Nghiên cứu bài toán Polaron bằng phương pháp tích phân phiếm hàm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Mai Thị Minh Ánh NGHIÊN CỨU BÀI TỐN POLARON BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - Mai Thị Minh Ánh NGHIÊN CỨU BÀI TỐN POLARON BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết vật lý toán Mã số: 60440103 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội - 2014 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương – Bài tốn Polaron khn khổ lý thuyết nhiễu loạn thông thường 1.1 Khái niệm Polaron …… ……………………………………………… 1.1.1 Polaron bán kính lớn 1.1.2 Polaron bán kính nhỏ 1.2 Hamiltonian electron mạng tinh thể ………………… …… 11 1.3 Bài toán Polaron lý thuyết nhiễu loạn thơng thường ……… … 15 1.3.1 Tính số nhiễu loạn bậc …………………… …… 17 1.3.1 Tính số nhiễu loạn bậc hai … ………………… …… 17 1.3.3 Năng lượng trạng thái khối lượng hiệu dụng Polaron …………………………………………………………………………… 19 Chương – Bài toán Polaron khn khổ phương pháp tích phân phiếm hàm22 Chương – Năng lượng trạng thái bổ bậc Khối lượng hiệu dụng Polaron 30 3.1 Giá trị trung bình hàm Green trạng thái chân không ……… … 30 3.2 Năng lương trạng thái khối lượng hiệu dụng Polaron … 35 3.3 Gần bậc cho phổ lượng ……………………………… 39 KẾT LUẬN 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 MỞ ĐẦU Khái niệm polaron L.D Landau giới thiệu báo ngắn /16/, sau phát triển S.I Pekar/20/, ơng nghiên cứu tính chất polaron tĩnh trường hợp giới hạn tương tác electronphonon mạnh, để hành vi polaron phân tích gần đoạn nhiệt Nhiều nhà nghiờn cu ni ting khỏc, ú cú H Froăhlich/14/, R Feynman/11/ N.N Bogolyubov /8/, đóng góp cho phát triển lý thuyết polaron sau Khái niệm polaron tiếp tục thu hút nhiều quan tâm thực nghiệm lý thuyết: mơ tả tính chất vật lý hạt mang điện tinh thể có cực bán dẫn ion và, lúc đó, biểu mơ hình đơn giản hiệu mơ hình lý thuyết trường hạt tương tác với trường boson vơ hướng Mơ hình Polaron mơ tả tương tác hạt phi tương đối tính với trường lượng tử vơ hướng mơ hình đơn giản, quan trọng việc vận dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử vào chất rắn /11, 15, 17/ Có nhiều phương pháp phát triển để nghiên cứu mơ hình Polaron Bằng phương pháp nhiễu loạn thơng thường ta tính lượng trạng thái khối lượng hiệu dụng Polaron/12, 14, 16/, nhiên việc tính tốn bổ bậc cao gặp khó khăn Trong nhiều phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho toán này, phương pháp tích phân phiếm hàm tỏ phương pháp hữu hiệu Einstein Smolykhovski người đưa khái niệm tích phân phiếm hàm (trong vật lý người ta gọi tích phân đường hay tích phân theo quỹ đạo) vào nghiên cứu lý thuyết chuyển động hạt Brown, song sở toán học chặt chẽ khái niệm lại dựa vào cơng trình nghiên cứu Weiner (trong tốn học người ta gọi tích phân liên tục hay tích phân phiếm hàm)/7/ Khái niệm tích phân qũy đạo công cụ hữu hiệu để nghiên cứu vấn đề vật lý lý thuyết Feynman người sử dụng để xây dựng cách phát biểu cho học lượng tử /3, 9/ Nền tảng chủ yếu phương pháp dựa vào nguyên lý: “Biên độ xác suất phép dời chuyển lượng tử hệ từ trạng thái đầu |i đến trạng thái cuối |f xác định tổng hay tích phân) theo tất quỹ đạo không gian pha biểu thức