Mô hình toán học trong bài toán ô nhiễm môi trường đề tài NCKH QG 05 03

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự• NHIÊN * • • i J*T **4 'P fp *ií> T**41;*4*ĩ** 'ĩ* "ĩ*- 4'T*“ ĐE TAI MO H IN H TOAN HỌC TRONG BAI TOAN Ô NH IỄM MÔI TRƯỜNG MÃ SỐ: QG 05-03 C h ủ tr ì : P G S.T S N g u y ể n M in h T u ấn Các cán th a m gia GS.TS N guyễn H ữu Dư, ĐHKHTN, ĐHQG H Nội TS T rầ n V ăn T rản, ĐHKHTN, ĐHQG H Nội TS T rầ n V ăn Cúc, ĐHKHTN, ĐHQG H Nội PGS.TS Đ inh Nho Hào, Viện Toán học H À NỘI - 2007 BÁO CÁO T Ó M TẮT T ên để tài: Mơ hình tốn học tốn mơi trường Mã số: QG 05-03 Chủ trì: PGS.TS Nguyễn M inh Tuấn Các cán th a m gia: GS.TS Nguyễn Hữu Dư, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội TS T rần Văn Trản, ĐHKHTN, ĐHQG Ha Nội TS T rần Văn Cúc, ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội' PGS.TS Đinh Nho Hào, Viện Toán học Mục tiê u v n ộ i dung: Dồ tài nghiên cứu mô hình tốn học sơ vấn dề liên quan dên môi trường: Vấn đề truyền tải chất ô nhiễm khơng khí từ số nguồn chất thải gây ra, thường nhà máy, xí nghiệp Đó vấn đề có tầm quan trọng đặc biệt nước ta tập trung phát triến ngành kinh tê đa dạng, thời kỳ công nghiệp hóa đại hóa ngành kinh tế Thực tế phát triển kinh tế Việt nam nước phát triển khác năm qua cho thấy, lợi ích mà phát triến kinh tế đem lại thường phải trả giá vấn đề ô nhiễm môi trường, o nhiễm môi trường quốc gia nhiễm mơi trường tồn cầu đặt nhiều năm qua Nhiều tổ chức hội nghị quốc tê kêu gọi nhà khoa học nhà công nghiệp chung sức giải vấn đề nan giải nói Đề tài tập trung nghiên cứu mặt lý thuyết sô" mô hình tốn học mơ q trình truyền tải vật chất mơi trường khơng khí mơi trường nước Những toán thường dẫn đến tốn ngược, phi tuyến, dặt khơng chỉnh cho phương trình khuếch tán Do tính phức tạp tốn đặt ra, kêt nghiên cứu hiệu hạn chế, đặc biệt phương pháp giải sô' đê tìm nghiệm xác Bởi vậv, vấn đề đặt xác định tập hợp kiện bó sung để khắng định tính chất nghiệm Mặt khác, tốn kể thường khơng chỉnh (theo nghĩa nghiệm nẽu tồn khơng phụ thuộc liên tục vào kiện tốn), nên việc tìm đánh giá ôn định cầc thiết Khi có đánh giá 011 định, việc phương pháp giải số cách ổn định hiệu cho toán đặt Những kết chính: Xây dựng mơ hình tốn học mơ tả q trình truyền tải vật chất mơi trường khí, đề ximt phương pháp tiếp cận đối vối tốn Đó đưa phương phình đạo hàm riêng câ"p hai tuyến tính hệ phương trình đạo vi-tích phân, dùng lý thuyết thẽ vị để dưa phương trình với tốn tử khả nghịch phải Dựa theo ý tưởng nhà phương trình đạo hàm riêng dùng phép biến đơi Fourier, đề tài xây dựng phương pháp sở liên quan đến phép biến đơi tích phân mới, tương tự phép biến đổi Fourier Phép biến đổi tích phân cho phép giải lốp phương trình đạo hàm riêng cổ điển Giải sơ" tốn dịng chảy hai chiều với sơ" liệu giả định, từ xác định mức độ nhiễm mơi trường có chất thải từ nhà máy, xí nghiêp vận hành Ngoài ra, đề tài đạt kết liên quan đến bảo vệ môi trường đất sau chiến tranh, thực tê nước ta cịn sót lại sơ" lượng lớn vật liệu nổ lịng đâ't Tình hình kinh phí Tổng k in h phí: 60.000.000VNĐ, chia làm hai năm: Năm 2005 cấp 30.000.000VNĐ, năm 2006 câp 30.000.000VNĐ KHOA QUẢN LÝ TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN * f u P33.TS ỵ ă M L J ỉ ũ Ẩ Beside of the above mentioned, this subject obtain some results relating to ie environmental protection after war in Vietnam, becauseof that there exist mount of dynamite under land he results: Three reports in the international Conferences, two arcticles ublished MỞ ĐẦU »ề tài đề cập đến sơ" mơ hình tốn học vấn đề mơi trường Đó I tốn truyền tải khuếch tán vật chất mơi trường khí