Phương trình vi sai phân và ứng dụng trong hệ sinh thái : Đề tài NCKH. QT.07.05

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN ĐÉ TÀI NGHIÊN c ứ u KHOA HỌC CÁP ĐHQGHN PH Ư Ơ N G T R ÌN H VI SAI PH Â N V À Ứ NG D Ụ N G T R O N G HỆ SINH TH ÁI D IF F E R E N C E A ND D IF FE R E N T IA L E Q U A T IO N S AND A P P L IC A T IO N S IN E C O L O G Y Mã số : Q T - 07 - 05 Chủ nhiệm đề tài: Lê Đ ìn h Đ ịnh Cán tham gia: - GS TS Nguyễu Him Dư ĐHKH Tự Ìikiên - CN Trịnli Kliáuli Duy ĐHKH Tự Ìiliiên - TliS - TliS Tạ Việt Tơn Nguyẻii Trọug Hiếu ĐHKH Tự uliiêu ĐHKH Tự nliiêu I OẠ HOC Q uốc GIA HÀ NOi pVUNG_TAM t h o n g tin thi f V|gN HÀ NỘI 2008 MỤC LỤC Trang B o cáo tóm tắt tiếng Việt B o cáo tóm tắt tiếng Anh N ộ i dung đề tài Chương 1: M đầu Chương 2: Nội dung kết đạt Chương 3: Sự tồn nghiệm phương trình sai phán Chương 4: Tính đon điệu hội tụ nghiệm phương trình sai phàn Chương 5: Tính bị chặn nghiệm Chương 6: Tính ổn định địa phương Chương 7: ứng dụng Chương 8: Kết luận T i liệu tham khảo P hiếu đăng kỷ đề tài 10 12 14 15 16 18 21 22 43 I BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ THựC HIỆN ĐỂ TÀI QT-07-05 Têu đề tài (hoặc dự án): Tiếng V iệt: Pliươug trùỉli vi sai phân ínig dụng troug liệ sink thái Tiếiig Anh: Difference and differential Equations and Applications iu Ecology M ã sơ: Q T -07-05 Clià trì để tài: TS Lê Đ ình Định Têu cáu phối hợp ugliiêu cứii: • CN Trịuli Kliánli Duy ĐHKH Tụ I iliiê u • TliS Tạ Việt Tơu ĐHKH Tự nlúêu uv uv uv • TliS N guyẻu Trọug Hiếu ĐHKH Tự uluêii Thirký • G STS N guyễu Hĩm Dư ĐHKH Tự uliiêa Mục tiêu nội dimg nghiêii cứu: Một ulifnig toáu quau trọug cùa sinli tliái liọc qnầu tliể dáuli giá số lượng cá thể troug quầu thể cùa loài tlieo tliời gian Tốc độ biếu dổi số lirợng cá tliể cùa lồi tlieo tliời giau đirợc m tả bời pliircmg trìuli vi-sai pliâii N ghiêm pliưcnig trìnli clio ta biết trìuli tiếu triểa số lirợug cùa lồi, tìr có k ế lioạcli khai tliác tối ưu lồi y lioặc đưa Iiliiiug chíuli sácli kịp tliời uliằiu đảm bảo clio phát triển bều vữug cùa loài Mục tiêu đề tài đưa kết lý thuyết tồn ugliiệm cùa pliirơug trình sai pliâu sai phân lióa cùa pliươug trình vi pliâu, nliir liội tụ Ìiglúệm dúug cìia phương trìnli vi pliâu, mà Ìighiệm uày điểm câu loài rroug liệ siuli thái Đ ề tài QT 07-05 dược tlụrc lúệu từ tliáug uãm 2007 uliằm giải sô' vâói đề sau: + Tổiig qt hóa m hìnli dộug học quần tliể đơu Lồi dạng pliiroug trìuli vi phân + N ghiên cứu tíuli cliất cùa điểm câu bàug cùa quần thể bằug cácli sai phâu lióa pliươug trình vi phân, sau tìm ugliiệm cùa pliircmg trình sai pliâu + N ghiêu cirú tồu uliất Ìighiệm phương trìiili sai phân, ciìug uliir sụ hội tụ nghiệm cùa uó I BÁO CÁO TÓM TẮT KẾT QUẢ THựC HIỆN ĐỂ TÀI QT-07-05 Têu đề tài (hoặc dự áu): Tiếng Việt: Phương trùilx vi sai pliâu írug dụng liệ siiili thái Tiếug Auh: Difference and differential Equations and Applicatious iu E cology M ã số: QT- 07-05 Clnì trì để tài: TS Lê Đ ìnli Địnli Têu cáu pliối liợp ughiêu Cl'ni: • CN TrỊnli Kiiánli Duy ĐHKH Tự uliiêu • ThS Tạ Việt Tơu ĐHKH Tạ ulúêu uv uv uv • TliS N guyễa Trọug Hiếu ĐHKH Tụ uliiêu Tliir ký • G ST S N guyễu Hfni Du ĐHKH Tự nliiêu Mục tiêu nội duug ugliiêu cứu: Một troug ulifiug toáu quail trọng cùa sinh thái liọc quần tliể đáuli giá số lirợng cá tliể quầii tliể cùa loài tlieo tliời gian Tốc độ biếu đổi số lirợug cá tliể cùa loài theo tliời giau đirợc m ô tả bời pliitơug trìuli vi-sai pliâii N ghiệm cùa pliirơug trình Ìiày cho ta biết đirợc q trình tiếu triển số lượiig lồi, tìr có kế hoạch khai thác tối uu lồi Ìiày lioặc đira uliĩhig clúuli sácli kịp tliời nhằm đảm bảo clio phát triểu bều vữug cùa loài M ục riêu dể tài đua kết lý thuyết toil ugliiệm cùa phương trìuk sai pliâu sai phân hóa cùa pluiơiig trìnli vi phân, cũiig uliu hội tụ vể uglúệm điíiig cùa phirơug trìnli vi pliâii, mà ugliiệm uày điểm câu bằug cùa loài troug liệ siuli tliái Đề tài QT 07-05 đuợc tliực liiệu từ tliáug uãm 2007 Ìiliầm giải số vấu dề sau: + Tổiig qt lióa 1Ỉ1Ơ hình độug học quần tliể đon lồi dạng pliiroug trìuli vi pliâu + N ghiêu cứu tíuli cliất cùa điểm câu cùa quầu tliể cácli sai pliâii hóa phương trình vi phâu, sau tìm uglúệm cùa phirơug trìuli sai pkâu + N gliiêu cirú tổu agliiệm phirơug trìiili sai pliân, uliư liội tụ Ìigliiệm cùa Các kết đạt + Đưa điều kiện tồn nghiệm phương trình sai phân phi tuyến, cơng thức nghiêm phương trình sai phân phi tuyến + Đưa điểu kiện đù cho tính bị chặn, tính hội tụ tính ổn định nghiêm phương trình sai phân phi tuyến + Đưa tính chất cùa điểm cân Các kết đạt đưực đề tài giúp xem xét loài quần thể phát triển theo số lượng đạt đén mức cân bền vững hay không bền vững phụ thuộc lớn số lượng cá thể ban đầu hay trình đánh bắt cùa người Từ có chiến lược đánh bắt phù hợp cho lồi ln phát triển dạng vững Các kết nghiên cứu đề tài thể 01 báo 02 báo cáo khoa học ĐỂ tài đ ã góp phún dùo lạo nhiều cừ nhân khoa học, 02 hoc viên cao học Nguyễn Thị Minh Nguyẻn Thị Minh Lý Đề tài hỗ trợ đắc lưc cho nhiểu NCS khoa Toán - Cơ - Tin học Tình hình tài đề tài Để tài cấp 2ơ.000.000đ năm 2007 2008 chi vào khoản sau đây: + Các báo báo cáo khoa học: 10.000.000 đ + Hội thảo Seminar khao học: + Chi phí văn phịng phẩm: + Quản lý sờ, nghiệm thu đề tài: Tổng cộng: 7.000.000 đ 2.200.000đ 800.000 đ 20.000.000đ Xác nhận cùa Ban Chú nhiêm Khoa Xác nhận Trường ĐH Khoa học Tự nhiên Chù trì để tài II SCIENTIFIC PROJECT BRANCH: Mathematics PROJECT CATEGORY: National University Title of Project: Difference Equations and Applications in Ecology Code of Project: QT-07-05 Head of research group: Dr Le Dinh Dinh Collaborating Institutions: • Prof Nguyen Huu Du Member • Lecturer Member • Lecturer Ta Viet Ton Member • Lecturer Member Trinh Khanh Duy Nguyen Trong Hieu Duration: from 5-2007 to 5-2008 Budget: 20.000.000 VND Main results: a) Results in science and technology One of the most important problem in ecology is