Dạy thêm hình 10

Chương I: VEC TƠ I.CÁC ĐỊNH NGHĨA A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Vec tơ là đoạn thẳng có hướng. 2. Để xác định một vec tơ cần biết một trong hai điều kiện * Điểm đầu và điểm cuối của vec tơ. * Độ dài và hướng. 3. Hai vec tơ →→ bvàa được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vec tơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng. 4. Độ dài của một vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó. 5. →→→→→→ =⇔= bavàbaba ,|||| cùng hướng 6. Với mỗi điểm A ta gọi AA là vec tơ – không. Vec tơ – không được kí hiệu : → 0 và quy ước rằng | 0|0 = → , vec tơ – không cùng phương và cùng hướng với mọi vec tơ. B. BÀI TẬP. 1/ Hãy tính số các vec tơ ( )0 → ≠ mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho trong các trường hợp sau : a) Hai điểm. b) Ba điểm. c) Bốn điểm. 2/ Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vec tơ bằng nhau nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối. 3/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh MNPQvàMQNP == . 4/ Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và AC. So sánh độ dài của hai vec tơ BCvàNM . Vì sao có thể nói hai vec tơ này cùng phương? 5/ Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu BCADthìDCAB == 6/ Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A, B, C trong các trường hợp sau: a) ACvàAB cùng hướng, |||| ACAB > b) ACvàAB ngược hướng. c) ACvàAB cùng phương 7/ Cho hình bình hành ABCD. Dựng BCPQDCNPDAMNBAAM ==== ,,, . Chứng minh → = 0AQ 8/ Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. a) Có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ – không có điểm đầu và điểm cuối là một trong các điểm A, B, C, D, O, M, N. b) Chỉ ra hai vec tơ có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm A, B, C, D, O, M, N mà - Cùng phương với AB - Cùng hướng với AB - Ngược hướng với AB c) Chỉ ra các vec tơ bằng vec tơ ., OBMO II. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VEC TƠ A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Định nghĩa tổng của hai vec tơ và quy tắc tìm tổng. * Cho hai vec tơ tùy ý →→ bvàa . Lấy điểm A tùy ý , dựng →→ == bBCaAB , . Khi đó: ACba =+ →→ . * Với ba điểm M, N, P tùy ý ta luôn có: MPNPMN =+ ( quy tắc ba điểm) * Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có: ACADAB =+ ( quy tắc hình bình hành ) 2. Định nghĩa vec tơ đối. * Vec tơ → b là vec tơ đối của vec tơ → a nếu | →→→→ = bavàab ,||| là hai vec tơ ngược hướng. Kí hiệu: →→ −= ab * Nếu → a là vec tơ đối của vec tơ → b thì → b là vec tơ đối của vec tơ →→→ =−− aahaya )( * Mỗi vec tơ đều có vec tơ đối. Vec tơ đối của BAlàAB . Vec tơ đối của vec tơ →→ 00 là . 3. Định nghĩa hiệu của hai vec tơ và quy tắc tìm hiệu. * )( →→→→ −+=− baba * Ta có: ABOAOB =− với ba điểm O, A, B bất kì (quy tắc trừ). 4. Tính chất của phép cộng các vec tơ. Với ba vec tơ bất kì ta có: * →→→→ +=+ abba (tính chất giao hoán) * )()( →→→→→→ ++=++ cbacba (tính chất kết hợp) * →→→→→ =+=+ aaa 00 ( tính chất của vec tơ – không) * →→→→→ =+−=−+ 0)( aaaa B BÀI TẬP. 1/ Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tính tổng của hai vec tơ NCvàADCDvàAMMCvàNC ;; b) Chứng minh ADABANAM +=+ 2/ Cho tam gác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a) Tìm hiệu CBPBPNMNNCMNANAM −−−− ,,, . b) Phân tích AM theo hai vec tơ .MPvàMN 3/ Cho hình thoi ABCD có góc BAD = 60 0 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tính | ||,|||, DCOBBCBAADAB −−+ 4/ Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo . Hãy tính | |||,||, DACDDCABCBOA −+− . 