Nghiên cứu hiệu ứng casimir trong hệ ngưng tụ bose einstein tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LƯƠNG THỊ THÊU NGHIÊN CỨU HIỆU ỨNG CASIMIR TRONG HỆ NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 44 01 03 Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Văn Thụ PGS TS Lưu Thị Kim Thanh TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ HÀ NỘI - 2020 Mở đầu Lí chọn đề tài Đã 50 năm, kể từ H.B.G Casimir xuất báo tiếng , báo này, ơng đưa giải thích đơn giản sâu sắc cho tương tác van der Waals chậm (tương tác mô tả ông với D Polder thời gian ngắn trước đó) biểu thị lượng điểm không trường lượng tử Trong thời gian dài, báo chưa biết đến cách rõ ràng Phải đến năm 1970 trở sau, nhà vật lý bắt đầu ý đến hiệu ứng Casimir nghiên cứu hệ vật lý khác Các thí nghiệm xác cao chứng minh lực Casimir thực nhiều thí nghiệm khác tiến hành Trong phát triển lý thuyết, tiến đáng kể thực để khảo sát cấu trúc phân kỳ nói chung, khơng phẳng tính tốn hiệu ứng cho nhiều hình dạng điều kiện biên phức tạp hơn, bao gồm cấu trúc thực ranh giới Hiệu ứng Casimir vấn đề liên ngành, phạm vi áp dụng rộng, từ vũ trụ học vật lý môi trường đông đặc, đặc biệt vật lý nano công nghệ chế tạo vật liệu nano (16) Mặc dù dự đoán từ năm 1925 nghiên cứu ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) thực bùng nổ từ năm 1995 mặt lý thuyết thực nghiệm, đặc biệt sau thực nghiệm tạo hệ BEC hai thành phần Tuy nhiên, sau thành công thực nghiệm đo lực Casimir tới hạn chất lỏng lượng tử lực Casimir-Polder mơi trường BEC nghiên cứu hiệu ứng kích thước hữu hạn hệ BEC thực bùng nổ Do mơi trường BEC coi chất lỏng lượng tử nên tồn lượng bề mặt mà tương ứng với xuất lực Casimir-like, xem thành phần trường trung bình lực Casimir Vì lí mà ảnh hưởng co gọn không gian mơi trường BEC thường nghiên cứu hai khía cạnh: thứ lực căng bề mặt gây hệ BEC bị giam không gian giới hạn tường cứng, gọi hiệu ứng Casimir-like (tương ứng với lực Casimir-like); thứ hai hiệu ứng gây thăng giáng lượng tử lên trạng thái hệ, nguyên nhân (16) Casimir H B G (1948), "On the attraction between two perfectly conducting plates", Proc K Ned Akad Wet 51, 793 kích thích phonon bề mặt hệ, gọi thành phần thăng giáng lượng tử lực Casimir Đầu tiên phải kể đến hiệu ứng Casimir-like Đối với hệ hạt Bose lý tưởng, dựa thống kê Bose-Einstein, S Biswas(12) tính lực Casimir-like cho miền khác nhiệt độ, kể miền nhiệt độ lớn nhiều so với nhiệt độ tới hạn Đối với hệ Bose lỗng, việc tính tốn lực Casimir-like thực nhóm nghiên cứu S Biswas nhóm nghiên cứu D Roberts Lực Casimir-like tác giả N.V Thu cộng sự(74) khảo sát hệ BEC hai thành phần gần parabol kép (DPA) trạng thái tới hạn demixing Đối với thành phần lực Casimir gây thăng giáng lượng tử, nghiên cứu có tương đối phong phú Tuy nhiên, số điểm hạn chế nghiên cứu là: - Các tính tốn thực gần vòng; - Chỉ khảo sát với hệ BEC thành phần Đối với hệ BEC hai thành phần, xuất thêm tương tác hạt hai thành phần khác nên dẫn đến nhiều kết quan trọng Mặc dù vậy, theo hiểu biết chúng tơi, cịn lĩnh vực chưa quan tâm; - Chỉ khảo sát thống kê tắc lớn (GCE) Rõ ràng nhiều vấn đề liên quan đến ảnh hưởng co gọn khơng gian lên tính chất hệ BEC cần mở rộng nghiên cứu thêm Nhằm đóng góp định hướng cho nghiên cứu thực nghiệm hiệu ứng Casimir môi trường BEC, chọn “Nghiên cứu hiệu ứng Casimir hệ ngưng tụ Bose-Einstein” đề tài nghiên cứu luận án Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Với mục đích khảo sát ảnh hưởng hiệu ứng kích thước hữu hạn lên tính chất hệ BEC Nghĩa là, hệ BEC bị giam giữ hai tường cứng đặt song song với kết nối (khơng kết nối) với bể hạt ngồi ứng với tập hợp thống kê tắc lớn (thống kê tắc (CE)) Do vậy, hiệu ứng Casimir phụ thuộc vào điều kiện biên, tương tác hạt hệ, nhiệt độ trường Trong luận án này, tập trung nghiên cứu hệ BEC nhiệt độ gần nhiệt độ không tuyệt đối trường ngồi, cụ thể sau: a Hệ BEC thành phần: (12) Biswas S (2007), "Bose–Einstein condensation and the Casimir effect for an ideal Bose gas confined between two slabs", J Phys A 40, 9969 (74) Thu N V., Phat T H., Song P T (2017), "Finite-size effects of surface tension in two segregated BECs confined by two hard walls", Journal of Low Temperature Physics 186, 127 - Khảo sát hàm sóng mơ tả trạng thái dựa phương trình GrossPitaevskii (GP) Từ đó, chúng tơi tìm lượng mặt ngồi lực Casimir-like - Nghiên cứu ảnh hưởng hiệu ứng kích thước hữu hạn lên mật độ ngưng tụ, lượng Casimir lực Casimir gần vòng gần hai vịng - Nghiên cứu lực Casimir tồn phần, tổng hợp lực Casimir lượng tử lực Casimir trường trung bình Những khảo sát thực thống kế tắc thống kê tắc lớn b Hệ BEC hai thành phần: Với hệ BEC hai thành phần, tính phức tạp tính tốn tốn học, nên chúng tơi khảo sát thống kê tắc lớn chủ yếu tập trung vào: - Sử dụng phương pháp DPA để nghiên cứu lượng mặt lực Casimir-like - Nghiên cứu hiệu ứng Casimir gần vòng gần hai vòng Phương pháp nghiên cứu Để thực nghiên cứu trên, lựa chọn phương pháp nghiên cứu sau: - Khi nghiên cứu lực căng mặt ngồi, chúng tơi sử dụng phương pháp gần trường trung bình mà hệ BEC nhiệt độ khơng mơ tả (hệ) phương trình GP Để giải (hệ) phương trình này, chúng tơi sử dụng DPA - Để nghiên cứu lực Casimir, sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng Cornwall-Jackiw-Tombolis (CJT) Cấu trúc luận án Bên cạnh phần mở đầu, kết luận tài liệu trích dẫn, nội dung luận án trình bày ba chương: Chương Hệ thống lý thuyết nghiên cứu lực Casimir Chương Lực Casimir ngưng tụ Bose-Einstein thành phần Chương Lực Casimir ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần Chương Hệ thống lý thuyết nghiên cứu lực Casimir Trong chương này, cố gắng hệ thống lại nội dung liên quan đến hiệu ứng Casimir vật lý, đặc biệt môi trường ngưng tụ BoseEinstein Đồng thời trình bày hai phương pháp sử dụng rộng rãi để nghiên cứu hiệu ứng Casimir BEC hai thành phần 1.1 Tổng quan lực Casimir 1.1.1 Dao động điểm không biểu chúng Năng lượng điểm không mức lượng thấp hệ lượng tử Năng lượng chuyển động nguyên tử, phân tử tỉ lệ với nhiệt độ tuyệt đối nên nhiệt độ không tuyệt đối nguyên tử, phân tử đứng yên Tuy nhiên, hệ lượng tử bị chi phối nguyên lý bất định Heisenberg nên nguyên tử, phân tử dao động nhiệt độ không tuyệt đối Năng lượng hệ lúc gọi lượng điểm không Để đơn giản, ta xét dao động tử điều hịa chiều có tần số góc ω Ở trạng thái dừng thứ n, lượng En = ω n + , (1.1) với số Planck rút gọn n = 0, 1, Như vậy, trạng thái dao động tử điều hòa có lượng E0 = ω = (1.2) Đây gọi lượng điểm không Bằng chứng thực nghiệm tồn lượng điểm không quan sát Mulliken vào năm 1924 Như vậy, nhiệt độ không tuyệt đối ngun tử, phân tử ln dao động, điều tạo nên thăng giáng lượng tử 1.1.2 Hiệu ứng Casimir Vào năm 1948, H.B.G Casimir phát tương tác hai kim loại phẳng, trung hòa điện, đặt song song với trường điện từ Lực lực Casimir, có dạng π2 c S, (1.20) f =− 240 c số Planck vận tốc ánh sáng chân không, khoảng cách hai tấm, S diện tích phẳng thỏa mãn điều kiện S Để dẫn kết này, có nhiều phương pháp khác để khử phân kỳ lượng điểm khơng, có hai phương pháp phổ biến là: phương pháp sử dụng tenxơ-năng xung lượng phương pháp hàm zeta Riemann Các nghiên cứu lực Casimir phụ thuộc vào nhiều yếu tố: chất hệ, cấu trúc hình học hệ, điều kiện biên nhiệt độ Trong thực nghiệm, việc đo xác lực Casimir khó khăn do: thứ nhất, lực xuất vùng không gian nhỏ, thứ hai, việc tạo nên cấu trúc tính tốn ban đầu Casimir khó khả thi Đã có nhiều nỗ lực thực nghiệm để nghiên cứu lực Casimir kết chưa mong muốn Phải đến năm 1996, tức 48 năm sau phát hiện, Lamoreaux đo lực Casimir với sai số cỡ 5% so với tính