estimate the number of species in population The rates of change in these number are described by differential and difference equations We can know the development of these species by the solution of the equation, then we can make a good plan to exploit without the extinction of them This researcher is concerned with the study of the existence of solution of difference equation and the convergence to the equilibrium point It has been started since May, 2007 and we resolved some following problem: • Generalization of single species model in differential equation form • Showing the properties o f equilibrium points • Difference of differential equation and then we investigate the existence, the unique and the convergence of solution With a moderate budget 20.000.000 VND, our research group has carried out some good results We have written one paper and two scientific reports., b) Results in training: • Support to many bachelor’s degrees of science • Support to two master’s diplomats of science: Nguyen Thi Minh and Nguyen Thi Huong Ly • Support to some Ph D students c) Publications: Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định, Phương pháp sai phân, NXBĐHQGHN 2004 CHƯƠNG M đầu Hầu hết mơ hình quần thể đơn lồi nghiên cứu tốc độ biến đổi c ủ a số lượng cá thể theo thời gian quy phương trình vi phân: - - b N - d N + nhập cư - di cư (3.1.1) S sai khấc vế phải (3.1.1) mơ hình lồi Vậy giả thiết mơ hình đơn lồi có dạng: = /(A ') (3.1.2) M ột toán quan trọng mơ hình động học quần thể nghiên cứu điểm cân hệ, tức nghiệm phương trình: hay f(N )=0 (3.1.4) V iệc tìm nghiệm (3.1.4) phức tạp f(N) có dạng phi tuyến V ì ta phải tìm nghiệm gần phương trình (3.1.4) cách sai phân hóa phương trình (3.1.4) Sau chứng minh nghiệm gẩn hội tụ vể nghiệm (3.1.4) Đề tài QT -07-05 thực từ tháng nãm 2007 nhằm giải vấn đề sau: + Chứng minh tồn nghiệm phương trình sai phân sai phân hóa (3.1.4) + Đưa điều kiện đủ cho hội tụ, tính ổn định ■+- Nghiên cứu tính chất điểm cân CHƯƠNG Nội dung kết đạt Xét phương trình vi phân: (ix ^ = G (x) = s ( x ) / ( x ) (3.2.1) hàm f(x), g(x) thỏa mãn giả thiết sau: H l , f(x), g(x) hàm không âm, liên tục khúc khoảng (0, oo) H 2, g(x) tăng [0, oo], f(x) giảm [0,oo] H 3, Phương trình G(x)=x (3.2.2) có nghiệm X0 , X\ , < X X, X G (x,;,x, + i) (3.2.3) It = 0, trường hợp lại ( X i , r , +1) G{ x) < I , I E 0, ( x n x ỉ+1) (3.2.4) 17 = trường hợp lại £>ạt F = xo, J + = u T j l t , J- = u £ õ !/ f íChi < /,+ n / r = 0, = 0,1, , m — / , + u / r = (Ẽ i.ĩi+ i) V [x0,xm] = J + u u F FCý hiệu 5[xo,Xm ] không gian hàm không âm, tăng, liên tục k h ú c [ãfo, x m] Trên B[ x o , x m] có quan hệ < định nghĩa sau: Cho Ễ B[ x 'o,xmj, ta nói < 'I' í>(x) < GJ + ĩ>(x) > Ý (x ) ,x G J~ (3.2.5) 4>(x) = t y ( x) , x F B ổ đề 1: Xét tập M cho M — {í> e [ x o ,x m] : í < /fi} Khi ta c ó kết sau: Hàm X, X = Xi, i — , , , m 3*0(x) = < X ,ị X, X e /,+, i = ,1 ,2 , n ế u X £ / “ , i = , , 771 - m - (3.2.6) phần tử thuộc M Ví> £ M , ta có $ < B ổ để 2: Giả thiết hàm f, g thỏa mãn giả thiết H l, H2, H3 E £?