5/ Cho sáu điểm A, B, C, D, E và F. Chứng minh rằng: CDBFAECFBEAD ++=++ 6/ Cho năm điểm A, B, C, D và E. Chứng minh rằng: ABCBCEDCDEAC =+−−+ . 7/ Cho tam giác ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: OPONOMOCOBOA ++=++ . 8/ Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng: a) Tứ giác BDCH là hình bình hành. b) .AHOCOB =+ Từ đó chứng minh OHOCOBOA =++ . c) HOHCHBHA 2 =++ III. TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ. A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Định nghĩa tích của một vec tơ với một số. Cho số thực k 0 ≠ và →→ ≠ 0a . Tích của → a với số thực k là một vec tơ, kí hiệu: → ak . - Cùng hướng với → a nếu k > 0. - Ngược hướng với → a nếu k < 0 - Có đô dài bằng |k|.| | → a 2. Các tính chất của phép nhân vec tơ với một số: Với hai vec tơ →→ ba, tùy ý và với mọi số k, h R ∈ . * →→→→ +=+ bkakbak )( * →→→ +=+ akahakh ).( * →→ = ahkakh )()( * →→→→→→→→ ==−=−= 00.;0.0;)1(;.1 kaaaaa 3. Hai vec tơ →→ ba, với →→ ≠ 0b cùng phương khi và chỉ khi có số k để →→ = bka , số k tìm được là duy nhất. 4. Áp dụng: *     = = ⇔= →→ →→ 0 0 0 a k ak * Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng ACkAB =⇔ , với k xác định. * M là trung điểm đoạn thẳng AB        = =+ =+ ⇔ → MBAM OMOBOA MBMA 2 0 ( với O bất kì ) * G là trọng tâm của tam giác ABC OGOCOBOAGCGBGA 30 =++⇔=++⇔ → (với O bất kì) 5. Cho hai vec tơ →→ bvàa không cùng phương và → x là một vec tơ tùy ý. Bao giờ cũng tìm được cặp số thực m, n duy nhất sao cho →→→ += bnamx . B.BÀI TẬP 1/ Cho tam giác ABC có trọng tam G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt AFvAEu == →→ , . Hãy phân tích các vec tơ DCDEAGAI ,,, theo hai vec tơ ., →→ vu 2/ Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích AM theo hai vec tơ ACvABu == →→ , . 3/ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho AK = 1/3AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. 4/ Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác đinh bởi các hệ thức: →→ =−−=+ 03,0 ACNAABMABC . Chứng minh MN // AC. 5/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng: BDACMN += 2 6/ Cho hình bình ha2nhABCD. Chứng minh rằng: ACADACAB 32 =++ 7/ Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ thì .''''3 CCBBAAGG ++= 8/ Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho → =+++ 0GDGCGBGA IV. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Trục tọa độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và vec tơ đơn vị → e . Kí hiệu: (O; ) → e hoặc Ox, 2. Cho M là một điểm tùy ý trên trục Ox. Khi đó có duy nhất một số m sao cho → = emOM . . Ta gọi số m là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đã cho. 3. Cho hai điểm A và B trên trục Ox. Khi đó có duy nhất số k sao cho → = ekAB . Ta gọi số k đó là độ dài đại số của AB đối với hệ trục đã cho, kí hiệu: k = AB 4. Nếu A và B trên trục Ox có tọa độ lần lượt là a và b thì .abAB −= 5. Hệ thức Sa- lơ: Hệ thức ACBCABACBCAB =+⇔=+ 6. Tọa độ của một vec tơ, của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy. * →→→→ +=⇔= jaiaaaaa 2121 );( * M có tọa độ (x ; y) );( yxOM =⇔ với O là gốc tọa độ. * Nếu A có tọa độ là (x A ; y A ), B có tọa độ ( x S ; y B ) thì: );( ABAB yyxxAB −−= . 