exp  S[ x(t )] i   S[ x(t )] hàm tác dụng cổ điển” Feynman người áp dụng phương pháp vào lý thuyết trường lượng tử tương đối tính Thành tựu to lớn phương pháp tích phân phiếm hàm phát triển kỹ thuật giản đồ Feynman sử dụng Điện động lực học lượng tử (QED) trước việc lượng tử hóa lý thuyết trường chuẩn sau Bài toán Polaron Feynman nghiên cứu /11/ phương pháp biến phân, mức lượng trạng thái đánh giá cho trường hợp liên kết yếu Mục đích luận văn phát triển nghiên cứu Feynman, tính lượng trạng thái bản, bổ lượng bậc nó, khối lượng hiệu dụng Polaron phương pháp tích phân phiến hàm Các tích phân phiếm hàm tính tốn nhờ phương pháp gần quỹ đạo thẳng hay gọi gần eikonal lý thuyết tán xạ lượng tử Nội dung luận văn bao gồm ba chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Bài tốn Polaron khn khổ lý thuyết nhiễu loạn thơng thƣờng Mơ hình Polaron mạng tinh thể trình bày mục (1.1) Từ mơ hình chúng tơi xây dựng biểu thức cho Hamiltonian hệ electron - phonon mạng tinh thể (1.2) Sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường ta tính lượng bản, bổ nó, khối lượng hiệu dụng Polaron trường hợp liên kết yếu (1.3) Chương 2: Bài toán Polaron khn khổ phƣơng pháp tích phân phiếm hàm Tích phân phiếm hàm luận văn đưa vào giải tốn Polaron tuyến tính hóa tốn tử Laplace : ∫ [ ∫ ] Biến số s hàm mũ, coi số trật tự ( thời gian T – tích ) Thừa số mũ exp[ ∫ ] coi T – tích hay Ts exponent Việc chuyển từ T- tích sang N - tích khơng thể thực nêu khơng khai triển thành chuỗi lý thuyết nhiễu loạn, lý thừa số hàm số mũ chứa toán tử phi tuyến Ta thực phép biến đổi [ ∫ ] ∫ ∫⃗⃗⃗ … Phương trình cho hàm Green tổng qt mơ hình Polaron (cụ thể xét mơ hình tương tác hạt vơ hướng phi tương đối tính ( electron ) với trường ngồi – (nếu trường ngồi lượng tử hóa, tập hợp phonon) dẫn chương Chương 3: Năng lƣợng bổ bậc cho trạng thái bản, khối lƣợng hiệu dụng Polaron Sử dụng hàm Green thu chương 2, ta tìm giá trị trung bình hàm Green trạng thái chân không gần quỹ đạo thẳng mục (3.1) Sử dụng kết để tìm lượng trạng thái tính khối lượng hiệu dụng Polaron mục (3.2) Các bổ bậc cho lượng trạng thái trình bày mục (3.3) Phần kết luận dành cho việc tổng hợp kết chung thu luận văn thảo luận Chƣơng BÀI TOÁN POLARON TRONG KHUÔN KHỔ LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN THÔNG THƢỜNG 1.1 Khái niệm Polaron Electron vật rắn chuẩn hạt chiếm trạng thái đơn electron mơ hình vùng lượng Phonon chuẩn hạt mô tả dao động  mạng Số Phonon trạng thái riêng biệt đặc trưng véctơ sóng q  nhánh j phổ tán sắc  j q  Tương tác electron – Phonon thể qua việc sinh (phát) huỷ (hấp thụ) Phonon với biến đổi đồng thời trạng thái lượng tử k  q,  k , sang trạng thái Trong mạng tinh thể phức tạp, nguyên tử sở có điện tích khác tinh thể Ion phân cực liên kết với dao động quang mạng phân cực dẫn đến tương tác mạnh electron với Phonon quang Trong tinh thể Ion tương tác Co lom m electron phân c c môi trường xung quanh S phân c c làm biến dạng mạng, nghĩa kích thích Phonon quang Trong tinh thể Ion, số nguyên tử mang điện tích dương số khác lại mang điện tích âm Một Phonon quang có Ion khác dao động khác pha Khi Ion âm Ion dương dao động theo hướng ngược