tốn lý thuyết 1.2 1.2.1 Tình hình nghiên cứu lực Casimir ngưng tụ Bose-Einstein Ngưng tụ Bose-Einstein Boson hệ hạt có spin nguyên tuân theo thống kê Bose-Einstein Khi nhiệt độ T hệ nhỏ gần với nhiệt độ tới hạn TC0 số hạt ngưng tụ α T N0 = N − (1.18) TC0 1.2.2 Tổng quan nghiên cứu hiệu ứng Casimir BEC Nghiên cứu hiệu ứng kích thước hữu hạn hệ BEC thực Harber cộng vào năm 2005 nhằm xác định lực Casimir-Polder thực nghiệm Về mặt lý thuyết, cơng trình kể đến nghiên cứu A Edery với hệ BEC ba chiều Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử gần vòng, áp dụng cho hệ BEC, J Schiefele C Henkel dựa tính tốn Andersen phương pháp nhiễu loạn để tính lực Casimir nhiệt độ không nhiệt độ hữu hạn Kết cho thấy nhiệt độ không, lực Casimir lực hút giảm theo kích thước chiều bị giới hạn theo quy luật L−4 với L kích thước hệ theo chiều bị giới hạn Tuy nhiên, kết tính tốn chưa thể đưa nhìn tổng thể vấn đề xét miền không gian đủ lớn đủ nhỏ Bên cạnh đó, tác giả giới hạn khảo sát hệ GCE Một nhóm nghiên cứu khác S Biswas cộng sử dụng hình thức luận Hamilton để khảo sát lực tương tác hệ BEC Kết cơng trình tìm biểu thức giải tích lực căng mặt gây phần dư lượng mặt ngồi lý thuyết trường trung bình lực Casimir Trên sở này, tác giả đánh giá tương quan lực Casimir lực căng mặt ngồi Tích phân theo xung lượng (hoặc véctơ sóng) bị phân kì tử ngoại, nên phải đưa vào số hạng ngắt (cut-off) Λ để ngắt tích phân Ngồi ra, kết thu phải lấy giới hạn Λ → ∞ Việc khai triển xung lượng giới hạn đến bậc bốn điều không hợp lý Khắc phục vấn đề này, tác giả N.V Thu sử dụng cơng thức Euler-Maclaurin để khử phân kì tử ngoại Đồng thời, mở rộng nghiên cứu khía cạnh điều kiện biên xem xét hệ GCE CE Tuy nhiên, nghiên cứu dừng lại với gần vòng chưa xem xét hệ BEC cách triệt để Đối với môi trường BEC hai thành phần, hiệu ứng Casimir-like (tương ứng lực Casimir-like) tác giả N.V Thu cộng nghiên cứu trạng thái tới hạn demixing Theo đó, lực Casimir-like hệ khác không mà hai thành phần trộn lẫn vào Đây kết đặc biệt hiệu ứng kích thước hữu hạn lên tính chất tĩnh hệ BEC hai thành phần Với nghiên cứu lực Casimir hệ này, cịn bỏ ngỏ Do vậy, cơng việc luận án tập trung nghiên cứu ảnh hưởng hiệu ứng kích thước hữu hạn lên tính chất tĩnh hệ BEC hai thành phần, tập trung vào hai đại lượng quan trọng lực Casimir-like lực Casimir 1.2.3 Lý thuyết Gross-Pitaevskii a Phương trình Gross-Pitaevskii Phương trình GP thực chất dạng phi tuyến phương trình Schordinger xét gần trường trung bình Xét hệ BEC thành phần, khơng có trường ngồi, phương trình GP có dạng − 2m ∇2 − µ + g|Ψ(r)|2 Ψ(r) = (1.62) - Thế tương tác GP có dạng g VGP = −µ|Ψ|2 + |Ψ|4 (1.63) b Hệ phương trình Gross-Pitaevskii Đối với hệ BEC hai thành phần, tương tác cặp hạt gồm hai thành phần khác nhau: thứ tương tác cặp hạt thành phần, tương tác đặc trưng số tương tác gjj ; thứ hai tương tác cặp hạt hai thành phần với với số tương tác g12 - Áp dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu, ta tìm hệ phương trình GP khơng phụ thuộc thời gian − 2m1 ∇2 Ψ1 − µ1 Ψ1 + g11 |Ψ1 |2 Ψ1 + g12 |Ψ2 |2 Ψ1 = 0, (1.69) − 2m2 2 ∇ Ψ2 − µ2 Ψ2 + g22 |Ψ2 | Ψ2 + g12 |Ψ1 | Ψ2 = - Thế tương tác GP hệ có dạng −µj |Ψj |2 + gjj |Ψj |4 + g12 |Ψ1 |2 |Ψ2 |2 VGP = (1.70) j=1,2 1.2.4 Gần parabol kép Để tìm hiểu tính chất hệ BEC hai thành phần, yêu cầu phải giải (hệ) phương trình GP Do (hệ) phương trình GP (hệ) phương trình vi phân phi tuyến, để tìm nghiệm giải tích chúng tơi sử dụng phương pháp DPA Joseph cộng đề xuất vào năm 2015 Bằng cách khai triển từ giá trị khối hàm sóng rút gọn trạng thái giữ đến gần bậc hai, thu tương tác trong DPA dạng không thứ nguyên VDP A ≈ 2(φ − 1)2 − (1.78) Kết quả, thu phương trình Euler-Lagrange khơng thứ ngun giải giải tích ∂ 2φ − + α2 (φ − 1) = 0, ∂ρ với α = √ (1.79) 1.2.5 Tác dụng hiệu dụng