[x0 , x m], ĨJ : [0, oo] —> [0, oo] hàm tăng Khi ta có: Nếu $ < Ỹ 77(í>) < //(Ỹ ) Nếu $ e M p _1( f ) e M Nếu ĩ>, 7? G Ai //((í>) M Nếu í í ' , !Ị G M , í> < $ $(??) < í ' ( 77) Nếu $ , ty A/, $ < 'í' í>2 < 'ỉ'2 í>2 = $($>), = 'P('I') D egenerate Cocycle w ith I n d e x -1 a n d L ya p u n o v Exponents 233 D e fin itio n 2.3 The implicit difference equation (2 1) is said to be index-1 tractable if S(ui) n ker A(8~1u ) = {0} for a.s u € n (2.7) By virtue of Lemma 2.1 we see that Eq (2.1) is index-1 tractable if and only if the matrices G{u) := A(u) + B {u)T (u)Q (u) are nonsingular with probability one R e m a rk 2.4 (1) In fact, w hat we are doing below is true if the space n can be divided into ớ-invariant subsets fli, i = ,2 , ,g such th at rank A is constant on every ftj and (2.7) is satisfied for P-almost sure U) (2) In general, since A{u) is degenerate, the dimension of the space of solutions varies in n If the dimension of the space of solutions at step n + is greater than one a t the step n, it may cause bifurcations or multi-valued functions Up to now, there has been no systematic analysis of such systems As we can see below, S(w) is in fact the space of solutions Therefore, with the index- tractable assumption (condition (2.7)), dim5(uj) is constant T hat implies the regularity of inherent ordinary difference equation For the sake of simplicity we put Q„( uj) = Q(8nLj), p„ = I - Qn , G „ M = G(0"w), Tn(u) = T(0nu) /1 „ M = A(6nu), B n(w) = B(0nu), Throughout this paper, if there is no confusion, we will omit ÍJ in formulas Assume th a t Eq (2.1) is an index-1 tractable By multiplying both sides of (2.1) by PnG ~ l and QnG ~ respectively and applying (2.3)-(2.6) for A = A n, A = A n - and B = B n we come to the following equation: l P n X n +l = P n G - i B nPn- x X n , Ị o = Q nG - l B „ P n- l X n + T ~ l Q „ - i X n Putting Yr, = Pn- \ X n\ z n = Q n -iX „ , (2 1) is equivalent to 'Yn + l = P nG - 1B nYn , ■Z n = - T nQnG ~l B nYn , X n = Yn + Z n, (2.8) n = ,1 ,2 , From (2.8) it follows th a t the solution with initial condition Xo = X exists if Q oGq 1Box = with probability By (2.4) we see th at the random space Jf(u ) = {i € Rm : (QoGg B 0)(uj)ị = 0} does not depend on the choiceof the projector Q transform ation T Moreover, by Lemma 2.2 Q n- i : = T „ Q „ G - l B n, (2.9) and the 234 N H D u, T K D u y & V T V iet is the projector onto ker i4n_ i along matrices = ( ( E R " : B n í Ễ im 4„} Hence, the G„ = A n + B nT„Qn are also nonsingular with probability one L em m a 2.5 Qn-i(ui), called canonical projector, and the matrix (P„G~l Bn)(uj) are independent from the choice ofQ(uj) and T (u ), where p„ = I - Qn P ro o f Since Qn - is the projector onto kerA „ -i along the space s„, it is inde­ pendent from the choice of Q and T Let T ' be another