khí có guồn gây nhiễm Những tốn nói thường chun tốn gược, phương trình phi tuyến, thiết lập không đắn cho phương trình huếch tán Do tính phức tạp tốn, kết biết hạn chế, ặc biệt phương pháp giải số’ Bởi vậy, việc xác định tham số bổ sung ể thu tính nghiệm tốn vơ cần thiết Mặt khác, o tốn dặt khơng chỉnh (theo nghĩa có nghiệm nghiệm hơng phụ thuộc liên tục vào số liệu đầu vào), nơn việc đánh giá tính 011 Ịnh nghiệm có vai trị quan trọng Cuối tìm nghiệm ổn định iệu cho toán đặt N Ọ ID U N G )ề tài hoàn thành mục tiêu đề đạt kết sau tây: Đề tài xây dựng mơ hình tốn học mơ tả q trình truyền tải khuếch tán rật chất mơi trường khí, đề phương pháp tiếp cận tốn Đó )hương pháp chun phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyẽn tính hệ )hương trình vi-tích phân, dùng phương pháp thê vị đề đưa phương trình ìặt phương trình sinh toán tử khả nghịch phải I Dựa vào ý tưởng dùng phép biến đổi Fourier cổ điển để nghiên cứu níơng trình đạo hàm riêng, đề tài xây dựng phép biến đổi tích phán SUMMARY Title of the Project: Mathematical model for the problems in the environment Nam e of lead er: Prof.Dr Nguyen Minh Tuan Index of Code: QG 05-03 Members of Project: Prof.Dr Nguyen Him Du, HUS, VNU, Vietnam Dr Tran Van Tran, HUS, VNU, Vietnam Dr Tran Van Cue, HUS, VNU, Vietnam Prof.Dr Dinh Nho Hao, Institute of Mathematics, Hanoi, Vietnam The Arms and Results This subject deals with some mathematical models for the enviromental problems, that is the transportation, diffusion of materials in the air from the source Those mathematical problems are usually reduced to the inverse, nonlinear, ill-posed problems for the diffusion equations Due to the comlication of proposed problems, the known results remain limited, especially the results relating to the numerical solutions Therefore, it is necessary to determine the extra data so that we can obtain the uniqueness of solution On the other side, because of that the above mentioned problems are ill-possed (in mean of that if there exists the solution then that solution not depend on the data of problem, the estimation for the stibilitv for the solutions is necessary The next problems is find out the efective, stable solutions for the problems Construction the mathematical model discribing the transportation and diffution of naterials in the air, propose a method of approaching for the problems We deduce second order linear partial-differetial equations to a system of integral-differetial equations as well as by using the protential theory for the deducing to the equations reduced bv the right invertible operators Based on the idea of classical Fourier integral transform, this subject construct the new integral transform, similarly to the Fourier integral transform By using this integral transform we can solve a class of classical partial-differential equations Numeracal solutions for the two dimension problems with the theoretical data, and then determine the polution in the area when ther exist the factory or manufacture Beside of the above mentioned, this subject obtain some results relating to the environmental protection after war in Vietnam, becauseof that there exist amount of dynamite under land The results: Three reports in the international Conferences, two arcticles published MỞ ĐẦU Đề tài đề cập đến sơ" mơ hình tốn học vấn đề mơi trường Đó tốn truyền tải khuếch tán vật chất môi trường khí khí có tiguồn gây nhiễm Những tốn nói thường chun tốn ngược, phương trình phi tuyến, thiết lập khơng đắn cho phương trình khuếch tán Do tính phức tạp tốn, kết biết cịn hạn chế, đặc biệt phương pháp