Hệ Boussinesq/ Boussinesq trong cơ học chất lỏng : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 30

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC LỘC HỆ BOUSSINESQ/BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC LỘC HỆ BOUSSINESQ/BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chun ngành: TỐN HỌC TÍNH TOÁN Mã số : 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS CUNG THẾ ANH Hà Nội - Năm 2013 Mục lục Lời cảm ơn ii Lời nói đầu iii Bảng kí hiệu vii Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq 1.1 Các phương trình Euler mơ hình đầy đủ 1.2 Khai triển tiệm cận toán tử 1.3 Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq 11 2.1 Tính đặt toán giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = 11 2.2 Xấp xỉ số toán giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = 14 Kết luận 20 Tài liệu tham khảo 21 i Lời nói đầu Sự lan truyền sóng biên độ nhỏ bề mặt chất lỏng lí tưởng (trên đáy nằm ngang) tác dụng trọng lực mô tả họ hệ Boussinesq [8],  (1 − εa2 ∆)∂t ζ + ∇ · V + ε(∇ · (ζV ) + a1 ∆∇ · V ) = 0, (1) (1 − εa4 ∆)∂t V + ∇ζ + ε( ∇|V |2 + a3 ∆∇ζ) = 0, với a1 , a2 , a3 , a4 xác định sau: a1 = θ2 − a3 = − θ2 µ, λ, a2 = a4 = θ2 − (1 − λ), − θ2 (1 − µ), ≤ θ ≤ λ, µ ∈ R ba tham số Đại lượng ζ(X, t) + h0 , X ∈ Rd (d = 1, 2) độ sâu toàn phần chất lỏng điểm X thời điểm t, h0 độ sâu nước khơng xốy Biến V (X, t) vận tốc ngang điểm (X, z) = (X, θh0 ) thời điểm t Xấp xỉ Boussinesq có hiệu lực ε = a/h0 1, λ/h0 1, a cao độ lớn mức h0 , λ bước sóng điển hình Các hệ Boussinesq mơ tả chuyển động sóng dài có biên độ nhỏ bề mặt chất lỏng lí tưởng Hơn nữa, đề cập [8], từ hệ (1), ta thu nhiều hệ quen thuộc vật lí tốn như: hệ Boussinesq cổ điển, hệ Kaup, hệ Bona-Smith, hệ cặp BBM, hệ cặp KdV, hệ cặp KdV-BBM, hệ cặp BBM-KdV, Tính đặt địa phương toán Cauchy toán giá trị biên ban đầu cho hệ dạng Boussinesq nghiên cứu nhiều nhà toán học (xem [5, 7, 9, 13, 14, 15, 16, 19]) Trong đó, Bona, Colin Lannes [10] chứng minh nghiệm hệ đề cập đến cho xấp xỉ tốt nghiệm phương trình Euler khoảng thời gian dài cỡ 1/ε Gần đây, kết mở rộng trường hợp đáy không phẳng Chazel [12] Song song với lí thuyết sóng nước bề mặt, lí thuyết tốn học sóng mặt phân cách hai lớp chất lỏng không trộn lẫn với mật độ khác có sức hút thú vị lí tưởng đơn giản lan truyền sóng iii Lời nói đầu phức tạp thách thức việc mơ hình hóa, vấn đề định tính xấp xỉ số nghiệm xuất nghiên cứu hệ Vì vậy, vài thập kỉ gần đây, lí thuyết sóng nhiều nhà tốn học nhà vật lí nghiên cứu, đặc biệt tính đặt mơ hình tiệm cận Một bước tiến quan trọng lí thuyết sóng đạt vào năm 2008 Bona, Lannes Saut [11] Họ đề xuất phương pháp tổng quát thiết lập cách hệ thống cho lớp lớn chỉnh thể, mơ hình tiệm cận cho lan truyền sóng mặt phân cách hai lớp chất lỏng không trộn lẫn với mật độ khác nhau, ảnh hưởng trọng lực, mặt cứng, đáy phẳng không xuất sức căng bề mặt Họ thiết lập vài mơ hình cổ điển số mơ hình Họ chứng minh mơ hình tiệm cận tương thích với hệ phương trình Euler đầy đủ Các kết sau mở rộng sang trường hợp đáy khơng phẳng có sức căng bề mặt [1] Trong luận văn này, tác giả tìm hiểu tốn sóng với đáy phẳng khơng xuất sức căng bề mặt dịng có cấu trúc Boussinesq miền chất lỏng Hệ thống bao gồm chất lỏng có độ sâu d1 với mật độ nằm lớp chất lỏng khác có độ sâu d2 với mật độ > Đặt a biên độ điển hình biến dạng mặt phân cách λ bước sóng điển hình Ta đưa tham số sau: γ := , δ := d1 , d2 ε := a , d1 d21 , λ2 µ := ε2 := a = εδ, d2 µ2 := d22 µ = 2 λ δ Dựa theo cách tiếp cận [2, 11], ε ∼ µ ∼ ε2 ∼ µ2 1, theo biến khơng thứ ngun, mơ hình đầy đủ tương thích với hệ Boussinesq/Boussinesq đây:  δ2 − γ   (1 − µa ∆)∂ ζ + ∇ · v + ε ∇ · (ζvα ) + µa1 ∇ · ∆vα =  α t γ+δ (γ + δ)2 (2) ε δ2 − γ   ∇|vα | + µa3 (1 − γ)∆∇ζ = 0, (1 − µa4 ∆)∂t vα + (1 − γ)∇ζ + 2 (γ + δ) ζ độ lệch so với mặt phân cách trạng thái tĩnh, vα = (1 − µα∆)−1 v với v "biến vận tốc" số a1 , a2 , a3 , a4 cho bởi: a1 = (1 − α1 )(1 + γδ) − 3δα(γ + δ) 3δ(γ + δ) a4 = α(1 − α2 ) a3 = αα2 , , a2 = γα1 , 3(γ + δ) Quan hệ phân tán liên kết với hệ (2) 2 ω = |k| − µa1 |k|2 )(1 − γ)(1 − µa3 |k|2 ) ( γ+δ (1 + µa2 |k|2 )(1 + µa4 |k|2 ) iv Lời nói đầu Do đó, hệ (2) đặt tuyến tính a2 , a4 ≥ a1 , a3 ≤ Khi γ = 0, δ = 1, ta khơi phục lại hệ Boussinesq (1) cho sóng bề mặt Hệ Boussinesq/Boussinesq thiết lập lần [11] đáy phẳng, sau [2] hồn cảnh tổng qt đáy khơng phẳng có sức căng bề mặt Tính đặt địa phương toán Cauchy hệ Boussinesq/Boussinesq nghiên cứu trọn vẹn cơng trình [2, 3] Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tính đặt xấp xỉ số nghiệm toán giá trị biên ban đầu hệ Boussinesq/Boussinesq (2) trường hợp đặc biệt: a2 , a4 > 0, a1 = a3 = Ngoài lời cảm ơn, lời nói đầu, bảng kí hiệu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Dựa vào hai báo [2] [11] mục Tài liệu tham khảo, chương thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq cho toán sóng với đáy phẳng khơng xuất sức căng bề mặt dịng có cấu trúc Boussinesq miền chất lỏng Chương 2: Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq Chương chứng minh tính đặt (sự tồn nghiệm) đưa phương pháp xấp xỉ số nghiệm toán giá trị biên ban đầu hệ Boussinesq/Boussinesq thiết lập Chương trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = Các kết chương hoàn thiện trước cơng bố (xem [4]) Các kí hiệu: Kí hiệu X biến d-chiều theo chiều ngang (d = 1, 2) Vì vậy, X = x d = X = (x, y) d = 2, z biến theo chiều dọc Kí hiệu ∇ ∆ toán tử gradient toán tử Laplace, ∇X,z √ ∆X,z phiên (d + 1)-biến Với µ > 0, ta kí hiệu ∇µX,z = ( µ∇T , ∂z )T ∆µX,z = ∇µX,z · ∇µX,z = µ∆X + ∂z2 Nếu f u hai hàm xác định Rd , ta dùng kí hiệu nhân tử Fourier f (D)u xác định biến đổi Fourier: f (D)u = f u Phép chiếu trực giao trường véc tơ gradient L2 (Rd )d kí hiệu v Lời nói đầu Π xác định công thức Π=− ∇∇T |D|2 (Π = Id d = 1) Toán tử Λ = (1 − ∆)1/2 xác định tương đương kí hiệu nhân tử Fourier Λ = (1 + |D|2 )1/2 Hai nhân tử Fourier Tµ Tµ2 xác định sau: Tµ = tanh(∂µ |D|), Tµ2 = tanh(∂µ2 |D|), µ, µ2 > |D| = (−∆)1/2 vi Bảng kí hiệu Lp (Ω) W k,p (Ω) H k (Ω) Hk (Ω) H −k (Ω) H−k (Ω) H0k (Ω) Hk0 (Ω) (., ) ··· không gian Lebesgue, ≤ p ≤ ∞ không gian Sobolev không gian Sobolev W k,2 (Ω) khơng gian tích H k (Ω) × H k (Ω) không gian đối ngẫu H k (Ω) không gian đối ngẫu Hk (Ω) không gian hàm H k (Ω) mà "bằng không biên ∂Ω" khơng gian tích H0k (Ω) × H0k (Ω) tích vơ hướng L2 bất đẳng thức ≤ C · · · , C số dương độc lập với ε vii Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq 1.1 Các phương trình Euler mơ hình đầy đủ Ta nghiên cứu tốn sóng trong trường hợp đáy phẳng không xuất sức căng bề mặt Mơ hình tốn (hình 1) bao gồm lớp chất lỏng có độ sâu d1 mật độ nằm lớp chất lỏng khác có độ sâu d2 mật độ > Đặt Ωit miền chiếm chất lỏng i (i = 1, 2) thời điểm t, Γ1 := {z = 0} , Γ2 := {z = −d1 − d2 } hai biên cứng Γt := {z = −d1 + ζ(t, X)} mặt phân cách hai lớp chất lỏng Theo [11], Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq chuyển động sóng trong, với hai hàm vận tốc φ1 , φ2 mơ tả hệ phương trình: ∆X,z φi = Ωit (1.1) Giả thiết mật độ trình Bernouilli, i (i = 1, 2) hai chất lỏng số, ta có hai phương ∂t φi + ∇X,z φi 2 =− P − gz i Ωit , (1.2) g gia tốc trọng trường P áp suất bên lớp chất lỏng Các phương trình (1.2) bổ sung thêm hai điều kiện biên để đảm bảo vận tốc phải theo phương nằm ngang hai biên cứng Γ1 := {z = 0} , Γ2 := {z = −d1 − d2 }, ∂z φi = Γi , (i = 1, 2) (1.3) Giả thiết mặt phân cách mô tả đồ thị hàm ζ(t, X), (ζ(t, X) độ lệnh so với mặt phân cách trạng thái tĩnh (X, −d1 ) tọa độ X thời điểm t) mặt phân cách Γt := {z = −d1 + ζ(t, X)} khơng có xáo trộn hai chất lỏng Điều kiện này, với chất lỏng thứ i (i = 1, 2) mô tả quan hệ ∂t ζ = + |∇ζ|2 vni , vni đạo hàm vận tốc theo phương pháp tuyến chất lỏng i bề mặt phân cách, + |∇ζ|2 ∂n φ1 ∂t ζ = Γt (1.4) Vì thành phần vận tốc theo phương pháp tuyến phải liên tục mặt phân cách nên ∂n φ1 = ∂n φ2 Γt , (1.5) với ∂n := n · ∇X,z n := 1 + |∇ζ|2 (−∇ζ, 1)T Điều kiện cuối liên quan tới áp suất bên lớp chất lỏng, P liên tục mặt phân cách (1.6) Một họ phương trình rút từ phương trình sóng (1.1)(1.6) Ta định nghĩa vết hai hàm φ1 , φ2 mặt phân cách, ψi (t, X) := φi (t, X, −d1 + ζ(t, X)), (i = 1, 2) Bằng cách ước lượng từ (1.2) mặt phân cách dùng (1.4) (1.5), ta thu họ phương trình liên quan tới ζ ψi : ∂t ζ − + |∇ζ|2 ∂n φi = 0, (1.7) Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq ta thu 1 ∇(φapp |z=0 ) = − δ∇ψ1 − µδ − ∆∇ψ1 + ε2 (1 + δ)Π(ζ∇ψ1 ) + O(ε2 ) δ Do đó, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.2.2 [3] Cho t0 > d/2, s ≥ t0 + 1/2, ζ ∈ H s+3/2 (Rd ) cho (1.10) (1.11) thỏa mãn Khi đó, với ψ1 cho ∇ψ1 ∈ H s+5/2 (Rd ), ta có 1 Hµ,δ [εζ]ψ1 − −δ∇ψ1 − µδ − ∆∇ψ1 + ε2 (1 + δ)Π(ζ∇ψ1 ) δ Hs √ 5/2 µ + ε2 µ 1 max max ≤ C , ,δ , µ2 , |ζ|H s+3/2 |∇ψ1 |H s+5/2 √ µ2 H1 H2 Ước lượng theo ε ∈ [0, 1], µ ∈ (0, 1) δ ∈ (0, δ max ) cho µ2 = µ/δ ∈ (0, µmax ) √ Chứng minh Tương tự chứng minh Hệ [11] Chú ý µ xuất √ số hạng ε22 µ biểu thức cho φ(0) Điều cho phép ta tăng độ xác khai triển biểu thức tốn tử Hµ,δ [εζ] 1.3 Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Ta thiết lập dạng tiệm cận phương trình (1.14) chỉnh thể Boussinesq/Boussinesq Mơ hình tiệm cận thiết lập từ (1.14) cách thay hai tốn tử Gµ [εζ], Hµ,δ [εζ] khai triển tiệm cận chúng dùng "thủ thuật BBM", thay đổi biến Ta chứng minh chỉnh thể tại, phương trình sóng (1.14) tương thích với hệ Boussinesq/Boussinesq đây:  δ2 − γ  (1 − µa2 ∆)∂t ζ + ∇ · vα + ε ∇ · (ζvα ) + µa1 ∇ · ∆vα = 0, γ+δ (γ + δ)  (1 − µa4 ∆)∂t vα + (1 − γ)∇ζ + ε δ − γ ∇ |vα |2 + µa3 (1 − γ)∆∇ζ = 0, (γ + δ)2 (1.17) vα = (1 − µα∆)−1 v số a1 , a2 , a3 a4 xác định bên Định lí 1.3.1 Cho < cmin < cmax , < µmin < µmax , đặt 2 a1 = (1 − α1 )(1 + γδ) − 3δα(γ + δ) , 3δ(γ + δ)2 a3 =αα2 , a4 = α(1 − α2 ), a2 = γα1 , 3(γ + δ) Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq với α1 , α ≥ α2 ≤ Với cách chọn tham số trên, phương trình sóng (1.14) tương thích với phương trình Boussinesq/Boussinesq (1.17), với độ xác O(ε2 ) theo ε ∈ [0, 1], µ, δ ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện cmin ≤ ε ≤ cmax , µ µmin ≤ µ ≤ µmax δ2 Chú ý 1.3.1 Cho γ = 0, δ = phương trình hệ Boussinesq/Boussinesq (1.17), ta có hệ thu gọn sau   − µ α1 ∆ ∂t ζ + ∇ · v + ε∇ · (ζv) + µ − α1 − 3α ∆∇ · v = 0, 3 (1 − µα(1 − α2 )∆)∂t v + ∇ζ + ε ∇ |v|2 + µαα2 ∆∇ζ = Đây hệ Boussinesq sóng bề mặt thiết lập [8] Chú ý 1.3.2 Quan hệ phân tán liên kết với (1.17) 2 ω = |k| ( γ+δ − µa1 |k|2 )(1 − γ)(1 − µa3 |k|2 ) (1 + µa2 |k|2 )(1 + µa4 |k|2 ) Do đó, (1.17) đặt tuyến tính a2 , a4 ≥ a1 , a3 ≤ Chứng minh Việc chứng minh qua vài bước, tương ứng với giá trị tham số α1 , α2 , α Trong chỉnh thể này, ta có ε ∼ µ ∼ ε2 ∼ µ2 ε → Bước 1: α1 = α = α2 = 0.Từ khai triển tốn tử Dirichlet-Neumann, ta có  ∂t ζ − ∇ · ((1 − εζ)∇ψ1 ) − µ ∇ · (∆∇ψ1 ) = O(ε2 ), ∂t v + (1 − γ)∇ζ + ε ∇ Hµ,δ [εζ]ψ1 − γ |∇ψ1 |2 = O(ε2 ), với O(µ) = O(ε) Từ quan hệ Hµ,δ [εζ]ψ1 = v + γ∇ψ1 Mệnh đề 1.2.2, ta có ∇ψ1 = − 1 − δ2 1+δ 1+µ ∆ + ε2 Π[ζ.] v + O(ε2 ) γ+δ 3δ (γ + δ) γ+δ Thay biểu thức vào hệ trên, ta có kết cần chứng minh Bước 2: α1 ≥ 0, α = α2 = Ta dùng thủ thuật BBM cổ điển Từ phương trình đầu, ta có ∇ · v = (1 − α1 )∇ · v − α1 (γ + δ)∂t ζ + O(ε) Tiếp theo, ta thay biểu thức ∇ · v vào số hạng thứ ba phương trình hệ thiết lập Bước 1, ta có kết cần chứng minh Bước 3: α1 , α ≥ 0, α2 = Chương Thiết lập hệ Boussinesq/Boussinesq Thay v (1 − µα∆)vα hệ thiết lập Bước bỏ qua số hạng O(ε2 ), ta có kết cần chứng minh Bước 4: α1 , α ≥ 0, α2 ≤ Ta dùng thủ thuật BBM Từ phương trình thứ hai hệ từ Bước 3, ta thấy với α2 ≤ 1, ∂t vα = (1 − α2 )∂t vα − α2 (1 − γ)∇ζ + O(ε) Thay vào hệ thiết lập Bước 3, ta có kết cần chứng minh 10 Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq Kí hiệu vα , ∂t ζ, ∂t V V, ζt , Vt Khi đó, hệ (1.17) viết dạng:  δ2 − γ  (1 − µa2 ∆)ζt + ∇·V +ε ∇ · (ζV ) + µa1 ∇ · ∆V = 0, γ+δ (γ + δ)2 (2.1)  (1 − µa4 ∆)Vt + (1 − γ)∇ζ + ε δ − γ ∇ |V |2 + µa3 (1 − γ)∆∇ζ = (γ + δ)2 Theo Chú ý 1.3.2 Chương 1, hệ (2.1) đặt tuyến tính a2 , a4 ≥ 0, a1 , a3 ≤ Trong chương ta xét tính đặt đưa phương pháp xấp xỉ số nghiệm toán giá trị biên ban đầu hệ (2.1) trường hợp đặc biệt: a2 , a4 > 0, a1 = a3 = 2.1 Tính đặt toán giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = Do µ ∼ ε 1, khơng giảm tổng quát, ta coi µ = ε, a2 , a4 > nên toán tử (I − εa2 ∆), (I − εa4 ∆) có nghịch đảo Khi đó, hệ (2.1) viết dạng  δ2 − γ   ∇·V +ε ∇ · (ζV ) = 0, ζt + (I − εa2 ∆)−1 γ+δ (γ + δ)2 (2.2) ε δ2 − γ  −1  (1 − γ)∇ζ + ∇|V | = Vt + (I − εa4 ∆) 2 (γ + δ) Ta xét hệ (2.2) miền bị chặn Ω R2 , với điều kiện ban đầu ζ(x, 0) = ζ0 (x), V (x, 0) = V0 (x), 11 x = (x, y) ∈ Ω, Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq điều kiện biên ζ(x, t) = 0, V (x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ Bổ đề 2.1.1 [13] Cho s1 , s2 , s3 ∈ R cho s1 ≥ s3 , s2 ≥ s3 , s1 + s2 ≥ 0, s1 + s2 − s3 > d/2 Khi đó, (f, g) → f g dạng song tuyến tính liên tục từ H s1 (Rd )×H s2 (Rd ) vào H s3 (Rd ) Bổ đề với f, g ∈ H s (R2 ), s > 0, ta có fg s−1 ≤C f s g s Định lí 2.1.1 Cho (ζ0 , V0 ) ∈ H01 × H10 Khi đó, tồn T > 0, độc lập với ε, tồn nghiệm (ζ, V ) ∈ C ([0, T ]; H01 ) × C ([0, T ]; H10 ) toán biên ban đầu hệ (2.2) Chứng minh Kí hiệu (I − εa2 ∆)−1 (I − εa4 ∆)−1 toán tử nghịch đảo (I − εa2 ∆) (I − εa4 ∆) với miền xác định H ∩ H01 , H2 ∩ H10 Bài toán (2.2) với điều kiên biên điều kiên ban đầu viết dạng: (ζt , Vt ) = −F (ζ, V ), F (ζ, V ) trường véc tơ H01 × H10 xác định F (ζ, V ) = (I − εa2 ∆)−1 δ2 − γ ∇·V +ε ∇ · (ζV ) , γ+δ (γ + δ)2 (I − εa4 ∆)−1 (1 − γ)∇ζ + ε δ2 − γ ∇|V |2 (γ + δ)2 F định nghĩa đắn H01 × H10 theo định lí nhúng Sobolev ζV ∈ L2 |V |2 ∈ L2 Do đó, (I − εa2 ∆)−1 (∇ · ζV ) ∈ H01 (I − εa4 ∆)−1 ∇ |V |2 ∈ H10 Hơn nữa, F C H01 × H10 , với đạo hàm F (ζ ∗ , V ∗ ) xác định F (ζ ∗ , V ∗ )(ζ, V ) = ε δ2 − γ −1 ∗ ∗ (I − εa ∆) ∇ · (ζV + ζ V ) + (I − εa2 ∆)−1 ∇ · V, (γ + δ)2 γ+δ (1 − γ)(I − εa4 ∆)−1 ∇ζ + ε δ2 − γ (I − εa4 ∆)−1 ∇(V ∗ · V ) (γ + δ)2 Tính liên tục F suy từ định lí nhúng Sobolev tính qui toán tử (I − εa2 ∆)−1 , (I − εa4 ∆)−1 Theo định lí tồn nghiệm phương trình vi phân khơng gian Banach (định lí 2.3, trang 45 [18]), ta suy tồn nghiệm cực đại (ζ, V ) ∈ C ([0, Tε ]; H01 ) × C ([0, Tε ]; H10 ) 12 Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq hệ (2.2) với ζ|t=0 = ζ0 V |t=0 = V0 Tác động (I − εa2 ∆) vào phương trình đầu, (I − εa4 ∆) vào phương trình hai hệ (2.2), ta suy (ζ, V ) thỏa mãn hệ (2.2) H −1 × H−1 với < t < Tε Để chứng minh Tε chọn độc lập với ε, ta dùng phương pháp lượng Đầu tiên, ta viết lại hệ (2.1) sau  δ2 − γ  ζt + ∇ · V + ε( ∇ · (ζV ) − a2 ∆ζt ) = 0, γ+δ (γ + δ)2 (2.3)  Vt + (1 − γ)∇ζ + ε( δ − γ ∇|V |2 − a4 ∆Vt ) = 2(γ + δ)2 Trong hệ (2.3), nhân (γ + δ)ζ vào phương trình đầu, V vào phương trình 1−γ hai dùng tích phân phần với điều kiện biên Dirichlet nhất, ta có 1d dt (γ + δ)(ζ + εa2 |∇ζ|2 ) + Ω (|V |2 + εa4 |∇V |2 ) 1−γ ε δ2 − γ ζV · ∇ζ + − γ (γ + δ)2 Ω δ2 − γ ε (γ + δ) = Iε := (2.4) |V | ∇ · V, Ω |∇V |2 := |∇u|2 + |∇v|2 Kí hiệu p chuẩn không gian Lp Ta ước lượng vế phải ca (2.4) nh sau: Theo bt ng thc Hăolder |I | = ε δ2 − γ (γ + δ) ε ∇ζ ζV · ∇ζ + Ω V ζ 4 ε δ2 − γ − γ (γ + δ)2 +ε V ∇V |V |2 ∇ · V (2.5) Ω Trong (2.5), dùng bất đẳng thức Gagliardo-Nirenberg trường hợp hai chiều, f f 1/2 ∇f 1/2 , 1/2 ∇V f ∈ H01 , ta suy |Iε | ε ∇ζ 3/2 ζ 1/2 V 1/2 +ε V 2 ∇V (2.6) Từ bất đẳng thức Young, ta có ε V ∇V 2 ε2 ∇V + V 2, ε ∇ζ 3/2 ζ 1/2 V 1/2 ∇V 1/2 ε2 ∇ζ ε2 ∇ζ ε2 ∇ζ 13 4 + ε2/5 ∇V + ε2 ∇V + ε2 ∇V 4 4/5 ζ + ζ + ζ 4/5 V V 2 2 + V 4/5 2 Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq Sử dụng bất đẳng thức (2.6), ta có đánh giá ε2 ∇ζ |Iε | + ε2 ∇V + ζ 2 + V 2 (2.7) Kí hiệu (γ + δ)(|ζ(·, t)|2 + εa2 |∇ζ(·, t)|2 ) + Yε (t) := Ω (|V (·, t)|2 + εa4 |∇V (·, t)|2 ) , 1−γ t ≥ Từ (2.4) (2.7), ta có đánh giá Yε (t) + Yε2 (t), Yε (t) với ước lượng tiên nghiệm Yε (t) bị chặn khoảng thời gian [0, Tε ), Tε = log + Yε (0) với (γ + δ)(|ζ0 |2 + εa2 |∇ζ0 |2 ) + Yε (0) := Ω (|V0 |2 + εa4 |∇V0 |2 ) 1−γ Định lí chứng minh 2.2 Xấp xỉ số toán giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = δ2 − γ , b=ε , d = (1 − γ) c = µa2 = µa4 , ||.||1 chuẩn γ+δ (γ + δ)2 không gian H , ||.|| chuẩn không gian L2 , ||.||∞ chuẩn Kí hiệu: a = khơng gian L∞ Ta cần tìm ζ V hai hàm biến (x, t) ∈ Ω × [0, T ] thỏa mãn  ζt + a∇ · V + b∇ · ζV − c∆ζt = 0, Vt + d∇ζ + b ∇|V |2 − c∆Vt = 0, (2.8) với điều kiện ban đầu ζ(x, 0) = ζ0 (x), V (x, 0) = V0 (x), x ∈ Ω, điều kiện biên ζ(x, t) = 0, V (x, t) = 0, (x, t) ∈ ∂Ω × [0, T ] Bài toán (2.8) viết lại sau:    ζt + a(ux + vy ) + b((ζu)x + (ζv)y ) − c(∆ζ)t = 0, u + dζ + b(uu + vv ) − c(∆u) = 0, t x x x t   v + dζ + b(uu + vv ) − c(∆v) = 0, t y y y t 14 (2.9) Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq với điều kiện ban đầu ζ(x, y, 0) = ζ0 (x, y), u(x, y, 0) = u0 (x, y), v(x, y, 0) = v0 (x, y), (x, y) ∈ Ω, điều kiện biên (x, y, t) ∈ ∂Ω × [0, T ] ζ(x, y, t) = u(x, y, t) = v(x, y, t) = 0, Giả thiết Ω miền phẳng, lồi tốn có nghiệm (ζ, u, v) đủ trơn cho việc xấp xỉ số; Th phép tam giác phân tựa đều, qui Ω với cạnh lớn tam giác h < 1; Sh không gian hữu hạn chiều H01 = H01 (Ω) phần tử Sh hàm đa thức khúc xác định Th , có bậc tới r − với τ ∈ Th Do đó, Sh không gian chứa hàm liên tục Ω, tuyến tính với tam giác τ Th , triệt tiêu ∂Ω inf { ω − χ + h ω − χ } ≤ Chs ω s , χ∈Sh ∀ω ∈ H s ∩ H01 , ≤ s ≤ r (2.10) Xét dạng song tuyến tính đối xứng aD : H01 × H01 → R xác định aD (u, v) := (u, v) + c(∇u, ∇v), ∀u, v ∈ H01 Rõ ràng, aD bị chặn có tính cưỡng H01 × H01 Ta định nghĩa toán tử chiếu elliptic Rh : H01 → Sh sau ∀χ ∈ Sh aD (Rh ω, χ) = aD (ω, χ), Khi đó, theo đánh giá (2.10) tính quy elliptic, ta có ||ω − Rh ω||k ≤ Chs−k ||ω||s , ∀ω ∈ H s ∩ H01 , ≤ s ≤ r, k = 0, (2.11) Vì vậy, ta có ||Rh ω||1 ≤ C||ω||1 , ∀ω ∈ H01 Với phép chiếu elliptic, ta có tính chất xấp xỉ ω − Rh ω ∞ ≤ C(ω)γ(h), ∀ω ∈ W r,∞ ∩ H01 , (2.12) đó, γ(h) = hr | log h|r¯ với r¯ = r > r¯ = r = Do giả thiết phép tam giác phân tựa nên giả thiết khả nghịch Sh χ ≤ Ch−1 χ χ ∞ ≤ Ch−1 χ , ∀χ ∈ Sh (2.13) Bài toán (2.9) bán rời rạc hóa theo biến khơng gian phương pháp phần tử hữu hạn Galerkin sau Ta xác định ζh , uh , vh : [0, T ] → Sh , 15 Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq xấp xỉ ζ, u, v thỏa mãn:   aD (ζht , φ) + a(uhx , φ) + a(vhy , φ) + b((ζh uh )x , φ) + b((ζh vh )y , φ) = 0,    a (u , χ) + d(ζ , χ) + b(u u , χ) + b(v v , χ) = 0, χ ∈ S , D ht hx h hx h hx φ ∈ Sh , h  aD (vht , ψ) + d(ζhy , ψ) + b(uh uhy , ψ) + b(vh vhy , ψ) = 0,     0 ψ ∈ Sh , ζ(., 0) = ζh := Rh ζ0 , uh (., 0) = uh := Rh u0 , vh (., 0) = vh0 := Rh v0 (2.14) ¯ ζh uh |τ ∈ Do ζh uh ∈ C(Ω), với τ ∈ Th ζh uh |∂Ω = nên ζh uh ∈ H01 Tương tự, ζh vh ∈ H01 , u2h ∈ H01 , vh2 ∈ H01 Vì vậy, tất số hạng tích vơ hướng tốn định nghĩa đắn Xét ánh xạ fx , fy : L2 → Sh xác định với ω ∈ L2 bởi: C ∞ (τ ) aD (fx (ω), χ) = (ω, χx ), χ ∈ Sh , aD (fy (ω), χ) = (ω, χy ), χ ∈ Sh Khi đó, (2.14) viết lại sau:    ζht = F (uh , vh , ζh ), u = G(u , v , ζ ), ht h h h   v = Z(u , v , ζ ), ht h h (2.15) 0≤t≤T h F (uh , vh , ζh ) := a(fx (uh ) + fy (vh )) + b(fx (ζh uh ) + fy (ζh vh )), b G(uh , vh , ζh ) := dfx (ζh ) + (fx (u2h ) + fx (vh2 )), b Z(uh , vh , ζh ) := dfy (ζh ) + (fy (u2h ) + fy (vh2 )) Bổ đề 2.2.1 Tồn số C cho ||fx (ω)||1 ≤ C||ω|| ||fy (ω)||1 ≤ C||ω||, ∀ω ∈ L2 Chứng minh Đặt f = fx Khi đó, tính cưỡng aD , ta có aD (f (ω), f (ω)) ≥ C||f (ω)||21 Hơn nữa, aD (f (ω), f (ω)) = (ω, (f (ω))x ) ≤ ||ω||.||f (ω)||1 Đó điều phải chứng minh Định lí 2.2.1 Với h đủ nhỏ, tốn bán rời rạc (2.15) có nghiệm (ζh , uh , vh ) khoảng [0, T ] Hơn nữa, tồn số C = C(ζ, u, v, T ) cho trước độc lập với h, cho ||ζ − ζh || + ||u − uh || + ||v − vh || ≤ Chr , 16 Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq ||ζ − ζh ||1 + ||u − uh ||1 + ||v − vh ||1 ≤ Chr−1 , với t ∈ [0, T ] Chứng minh Giả sử với số M cho trước, ta có ||ζ||∞ ≤ M, ||u||∞ ≤ M, ||v||∞ ≤ M, ≤ t ≤ T Khi đó, từ (2.12), với h đủ nhỏ, ta có ||ζh0 ||∞ ≤ ||ζh0 − ζ0 ||∞ + ||ζ0 ||∞ = ||Rh ζ0 − ζ0 ||∞ + ||ζ0 ||∞ ≤ Cγ(h) + ||ζ0 ||∞ < 2M Tương tự, ước lượng cho u0h vh0 Hệ phương trình vi phân (2.15) có nghiệm địa phương theo t Do tính liên tục, ta giả sử tồn th ∈ [0, T ] lớn cho ||ζh ||∞ ≤ 2M, ||uh ||∞ ≤ 2M, ||vh ||∞ ≤ 2M, ≤ t ≤ th Để chứng minh định lí, ta thiết lập đánh giá (2.22) (2.23) với ≤ t ≤ th chứng minh th = T Khi đó, ta mở rộng đánh giá (2.22) (2.23) với ≤ t ≤ T Đặt = ζ − Rh ζ, θ = Rh ζ − ζh , τ = v − Rh v, η = Rh v − vh , σ = u − Rh u, ξ = Rh u − uh Do đó, ta có θ, ζ, ξ ∈ Sh ζ − ζh = + θ, u − uh = σ + ξ, v − vh = τ + η Từ (2.9) (2.15), ta có θt = afx (σ + ξ) + afy (τ + η) + bfx (uζ − uh ζh ) + bfy (vζ − vh ζh ), b ξt = dfx (θ + ) + fx (u2 ) − fx (u2h ) + fx (v ) − fx (vh2 ) , b fy (u2 ) − fy (u2h ) + fy (v ) − fy (vh2 ) ηt = dfy (τ + η) + (2.16) (2.17) (2.18) Do fx (u2 ) − fx (u2h ) = fx (u2 ) − fx (uuh ) + fx (uuh ) − fx (u2h ) = fx (u(u − uh )) + fx ((u − uh )uh ) = fx (u(σ + ξ)) + fx ((σ + ξ)uh ) fx (v ) − fx (vh2 ) = fx (v(τ + η)) + fx ((τ + ζ)vh ), nên phương trình (2.17) viết lại sau: ξt = dfx (θ + ) + b fx (u(σ + ξ) + fx ((σ + ξ)uh ) + fx (v(τ + η)) + fx ((τ + η)vh ) 17 Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq Vì vậy, lấy chuẩn L2 , từ bổ đề 2.2.1, với ≤ t ≤ th , ta có ||ξt ||1 ≤ d||fx (θ + )|| + b ||fx (u(σ + ξ))|| + ||fx ((σ + ξ)uh || + ||fx (v(τ + η))|| +||fx ((τ + η)vh )|| ≤ C(||θ + || + ||u(σ + ξ)|| + ||(σ + ξ)uh || + ||v(τ + η)|| + ||(τ + η)vh ||) ≤ C [||θ|| + || || + ||u||∞ (||σ|| + ||ξ||) + ||v||∞ (||τ || + ||η||) +||vh ||∞ (||τ || + ||η||) + ||uh ||∞ (||σ|| + ||ξ||)] Từ bất đẳng thức cuối, (2.11) ý đầu chứng minh, ta có ||ξt ||1 ≤ C [hr (||ζ||r + ||u||r + ||v||r ) + ||θ|| + ||ξ|| + ||η||] Do ||ξt ||1 ≤ C(hr + ||θ|| + ||ξ|| + ||η||), ≤ t ≤ th (2.19) ||ηt ||1 ≤ C(hr + ||θ|| + ||ξ|| + ||η||), ≤ t ≤ th (2.20) Tương tự, Do fx (uζ) − fx (uh ζh ) = fx (uζ) − fx (uζh ) + fx (uζh ) − fx (uh ζh ) = fx (u(ζ − ζh )) + fx ((u − uh )ζh ) = fx (u( + θ)) + fx ((σ + ξ)ζh ) fy (vζ) − fy (vh ζh ) = fy (v( + θ)) + fy ((τ + η)ζh ), nên phương trình (2.16) viết sau: θt = afx (σ + ξ) + afy (τ + η) + b fx (u( + θ)) + fx ((σ + ξ)ζh ) +fy (v( + θ)) + fy ((τ + η)ζh ) Vì vậy, lấy chuẩn H , từ bổ đề 2.2.1, (2.11), với ≤ t ≤ th , ta có ||θt ||1 ≤ C(||σ + ξ|| + ||τ + η|| + ||u( + θ)|| + ||(σ + ξ)ζh || + ||v( + θ)|| + ||(τ + η)ζh ||) ≤ C(||σ|| + ||ξ|| + ||τ || + ||η|| + ||u||∞ (|| || + ||θ||) + (||σ|| + ||ξ||)||ζh ||∞ + ||v||∞ (|| || + ||θ||) + (||τ || + ||η||)||ζh ||∞ ) ≤ C(||σ|| + ||ξ|| + ||τ || + ||η|| + || || + ||θ||) Do ||θt ||1 ≤ C(hr + ||θ|| + ||ξ|| + ||η||), 18 ≤ t ≤ th (2.21) Chương Tính đặt xấp xỉ số hệ Boussinesq/Boussinesq Từ (2.19) - (2.21), với ≤ t ≤ th , ta có 1d (||θ||21 + ||ξ||21 + ||η||21 ) ≤ ||θt ||1 ||θ||1 + ||ξt ||1 ||ξ||1 + ||ηt ||1 ||η||1 dt ≤ Ch2r + C(||θ||21 + ||ξ||21 + ||η||21 ), từ đó, dùng bất đẳng thức Gronwall, ta có ||θ||1 + ||ξ||1 + ||η||1 ≤ Chr , ≤ t ≤ th Vì vậy, với ≤ t ≤ th , ta có đánh giá ||ζ − ζh || + ||u − uh || + ||v − vh || ≤ || || + ||θ|| + ||σ|| + ||ξ|| + ||τ || + ||η|| ≤ Chr (2.22) Tương tự, với ≤ t ≤ th , ta có đánh giá ||ζ −ζh ||1 +||u−uh ||1 +||v −vh ||1 ≤ || ||1 +||θ||1 +||σ||1 +||ξ||1 +||τ ||1 +||η||1 ≤ Chr−1 (2.23) Hơn nữa, với ≤ t ≤ th , ta có ||ζh − ζ||∞ ≤ ||ζh − Rh ζ||∞ + ||Rh ζ − u||∞ ≤ Ch−1 ||ζh − Rh ζ|| + Cγ(h) = Ch−1 ||θ||1 + Cγ(h) ≤ C(hr−1 + γ(h)) Vì vậy, ||ζh ||∞ ≤ ||ζ||∞ + ||ζh − ζ||∞ ≤ M + C(hr−1 + γ(h)) < 2M với h đủ nhỏ Các ước lượng tương tự với uh , vh Vì vậy, th không lớn Điều trái với giả thiết ta kết luận th = T Định lý chứng minh 19 Kết luận Trong luận văn này, tác giả tìm hiểu nghiên cứu hệ Boussinesq/Boussinesq mơ tả chuyển động sóng trong lí thuyết học chất lỏng Các kết luận văn bao gồm: Thiết lập mô hình tốn sóng với đáy phẳng khơng xuất sức căng bề mặt, dịng có cấu trúc Boussinesq miền chất lỏng Chứng minh tính đặt (sự tồn nghiệm) toán giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = Chứng minh nghiệm xấp xỉ hội tụ đến nghiệm đánh giá sai số với điều kiện xác định toán giá trị biên ban đầu trường hợp a2 , a4 > 0, a1 = a3 = Hai kết sau luận văn hoàn thiện trước gửi đăng tạp chí