7. Cho Rkbbbaaa ∈== →→ ),;(),;( 2121 ta có: * );( 2211 bababa ++=+ →→ * );( 2211 bababa −−=− →→ * );( 21 kakaak = → * )0( →→→→ ≠ abvàa cùng phương 2 2 1 1 22 11 : a b a b kab kab akbk =⇔    = = ⇔=∃⇔ →→ 8. * Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì: 2 ; 2 BA I BA I yy y xx x + = + = * Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì : 3 ; 3 CBA G CBA G yyy y xxx x ++ = ++ = B. BÀI TẬP. 1/ Trên trục (O ; ) → e cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ là -4 , 3, 5, -2 . a) Bểu diễn các điểm đã cho trên trục. b) Tính độ dài đại số của các vec tơ .,, MNAMAB 2/ Cho hình vuông ABCD có cạnh a = 5. Chọn hệ trục tọa độ (A ; ); →→ ji trong đó ADvài → cùng hướng, ABvàj → cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo, trung điểm N của BC và trung điểm M của CD. 3/ Cho tam giác ABC. Các điểm M(1 ; 0), N(2 ; 2), P(-1 ; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 4/ Cho hình bình hành ABCD có A(-1 ; 3), B(2 ; 4), C(0 ; 1). Tìm tọa độ đỉnh D. 5/ Cho )4;7(),2;3( =−= →→ vu . Tính tọa độ của các vec tơ )43(,43,2,, →→→→→→→→→ −−−−+ vuvuuvuvu 6/ Cho A(3 ; 4), B(2 ; 5). Tìm x để điểm C(-7 ; x) thuộc đường thẳng AB. 7/ Cho bồn điểm A(0 ; 1), B(1 ; 3), C(2 ; 7), D(0 ; 3). Chứng minh hai đường thẳng AB// CD. 8/ Cho tam giác ABC có A(1 ; -1), B(5 ; -3), đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ của C. 9/ Cho A(-2 ; 1), B(4 ; 5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tìm tọa độ điểm C sao cho tứ giác OACB là hình bình hành (O là gốc tọa độ). 10/ Cho tam giác ABC, trong đó A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3). a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. b) Xác định tọa độ điểm E là điểm đối xứng của điểm A qua điểm B. c) Tìm tọa độ trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chương II. TICH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0 0 ĐỀN 180 0 . A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Định nghĩa: Với mỗi góc )1800( 00 ≤≤ αα ta xác định được một điểm M trên nữa đường tròn đơn vị sao cho góc xOM = α . Giả sử M(x 0 ; y 0 ). Khi đó: * Tung độ y 0 của M gọi là sin của góc α . Kí hiệu : sin 0 y = α . * Hoành độ x 0 của M gọi là cosin của góc α . Kí hiệu : cos . 0 x = α * Tỉ số 0 0 x y với x 0 0 ≠ gọi là tang của góc α . Kí hiệu : 0 0 tan x y = α . * Tỉ số 0 0 y x với 0 0 ≠ y gọi là cotang của góc . α Kí hiệu : 0 0 cot y x = α . 2. Các hệ thức lượng giác. a) Gí trị lượng giác của hai góc bù nhau. )180cot(cot )180tan(tan )180cos(cos )180sin(sin 0 0 0 0 αα αα αα αα −−= −−= −−= −= c) Các hệ thức lượng giác cơ bản. Từ định nghĩa giá trị lượng giác của góc α ta suy ra các hệ thức :  1cossin 22 =+ αα  )180;0(cot sin cos ;)90(tan cos sin 00 ≠≠=≠= ααα α α αα α α  α α α α cot 1 tan; tan 1 cot ==  α α α α 2 2 2 2 sin 1 cot1; cos 1 tan1 =+=+ 3. Góc giữa hai vec tơ. Cho hai vec tơ →→ ba, đều khác → 0 . Từ một điểm O bất kì ta vẽ →→ == bOBvàaOA . Khi đó góc AOB với số đo từ 0 0 đến 180 0 được gọi là góc giữa hai vec tơ . →→ bvàa Kí hiệu :       →→ ba , 4. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. α Gtlg 0 0 30 0 45 0 60 0 90 0 180 0 α sin 0 2 1 2 2 2 3 1 0 α cos 1 2 3 2 2 2 1 0 -1 α tan 0 3 1 1 3 || 0 cot α || 3 1 3 1 0 || B. BÀI TẬP. 1/ Với giá trị nào của góc α ( )1800 00 ≤≤ α . a) αα cossin và cùng dấu. b) αα cossin và khác dấu. c) αα tansin và cùng dấu d) αα tansin và khác dấu. 2/ Tính giá trị lượng giác của các góc: a) 120 0 ; b) 150 0 ; c) 135 0 . 3/ Rút gọn biểu thức: a) A = 02202022 30cos 3 4 180cos260cos4 baba ++ b) B = (asin90 0 + btạn45 0 )(acos0 0 + bcos180 0 ) 4/ Cho 4 1 sin = α với 90 0 < 0 180 < α . Tính cos .tan αα và 5/ Cho 4 2 cos −= α . Tính αα tansin và 6/ Cho αααα cossin).900(,22tan 00 vàTính <<= . 7/ Biết 2tan = α . Tính giá trị của biểu thức A = αα αα cossin cossin3 + − . 8/ Biết . 3 2 sin = α Tính giá trị của biểu thức . B = αα αα tancot tancot + − . 9/ Chứng minh rằng với 00 1800 ≤≤ x ta có: a) (sinx + cosx) 2 = 1 + 2sinxcosx. b) (sinx – cosx) 2 = 1 – 2sinxcosx. c) Sin 4 x + cos 4 x = 1 – 2sin 2 xcos 2 x. 10/ Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x. a) A = (sinx + cosx) 2 + (sinx – cosx) 2 . b) B = sin 4 x – cos 4 x – 2sin 2 x + 1 II. TICH VÔ HƯỜNG CỦA HAI VEC TƠ. A.CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Định nghĩa. Cho hai vec tơ →→→ ≠ 0bvàa . Tích vô hướng của hai vec tơ →→ bvàa là một số , kí hiệu: →→ ba. được xác định bởi công thức sau:       = →→→→→→ bababa ,cos||||. Lưu ý: * Với →→→ ≠ 0, ba , ta có : →→→→ ⊥⇔= baba 0. * 20 2 ||0cos|||| →→→→ == aaaa 2. Các tính chất của tích vô hướng. Với ba vec tơ →→→ cba ,, bất kì và mọi số k ta có : →→→→ = abba (tính chất giao hoán) →→→→→→→ +=+ cabacba ).( (tính chất phân phối) )().().( →→→→→→ == bkabakbak 0 2 ≥ → a →→→ =⇔= 00 2 aa 22 2 .2)( →→→→→→ ++=+ bbaaba 22 2 .2)( →→→→→→ +−=− bbaaba 22 ))(( →→→→→→ −=−+ bababa 3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng. Trong mặt phẳng tọa độ (O ; ), →→ ji cho hai vec tơ );(),;( 2121 bbbaaa == →→ . Khi đó tích vô hướng 2211 . bababa += →→ 4. Ứng dụng của tích vô hướng. a) Tính độ dài của vec tơ . Cho );( 21 aaa = → , khi đó : 2 2 2 1 || aaa += → . b) Tính góc của hai vec tơ. Cho );(),;( 2121 bbbaaa == →→ , khi đó : 2 2 2 1 2 2 2 1 2211 . |||| . ),cos( bbaa baba ba ba ba ++ + == →→ →→ →→ B.BÀI TÂP. 1/ Tam giác ABC vuông tại C có AC = 9, CB = 5. Tính ACAB. . 2/ Tam giác ABC có góc A = 90 0 , góc B = 60 0 và AB = a. Tính : a) ACAB. b) CBCA. c) CBAC. 3/ Tam giác ABC vuông cân tại A có AB = AC = a. Tính a) ACAB. b) BCBA. c) BCAB. 4/ Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, BC = 7 cm, CA = 8 cm. a) Tính ACAB. rồi suy ra giá trị của góc A. b) Tính CBCA. 5/ Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với điểm M tùy ý ta có: 0 . =++ ABMCCAMBBCMA 6/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, AD = a 2 . Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh rằng ACBK ⊥ . 7/ Trong mặt phẳng Oxy cho A(4 ; 6), B(1 ; 4), C(7 ; 3/2). a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A. b) Tính chu vi của tam giác ABC. 8/ Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(2 ; 4), B(1 ; 1). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B. 9/ Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2 ; 4), B(-3 ; 1), C(3 ; -1). Tính: a) Tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành. b) Tọa độ chân A’ của đường cao vẽ từ đỉnh A. 10/ Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-1 ; 1), B(0 ; 2), C(3 ; 1), D(0 ; -2). Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân. III. CÁC HỆ THỨC LƯƠNG TRONG TAM GIAC VÀ GIẢI TAM GIÁC. A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b, đường cao AH = h a và các đường trung tuyến AM = m a , BN = m b , CP = m c . 1. Định lí cosin. a 2 = b 2 + c 2 – 2bccosA b 2 = a 2 + c 2 – 2accosB c 2 = a 2 + b 2 – 2abcosC • Hệ quả: ab cba C ac bca B bc acb A 2 cos 2 cos 2 cos 222 222 222 −+ = −+ = −+ = 2. Định lí sin. RR C c B b A a (2 sinsinsin === : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) 3. Độ dài đường trung tuyến của tam giác. 42 42 42 222 2 222 2 222 2 cba m bca m acb m c b a − + = − + = − + = 4. Các công thức tính diện tích tam giác. Diện tích S của tam giác được tính theo các công thức: * AbcBacCabS sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 === * R abc S 4 = ( R : bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) * prS = với )( 2 1 cbap ++= và r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. * ))()(( cpbpappS −−−= với )( 2 1 cbap ++= (công thức Hê- rông) B. BÀI TẬP. 1/ Cho tam giác ABC có b = 7cm, c = 5cm và cosA = 3/5. a) Tính a, sinA và diện tích S của tam giác ABC. b) Tính đường cao h a xuất phát từ đỉnh A và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2/ Cho tam giác ABC biết A = 60 0 , b = 8cm, c = 5cm. Tính đường cao h a và bán kính R. 3/ Cho tam giác ABC có AB = 5cm, BC = 7cm, CA = 8cm. Tính: a) ACAB. b) góc A 4/ Cho tam giác ABC biết a = 21cm, b = 17cm, c = 10cm. a) Tính diện tích S và h a . b) Tính bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác ABC. c) Tính độ dài đường trung tuyến m a phát xuất từ đỉnh A của tam giác ABC. 5/ Cho tam giác ABC biết a = cmccmbcm )31(,2,6 +== . Tính góc A, B chiều cao h a và R. 6/ Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi a = BC, b = AC, c = AB. Chứng minh rằng: GA 2 + GB 2 + GC 2 = )( 3 1 222 cba ++ . 7/ Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: a = bcosC + ccosB 8/ Tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và đường trung tuyến AM = c = AB. Chứng minh rằng: a) a 2 = 2(b 2 – c 2 ) b) sin 2 A = 2(sin 2 B – sin 2 C) 9/ Tam giác ABC vuông tại A có các cạnh góc vuông là b và c. Lấy một điểm M trên cạnh BC và cho góc BAM = α . Chứng minh rằng: AM = αα sincos cb bc + . 10/ Giải tam giác biết: a) b = 14, c = 10, A = 145 0 b) a = 4, b = 5, c = 7. Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. Phương rình tham số. * Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ), có vec tơ chỉ phương );( 21 uuu = → là )0( 2 2 2 1 20 10 ≠+    += += uu tuyy tuxx * Phương trình đường thẳng ∆ đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) và có hệ số góc k là: y – y 0 = k(x – x 0 ). * Nếu ∆ có VTCP );( 21 uuu = → với 0 1 ≠ u thì hệ số góc của 1 2 u u klà =∆ . * Nếu ∆ có hệ số góc là k thì nó có một VTCP là );1( ku = → . 2. Phương trình tổng quát. * Phương trình của đường thẳng ∆ đi qua điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) và có vec tơ pháp tuyến );( ban = → là: a(x – x 0 ) + b(y – y 0 ) = 0 ( a 2 + b 2 )0 ≠ * Phương trình ax + by + c = 0 với a 2 + b 2 0 ≠ là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận );( ban = → làm VTPT. * Đường thẳng ∆ cắt Ox và Oy lần lượt tại A(a ; 0) và B(0 ; b) có phương trình theo đoạn chắn là : )0,(1 ≠=+ ba b y a x 3. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.n Cho hai đường thẳng 0: 0: 2222 1111 =++∆ =++∆ cybxa cybxa Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 21 ∆∆ và ta xét số nghiệm của hệ phương trình    =++ =++ 0 0 222 111 cybxa cybxa (I) • Hệ (I) có một nghiệm: 1 ∆ cắt 2 ∆ • Hệ (I) vô nghiệm : 21 // ∆∆ • Hệ (I) có vô số nghiệm: 21 ∆≡∆  Chú ý: Nếu a 2 b 2 c 2 0 ≠ thì : 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 21 // c c b b a a c c b b a a b b a a ==⇔∆≡∆ ≠=⇔∆∆ ≠⇔∆∩∆ 4. Góc giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng 21 ∆∆ và có VTPT →→ 21 nvàn được tính theo công thức: 2 2 2 1 2 2 2 1 2121 21 21 2121 . || |||| |.| ),cos(),cos( bbaa bbaa nn nn nn ++ + ===∆∆ →→ →→ →→ 5. Khoảnh cách từ một điểm đến một đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 cho bởi công thức: d(M 0 , ∆ ) = 22 00 || ba cbyax + ++ B. BÀI TẬP. 1/ Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng (d) trong mỗi trường hơp sau: a) (d) đi qua điểm M(1 ; 1) và có VTPT )2;3( −= → n b) (d) đi qua điểm A(2 ; -1) và có hệ số góc k = - 1/2 c) (d) đi qua hai điểm A(2 ; 0) và B(0 ; -3). d) (d) đi qua điểm A(1 ; -2) và song song với đường thẳng 2x – 3y – 3 = 0. e) (d) đi qua điểm A(2 ; 1) và vuông góc với đường thẳng x – y + 5 = 0. 2/ Cho đường thẳng    += += ∆ ty tx 3 22 : a) Tìm điểm M nằm trên ∆ và cách điểm A(0 ; 1) một khoảng bằng 5. b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ với đường thẳng x + y + 1 = 0. c) Tìm điểm M trên ∆ sao cho AM ngắn nhất. 3/ Cho điểm M(1 ; 2). Hãy lập phương trình của đường thẳng qua M và chắn trên hai trục tọa độ hai đoạn có độ dài bằng nhau. 4/ Cho hai đường thẳng (d 1 ): x + 2y + 4 = 0, (d 2 ): 2x – y + 6 = 0. a) Tính góc giữa hai đường thẳng. b) Lập phương trình các đường phân giác của các góc giữa hai đường thẳng . 5/ Lập phương trình ba đường trung trực của tam giác có trung điểm các cạnh lần lượt là M(-1 ; 0), N(4 ; 1), P(2 ; 4). 6/ Cho tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng AB: x – 3y + 11 = 0, đường cao AH: 3x + 7y – 15 = 0, đường cao BH: 3x – 5y + 13 = 0. Tìm phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại của tam giác. 7/ Cho tam giác ABC có A(-2 ; 3) và hai đường trung tuyến : 2x – y + 1 = 0 và x + y – 4 = 0. Hãy viết phương trình ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác. 8/ Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(2 ; 5) và cách đều hai điểm A(-1 ; 2) và B(5 ; 4). 9/ Hai cạnh của hình bình hành có phương trình x – 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. Một đỉnh của hình bình hành là A(4 ; -1). Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình bình hành đó. 10/ Cho đường thẳng ∆ : x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0 ; 0), A(2 ; 0) a) Chứng tỏ rằng hai điểm O và A nằm cùng một phía đối với đường thẳng ∆ . b) Tìm tọa độ điểm O’ là điểm đối xứng của O qua ∆ . c) Tìm trên ∆ điểm B sao cho độ dài đường gấp khúc OBA ngắn nhất. II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1. phương trình đường tròn. * Phương trình đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R là : (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 . * Nếu a 2 + b 2 – c > 0 thì phương trình x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn tâm I(a ; b), bán kính R = cba −+ 22 * Nếu a 2 + b 2 – c = 0 thì chỉ có một điểm I(a ; b) thỏa mãn phương trình: x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 * Nếu a 2 + b 2 – c < 0 thì không có điểm M(x ; y) nào thỏa mãn phương trình: x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn. Tiếp tuyến tại điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) của đường tròn tâm I(a ; b) có phương trình (x 0 – a)(x – x 0 ) + (y 0 – b)(y – y 0 ) = 0 B. BÀI TẬP. 1/ Trong các phương trình sau, phương trình nào biểu diễn đường tròn? Tìm tâm và bán kính nếu có. a) x 2 + y 2 - 6x + 8y + 100 = 0 b) x 2 + y 2 + 4x – 6y – 12 = 0 c) 2x 2 + 2y 2 – 4x + 8y – 2 = 0 2/ Trong mặt phẳng Oxy,lập phương trinh của đường tròn (C) có tâm I(2 ; 3) và thỏa mãn điều kiện sau : a) (C) có bán kính là 5 b) (C) đi qua gốc tọa độ c) (C) tiếp xúc với trục Ox. d) (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 4x + 3y – 12 = 0 3/ Cho ba điểm A(1 ; 4), B(-7 ; 4), C(2 ; -5). a) Lập phương trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC. b) Tìm tâm và bán kính của (C). 4/ Cho đường tròn (C) đi qua hai điểm A(-1 ; 2), B(-2 ; 3) và có tâm ở trên đường thẳng ∆ : 3x – y + 10 = 0 a) Tìm tọa độ tâm của (C) b) Tính bán kính R của (C) c) Viết phương trình của (C). 5/ Lập phương trình của đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1 ; 2), B(3 ; 4) và tiếp xúc với đường thẳng [...]... tắc: F1F2 = 2c, c > a 2) Phương trình chính tắc: x2 y2 + = 1 với b2 = a2 – c2 a2 b2 3) Hình dạng và các yếu tố: x2 y 2 − = 1 với b2 = c2 – a2 a2 b2 3) Hình dạng và các yếu tố (E) = {M MF1 + MF2 = 2a} Cho elip (E): x2 y2 + =1 a2 b2 II HYPEBOL (H) = {M MF1 − MF2 = 2a} Cho Hypebol (H): x2 y 2 − =1 a2 b2 a) Hình dạng: a) Hình dạng: b) Các yếu tố: • A1A2 = 2a: trục lớn • B1B2 = 2b : trục nhỏ • Cácđỉnh:A1(-a;0),A2(a;0),... xuất phát từ điểm A 9/ Lập phương trình tiếp tuyến với (C) : x2 + y2 - 6x + 2y = 0 biết tiếp tuyến : a) Song song với đường thẳng (d) : x – 2y + 3 = 0 b) Vuông góc với đường thẳng (d’) : 3x – y + 4 = 0 10/ Cho đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y – 2 )2 = 9 và điểm M(2 ; -1) a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến (d1) và (d2) với (C).Hãy viết phương trình của (d1) và (d2) b) Gọi M1 và M2 lần lượt... của elip (E) biết a) A(0 ; - 2) là một đỉnh và F(1 ; 0) là một tiêu điểm của (E) b) F1(-7 ; 0) là một tiêu điểm và (E) đi qua M(-2 ; 12) c) Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 3/5 d) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sở là x = ± 4 , y = ± 3 e) (E) đi qua hai điểm M(4 ; 3 ), N( 2 2 ; −3) 3/ Tìm những điểm trên elip (E) : x2 + y 2 = 1 thỏa mãn : 9 a) Có bán kính qua tiêu điểm bên trái bằng hai lần bán... F(1 ; 0) b) (P) có tham số tiêu p = 5 c) (P) nhận đường thẳng d : x = -2 là đường chuẩn d) Một dây cung của (P) vuông góc với trục Ox có độ dài bằng 8 và khoảng cách từ đỉnh O đến dây cung này bằng 1 10/ : Cho parabol (P): y2 = 8x a) Tìm tọa độ tiêu điểm và viết phương trình đường chuẩn của (P) b) Giả sử đường thẳng (d) đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương . giác OACB là hình bình hành (O là gốc tọa độ). 10/ Cho tam giác ABC, trong đó A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3). a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình. của hình bình hành có phương trình x – 3y = 0 và 2x + 5y + 6 = 0. Một đỉnh của hình bình hành là A(4 ; -1). Viết phương trình hai cạnh còn lại của hình