Đại số B1 chương 3

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính Nguyễn Anh Thi Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh 2015 Chương KHÔNG GIAN VECTOR Định nghóa Cho V tập hợp khác ∅ Ta nói V không gian vector R V i) tồn phép toán "cộng vector", tức ánh xạ V×V → V (u, v) → u + v ii) tồn phép "nhân vô hướng với vector", tức ánh xạ R×V → V (α, u) → αu thỏa tính chất sau: với u, v, w ∈ V α, β ∈ R Định nghóa u + v = v + u; (u + v) + w = u + (v + w); ∃0 ∈ V, u + = + u = u; ∃(−u) ∈ V, (−u) + u = u + (−u) = 0; (αβ)u = α(βu); (α + β)u = αu + βu; α(u + v) = αu + αv; 1.u = u Khi ta gọi : phần tử u ∈ V vector số α ∈ R vô hướng vector vector không vector (−u) vector đối u Ví dụ Xét V = Rn = {u = (x1 , x2 , , xn )|xi ∈ R, i ∈ 1, n} với phép cộng vector phép nhân vô hướng xác định bởi: u + v = (x1 + y1 , x2 + y2 , , xn + yn ), αu = (αx1 , αx2 , , αxn ) với u = (x1 , x2 , , xn ), v = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn , α ∈ R Khi Rn không gian vector R với vector không = (0, 0, , 0) vector đối vector u laø −u = (−x1 , −x2 , , −xn ) Ví dụ Tập hợp Mm×n (R) với phép cộng ma trận nhân ma trận với số thực thông thường không gian vector R Trong đó, Vector không ma trận không Vector đối A ma trận −A Ví dụ Tập hợp R[x] = {p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 |n ∈ N, ∈ R, i ∈ 1, n} gồm đa thức theo x với hệ số R không gian vector R với phép cộng vector phép cộng đa thức thông thường phép nhân vô hướng với vector phép nhân thông thường số với đa thức Ví dụ Cho V = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |2x1 + 3x2 + x3 = 0} Khi V không gian vector R Ví dụ Cho W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |x1 + x2 − 2x3 = 1} Khi W không không gian vector, u = (1, 2, 1) ∈ W, v = (2, 3, 2) ∈ W nhöng u + v = (3, 5, 3) = W Mệnh đề Cho V không gian vector R Khi với u ∈ V α ∈ R, ta có i) αu = ⇔ (α = hay u = 0); ii) (−1)u = −u 2.1 Tổ hợp tuyến tính 2.2 Độc lập phụ thuộc tuyến tính Hệ cho tương đương với hệ x1 + 2x2 − 3x3 + 5x4 = 0; x2 − 10x3 + 17x4 = Choïn x3 = α, x4 = β, ta tính x1 = −17α + 29β; x2 = 10α − 17β Hệ (1) có vô số nghiệm với hai ẩn tự (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−17α + 29β, 10α − 17β, α, β) với α, β ∈ R tùy ý Đặt W = {(−17α + 29β, 10α − 17β, α, β)|α, β ∈ R} = {(−17α, 10α, α, 0) + (29β, −17β, 0, β)|α, β ∈ R} = {α(−17, 10, 1, 0) + β(29, −17, 0, 1)|α, β ∈ R} = (−17, 10, 1, 0); (29, −17, 0, 1) Đặt u1 = (−17, 10, 1, 0); u2 = (29, −17, 0, 1) Ta gọi u1 , u2 nghiệm hệ (1) Ta có W = u1 , u2 u1 , u2 độc lập tuyến tính Suy {u1 , u2 } sở W dim W = Ta gọi W không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính (1) Định lý Cho ma trận A = (aij )m×n loại m × n với hệ số R  a11 a12 a1n  a21 a22 a2n   A=   am1 am2 amn  vaø SA tập tất nghiệm (x1 , x2 , , xn ) hệ phương trình tuyến tính AX = 0, nghóa tập tất nghiệm hệ   a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0;   a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = 0;    am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = Khi SA không gian Rn Ta gọi SA không gian nghiệm hệ phương trình tuyến tính AX = Để tìm số chiều sở không gian nghiệm SA hệ phương trình tuyến tính AX = 0, ta tiến hành bước sau: Bước 1: Giải hệ AX = tìm nghiệm tổng quát Bước 2: Tìm nghiệm hệ AX = sau: Giả sử nghiệm hệ AX = có s ẩn tự xk1 , xk2 , , xks Với i ∈ 1, s, chọn xki = 1; xkj = 0; ∀j = i, ta nghiệm uki Khi {uk1 , uk2 , , uks } nghiệm Bước 3: Không gian nghiệm SA có dim SA = s nhận hệ nghiệm {uk1 , uk2 , , uks } làm sở Tọa độ ma trận chuyển sở 5.1 Tọa độ 5.2 Ma trận chuyển sở 5.1 Tọa độ Định nghóa Cho B = {u1 , u2 , , un } sở không gian vector V R Khi với u ∈ V phương trình α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un = u (1) luôn có 0 nghiệm Gọi (α , α2 , , αn ) nghiệm (1) Ta đặt  α10  α0    [u]B =   gọi tọa độ u sở B Như vậy,      [u]B =   αn0 α10 α20 αn0     ⇔ u = α10 u1 + α20 u2 + · · · + αn0 un  Hệ Giả sử B = {u1 , u2 , , uk } sở W ≤ Rn u1 = (u11 , u21 , , un1 ); u2 = (u12 , u22 , , un2 ); uk = (u1k , u2k , , unk ) Khi với u =(b1 , b , , bn ) ∈ W, ta coù b1  b2    [u]B = X ⇔ UX =   ,   bn   u11 u12 u1k  u21 u22 u2k   U=   ma trận có cách dựng un1 un2 unk u1 , u2 , , uk thành cột Nhận xét Đối với sở tắc B0 = {e1 , e2 , , en } không gian Rn , với u = (b1 , b2 , , bn ) ∈ Rn , ta coù   b1  b2    [u]B0 =     bn Đối với sở tắc B0 = {E11 , , E1n , , Em1 , , Emn } không gian Mm×n (R) ma trận loại m × n hệ số R A = (aij )m×n ta có   a11        a1n      [A]B0 =      am1        amn Đối với sở tắc B0 = {1, x, , xn } không gian Rn [x] đa thức theo x bậc không n, với p(x) = an xn + · · · + a1 x + a0 ∈ Rn [x],   a0  a1    [p(x)]B0 =     an Ví dụ Trong không gian R3 , cho vector u1 = (1, 2, 1); u2 = (1, 3, 1); u3 = (2, 5, 3) a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3 b) Tìm tọa độ vector u = (a, b, c) ∈ R3 sở B 5.2 Ma trận chuyển sở Định nghóa Cho V không gian vector có dim V = n hai sở B1 = (u1 , u2 ,  , un ); B2 = (v1 , v2 , , ) Với j ∈ 1, n, đặt p1j  p2j    [vj ]B1 =   , j ∈ 1, n P ma trận vuông cấp n có cột   pnj [v1 ]B1 , [v2 ]B1 , , [vn ]B1 , nghóa   p11 p12 p1n  p21 p22 p2n   P=   Khi P khả nghịch ma trận pn1 pn2 pnn thỏa ∀u ∈ V, [u]B1 = P[u]B2 P gọi ma trận chuyển sở từ B1 sang B2 , ký hiệu (B1 → B2 ) Như vậy, ∀u ∈ V, [u]B1 = (B1 → B2 )[u]B2 Mệnh đề Cho V không gian vector hữu hạn chiều B1 , B2 , B3 ba cở sở V Khi i) (B2 → B1 ) = (B1 → B2 )−1 ; ii) (B1 → B3 ) = (B1 → B2 )(B2 → B3 ) Hệ Cho B1 = (u1 , u2 , , un ); B2 = (v1 , v2 , , ) laø hai sở không gian Rn Gọi B0 = (e1 , e2 , , en ) sở tắc Rn Ta có i) (B0 → B1 ) ma trận có cách dựng vector u1 , u2 , , un thành cột ii) (B1 → B0 ) = (B0 → B1 )−1 iii) (B1 → B2 ) = (B0 → B1 )−1 (B0 → B2 ) iv) Nếu qua số phép BĐSCTD ma trận (B0 → B1 ) biến thành ma trận đơn vị In qua phép biến đổi ma trận (B0 → B2 ) biến thành ma trận (B1 → B2 ), nghóa BĐSCTD ((B0 → B1 )|(B0 → B2 )) −−−−−→ (In |(B1 → B2 )) Ví dụ Trong không gian R3 , cho caùc vector u1 = (1, 2, 1); u2 = (1, 3, 1); u3 = (2, 5, 3) a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) sở R3 b) Tìm ma trận chuyển sở từ B sang sở tắc B0 R3 c) Tìm tọa độ vector u = (1, 2, −3) theo sở B ... khoâng gian vector R3 ? a) B1 = {u1 = (2, 3, 4), u2 = (4, 5, 6)} b) B2 = {u1 = (1, 2, 3) , u2 = (2, 3, 4), u3 = (3, 4, 5), u4 = (4, 5, 6)} c) B3 = {u1 = (1, −2, 1), u2 = (1, 3, 2), u3 = (−2, 1, −2)}... u3 ) vaø v = (v1 , v2 , v3 ), ta chứng minh αu + v ∈ W Ta có αu+v = α(u1 , u2 , u3 )+(v1 +v2 +v3 ) = (αu1 +v1 , αu2 +v2 , αu3 +v3 ) 2(αu1 +v1 )+αu2 +v2 −αu3 −v3 = α(2u1 +u2 −u3 )+(2v1 +v2 −v3... {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |2x1 + x2 − x3 = 0} Hoûi W có không gian R3 hay không? Ví dụ Cho W = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 |2x1 + x2 − x3 = 0} Hỏi W có không gian R3 hay không? Ta có W ⊂ R3 , ∈ W Với u