chuyên ngành [4] 20 Tài liệu tham khảo [1] C.T Anh, Influence of surface tension and bottom topography on internal waves, Math Models Methods Appl Sci 19 (2009), 2145-2175 [2] C T Anh, Derivation and well-posedness of Boussinesq/Boussinesq systems for internal waves, Ann Pol Math 96 (2009), 127-161 [3] C.T Anh, On the Boussinesq/full dispersion systems and Boussinesq/Boussinesq systems for internal waves, Nonlinear Anal 72 (2010), 409-429 [4] C.T Anh and N.D Loc, Initial-boundary value problems for a twodimensional Boussinesq/Boussinesq system, preprint (2013) [5] C.J Amirk, Regularity and uniqueness of solutions to the Boussinesq system of equations, J Diff Eqns 54 (1984) 231-247 [6] D.C Antonopoulos, V A Dougalis and D.E Mitsotakis, Numerical solution of Boussinesq systems of the Bona-Smith type, App Num Math (2010), 314-336 [7] J.L Bona and M Chen, A Boussinesq system for two-way propagation of nonlinear dispersive waves, Physica D 116 (1998) 191-224 [8] J.L Bona, M Chen and J.-C Saut, Boussinesq equations and other systems for small-amplitude long waves in nonlinear dispersive media Part I Derivation and linear theory, J Nonlinear Sci 12 (2002) 283-318 [9] J.L Bona, M Chen and J.-C Saut, Boussinesq equations and other systems for small-amplitude long waves in nonlinear dispersive media Part II Nonlinear theory, Nonlinearity 17 (2004) 925-952 [10] J.L Bona, T Colin and D Lannes, Long wave approximations for waterwaves, Arch Rational Mech Anal 178 (2005) 373-410 [11] J L Bona, D Lannes and J.-C Saut, Asymptotic models for internal waves, J Math Pure Appl 89 (2008), 538-566 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [12] F Chazel, Influence of bottom topography on water-waves in the long wave regime, M2AN 41(2007) 771-799 [13] V.A Dougalis, D E Mitsotakis, J.-C Saut, On some Boussinesq systems in two space dimensions: theory and numerical analysis, M2AN Math Model Numer Anal 41 (2007), 825-854 [14] V.A Dougalis, D.E Mitsotakis, J.-C Saut, On initial-boundary value problems for a Boussinesq system of BBM-BBM type in a plane domain, Disc Cont Dyn Syst (2009), 1191-1204 [15] V.A Dougalis, D E Mitsotakis and J.-C Saut, Boussinesq systems of BonaSmith type on plane domains: Theory and numerical analysis, J Sci Comp (2010), 109-135 [16] A.S Fokas and B Pelloni, Boundary value problems for Boussinesq type systems, Math Phys Anal Geom (2005) 59-96 [17] D Lannes, Well-posedness of the water-waves equations, J Amer Math Soc 18 (2005) 605-654 [18] J.C Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems: An Introduction to Dissipative Parabolic PDEs and the Theory of Global Attactors, Cambridge University Press (2001) [19] M.E Schonbek, Existence of solutions for the Boussinesq system of equations, J Diff Eqns 42 (1981) 325-352 22 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN ĐỨC LỘC HỆ BOUSSINESQ/ BOUSSINESQ TRONG CƠ HỌC CHẤT LỎNG Chun ngành: TỐN HỌC TÍNH TỐN Mã số : 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... kết luận th = T Định lý chứng minh 19 Kết luận Trong luận văn này, tác giả tìm hiểu nghiên cứu hệ Boussinesq/ Boussinesq mơ tả chuyển động sóng trong lí thuyết học chất lỏng Các kết luận văn. .. tốn Cauchy hệ Boussinesq/ Boussinesq nghiên cứu trọn vẹn cơng trình [2, 3] Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu tính đặt xấp xỉ số nghiệm toán giá trị biên ban đầu hệ Boussinesq/ Boussinesq (2)