Cornwall-Jackiw-Tombolis Để nghiên cứu lực Casimir, sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT Theo đó, trạng thái hệ xác định qua: - Phương trình khe ¯ G) ∂Vef f (φ, = ∂ φ¯ (1.89a) - Phương trình Schwinger-Dyson (SD) ¯ G) ∂Vef f (φ, = ∂G (1.89b) ¯ Khi hệ phương trình (1.89) cho nghiệm φ(x) = 0, nghĩa có phá vỡ đối xứng Như vậy, chế phá vỡ đối xứng tự động sinh hình thức luận tác dụng hiệu dụng CJT Chương Hiệu ứng Casimir ngưng tụ Bose-Einstein thành phần Trong chương này, nghiên cứu hiệu ứng Casimir hệ BEC thành phần bị giam không gian hai tường cứng đặt song song với cách khoảng Chọn trục 0z cho vng góc với hai tường cứng gốc tọa độ nằm hai tường Chúng khảo sát hệ GCE CE Bên cạnh việc nghiên cứu lực Casimir gần hai vòng, số vấn đề chưa giải triệt để cơng trình tác giả N.V Thu(75) khảo sát chương Nội dung chương cơng bố cơng trình 3, danh mục báo liên quan đến luận án 2.1 Nghiên cứu lực Casimir-like Để nghiên cứu lực Casimir-like hệ BEC thành phần, sử dụng điều kiện biên Dirichlet sử dụng rộng rãi tạo thực nghiệm cách sử dụng quang học quang từ 2.1.1 Trạng thái Trước hết, chúng tơi tìm hàm sóng mơ tả trạng thái hệ, tức tìm nghiệm phương trình GP gần DPA Điều kiện biên Dirichlet không thứ nguyên viết dạng φ − L =φ L = 0, (2.2) với L = /ξ Kết hợp với phương trình Euler-Lagrange dạng khơng thứ nguyên, thu tham số trật tự mô tả hàm sóng trạng thái (75) Thu N V (2018), "The forces on a single interacting Bose–Einstein condensate." Physics Letters A 382, 1078 2.2 Lực Casimir Trong phần này, khảo sát ảnh hưởng hiệu ứng kích thước hữu hạn lên lượng Casimir lực Casimir hệ BEC tương tác yếu gần Hartree-Fock (HF), có tính đến thăng giáng lượng tử Dựa vào phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT, chúng tơi nghiên cứu ảnh hưởng kích thước hữu hạn lên hệ BEC thành phần gần hai vòng Đồng thời, nghiên cứu lực Casimir toàn phần tác động lên tường cứng lực Casimir-like lực Casimir độc lập với GCE CE 2.2.1 Nghiên cứu gần vòng Khi nghiên cứu hệ gần vòng, sử dụng phương pháp ngắt xung lượng (cut-off) cách đưa vào giới hạn Λ cho xung lượng để khử phân kỳ UV Kết quả, lượng Casimir thu dạng Ω=− gn0 π φ ξ 1440L3 (2.45) Lực Casimir định nghĩa trái dấu đạo hàm bậc lượng Casimir theo khoảng cách tường cứng FC = − ∂Ω ∂ (2.46) a Nghiên cứu GCE Trong GCE, mật độ khối ngưng tụ không đổi nên độ dài đặc trưng ξ số Lực Casimir GCE có dạng gn0 π φ FC = − ξ 480L4 (2.48) Lực Casimir toàn phần tác động lên Ftotal = Fγ + FC (2.51) Từ phương trình (2.48), Hình 2.6 Hình 2.7 , chúng tơi có nhận xét sau: thứ lực Casimir ln lực hút, tăng cường độ lớn lực Casimir toàn phần tác dụng lên tấm; thứ hai có phân kì khoảng cách 0, đặc điểm điển hình biến dạng chân không; thứ ba độ lớn lực Casimir giảm mạnh tăng khoảng cách, điều cho thấy lực Casimir đáng ý khoảng cách nhỏ 12 0.00 -0.02 gn0 ξ2 F C -0.04 -0.06 -0.08 -0.10 -0.12 L Hình 2.6: Sự phụ thuộc lực Casimir vào L GCE 0.0 Ftotal -0.5 -1.0 -1.5 L Hình 2.7: Sự phụ thuộc lực Casimir toàn phần vào L GCE b Nghiên cứu CE Khi nghiên cứu CE, mật độ khối ngưng tụ n0 phụ thuộc vào khoảng cách tường cứng, độ dài đặc trưng phụ thuộc vào Do đó, lượng Casimir (2.45) viết lại dạng có thứ nguyên π2φ Ω=− 1440αmξI0 (2.53) Kết biểu thức lực Casimir CE có dạng FC = F0 M 1440αm3 g N cosh α ξ + − 3αξ sinh α ξ 2, (2.54) M =π S φ + 9S cosh sinh αξ αξ sinh αξ 9S − 29αmgN ξ cosh 13 + 4gmN αξ − 7αmgN cosh αξ -2 -4 -6 -8 -10 10 Hình 2.8: Sự phụ thuộc lực Casimir vào L CE Lực Casimir toàn phần tác dụng lên CE Ftotal = Fσ + FC (2.55) Bây giờ, giải số vấn đề bỏ ngỏ cơng trình tác giả N.V Thu Trước tiên, giống lực Casimir-like, tính số thực cho hệ BEC thành phần rubidi 87, thay cho hệ natri 23 Sự phụ thuộc vào khoảng cách hai tường cứng lực Casimir tồn phần vẽ Hình 2.9 Kết cho thấy, lực Casimir