Đại số B1 chương 2

Chương 2: ĐỊNH THỨC Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Nguyễn Anh Thi Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh 2015 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Chương ĐỊNH THỨC Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất Định nghóa tính chất 1.1 1.2 1.3 1.4 Định nghóa Quy tắc Sarrus Khai triển định thức theo dòng cột Định thức phép biến đổi sơ cấp Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất 1.1 Định nghóa Định nghóa Cho A = (aij )n×n ∈ Mn (R) Định thức A, ký hiệu det A hay |A|, số thực xác định quy nạp theo n sau: Nếu n = 1, A = (a), |A| = a a11 a12 Nếu n = 2, A = , |A| = a11 a22 − a12 a21 a21 a22 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất Định nghóa  a11 a12  a21 a22 Nếu n > 2, A =   ··· ··· an1 an2 ··· ··· ··· ···  a1n a2n  , ···  ann doøng |A| ===== a11 (−1)1+1 |A(1|1)| + a12 (−1)1+2 |A(1|2)| + · · · + a1n (−1)1+n |A(1|n)|, A(i|j) ma trận có từ A cách xóa dòng i cột j A Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất 1.1 Định nghóa Ví dụ −3 −2 Cho A = Khi |A| = 1.(−2) − (−3).4 = 10 Ví dụ   Cho A =  10  15 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất 1.1 Định nghóa Ví dụ −3 −2 Cho A = Khi |A| = 1.(−2) − (−3).4 = 10 Ví dụ   Cho A =  10  15 10 |A| = 1(−1)1+1 +3(−1)1+2 15 = 10 − 15 + = Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính 10 +6(−1)1+3 15 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất 1.2 Quy tắc Sarrus Trong trường hợp n = 3, ta có ma  a11 a12  a21 a22 A= a31 a32 traän  a13 a23  a33 Áp dụng định nghóa ta tính định thức A a22 a23 a21 a23 |A| = a11 (−1)1+1 + a12 (−1)1+2 + a32 a33 a31 a33 a21 a22 a13 (−1)1+3 a31 a32 = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a21 a32 −a13 a22 a31 −a11 a23 a32 −a12 a21 a33 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất Từ ta đưa quy tắc Sarrus, đưa vào sơ đồ sau Theo định thức tổng tích số số đường liền nét trừ tổng tích số số đường không liền nét Hoặc Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định nghóa tính chất • ∗ ◦ ∗ ◦ • a11 a12 a13 a21 a22 a33 = ◦ • ∗ − ◦ • ∗ ∗ ◦ • • ∗ ◦ a31 a32 a33 Định thức ma trận A tính tổng tích số số tương ứng với ký hiệu hình màu đỏ trừ tổng tích số số tương ứng với ký hiệu hình màu xanh Ví dụ Tính định |A| = thức 1 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính = 1.2.5+2.1.3+3.4.1−3.2.3−1.1.1−2.4.5 = −31 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giả  i hệ phương trình  x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1;  x + y + z = Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính (1) Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giả  i hệ phương trình  x − y − 2z = −3; 2x − y + z = 1; (1) Ta coù  x + y + z = −1 −2 = −7; ∆ = |A| = −1 1 −3 −1 −2 −1 = −7; ∆1 = |A1 | = 1 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer 1 ∆3 = |A3 | = Vì ∆ = 0, nên hệ z = ∆∆3 = ∆2 = |A2 | = Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính −3 −2 1 = −14; −1 −3 −1 = −7; có nghiệm x = ∆1 ∆ = 1; y = ∆2 ∆ = 2; Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3; Giải hệ phương trình  5x + 7y + 4z = Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer   x + y − 2z 2x + 3y + 3z Giaûi hệ phương trình  5x + 7y + 4z 1 −2 = 0; ∆1 = |A1 | = ∆ = |A| = Vaäy hệ vô nghiệm Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính = 4; = 3; Ta có = −2 3 = −45 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 10 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giải hệ phương trình   x + y − 2z = 4; 2x + 3y + 3z = 3;  5x + 7y + 4z = 10 1 −2 −2 3 = 0; = 0; ∆1 = |A1 | = ∆ = |A| = 10 7 4 −2 1 = 0; ∆3 = |A3 | = 3 = ∆2 = |A2 | = 10 10 Vì ∆ = ∆1 = ∆2 = ∆3 = nên không kết luận nghiệm hệ Do ta phải dùng Gauss Gauss-Jordan để giải Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giải biện luận  x1  −2x1  mx1 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R: + 2x2 + 2x3 = 0; + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 = 2; + x2 + (m + 1)x3 = −2 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Giải biện luận  x1  −2x1  mx1 ∆ = |A| = hệ phương trình sau theo tham soá m ∈ R: + 2x2 + 2x3 = 0; + (m − 2)x2 + (m − 5)x3 = 2; + x2 + (m + 1)x3 = −2 2 −2 m − m − m m+1 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính = m2 −4m+3 = (m−1)(m−3); Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer ∆1 = |A1 | = ∆2 = |A2 | = ∆3 = |A3 | = −2 −2 m −2 m Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính 2 m − m − = −4m + 12; m+1 2 m − = 0; m+1 m−2 = 2m − 6; −2 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer m=1 Khi hệ có nghiệm m=3 −4 (x1 , x2 , x3 ) = ( m−1 , 0, m−1 ) ∆=0⇔ ∆=0⇔ m=1 m=3 m=1, ∆1 = = nên hệ vô nghiệm m = 3, ∆ = ∆1 = ∆2  = ∆3 = Khi hệ phương trình  2  −2 −2  −2 Nghiệm hệ (x1 , x2 , x3 ) = (3t − 2, t, − 52 t) với t tự Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Ví dụ Giả  i biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R: 12y − 6z = m;  (m − 7)x + −10x + (m + 19)y − 10z = 2m;  −12x + 24y + (m − 13)z = Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer m−7 12 −6 −10 m + −10 = (m − 1)2 (m + 1) −12 24 m − 13 m 12 −6 −10 = m(m − 1)(m − 17) ∆1 = 2m m + 24 m − 13 m−7 m −6 −10 2m −10 = 2m(m − 1)(m − 14) ∆2 = −12 m − 13 ∆= Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy taéc Cramer m−7 12 m −10 m + 2m −12 24 Biện luận ∆3 = = 36m(m − 1) Nế Khi  u ∆ = ⇔ m = 1, −1 m(m2 −18m+17) ∆1  −1)   x = ∆ = (m−1)(m m(m2 −15m+14) ∆2 y = ∆ = (m−1)(m2 −1)   −36m(m−1)  z = ∆3 = ∆ Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính (m−1)(m2 −1) hệ có nghiệm = m(m−17) ; m2 −1 = = m(m−14) ; m2 −1 −36m m2 −1 Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Quy tắc Cramer Nếu ∆ = ⇔ m = −1 m=1 m = −1, ∆1 = −36 = 0, hệ vô nghiệm m  = 1, ∆1 = ∆2 = ∆3 = Ta có hệ  −6x + 12y − 6z = 1; −10x + 20y − 10z = 2;  −12x + 24y − 12z = Hệ vô nghiệm Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh ... a11 a 12  a21 a 22 A= a31 a 32 trận  a13 a23  a33 Áp dụng định nghóa ta tính định thức A a 22 a23 a21 a23 |A| = a11 (−1)1+1 + a 12 (−1)1 +2 + a 32 a33 a31 a33 a21 a 22 a13 (−1)1+3 a31 a 32 = a11 a 22 a33... a 22 a33 +a 12 a23 a31 +a13 a21 a 32 −a13 a 22 a31 −a11 a23 a 32 −a 12 a21 a33 Nguyễn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC... (a), |A| = a a11 a 12 Nếu n = 2, A = , |A| = a11 a 22 − a 12 a21 a21 a 22 Nguyeãn Anh Thi Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh Chương 2: ĐỊNH THỨC Định