nhau, chúng thiết lập trường lưỡng cực phân cực Sự phân cực hoá gây trường điện làm tán xạ electron Trường điện nguồn liên kết có cực, electron phân cực mạng (biến dạng mạng) liên kết với tạo thành chuẩn hạt gọi Polaron Mơ hình mơ tả Polaron phụ thuộc vào biến dạng mạng truyền môi trường trực tiếp bao quanh electron với khoảng vài số mạng (Polaron bán kính nhỏ) hay số lớn số mạng (Polaron bán kính lớn) Khi có electron chen thêm vào nút mạng Ion nằm nút mạng bị lệch khỏi vị trí cân lực hút lực đẩy tĩnh điện Từ thấy electron thêm vào chuyển động Ion nằm nút mạng phải dao động theo cách tương ứng làm xuất Phonon Polaron khái niệm để electron nằm nút mạng cộng với đám mây phonon (có thể gồm 1,2,3 nhiều Phonon) bao bọc xung quanh Như nói cách đơn giản Polaron electron “Mặc áo” Phonon v tính chất electron khốc thêm áo nhiề trường hợp khác hẳn với tính chất electron “Trần trụi” cụ thể là: (1) Polaron sinh tương tác tĩnh điện electron mạng tinh thể, tinh thể phải tinh thể Ion Polaron khác nhiều so với electron tương tác lúc mạnh nhiều so với tinh thể đồng hoá trị loại tinh thể khác (2) Polaron xảy chủ yếu tinh thể Ion mà tinh thể Ion chất cách điện, Polaron có mặt tinh thể cách điện (3) Polaron xảy khơng phải với electron mà cịn xảy với lỗ trống (4) Để có Polaron xuất Ion mạng tinh thể phải bị dịch chuyển, so với electron Polaron có độ ì (qn tính) hay nói cách khác khối lượng hiệu dụng lớn nhiều Polaron chí nặng đến mức bị bắt giữ (định xứ vị trí tinh thể) không chuyển động Về bắt giữ Polaron nói thêm sau: - Sự bắt giữ Polaron thường xảy tinh thể Ion phân cực mạnh, ví dụ tinh thể kiềm – halogen, bạc – halogen - Lỗ trống hay bị bắt giữ electron, tất tinh thể kiềm - halogen bạc - halogen lỗ trống bị bắt giữ * Mơ hình Polaron mơ hình nghiên cứu tương tác electron với phonon Hamilton Polaron Frohlish mơ hình tương tác Coulomb electron với phonon tinh thể ion electron Thuyết cổ điển Thuyết lượng tử Tương tác electron Trong trường điện từ electron + phonon Giữa electron phonon “electron” Trong mạng tinh thể “electron” + phonon Giữa “electron” phonon electron Trong chất rắn Electron + phonon electron Trong kim loại Electron + phonon Giữa electron phonon Giữa electron phonon Điện động lực học lượng tử 1.1.1 Polaron bán kính lớn Lớp dáng điệu chuyển động polaron lớn Nó xuất độ rộng dài zj lớn, z số toạ độ Khi độ rộng dài lớn, Hamilton giải không gian vector Biến đổi để tập toạ độ Ck  N C e ik R j (1.1) j j H  zj   k CkCk   q aq aq   Ck qCk M (k q)(aq  aq ) k k  q (1.2) kq eik   z  (1.3) M (k.q)  X q {D1  D2ˆq F (q)  D3ˆq [ F * (k  q)  F * (k )]} (1.4)  exp  g  Ak  k  s    k P       ds ds exp i d    k   0 0  s  k         s1 (3.3) Biểu diễn hàm Green dạng tích phân phiếm hàm cho phép ta thu biểu thức cho hàm Green cách tổng quát Tuy nhiên, ta gặp khó khăn việc thực tích phân phiếm hàm Để tính tích phân biểu thức (3.3), ta xét hai trường hợp đơn giản phép xấp xỉ tương ứng với phép gần quỹ đạo thẳng  A Đặt   biểu thức tích phân phiếm hàm (3.3) Phép gần tương ứng với việc loại bỏ ”giật lùi” hạt tương tác với trường Kết tìm được:  0|G|0  i  d e i ( E  2 P i ) 2   exp  g  Ak  k   i  d e i ( E   s  k P      ds ds exp i