linear transformation from Rm onto Rm satisfying T' |ker/»o to be an isomorphism from ker A onto ker>4_! and Q' be another measurable projector onto ker A Denote T'n{u) = T '(8n(u)), Q'n(uj) = Q'(0n{u)) and G'n(cj) = A n (uj) + B„(u>)T^{u)Q'n(u) It is easy to see that PnG - 1B n = PnG ~ l nG ' ~ l B n = PnG - \ A n + B nT^Q'n) G '~ l Dn = Pn Pn G ' - ' B n + PnG ~ l B nT'nQ'nG ‘~l B„ = PnG ' ~ l B n + P n G ^ B n Q n - i = PnG ' - l B n + PnPnG ~ l B nQn see= '5) PnG ' - l Bn The lemma is proved □ Using the canonical projectors we have Qn- i ( u ) x „ ( u ) = which implies x n (u) = Pn- i (u i) X n (ui) for a.s UI € n Therefore, the forward equation of (2.1) for n > with the initial condition x = X J i is reduced to a classical difference equation j X n+1 = PnGn l B uPn- i X ni \ x = x, 71 = ,1 ,2 , , (2 10) which follows th at x n (u>) = ^ n P iG - 'B iP i- 1j n e N, M * , Xo( u>) = X (2 1 ) Summing up we see th a t the initial value problem of (2.1) for n > has a unique solution given by (2.11) provided X £ Jf R e m a rk 2.6 Since ( P n G ^ B n ) M = (P „ G -[Dn)(u), Eq (2.10) is rewritten under the form j X„+1 = PnG ~ l B nPn- i X „ , \ a' o = P - ix , (x e R"'), 71 = D egenerate Cocycle w ith I n d e x -1 and L ya p u n o v Exponents 235 2.3 S o lu tio n s (2 ) f o r n < For n < 0, Eq (2.1) turns into the implicit difference equation BfiXfi = A nX n+\, Xo = x-, n = - 1, - , (212) AVe assume th a t rank = r for P-d.s w n where r (0 < r < m) is a nonrandom constant Let T be a random variable with values in Gl(Rm) such that T(u)\kerB(u) is an isomorphism between ker B(ui) and k erB{6u) Let Q(u) be a measurable projector onto kerB(ai) Put G(w) := B(u>) + A(ujT(u)Q(u>) Assume th a t G is nonsingular with probability This assumption implies that Eq (2.12) is index-1 tractable Let Q n W = Q(0n“ ); ỡ nM = ỡ ( ổ V ) ; P „ = /-Q „ ; T n (u) = T(9nu) (2.13) For any n < 0, denote Yn = p „ x n\ z n = QnX„, Eq (2.12) leads to Yn — PnGn A nYn+u • z n+1 = - T nQnG ~ l A nYn+u X n = Yn + Zn, n = — 1, —2 , We find the canonical projector Denote Qn := T n- \ Qn_x C n\ ] /4„-i which is the projector onto k erB n along the space S n - = {£ : v4„-i£ € Let Gn (w) = B n (uj) + A „ (u )T nQ n By using a similar argument as above we obtain L em m a 2.7 The canonical projector Qn and the matrix PnG ~ l A„ are indepen­ dent o f the choice o f Q and T , where p n = / —Qn W ith the canonical projector Qn we have Qnx n = for any n < Therefore, x n = n P G - U i w , (2 ) X o = X E J7b, where J b = {£ e Rm : Qof = 0} Similarly as in Sec 2.2 we see that the initial value problem for n < has a unique solution given by (2.14) provided that X e JbR e m a rk 2.8 (1) Let us give some comments on the expressions of solutions (2.11) and (2.14) To obtain (2.11) for n > we assume the initial condition x = X e J f (equivalently Xo = P -\X , X Ễ R m) to be satisfied and obtain (2.14) for n < the equality x = Pox is required Thus, there exists uniquely the solution of (2.1) for n z with the initial condition Xo = X if and only if X e J i n J b (2) Unlike random ordinary difference equations, in general, the existence of solution of random implicit diffcTpncc equations implies th at the initial condition must bo ĨS measurable selection of the corresponding u —* J f( u ) n 236 N H D u, T K D uy & V T V iet D yn am ic P ro p erty Since Qo is the projector onto kerflo, Q - Q0 = ToQoGo'BoQo = Similarly, QoQ -1 = Hence, the projectors P - and p0 commute, i.e P -iP o = PoP -1 (3.1) with probability one Put i—n —1 * ( n ,w ) = i=n —1 (P -,P o )M r i i=n if n > , i f n = 0, (P G -'A iP ^ K u ) = n t=n (P,G~l A,)((jj) (3.2) if n < We are now in a position to give a fundamental expression in random dynamic theory, called cocycle property (cf L Arnold [1]): T h eorem 3.1 For any m , n z the following relation holds: $ (n + m,w) = $(n, timu) ■ (3.3) P ro o f If m, n < or m, n > the relation (3.3) follows from properties of random m atrix products We consider the case m = Since Qo is a projector onto ker D0, (l,cư) Hence $(n,(j)(0,u) = The case 7Ì < is similar because Q - is the projector onto ker /1- On the other hand, ylo$(l,a>) = w) Therefore, by multiplying both sides of this relation with ToQoGg' we obtain T 0Q 0Gõl A 0ỉ ( l , u ) = T uộ oỔ õ 1Bo$(0,w) = T oQ oPo$ (0 , uj) = Noting th at Qi = T oQ oG q ' A o we have Q i$ (l,w ) = 0, which loads to i>(O,0w)$(1 w) = $ ( l , u ) This means th at (3.3) is true for n = 0, m = Hence $ ( , mu)(m,u;) = $ ( , ổ ( m “ 1u;))'ĩ>(l,ớm “ 1w)ĩ>(m - l , u ) = $ ( m , w ) for n = and m > The case n = ,m < is similar For n = - , m = we have = P o Ổ õ M o $ (l,w ) = P0Gõ ' B 0$((), uj) = PoPo(n,u) = 'í>(0 , ui) D egenerate Cocycle w ith In d e x -1 a n d L ya p u n o v Exponents 237 Suppose th a t n < < m $ (n ,ffmu)ỉ(m ,u> ) = $ ( n + l,ỡ m~1u/)(-l,emu ) Í>(1,ớm“ 1) = $ ( n , - nO"uj)(n,oj)V,(w) c irn (u)Vi(0nui) for P-alm ost u e Ũ Further, d im i( n , w)V , (4.7) A(x,u>) = Aj X Vi(u/)\Vi_i(u>), a.s UI For n < 0, from (4.7) we have Therefore, 4»(TV,cư)7r0(cư)(Vi (c^)\Vi_i(t^)) = $(n ,w )$ (-n ,ở"w )7 rn (w)(V,(ớnw)\Vi_ 1(ớ"o;)) = 7rn ^ )(V ,(ỡ naJ)\V ,_i(ỡna;)) Thus, (4.7) is true for n z Similarly, Ỉ t n y m v ự i + I I H = 7Tn (V,(ỡ"w)\V 1+1(ớ"u,)) V n e z , A(x,u>) = (4.8) X v \(u ;)\v j+i(u>) In the case where 7To is symmetric, by (3.3) and the relations $ ( —71, ỡ"u>)$(n,u)4>(-n, ỡnu ) = $ ( - n , 9nu>)irn = (-n, 6"u), $ ( n , u t ) $ ( - n , 0nLư)ỉ(n,ui) = $(n,ui) 7T0 = $(n,íư), it follows th at 4>(-n,ỡ"w) = (ĩ>(n,o;))+ Therefore, by virtue of Lemma 4.2 we have $ ( —n, 0r' u ) $ T ( - n , 8"u) = ( $ T (n,u>)$(n,u;)) + Hence, by Lemma 4.1 we can use the same argument as in [1] to obtain T = T, Aj = -A j , d , = d , , i = 1,2, ,.,T (4.9) In fact, this property is valid without the symmetry of 7T0 Since 7r0 is a pro­ jector, we can find a random