toàn phần lực đẩy vùng khoảng cách lớn (đường cong màu đỏ) lực hút vùng khoảng cách nhỏ (đường màu xanh) Đối với hệ ngưng tụ rubidi 87, lực tổng hợp đổi chiều điểm M với L = 1.0327 Điểm trùng khớp xác với điểm tổng lượng E = σ + Ω cực đại Hình 2.10 300 250 200 150 100 50 M -50 10 Hình 2.9: Sự phụ thuộc lực Casimir tồn phần vào L CE Kết cho thấy rằng, lực Casimir CE GCE khác độ lớn tốc độ suy giảm khoảng cách tường cứng tăng lên Một kết chưa khảo sát cơng trình tác giả N.V Thu thay cho quy luật suy giảm theo lũy thừa nguyên khoảng cách hai tường cứng 14 100 80 60 40 20 M -20 10 Hình 2.10: Sự phụ thuộc tổng lượng vào L CE GCE, CE lực Casimir suy giảm theo lũy thừa bán nguyên khoảng cách hai tường cứng Hơn nữa, xem xét hệ CE, lực Casimir-like lực Casimir (ở dạng không thứ nguyên) không phụ thuộc vào khoảng cách hai tường cứng mà phụ thuộc vào hệ cụ thể: số hạt hệ, khối lượng nguyên tử ngưng tụ cường độ tương tác nguyên tử Tại vị trí mà lực tổng hợp triệt tiêu, lực Casimir-like lực Casimir có độ lớn ngược chiều Do đó, chúng tơi tìm giá trị khoảng cách hai tường mà lực Casimir toàn phần triệt tiêu ≈ 121π S 450m3 g N 1/7 (2.58) Như vậy, với hệ nguyên tử khác tồn giá trị khoảng cách hai tường cứng mà lực Casimir toàn phần bị triệt tiêu 2.2.2 Nghiên cứu gần hai vòng Các nghiên cứu lực Casimir trước dừng lại gần bậc thấp (gần vòng) Để khảo sát ảnh hưởng co gọn chiều không gian lên tính chất tĩnh hệ BEC thành phần, mở rộng nghiên cứu xét tới gần bậc cao (gần hai vòng) Sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT cách thêm số hạng vào hiệu dụng gần HF để khôi phục định lý Goldstone, thu phương trình SD phương trình khe mơ tả trạng thái hệ BEC thành phần dạng không thứ nguyên 3g mM1/2 M = −1 + 3φ + , 12 g mM1/2 −1 + φ + = 12 2 15 (2.81) Kết thu cho khối lượng hiệu dụng tham số trật tự có dạng M = 2, (2.82) φ= 1+ mgM1/2 24 Lξ (2.83) ϕ 0 L Hình 2.11: Sự phụ thuộc tham số trật tự vào L gần hai vòng Từ kết thu chúng tơi nhận thấy, có khác biệt tham số trật tự gần vòng Trong gần vòng, tham số trật tự số đồng Biểu thức (2.83) cho thấy rằng, gần HF cải tiến (IHF), tham số trật tự phụ thuộc mạnh vào khoảng cách tường cứng, đặc biệt miền L nhỏ bị phân kì khoảng cách tiến tới không Do khối lượng hiệu dụng số không phụ thuộc vào khoảng cách hai song song nên khơng ảnh hưởng đến lực Casimir Vì vậy, biểu thức lực Casimir tương tự gần vòng 16 Chương Hiệu ứng Casimir ngưng tụ Bose-Einstein hai thành phần Trong chương này, nghiên cứu hiệu ứng Casimir hệ BEC hai thành phần, tương tác hạt thành phần cịn có tương tác hạt hai thành phần khác nhau, với cường độ tương tác xác định số tương tác g12 Do tương tác mà hệ BEC hai thành phần trạng thái trộn lẫn không trộn lẫn Khi trạng thái không trộn lẫn, tương tác hạt hai thành phần khác tạo nên nhiều thay đổi tính chất hệ, đặc biệt trạng thái phân tách mạnh Nội dung chương công bố cơng trình danh mục báo liên quan đến luận án 3.1 Nghiên cứu lực Casimir-like Xét hệ BEC hai thành phần trạng thái cân bằng, bị giới hạn hai tường cứng đặt song song với nhau, vng góc với trục 0z cách khoảng Chúng giả thiết tường cứng đặt z = z = , mặt phân cách hai thành phần nằm z = /2 Thực chất, thành phần BEC hai thành phần giam hình chữ nhật với kích thước theo phương 0x, 0y, 0z x , y , z = thỏa mãn x , y Vẫn với điều kiện biên Dirichlet, nghiên cứu lực Casimi-like hệ BEC phương pháp DPA GCE 3.1.1 Trạng thái - Điều kiện biên Dirichlet dạng không thứ nguyên φj (ρ = 0) = φj (ρ = L) = 0, với j = (1, 2) (3.9) - Sử dụng phương pháp DPA điều kiện biên (3.9), thu 17 hàm sóng ngưng tụ mơ tả trạng thái hệ φ1 = e−αρ eαρ − eαL φ2 = −2B1 e A1 (eαL + eαρ ) + , β(L − ρ) sinh , ξ Lβ ξ (3.10a) (3.10b) bên phải mặt phân cách, φ1 = A2 eβρ − e−βρ , αρ φ2 = B2 e ξ − e −αρ ξ (3.11a) +1−e −αρ ξ , (3.11b) bên trái