d    0 0  s  k      2 P i ) 2 s1   exp  g  Ak k  ~ Đặt  k  k      kP      ds ds exp i   ( s  s )   k 0 0         (3.4)  k P thực tích phân, ta thu được:  0|G|0  i  d e s1 i ( E  i 0) 2 ~   ~ exp  ~ Ak (eik  i k  1) =  k  1   2 ~   Pnk  E  P  g  ~ Ak   nk  k  i0  , 2 nk k k k   32 (3.5) Pn  xác suất Poison k Pnk    e   nk nk n , A nk  g ~k , k k nk ! k (3.6) tổng (3.5) tiến hành theo tất số lấp đầy Như vậy, phép xấp xỉ đưa đến biểu thức cho phổ lượng hệ E ( P)  2 P  g  ~ Ak 2 k k ~   nk  k , (3.7) k nk số nguyên dương B Để tính giá trị trung bình chân khơng cho hàm green theo biểu thức (2.1.3), ta áp dụng gần eikonal       4   ;     exp( F  )  exp F    exp    F   4 (3.8) Trước tiên đặt : F     g  k F     g  Ak k  s    k P     Ak  ds1  ds2 exp i  d  k  k  ,     0  s2   s1  s1 0  ds1  ds2   s     kP  1       exp i k  ( s1  s2 ) exp  i     d     s2         Tiếp theo, ta có:     F     g  A  ds  ds 3  s1 2 k k  33 (3.10) (3.9)  s     kP  1    3     exp i k  ( s1  s2 )  exp  i     d     s2           (3.11) Sử dụng công thức (2.17), tích phân (3.11) thực :      F     g  A  ds  ds  k s1 2 k    s    kP  ik        exp i k  ( s1  s2 ) exp  d            s2    g  k     kP k    ( s1  s2 ) Ak  ds1  ds2 exp i k     2    0    s1 (3.12) Khi đó, áp dụng gần eikonal (3.8) kết (3.12), ta nhận biểu thức cho giá trị trung bình hàm Green trạng thái chân không:  0|G|0  i  d e i ( E  2 P i ) 2   exp  g  Ak k  s1     ds 0 0 ds2 exp i k   kP  2 k (s1  s2 )   (3.13) Kết gần A giữ nguyên sau thay  2 ~  k  k  k P  k  k  2 (3.14) Do đó, trường hợp ta có biểu thức cho lượng: E 2 P  g2 Ak   nk  k , 2 k k k 34 (3.15) Khác với trường hợp A, biểu thức tần số hiệu dụng (3.14) có thêm số hạng 2 k , có nghĩa phép gần phải kể thêm phần giật lùi 2 hạt tương tác với Trường lượng Tử Tuy nhiên hiệu ứng tương thích hai lần tương tác, với việc xạ hay hấp thụ với xung lượng ki kj (ij) khơng có Những hiệu ứng kể đến cách hợp lý, việc tính bổ cho phép gần A B 3.2 Năng lƣơng trạng thái khối lƣợng hiệu dụng Polaron Sử dụng kết vừa tính tốn, phần ta tìm lượng mức Trong mơ hình Polaron, ta lưu ý tồn trường tuần hoàn mạng ion kể đến theo phương pháp khối lượng hiệu dụng, có nghĩa me , từ cơng thức (1.8) ta có: ie 2 k ck  gAk      k  V  1/ , đó, e điện tích, V thể tích hệ, k tần số dao động mạng ion, ck hàng số khơng thứ ngun Ta có biểu thức cho phổ lượng phép gần B theo công thức (3.15): E(P) = 2 P  g2 Ak  nk  k , 2 k k k với  k xác định theo công thức (3.14):  k  k   2 kP  k  2 Đối với trạng thái bản, nk = nên biểu thức cho lượng là: 35 E0 = 2 P  g2 2 k 2  Ak , k kP k   2  (3.16) Dưới ta xét phương án đơn giản Polaron mà đại lượng  k , ck coi khơng phụ thuộc vào k , có nghĩa k=  Chuyển đến giới hạn thể tích vơ lớn thay việc lấy tổng phép lấy tích phân theo công thức sau:  V k  (2 )3  d k  (3.17) ta có:  2 e c dk    E0 = P  2 2  k [k  2  2k P] Sử dụng công thức sau: 1   dx , [1 x   (1  x)]2 ta có:  1 2 e c dk E0 = P  dx    2 2 0  k x  k  2  2k P 1  x       1 2 e c dk = P  dx   2 2 0  k x  21  x   2k P1  x     1 2 e c dk = P  dx 2 2 2 0     k  P1  x   21  x   P 1  x      36  1 2 e c dk = P  dx  2 2 0  k  21  x   P 1  x 2   (3.18)   Ở ta đổi biến k  