giải số’ Bởi vậy, việc xác định tham sô bô sung „tê thu tính nghiệm tốn vơ cần thiết Mặt khác, toán đặt khơng chỉnh (theo nghĩa có nghiệm nghiệm không phụ thuộc liên tục vào sô* liệu đầu vào), nên việc đánh giá tính ơn định nghiệm có vai trị quan trọng Cuối tìm nghiệm ổn định hiệu cho toán đặt NỘI DUNG Đề tài hoàn thành mục tiêu đề đạt kết sau đây: Đề tài xây dựng mơ hình tốn học mơ tả trình truyền tải khuếch tán vật chất mơi trường khí, đề phương pháp tiếp cận tốn Đó phương pháp chun phương trình đạo hàm riêng cấp hai tun tính hệ phương trình vi-tích phân, dùng phương pháp thê vị đề đưa phương trình đặt vê phương trình sinh tốn tử khả nghịch phải Dựa vào ý tưởng dùng phép biến đôi Fourier cô điển để nghiên cứu pương trình đạo hàm riêng, đề tài xây dựng phép biến đổi tích phân tương tự phép biến đổi tích phân Fourier Bằng cách sử dụng phép biên đổi tích phân cơng cụ, giải lớp phương trình đạo hàm riêng cổ điển Các nghiệm số’cho toán hai chiều với số liệu giả định thiêt ập, từ xác định mức độ nhiễm mơi trường, có nguồn ;hường nhà máy hay xí nghiệp có chất thải Bên cạnh vấn đề nêu trên, đề tài cịn thu sơ” kết liên ^uan đến vấn đề khắc phục hậu vê môi trường sau chiến tranh, :ịn tồn số lượng đáng kể bom, mìn vật liệu nổ lịng đất íế t quả: Ba báo cáo khoa học hội nghị quốc tế: hội nghị rong khuôn khô hợp tác trường đại học trọng điểm Việt Nam-Nhật )ản; hai báo đăng tạp chí quốc tế Về mặt đào tạo: Đề tài nằm khuôn khổ Chương trình hợp tác trường đại học trọng điểm ĐHQG Hà Nội Đại học Tổng hợp Osaka, Nhật Một luận án thạc sỹ toán học bảo vệ, vào tháng 10 năm 2005 trường ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội’ Hoạt động chung: Đề tài tổ chức tài trợ hai hội thảo quốc tế: + Tháng 7-2006: Hội thảo quốíc tê vê giải tích ứng dụng, Sapa (hợp tác với quan hợp tác hàn lâm Cộng hòa Liên bang Đức) + Tháng 12-2006: Hội thảo Việt-Nhật mơ hình toan học vấn đê vể mơi trường, Ba Vì, Hà Tây Ngồi ra, đề tài tài trợ Seminar tốn ứng dụng (GS.TS Nguyễn Hữu Dư chủ trì), tài trợ phần phôtô tài liệu cho lớp cao học 2005-2007 học chuyf'n (lơ VC tốn mơi trường (GS Yagi (Nhật bản) giảng dạy KẾT LUẬN Đề tài đề cập đến số vấn đề liên quan đến môi trường Đây lả vấn đề thời điều kiện đất nước ta thời kỳ gia tăng tốc độ cơng nghiệp hóa đại hóa Những vấn đề đưa giải phạm vi đề tai có ý nghĩa định mặt lý thuyết thực tiễn, vể mặt lý thuyết, đề tài đưa phương pháp tiếp cận cho toán truyền tải, khuếch tán vật chất mơi trường khí Một sơ" kết toán học chứng minh tiền đê cho nghiên cứu lớp phương trình đạo hàm riêng tuyến tính tốn liên quan đến mơi trường, v ề mặt thực tế, hạn chê vê phạm vi nghiên cứu, kinh phí khả nhân lực, để tài tính tốn sở số liệu giả định Vì vậy, tốn vê truyền tải vật chất ô nhiễm môi trường nhiều vấn đê bỏ ngỏ, chứa dược giải Tuy nhiên, kết ban đầu mặt toán học, mo hướng nghiên cứu tiếp theo, nhằm đáp ứng nhu cầu đem kết nghiên cứu khoa học vào thực tiễn TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo cáo khoa học hội nghị quốc t ế khuôn khổ chương trình hợp tác trường đại học trọng điểm Việt Nam - N h ậ t G I M archuk, M athem atical Models in enưironmetal problems, North-Holland-Am sterdam , 1986 CÁC ẤN PHẨM Bui Thi Giang, Nguyen M inh Tuan, On the approach to the m athem atical models for transportation, diffusion problems o f materials in atm osphere, Hội nghị Quốc t ế V iệt-N hật (trong khuôn khổ chương trìn h hợp tác trường trọng điểm), Hạ long, 10-2005 Nguyen X uan Thao, Nguyen M inh Tuan, Bui Thi Giang, Convolution for the transform induced by Fourier integral transform a nd its inverse, The 6th general S em inar of the Core U niversity Program: Environm etal Science and Technology for su stainab ility of Asia, Osaka, Jap a n , 10-2006 Bui Thi Giang, Nguyen Minh Tuan, Convolution w ith the weightfunction for the transform induced by the linear combination o f Fourier a n d inverse Fourier transform son, Satellite Coference on th e environm ental problems, Osaka, 9-2006 Nguyen T rung Thanh, Hichem Sahli, Dinh Nho Hao, FiniteDifference Methods a nd Validity o f a Therm al Model for L a n d m in e Detection With Soil Property E stim ation, IEEE T ransactions on Geoscience and remote sensing, V 45, N 3, 2007 Dinh Nho Hao, P ham M inh Hien, H Sahli, Stability results for a Cauchy Problem for an Elliptic equation, Inverse Problems, V 23, 2007 Stability results for a C auchy pr o ble m for an elliptic equation (a) 457 (b) Figure 19 Example 4: (a) exact solution, (b) approximation hy thf marchine schem e, mollification by the dc la Vallée Poussin kernel; noise = 0.0! Figure 20 Example 4; input data (f and )ls molliticaijon by the de la Vail éc Poussin kernel; noise = 01 Figure 21 Example 4; the solution V = I: exact solution approximation by [he marching difference schcmc based on ihc m ollilicaiion by ihc tic la Vallee Poussin kernel; noise 0 F igu re 22 hxam ple iaU *\jcr soltinori (bl ipproxmiiiiioii by :lic marching schem e, m ollification by the dc la Vail éc Poussin kernel; noise = 458 D N Hào et al Figure 23 Exam ple input data if and its m ollification by ihe de la Valléc Poussin kernel: noise = 0.1 Figure 24 Example the solution at y = exact solution, approximation by the marching difference scheme based ( i l l the mollification by che đe la Vallée Poussin kernel; noise í) (a) (b) F igure 25 Exam ple 5; (a) ex je t solution, (b) approximation by the marching schem e, mollification bv the de la Vallée Poussin kernel; noise = 0.01 F igure 26 Example ỹ input (Jiliii V’ ‘ IMlI n* ' n i o l l i t J C i i i H M ) bv the lie I.I Vallcc Poussin kernel; noise - 0.01 Figure 27 Cvamplc Ihe solution ill V — I CVÍ1CI solution, approxiiTMiion b> the marching difference schem e hdMTd nn ihf m ollilication hy the de la Yallée Poussin kernel: no INC 0.(11 459 Stability results fo r a C au chy proble m for an elliptic equation EilfflpM So'ui**' at !*ã d*ôd i Sfl*wiằ- Qt -* l^r IT*r + 1•* F igure 28 Exam ple 5: (u) exact solution, (b) jpproximahun by Ihe marching schem e, mollification by the de la Vallée Poussin kernel, noise = 0.1 - - -tfta**1r MW wni I *M Ị* / \ Figure 29 Exam ple 5: input data ụ' anil It's m ollilicaiion by the de la Vallée Poussin kernel; noise = Figure 30 Example 5: the solution M \ — I: exaci solution, approximation hy ihc marching difference schem c based on the m ollification by Hit* lie I'd Vallée Poussin kernel, noise l i e * F ig u r e 31 I-Xample (y ,;cxacl Sc^'o- d 1-ô !!ôô*-*ằ- ããã MằUiin.ớ'h)appi-.*xm>;iiằằnby th cn jfth n g Swhcn-c.n.ollilitaiion by Ihe de la Vallcc Poussin kernel, noise - 0.01 460 D N Hào (••■#ncc4 Ipj Qllj I'd M V|IM c e f ƠÌ ^*4»^ rt tiiiyto^f s 'N V » F igure 32 Example 6: inpul data (f und its m ollification by the de la Vallée Poussin kernel; noise = 0.(JI En^dM 5oJi.idi■*n*'•# I omnM'T Figure 33 Example 6: the solution at y — I: exact solution, approximation by the marching difference schem e based (Ml ihe mollification by the de la Vallée Poussin kernel; noise 01 I I I * -»* ct c-oen- ► m4~ 0»«“# • (b) (a) Figure Exam ple 6: (a) exacỉ solution ch) approximation by ih t marching schem e, mollification by the (Je ia Vallée Poussin kernel: noise = 1 !