ; 3x x Q( x) ta giải PT theo cách nhân liên hợp Chú ý: +Việc chọn biểu thức thí dụ tùy ý hay cần chọn hợp lí để ta dùng cách nhân liên hợp Xin dành cho người tìm hiểu điều + Một số phương trình ta tìm biểu thức phức tạp chẳng hạn P ( x ) ( ax bx cx d ) giải theo cách viết nêu điều kiện nghiệm PT ta tìm nhiều hơn(kể nghiệm ngoại lai hay nghiệm bội) Bài tập Giải phương trình 1) 3x 24 x x x 1 x 8x 9x 2) 9x 9x 5x 3x x x x 12 x x 3) 4) 5) 6) x x 18 x x 12 x 3x 10 x x 2 x x 1 x x x 16 x x x x 20 16 x 49 x 26 x 21 x x x x x 12 x x x x 11x x 15 x 3x x x x x 17 x x x 5 x x 20 1 1 1 20 Vũ Hồng Phong GVTHPT Tiên Du 1,Tiên Du, Bắc Ninh (21-4-2016) 7) 8) x x x x 14 x x x 3x x 1 3x 3x x x x x `1 x x 5 x x x 3x 24 x x 8x 9) 1 x3 x 33x x x x 10) 11) 3x x x x x 12 x 16 x x x 4 x x x 15 x x x 18 x x 16 1 2x3 x x x 18 x 3x x 15 12) x 15 x 18 x x 11x x x x x 19 x 22 x 14 x x 21 1
Ngày đăng: 30/03/2020, 19:01
Xem thêm:
