CÁC ĐƯỜNG CÔNIC_02

PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 22 TP 03: CC NG CễNIC Cõu 1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy 22 1 2516 +=. A, B l cỏc im trờn (E) sao cho: AFBF 12 8+=, vi FF 12 , l cỏc tiờu im. Tớnh AFBF 21 + . ã 1 AFAFa 2 2+=v BFBFa 12 2+= ị 12 AFAFBFBFa 12 420+++== M 1 AFBF 2 8+= ị 2 AFBF 1 12+= Cõu 2. Trong mt phng vi h to Oxy, vit phng trỡnh elip vi cỏc tiờu im FF 12 (1;1),(5;1)- v tõm sai e 0,6= . ã Gi s Mxy(;) l im thuc elip. Vỡ na trc ln ca elip l c a e 3 5 0,6 === nờn ta cú: MFMFxyxy 2222 12 10(1)(1)(5)(1)10+=++-+-+-= xy 22 (2)(1) 1 2516 -- += Cõu 3. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im C(2; 0) v elip (E): xy 22 1 41 +=. Tỡm to cỏc im A, B thuc (E), bit rng hai im A, B i xng vi nhau qua trc honh v tam giỏc ABC l tam giỏc u. ã AB 243243 ;,; 7777 ổửổử - ỗữỗữ ốứốứ Cõu 4. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy 22 1 10025 +=. Tỡm cỏc im M ẻ (E) sao cho ã FMF 0 12 120= (F 1 , F 2 l hai tiờu im ca (E)). ã Ta cú: ab10,5== ị c 53= . Gi M(x; y) ẻ (E) ị MFxMFx 12 33 10,10 22 =-=+ . ã FFMFMFMFMFFMF 222 12121212 2 cos=+- ( ) xxxx 22 2 33331 103101021010 22222 ổửổửổửổử ổử =-++--+- ỗữỗữỗữỗữ ỗữ ốứốứốứốứốứ x = 0 (y= 5). Vy cú 2 im tho YCBT: M 1 (0; 5), M 2 (0; 5). Cõu 5. Trong mt phng Oxy, cho elip (E) cú hai tiờu im FF 12 (3;0);(3;0)- v i qua im A 1 3; 2 ổử ỗữ ốứ . Lp phng trỡnh chớnh tc ca (E) v vi mi im M trờn elip, hóy tớnh biu thc: PFMFMOMFMFM 222 1212 3.=+ . ã (E): xy abab 22 2222 31 11 4 +=ị+=, ab 22 3=+ ị xy 22 1 41 += ị MMMMM Paexaexxyaex 2222222 ()()2()() 1=+++-= Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 23 Cõu 6. Trong mt phng to Oxy, cho elip (E): xy 22 41664+=. Gi F 2 l tiờu im bờn phi ca (E). M l im bt kỡ trờn (E). Chng t rng t s khong cỏch t M ti tiờu im F 2 v ti ng thng x 8 : 3 D = cú giỏ tr khụng i. ã Ta cú: F 2 (12;0) . Gi MxyE 00 (;)()ẻ ị x MFaex 0 20 83 2 - =-= , x dMx 0 0 83 8 (,) 33 D - =-= (vỡ x 0 44-ÊÊ) ị MF dM 2 3 (,)2 D = (khụng i). Cõu 7. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy 22 51680+= v hai im A(5; 1), B(1; 1). Mt im M di ng trờn (E). Tỡm giỏ tr ln nht ca din tớch DMAB. ã Phng trỡnh ng thng (AB): xy230-+= v AB 25= Gi MxyExy 22 0000 (;)()51680.ẻị+= Ta cú: xyxy dMAB 0000 2323 (;) 145 -+-+ == + Din tớch D MAB: SABdMABxy 00 1 (;)23 2 ==-- p dng bt ng thc Bunhiacpxki cho 2 cp s xy 00 11 ;,(5;4) 2 5 ổử - ỗữ ốứ cú: ( ) xyxy 2 22 0000 11119 .5.4516.8036 25420 5 ổử ổử -Ê++== ỗữ ỗữ ốứ ốứ xyxyxyxy 00000000 266263239239-Ê-Ê-Ê-Ê-+Êị-+Ê xy xy xy xy xy 00 00 00 00 54 58 11 max239 26 2 5 239 ỡ = ù ỡ =- ù ị-+= - ớớ -= ợ ù ù -+= ợ x y 0 0 8 3 5 3 ỡ = ù ớ ù =- ợ Vy, MAB SkhiM 85 max9; 33 ổử =- ỗữ ốứ . Cõu 8. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elớp xy E 22 ():1 94 += v hai im A(3;2), B(3; 2) . Tỡm trờn (E) im C cú honh v tung dng sao cho tam giỏc ABC cú din tớch ln nht. ã PT ng thng AB: xy230+=. Gi C(x; y) ẻ (E), vi xy0,0>> ị xy 22 1 94 +=. ABC xy SABdCABxy 18585 .(,)233. 21332 213 ==+=+ xy 22 85170 323 139413 ổử Ê+= ỗữ ỗữ ốứ Du "=" xy ra xy x xy y 22 2 1 3 94 2 2 32 ỡ ỡ += ù ùù = ớớ ùù = = ợ ù ợ . Vy C 32 ;2 2 ổử ỗữ ốứ . PP to trong mt phng Trn S Tựng Trang 24 Cõu 9. Trong mt phng ta Oxy , cho elip xy E 22 ():1 259 += v im M(1;1) . Vit phng trỡnh ng thng i qua M v ct elip ti hai im AB, sao cho M l trung im ca AB . ã Nhn xột rng MOxẽ nờn ng thng x 1= khụng ct elip ti hai im tha YCBT. Xột ng thng D qua M(1; 1) cú PT: ykx(1)1=-+. To cỏc giao im AB, ca D v E() l nghim ca h: xy ykx 22 1(1) 259 (1)1(2) ỡ ù += ớ ù =-+ ợ ị kxkkxkk 222 (259)50(1)25(29)0+--+--= (3) PT (3) luụn cú 2 nghim phõn bit xx 12 , vi mi k . Theo Viet: kk xx k 12 2 50(1) 259 - += + . Do ú M l trung im ca AB M kk xxxk k 12 2 50(1)9 22 25 259 - +===- + . Vy PT ng thng D : xy925340+-=. Cõu hi tng t: a) Vi xy E 22 ():1 94 +=, M(1;1) S: xy:49130 D +-= Cõu 10. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy 22 1 82 +=. Tỡm im M ẻ (E) sao cho M cú to nguyờn. ã Trc ht ta cú nhn xột: Nu im xyE(;)()ẻ thỡ cỏc im xyxyxy(;),(;),(;)---- cng thuc (E). Do ú ta ch cn xột im MxyE 00 (;)()ẻ vi xyxyZ 0000 ,0;,ẻ. Ta cú: xy 22 00 1 82 += ị y 2 0 2Ê ị y 0 02ÊÊ ị yxloaùi yx 00 00 022() 12 ộ =ị= ờ =ị= ờ ở ị M(2;1) . Vy cỏc im tho YCBT l: (2;1),(2;1),(2;1),(2;1)----. Cõu 11. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy 22 1 82 +=. Tỡm im M ẻ (E) sao cho tng hai to ca M cú giỏ tr ln nht (nh nht). ã Gi s MxyE(;)()ẻ ị xy 22 1 82 +=. p dng BT Bunhiacpxki, ta cú: xy xy 22 2 ()(82)10 82 ổử +Ê++= ỗữ ốứ ị xy1010-Ê+Ê . + xy 10+Ê . Du "=" xy ra xy xy 82 10 ỡ = ù ớ ù += ợ M 41010 ; 55 ổử ỗữ ốứ . + xy 10+- . Du "=" xy ra xy xy 82 10 ỡ = ù ớ ù +=- ợ M 41010 ; 55 ổử -- ỗữ ốứ Trn S Tựng PP to trong mt phng Trang 25 Cõu 12. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy 22 1 93 += v im A(3;0) . Tỡm trờn (E) cỏc im B, C sao cho B, C i xng qua trc Ox v DABC l tam giỏc u. ã Khụng mt tớnh tng quỏt, gi s BxyCxy 0000 (;),(;)- vi y 0 0> . Ta cú: xy xy 22 22 00 00 139 93 +=+=. BCy 0 2= v BCxx 0 (): = ị dABCx 0 (,())3=- Do AOxẻ , B v C i xng qua Ox nờn D ABC cõn tõ A Suy ra: D ABC u dABCBC 3 (,()) 2 = xy 00 33-= yx 22 00 3(3)=- ị x xx x 22 0 00 0 0 (3)9 3 ộ = +-= ờ = ở . + Vi x 0 0= ị y 0 3= ị BC(0;3),(0;3)- . + Vi x 0 3= ị y 0 0= (loi). Vy: BC(0;3),(0;3)- . Cõu 13. Trong mt phng vi h to Oxy, cho elip (E): xy 22 1 94 += v cỏc ng thng dmxny 1 :0-=, dnx+my 2 :0= , vi mn 22 0+ạ. Gi M, N l cỏc giao im ca d 1 vi (E), P, Q l cỏc giao im ca d 2 vi (E). Tỡm iu kin i vi mn, din tớch t giỏc MPNQ t giỏ tr nh nht. ã PTTS ca dd 12 , l: xnt d ymt 1 1 1 : ỡ = ớ = ợ , xmt d ynt 2 2 2 : ỡ =- ớ = ợ . + M, N l cỏc giao im ca d 1 v (E) ị nmnm MN mnmnmnmn 22222222 6666 ;,; 94949494 ổửổử -- ỗữỗữ ỗữỗữ ++++ ốứốứ + P, Q l cỏc giao im ca d 2 v (E) ị mnmn PQ mnmnmnmn 22222222 6666 ;,; 49494949 ổửổử -- ỗữỗữ ỗữỗữ ++++ ốứốứ + Ta cú: MN ^ PQ ti trung im O ca mi ng nờn MPNQ l hỡnh thoi. MPNQ SSMNPQOMOP 1 .2. 2 ==== MMPP mn xyxy mnmn 22 2222 2222 72() 2. (94)(49) + ++= ++ p dng BT Cụ-si: mnmn mnmnmn 2222 222222 (94)(49)13 (94)(49)() 22 +++ ++Ê=+ ị mn S mn 22 22 72()144 13 13 () 2 + = + . Du "=" xy ra mnmnmn 2222 9449+=+= Vy: S 144 min 13 = khi mn= . Cõu 14. Trong mt phng vi h trc to Oxy, cho Hypebol (H) cú phng trỡnh: xy 22 1 169 -=. PP toạ độ trong mặt phẳng Trần Sĩ Tùng Trang 26 Viết phương trình chính tắc của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở của (H). · (H) có các tiêu điểm FF 12 (5;0);(5;0)- . HCN cơ sở của (H) có một đỉnh là M( 4; 3), Giả sử phương trình chính tắc của (E) có dạng: xy ab 22 22 1+= ( với a > b) (E) cũng có hai tiêu điểm FFab 222 12 (5;0);(5;0)5(1)-Þ-= MEabab 2222 (4;3)()916(2)ÎÛ+= Từ (1) và (2) ta có hệ: aba ababb 2222 22222 540 91615 ìì ïï =+= Û íí +== ïï îî . Vậy (E): xy 22 1 4015 += Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy , cho hypebol (H) có phương trình xy 22 1 94 -=. Giả sử (d) là một tiếp tuyến thay đổi và F là một trong hai tiêu điểm của (H), kẻ FM ^(d). Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó · (H) có một tiêu điểm F (13;0) . Giả sử pttt (d): ax + by + c = 0 . Khi đó: 9a 2 – 4b 2 = c 2 (*) Phương trình đường thẳng qua F vuông góc với (d) là (D): b( x 13)- – a y = 0 Toạ độ của M là nghiệm của hệ: axbyc bxayb13 ì +=- í -= î Bình phương hai vế của từng phương trình rồi cộng lại và kết hợp với (*), ta được x 2 + y 2 = 9 Câu 16. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): yx 2 = và điểm I(0; 2). Tìm toạ độ hai điểm M, N Î (P) sao cho IMIN4= uuuruur . · Gọi MxyNxy 0011 (;),(;) là hai điểm thuộc (P), khi đó ta có: xyxy 22 0011 ;== IMxyyy 2 0000 (;2)(;2)=-=- uuur ; INyyyyINyy 22 111111 (;2)(;2);4(4;48)=-=-=- uuruur Theo giả thiết: IMIN4= uuuruur , suy ra: yy yy 22 01 01 4 248 ì ï = í -=- ï î yxyx yxyx 1100 1100 11;2;4 39;6;36 é =Þ==-= Û ê =Þ=== ë Vậy, có 2 cặp điểm cần tìm: M N(4;–2),(1;1) hay M N(36;6),(9;3) . Câu 17. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho parabol (P): yx 2 8= . Giả sử đường thẳng d đi qua tiêu điểm của (P) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ tương ứng là x x 12 , . Chứng minh: AB = xx 12 4++. · Theo công thức tính bk qua tiêu: FAx 1 2=+, FBx 2 2=+ Þ ABFAFBxx 12 4=+=++ . Câu 18. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho Elip (E): xy 22 55+=, Parabol Pxy 2 ():10= . Hãy viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng xy():360 D +-=, đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P). · Đường thẳng đi qua các giao điểm của (E) và (P): x = 2 Tâm I Î D nên: Ibb(63;)- . Ta có: bbb bb bbb 431 632 432 éé -== --=ÛÛ êê -=-= ëë Þ (C): xy 22 (3)(1)1-+-= hoặc (C): xy 22 (2)4+-= . trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng xy():360 D +-=, đồng thời tiếp xúc với trục hoành Ox và cát tuyến chung của Elip (E) với Parabol (P). · Đường. của (H), kẻ FM ^(d). Chứng minh rằng M luôn nằm trên một đường tròn cố định, viết phương trình đường tròn đó · (H) có một tiêu điểm F (13;0) . Giả sử pttt