mặt phân cách 1.0 ϕ2 ϕ1 0.8 0.6 K❂3, ξ❂1 0.4 0.2 0.0 10 15 20 ρ Hình 3.1: Hàm sóng trạng thái ứng với K = ξ = - Đối với trường hợp phân tách mạnh, tức K → ∞ φ1 = φ2 = − cosh 0, 3αL − αρ sech αL 0, − cosh , ρ > L/2; ρ < L/2 ρ > L/2; α(L−4ρ) 4ξ sech αL 4ξ , ρ < L/2 (3.14) (3.15) Trong trường hợp này, thành phần phân tách hoàn toàn 3.1.2 Lực Casimir -like Để tính lượng bề mặt phân cách, hệ chúng tơi khảo sát có khác biệt so với hệ khảo sát cơng trình Joseph(36) Schaeybroeck(64) sau: (36) Indekeu J O., Lin C -Y., Thu N V., Schaeybroeck V B., Phat T H (2015), "Static interfacial properties of Bose–Einstein-condensate mixtures", Physical Review A 91, 033615 (64) Schaeybroeck B V (2008), "Interface tension of Bose-Einstein condensates", Physical Review A 78, 023624 18 - Chúng khảo sát hệ có kích thước hữu hạn theo ba chiều không gian, đặc biệt dọc theo phương trục 0z Tức hệ khảo sát tương tự hệ khảo sát công trình N V Thu cộng (74) ; - Trong trường hợp tổng quát, hệ phương trình GP, nói trên, khơng có lời giải giải tích Để đánh giá lực Casimir-like miền khác số tương tác K, tác giả Schaeybroeck N V Thu sử dụng "hằng số chuyển động" để đưa số hạng động từ đạo hàm bậc hai đạo hàm bậc hàm sóng Trong khn khổ luận án này, sử dụng DPA, chúng tơi tìm biểu thức giải tích hàm sóng nên tính trực tiếp sức căng mặt phân cách từ biểu thức định nghĩa nó; - Do hàm sóng DPA xác định cho hai miền khác mặt phân cách, nên để tính lượng bề mặt, trước tiên chúng tơi tính cho phía mặt phân cách thực phép lấy tổng để thu kết cho toàn hệ Kết sức căng mặt phân cách có dạng γ12 =2P ξ1 α L eα − +ξ − e L − αξ L + A1 eLα − e α Lα − 4B2 sinh 4ξ (3.22) 20 γ12 Pξ1 15 10 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 K Hình 3.2: Sự biến thiên sức căng mặt phân cách theo 1/K L = 10 ξ = 0.5 (đường màu đen), ξ = (đường màu đỏ) ξ = (đường màu xanh) Kết cho thấy tương tự sức căng mặt phân cách BEC hai thành phần sức căng bề mặt BEC thành phần: khoảng cách hai tường cứng giảm sức căng mặt phân cách giảm nhanh không hệ kết nối với bể hạt; khoảng cách tường cứng đủ lớn sức căng đạt giá trị không đổi Điểm khác biệt vai trò tham số ξ = ξ2 /ξ1 (74) Thu N V., Phat T H., Song P T (2017), "Finite-size effects of surface tension in two segregated BECs confined by two hard walls", Journal of Low Temperature Physics 186, 127 19 Khi tham số tăng lên biên độ bão hịa sức căng mặt phân cách tăng lên Dựa vào sức căng mặt phân cách, chúng tơi tìm biểu thức giải tích cho lực Casimir-like GEC L Fγ12 = −α2 e− αξ + B2 − B2 e αL ξ +e L(1+ξ) αξ L + A1 − 4A1 e α + 3A1 eαL (3.27) 0.10 0.05 0.00 F/Pξ1 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 ξ=1 -0.25 10 15 20 25 30 L Hình 3.6: Sự phụ thuộc lực tác dụng lên đơn vị diện tích tường cứng theo L ξ = Các đường nét liền, nét gạch nét chấm ứng với K = 1.1, K = K = 0.05 0.00 F/Pξ1 -0.05 -0.10 -0.15 -0.20 ξ=3 -0.25 10 15 20 25 30 L Hình 3.7: Sự phụ thuộc lực tác dụng lên đơn vị diện tích tường cứng theo L ξ = Các đường nét liền, nét gạch nét chấm ứng với K = 1.1, K = K = Từ kết giải tích, đồ thị họa Hình 3.6 Hình 3.7, chúng tơi nhận thấy trường hợp hệ phân tách yếu K < 3, lực Casimir-like lực hút hai tường cứng gần nhau, trở thành lực đẩy hai tường cứng tiến xa L ξ Trong trường hợp hệ phân tách mạnh K > 3, lực Casimir-like lực hút triệt tiêu với tham số hệ L → +∞ 20 3.2 Lực Casimir Tương tự với BEC thành phần, sử dụng lý thuyết trường lượng tử để nghiên cứu lực Casimir hệ BEC xem xét hệ gần vòng hai vòng 3.2.1 Nghiên cứu gần vòng Trong phần này, sử dụng phương pháp số hạng hấp thụ 1j Ω để khử phân kỳ xem xét dạng không thứ nguyên, thu biểu thức lượng Casimir ∞ ¯j) ρj (x, L , (3.52) ECj = dx 2πx e − ¯ j ) mật độ hàm trạng thái thành phần thứ j, có dạng với ρj (x, L ¯j) ρj (x, L  g n   − jj j0 x   8πL¯ 4j