-ijtu the marching difference sL’hcmc bitscd I'll ihi" nil*111i'.c Jiion bv Iht dc lii Vtillec Pousmii kernel, iii'iM.1 u ! Stability results fo r a Cau chy problem for an elliptic equation 461 T h e order o f difficulty o f these exam ples is increasing Ill the fist example the function \h is i n f i n i t e l y d i f f e r e n t i a b l e , in t h e s e c o n d e x a m p l e It b e l o n g s to w ‘ ( R ) a n d in the I a s i o n e It is in H ' (R) with s < / (see remarks and ) 4, F o r L p c a s e s , w e t a k e u { x , 1) = yịỉ( * ) + w i t h Ỷ d e f i n e d a b o v e a n d cal l t h e m b y e x a m p l e s 6, c o r r e s p o n d i n g l y In all e x a m p l e s w e se e that t he m e t h o d s are st abl e a n d gi ve ve r y g o o d n u m e r i c a l resul t s A l t h o u g h , t he m e t h o d b a s e d o n t h e e x p l i c i t f o r m u l a ( 7 ) s e e m s t o b e t h e bes t , h o w e v e r in p r a c t i c e , It IS n o t b e t t e r t h a n t h e m a r c h i n g d i f f e r e n c e s c h c m e m e t h o d Furthermore it i s o b s e r v e d i n all e x a m p l e s t h a t t h e m a r c h i n g s c h e m e b a s e d o n t he m o l l i f i c a t i o n b y t h e c o n v o l u t i o n w i t h t he d e la Val lee P o u s s i n kerne] gi ves the besi n u m e r i ca l resul ts T h i s m e t h o d h a s a n o t h e r a d v a n t a g e t h a t it w o r k s f o r a n y L p (1 < p ^ o c ) d a t a A cknow ledgm ents T h e first a u t h o r t h a n k s P r o f e s s o r s Di n h D u n g and H a Ti en N g o a n for s t i m u l a t i n g di s c u s s i o n s , M r Doan Duy Hai and M r Nguyen Trung Thanh fo r programming References [1] Achieser N 1967 Vorlc.sunken ither Appro.\imưỉionsiheưrie M aỉhematische Lchrbthhet Band I] (Berlin A cadem ic) See also A chieser N ] 1992 T heory o j Approxim ation (New York: Dover) [2] Dung D 1992 The sampling theorem, L ị approximation and ^-dimension / Appto.x Theory 7(1 I I' [3] Hào D N 1994 A m ollification method for ill-posed problems Numcr Math 6K u.'1 ■MN* [4] Hào D N 1996 A m ollification method for a noncharacteriMic Cauchy problem for a parabolic equation./ M ath A nal A p p l I *19 N7.1 [5] Hào D N and Hien p M 200? Stability results for the Cauchy problem for the Laplace equation in a Nirip//nr/.u* Problem s 1M N M 44 Ịft] Hào D N, Reinhardt H-J and Seiffarth F 1994 Stable fractional numerical differenlution hy mollification Numt'f F u n d A nal, o p iim iz 15 -5 [7] Hào D N Van T [) iind Gorenflo R 1992 Towards the Cjuchy problem foi ihe Liipbce equation Runath C en ter Pitbl 27 11 1-2 [X] Hellwig G 1957 ủber die A nwendung der Laplace-Transformation auf Randweflprnblcmc Math Zt‘ii\t hr Aft *'7 ss [9] Hellwig G Iy 77 P artial D ifferential E quations An Inrmducitun {SnillỊỊiM: B G T eu b n e n 151-73 [10] [sakov V 199H Inverse Problem* fo r Partin! Differential Equations (New York Springer) I ] I I Johnson ( R 1997 C oiiipuiiilional and numerical methods for b io d eem e held problems C m Rt'\ Bmnn’J Ena 25 1-81 [ 2] Knabner p and Vessel la s 1988 The optimal stability estimate for some ill-posed Cauchy problem lor a parabolic equation M ath M ethods A p p l Sci 10 h’ ỊI1Ị Lavrent'ev M M Romanov V G and Shishatski s p 1986 Ill-Posed Problem s of MaritematK 111 Physics and A nalysis (T ranslations o f M athem atical M onographs 6J) (Providence RI American Mathematical Society) [141 Levin B Y 1996 Lee lures on Entire Functions (Providence RỈ: American Mathematical S o ciet) ) Ị I 5] Mikhlin s G 1956 On the multipliers o f Fourier integrals Dtfkl A kad \ ’uuk SSSR f.v I 109 -3 (in Russian) (16] N ik o lsk ii s M 1975 A