variable V( uj)with values in GI(Rm) such th at V(u)ir0V ~ l (uj) = diag (/, 0) P ut ){n,u))V-i (u), n e z , u e Q It is easy to see th a t (n,u;) = $(ri -771,0mu ) $ ( m , u ) , it follows th a t ran k $ (n ,< j) < n k $(7(1,u) for all m ,n E z Therefore rank$(n,u;) = ran k $ (0 ,cj) for all n e z On the other hand, $ (0 ,u ) = $ (1 ,ớ_1u )í> (-l,a ;) which implies th a t rank(0,cj) < rank(l,ớ_ 1a>) = ran k $ (0 ,ớ - 1a;) Similarly, rank(0, ui) is an invariant function By ergodicity of it follows that rank i>(0, ui) is constant R e m a rk 4.4 It is easy to see th a t dim J f = dim S n = rank A„ for all 71 > and dim Jb = dim S n = n k iỉn for all n < However, there is no relation between rank $ ( , 0)) and rank An, rank/?,, We denote by Afc the measurable function successively defined by A](u;) + -hAfc(u) = lim In II A* $(n, ■■• > A • • ■ > Ad (Afc = coast in the ergodic case) and_d, is the frequence of appearance of Ai in this sequence Similarly, < • • • < Ai are the different numbers in the sequence > A2 > • • • > AJ , where A r(u ) = lim -ỉ- ln ố)t($("n,w )), * n—oo n k = \, ,d We have lim i In ||$(n,w )|| = Ai(u;) P-a.s n —» o o n Therefore due to P-preserving property of the transformation we get - In ||V(ớ"a;)|| + n ị n In ||* ( n , w)|| + - n In IIK"1M i l — * A i M —— In \\V~l (8T'uj)\\ + - l n ||$ ( n ,w ) || - - l n | | V » | | — A M 71 n n in probability, in probability 242 N H Du, T K D uy & V T Viet Hence, by using the inequalities + l n ||$ ( n ,w ) || - In ||K (w )|| W)|| < In \ \ v ( e n u)\\ + In ||* ( n , w )|| + In IIV " 1M i l it follows th at — in probability as 1Ĩ —» + 0 (4.11) In ||í ( n ,ù j ) || —* Ai(w) Similarly, we can also prove th at for k = , , d — In II A* ^ ( n w J I I —►A i ( w ) + - f A t (ui) in p ro bability as 71 —* +00 (4.12) Hence, in probability as n —> + 00, i = ,a —ln ố i ( í ( n 1o')) — * Aj(u;) n This relation implies th at —In Si( Í (n, 9~nu)) — * Ai(ui) in probability as n —* + 00 , i = , , d n By the same argument as above we obtain (4.13) —ln ii( '(—n , u ) ) — * A“ (u>) n FYom (4.10) we get (4.14) in probability as n —* + 00 , j = 1, , d i( ty { -n tu})) = l / S dJrx -t{(n,6~nuj)) Using (4.13) and (4.14) we obtain A~ = -Arf+ 1-i In particular Aj = —Aj, di — dị, T — T We now show th at P { u : V , H n V i_i(u) = VoM } = for any i = 1, , , r Suppose on the contrary, Ki : = { w : V , n ( V , - i H \ V o) # } then Pị/Cì} = > (4.15) By definition of Vj-1 and v x we see th at for n > the sets /c (n ) := {w : ||$ (n ,ij)x || < exp((Ai_i + S)n) ||x||, V I Ễ Vj-i}, (4.16) /c3{n) := {u : ||$ (-n ,w )y || < exp((-A , + 6)n) ||y||, V y e V,}, have the following properties P { I C ĩ( n )} > - -v if s = —1|A, - A,_ 11 for n > N(,3) P{^3(n)} > - (4.17) D egenera te Cocycle w ith I n d e x -1 and L ya p u n o v Exponents 243 On the other hand, is P-preserving transformation then P { ”/C3(n)} = P { u : ||$ ( —n,)j/|| < exp((-Aj + ^ M Đ Ố C