ξj2 =    − gjj nj0 φ4j , 16ξ j ¯ φ2 − x2 2x2 − L ¯ φ4 tan−1 ¯ φ2 + L L j j j j j j √ ¯ 2x Lj φj −x2 , ¯ j φj ; ≤ x < L ¯ j φj x ≥ L (3.53) Do đó, biểu thức lực Casimir thu gjj nj0 FC = ¯5 2π ξj2 L j j=1,2 ¯ j φj L x3 ¯ φ2 − x2 L j j e2πx − dx (3.55) Từ biểu thức (3.55), nhận thấy rằng, lực Casimir BEC hai thành phần không đơn giản chồng chất lực Casimir gây thành phần đơn lẻ Sự tương tác hai hạt khác loại với cường độ g12 có mặt φj Ta thấy rằng, lực Casimir bao gồm hiệu ứng kích thước hữu hạn lực đẩy hạt Phương trình cho thấy rằng: - Đối với hệ Bose lý tưởng gjj = 0, lực Casimir bị biến nghiên cứu S Biswas với BEC thành phần - Trong trường hợp khơng có tương tác khác loại g12 = 0, hệ biểu BEC thành phần Trong trường hợp tham số trật tự không phụ vào g12 , điều dẫn đến hàm truyền nghịch đảo nhiệt động không phụ thuộc vào g12 - Trong giới hạn phân tách mạnh g12 → ∞, hai tham số trật tự giao triệt tiêu bề mặt phẳng song song với hai giới hạn hệ Vì ta 21 xem xét kích thích lượng thấp, nên ta xem lực hút gây thăng giáng lượng tử lực đẩy hai hạt khác loại giới hạn phân tách mạnh Về mặt vật lý, giới hạn phân tách mạnh, tương tác đẩy hạt hai thành phần khác làm cho mật độ ngưng tụ mặt phân tách hai thành phần khơng khơng cịn thăng giáng mật độ hạt nên lực Casimir bị triệt tiêu Bây ta xem xét lực Casimir giới hạn khoảng cách lớn Ta có lượng Casimir viết lại ECj m3j c2j =− 360π φj − ¯ 7φj L ¯5 L j j (3.58) Lực Casimir thu giới hạn FC ≈ 720π m3j c2j j=1,2 3φj − ¯6 ¯4 7φj L L j j (3.59) 0.000 FC /(gn0 / )10-4 -0.005 -0.010 -0.015 -0.020 -0.025 -0.030 10 12 L ¯ K = 0.5 (đường màu đỏ), K = Hình 3.8: Sự phụ thuộc lực Casimir vào khoảng cách L (đường màu xanh lá) K = 1.5 (đường màu xanh lam) Từ đồ thị biểu diễn phụ thuộc lực Casimir theo khoảng cách, chúng tơi thấy rằng, có tương tự với lực Casimir hệ BEC thành phần Điểm khác biệt bật lực bị triệt tiêu trường hợp hệ bị phân tách mạnh hồn tồn, kết chưa có nghiên cứu trước Kết kiểm chứng Hình 3.9 đồ thị biểu diễn phụ thuộc lực Casimir theo 1/K (Hình 3.9a) với trường hợp không trộn lẫn K với trường hợp trộn lẫn (Hình 3.9b) Nó cho thấy, với phân tách mạnh hồn tồn K → ∞ lực Casimir tiến tới không 3.2.2 Nghiên cứu gần hai vịng Với mục đích khảo sát hiệu ứng kích thước hữu hạn hệ BEC hai thành phần kiểm chứng kết thu gần vịng Chúng tơi 22 (a) (b) Hình 3.9: Sự phụ thuộc lực Casimir vào tham số tương tác L = (đường màu đỏ), L = (đường màu xanh lá) L = (đường màu xanh lam) tiếp tục nghiên cứu hệ BEC hai thành phần gần bậc cao (gần hai vòng) cách sử dụng phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT Bằng hình thức tương tự Chương 2, chúng tơi thu phương trình khe phương trình SD mơ tả trạng thái hệ BEC hai thành phần dạng không thứ nguyên m2 g22 M2 m1 g11 M1 + K = 0, 24 24 m1 g11 M1 m2 g22 M2 −1 + φ22 + Kφ21 + +K = 0, 24 24 m2 g22 M2 m1 g11 M1 −1 + 3φ21 + Kφ22 + + K = M21 , 2 24 24 m g M m 22 g11 M1 −1 + 3φ22 + Kφ21 + + K = M22 2 24 24 −1 + φ21 + Kφ22 + (3.75) Kết là, thu tham số trật tự khối lượng hiệu dụng dạng không thứ nguyên M21 = M22 = + K + 12 φ22 = + K + 12 φ21 = , K +1 g11 m1 , 2(K + 1) g22 m2 2(K + 1) (3.76) So sánh với kết tham số trật tự gần vòng, thấy co lại không gian có ảnh hưởng đáng kể đến tham số trật tự, đặc biệt vùng khoảng cách nhỏ, với gần vịng tham số trật tự độc lập với khoảng cách Ta viết lại tham số trật tự dạng φ2j = φ2j1 + ∆φ2j với số hạng bổ ∆φ2j = mj gjj 12 23 2(K + 1) (3.78) Từ biểu thức (3.78), ta thấy số hạng bổ biến với hệ BEC lý tưởng đủ lớn 1.0 0.9 0.8 0.7 ϕ2 0.6 ϕ1 0.5 ℓ Hình 3.10: Sự phụ thuộc tham số trật tự không thứ nguyên khoảng cách Rubidium (đường màu đỏ) Caesium (đường màu xanh) cho Trên Hình 3.10 đồ thị biểu diễn tham số trật tự hàm khoảng cách cho hỗn hợp BEC hai thành phần gồm rubidium 87 caesium 133 Các đường màu