pproxim ation o f Functions oj Several \'anahlcs and Im bedding Theorems (Berlin: Springer) [ Nikol skii s M I960 Uniform differential properties ol an analytic function in A strip \faihem aiH Ú (C lujI 14M-57 (in Russian) [18] Nikol skii s M and Potapov M K 1962 The boundary properties ol functions anaKlic in a sinp V a lh e m a tu a (C luj) -3 (in Russian) [ I9 | Taylor M E 1981 Pseudodiflervtuial O p era to rs (Princeton, NJ: Princeton University Press) [*>0] Vail T D and H D N 1994 D ifferent hi! Operator* o f infinite O rd n H Ith Ren! Argument \ i/nd 1heir AppUi at ion (Rivet Hdgc NJ: World S c ie n h lio [ 1 Widder D V 1^75 The H eat F.iftmiion (New York Academic) Oil the approach to the mathematical models for transportation, diffusion problems of materials in atmosphere Bui Thi Giang, In stitu te of Cryptography Science, Hanoi, Vietnam Nguyen Minh Tuan, University of Hanoi, Vietnam 1S'llclliif ronfen'iKijo 1 the environmental prohlrnis 10-2005 Cl p \ i('tn;ini-.|;ip;in Consider the equation du ) uw M +Uỉ dip ỡự () A J) + Vữy +Wa z - v^ a - / ẳ = !- m ' where u, V, w are the rate vectors of the material-point determined at tho point (j \ y z) in th(‘ domain Í7, o , v , ị i , are the diffusion coefficients, A is Laplace operator J ( r ỊỊ, z t) is a given function, and ip(xì y ì z ì t) is unknown function that can be density of materials, liumklitv or temperature, .T h e equation (0.1) describes the diffusion transfer of materials in th(' air and it is said to be the diffusion equation (see[lj) Ill this report, wo deal with two approach to tho above equation and promote1 a iiK'tliod for solving relative problem s S om e preface n o ta tio n Let X be a linear space in the field of scalars Denote by L ( X ) the set of all linear operators with its domain and range in X Write L q( X ) = {A e L { X ) : clom D e fin itio n ([3]) The operator D G L ( X ) issaid operator R G L q( X ) so that D R = I The operator R is allied the ri(}ht inverse of D - A'} tobe right invertible if their crisis an The S(‘t, of allright, invertible operators in L( X ) will 1)C (l(M)()tPfl I)V J\( X ) i or a I) G Iì{ X ) we (lonoto by TZj) t.lic set of all right inverses of D< i.e n D = { R e L o ( X ) : D R = 1) E x a m p le 1 Lot À” = C(M) be the space of all continuous functions in R \Y , / ? , / ) Equivalently, D ị ự + R ]D 2)íp - -D i/?]/ = / , Dị [( / + RịD2)ự} — Ri f ] — So we receive ( / + R \ D 2)tp — R i f — z where Z q (E kerZV Hence, the equation (2.3) is equivalent to the follow ing system (2.5) T h e o r e m 2.2 ([4]) The operator I + R \ D \ IS right invertible IS riyht mverhbh if (ind 011.1If if oprniLor Ỉ + D>1\ By using this theorem, we will study the equation ( / + Dĩ R ị )(f — F, instead of s t u d y i n g till' (2.G) e q u a ti o n (2.2) R e m a r k Th(' sreond equation ill (2.5) is the liiK'iir pai t ial-diílrrcnỉ i;i] ('filiation of 1-1 li order equation C o n j e c t u r e The operator (I + D-2ỈÌ.]) is right invertible or gcnrralizcfl ri^lit invcr!iljlc 2.2 T h e second approach: Using th e p o tential theo ry Wo consider the Newtonian potential n on wlifTC' p )Q) / i {Q) I'[Q) aro t hí' drnsilv functions (l('|)('ii(lin.” nil llir coordi n;ii cs of I Ilf |)()im Q e íì Thr formula!' (3 7), (4.8) (3.9) air said to bo Newtonian simplf-];iycr iinrl (l(jiil)lclavoi potent iiil n'spi’d iv('lv OiK' knows I Ills I fioni thí1 I(lcnli!\ I'.i I) It follow > S s ( P ) = - p( P) Put n Wc then have = / Thus, A is the right invertible operator Denote by /?2 a right inverse' of A := D> Then, the equation (2.2) is of the form D 2(I + R 2Dy)