P1  x  Xác định thông số không thứ nguyên (trong hệ đơn vị   )  P2  =  , =ce2(  1/2 ) 2 (3.19) Sử dụng ký hiệu sử dụng tích phân Feynman ∫ √ Biểu thức cho lượng trạng thái hệ trở thành: E0     f ( ) (3.20) hàm số f() xác định tích phân 1 dx dx f()=     2 (1  x)[1   (1  x)] x(1   x )      arcsin   dx    x     arch       1 (3.21)  1 Ở vùng  nhỏ, đại lượng f() hàm chẵn  đặc trưng phép khai triển: f()=1+ 2 + 1 (3.23) Trong khai triển đại lượng E0 theo lũy thừa thông số nhỏ 2, ta giữ lại hai số hạng đầu, tìm giá trị lượng nghỉ khối lượng hiệu dụng trạng thái hệ  Năng lượng trạng thái ản trường hợp x ng lượng nhỏ: E0        ̅ +… Hay viết dạng: Trong  Khối lượng hiệu dụng Polaron l :  Trong trường hợp ngược lại x ng lượng lớn Biểu thức lượng hệ có dạng : E  2        i ln(  )  O  , >>1      (3.24) Từ công thức(3.21) (3.24), với  >>1 trạng thái hệ có độ rộng khác khơng,có nghĩa có thời gian sống hữu hạn, thêm vào tỷ lệ nửa độ rộng trạng thái lượng với giá trị lớn xung lượng có độ lớn bậc:   ln( 2 ) ,  E0 3 với  >>1 (3.25) 38 3.3 Gần bậc cho phổ lƣợng Để đánh giá độ xác phép gần đựợc dẫn ra, xét gần bậc cho phổ lượng hệ, hiệu ứng tương thích lẫn theo tương tác hạt với trường lượng tử Kể đến đóng góp tương quan tiến hành theo công thức gần :   g v  g     v 0e  exp  g   ds v        ,  (3.26) Trong số hạng thứ vế phải tương ứng với phép gần B Giả sử  (v)   g  Ak k  (v)   g  Ak k s1 s1 Ap dụng gần eikonal(3.8):  v    4v  (v);   vexp( F v)  exp F v  exp   vF v, (3.27)  s     kP  2          ds ds exp i   s  s exp  i k 0 0   k      s v ( )d , (3.28)       s   k P     0 ds1 0 ds2 exp i s d  k   kv   ,    Ta có 39      4v  g  v v  s         s  kP    k Ak  ds1  ds2 exp i k   s1  s2   vv exp i  k  v ( )d ,   0 s      2  ig k  Ak   k  s1 s       kP  2           ds ds exp i   ( s  s )   v exp  i k v (  ) d   0 0   k        s         Sử dụng biểu thức (2.17), tích phân theo v thực ,ta có   ig  v  k A  K  k        ik s2  kP  0 ds1 0 ds2 exp i k   (s1  s2 )  exp  2 s d        s1 =ig Đặt   k  Ak k     kP k      ds ds exp i    ( s  s )  0 0   k  2      s1  kP k  k  k   ,r  s  2 2 (3.29) (3.30) Ta tìm   k  ig  Ak v  k  s1  ds  ds exp i k ( s1  s2 ) Thực tích phân theo s1 s2 ta nhận   = ig k Ak  v  k ik  exp(ik )  1  2k Sử dụng kết (3.32) vào ta có: 40 (3.31)    g2  g2    { ig  ds  ds k Ak    0  v  0  k     g  k Ak 2  k  s1  ds  ds exp i k ( s1  s2 ) }2 2  i k  exp(i k )  12   k  (3.33) Khai triển bình phương tổng giữ lại số hạng bậc ta có  g2        ds     g  k Ak    0  v  2  k  2k  2 (3.34) Thành phần tách cho đóng góp vào lượng trạng thái hệ    2 E0    P ,  g  k Ak 2 2  k k  2 (3.35) Tham số  xác định từ phương trình       P ,  g  k Ak   2k   k (3.36) Nói chung tương ứng với phần xung lượng toàn phần hệ mà chúng mang trường lượng tử Dễ dàng chứng minh: Sử dụng định nghĩa tích phân toàn phần trường      k nk nhớ phép gần B số trung bình lượng tử nk k  xác định công thức nk =  g  Ak  k    2k  Rõ ràng điều kiện áp dụng phép gần A B  1 f ( ) = 2 2 Từ ta thu biểu thức cho số hạng bổ lượng trạng thái bản: 2 E0   2  36   1 Từ kết tìm đựơc suy : điều kiện vận dụng phép gần quỹ đạo thẳng (phép gần Avà B) mơ hình nghiên cứu : 