đỏ màu xanh tương ứng với rubidium caesium; đường màu đen biểu thị giá trị 1/(K + 1) giá trị gần vòng Con số xác nhận tính tốn trên, đồng thời cho thấy khác biệt kết gần hai vịng gần vịng Khi đó, lượng Casimir đơn vị thể tích dạng khơng thứ ngun có dạng gjj nj0 ξj π Mj ECj = − (3.79) 1440 Từ kết (3.76), thấy rằng, khối lượng hiệu dụng không thứ nguyên không phụ thuộc vào khoảng cách Lực Casimir viết lại dạng π2 √ FC = − vj 480 K + j=1,2 (3.80) Biểu thức (3.80) khẳng định kết lực Casimir gần vịng phần Nó cho thấy lực Casimir BEC hai thành phần không đơn giản chồng chất hai thành phần có mặt số tương tác g12 tham số K Bên cạnh đó, kết cho thấy lực Casimir bị triệt tiêu giới hạn phân tách mạnh K → ∞, điều trùng với kết thu gần vòng 24 Kết luận Trong luận án này, cở sở sử dụng lý thuyết GP gần DPA, phương pháp tác dụng hiệu dụng CJT gần vịng hai vịng, chúng tơi nghiên cứu hiệu ứng Casimir hệ BEC thành phần hai thành phần Nhiều kết quan trọng thu khuôn khổ luận án Sau đây, điểm lại kết quan trọng Với BEC thành phần, nghiên cứu CE ta thấy: - Khi khoảng cách tường cứng tăng lên, độ lớn lực Casimir giảm dần theo quy luật lũy thừa bán nguyên khoảng cách hai tường cứng; - Luôn tồn giá trị khoảng cách hai tường cứng mà lực Casimir tồn phần bị triệt tiêu Điều xảy khoảng cách hai tường cứng thỏa mãn công thức (2.58) Đây kết quan trọng, mặt khoa học, định hướng cho nghiên cứu thực hiệu ứng Casimir hệ BEC thành phần Trong công nghệ, muốn giảm thiểu ảnh hưởng lực tương tác biên giới hạn linh kiện điện tử ảnh hưởng linh kiện thiết bị nhà thiết kế, chế tạo chọn khoảng cách Kết quan trọng lĩnh vực vật liệu nano BEC đưa vào ứng dụng vật liệu khác cơng trình nghiên cứu vào năm 2001 H Chan F Serry năm 1998 Với BEC hai thành phần, lực Casimir bị triệt tiêu trường hợp phân tách hồn tồn Kết có ý nghĩa lớn việc nghiên cứu đưa BEC vào ứng dụng trình bày Khi nghiên cứu ảnh hưởng hiệu ứng kích thước hữu hạn hệ BEC hai thành phần ta không nên bỏ qua đóng góp giản đồ bậc cao Lagrange tương tác Các kết nghiên cứu luận án đáng tin cậy, công bố ba tạp chí quốc tế uy tín Journal of Statistical Physics, International Journal of Modern Physics B Jounrnal of Experimental and Theoretical Physics 25 Danh sách công trình cơng bố kết nghiên cứu luận án N V Thu, L T Theu (2017), "Casimir Force of Two-Component Bose–Einstein Condensates Confined by a Parallel Plate Geometry", Journal of Statistical Physics 168, N V Thu, L T Theu (2019), "Finite-size effect on Bose–Einstein condensate mixtures in improved Hartree–Fock approximation", International Journal of Modern Physics B 33, 1950114 N V Thu, L T Theu (2018), "Influence of the Finite Size Effect on Properties of a Weakly Interacting Bose Gas in Improved Hatree-fock Approximation", VNU Journal Of Science: Mathematics - Physics 34, L T Theu, N V Thu (2018), "Casimir force on a single interacting Bose-Einstein condensate in the Double-Parabola Approximation", HNUE JOURNAL OF SCIENCE: Natural Sciences 6, 66 N V Thu, L.T Theu, D T Hai (2020), "Casimir and surface forces on a single Bose-Einstein condensate in canonical ensemble", Jounrnal of Experimental and Theoretical Physics 130, 321 26 ... chất hệ BEC cần mở rộng nghiên cứu thêm Nhằm đóng góp định hướng cho nghiên cứu thực nghiệm hiệu ứng Casimir môi trường BEC, chọn ? ?Nghiên cứu hiệu ứng Casimir hệ ngưng tụ Bose- Einstein? ?? đề tài nghiên. .. Chương Hệ thống lý thuyết nghiên cứu lực Casimir Chương Lực Casimir ngưng tụ Bose- Einstein thành phần Chương Lực Casimir ngưng tụ Bose- Einstein hai thành phần Chương Hệ thống lý thuyết nghiên cứu. .. để nghiên cứu lượng mặt lực Casimir- like - Nghiên cứu hiệu ứng Casimir gần vòng gần hai vòng Phương pháp nghiên cứu Để thực nghiên cứu trên, lựa chọn phương pháp nghiên cứu sau: - Khi nghiên cứu