Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC VŨ THỊ MỪNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC VŨ THỊ MỪNG PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THEO PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Hà Nội - 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Minh Tuấn người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016 Học viên Vũ Thị Mừng Mục lục LỜI NÓI ĐẦU Một số kiến thức 1.1 1.2 Các hàm số lượng giác 1.1.1 Hàm số y = sin x y = cos x 1.1.2 Hàm số y = tan x y = cot x 1.1.3 Bài tập Đa thức lượng giác 12 Một số loại phương trình lượng giác 2.1 2.2 2.3 15 Phương trình lượng giác 16 2.1.1 Phương trình lượng giác 16 2.1.2 Các ví dụ 17 2.1.3 Bài tập áp dụng 23 Phương trình a cos x ± b sin x = c 24 2.2.1 Phương pháp giải 24 2.2.2 Các ví dụ 24 2.2.3 Bài tập áp dụng 28 Phương trình lượng giác đối xứng, phản đối xứng sin x cos x 28 2.4 2.5 2.3.1 Phương pháp giải 28 2.3.2 Các ví dụ 30 2.3.3 Bài tập áp dụng 35 Phương trình đẳng cấp sin x cos x 35 2.4.1 Phương pháp chung 35 2.4.2 Các ví dụ 36 2.4.3 Bài tập áp dụng 41 Một số phương trình lượng giác có cách giải đặc biệt 42 2.5.1 Tổng hạng tử không âm 42 2.5.2 Phương pháp đánh giá hai vế 45 Một số ứng dụng lượng giác đại số 54 3.1 Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số 54 3.2 Chứng minh toán đẳng thức bất đẳng thức 64 3.3 Bài toán cực trị 70 3.4 Xác định công thức tổng quát dãy số 74 KẾT LUẬN 82 Tài liệu tham khảo 83 Tài liệu tham khảo 83 LỜI NÓI ĐẦU Hiện với việc đổi toàn diện cách kiểm tra đánh giá lực Bộ Giáo Dục Đào Tạo Chủ trương giảm tải chương trình sách giáo khoa với việc đổi cách thức tổ chức kì thi quốc gia Thì việc trọng rèn luyện phương pháp tự học cần thiết Đối với mơn Tốn cơng việc giáo viên hướng dẫn học sinh công thức để học sinh tự giải tập phát huy tính tích cực học tập học sinh Đối với chương trình tốn trung học phổ thơng phương trình lượng giác nội dung quan trọng kỳ thi tuyển sinh đại học năm có câu giải phương trình lượng giác Việc giảng dạy lượng giác đưa vào chương trình từ lớp 10 bậc trung học phổ thơng, phần kiến thức phương trình lượng giác chiếm vai trị trọng tâm Kèm theo học tốn lượng giác giúp học sinh mở rộng tư lượng giác có nhiều cách giải Số lượng cơng thức lượng giác cần nhớ nhiều địi hỏi học sinh phải làm nhiều tập để nhớ kiến thức Tuy nhiên, thời gian hạn hẹp chương trình phổ thơng, khơng nêu đầy đủ chi tiết tất dạng tốn phương trình Vì học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn nâng cao phương trình lượng giác đề thi Mặc dù có nhiều tài liệu tham khảo lượng giác với nội dung khác nhau, chưa có chuyên đề riêng khảo sát phương trình cách hệ thống Đặc biệt, nhiều dạng tốn đại số lượng giác có quan hệ chặt chẽ, khăng khít với nhau, khơng thể tách rời Nhiều tốn lượng giác cần có trợ giúp đại số, giải tích ngược lại, ta dùng lượng giác để giải số tốn phương trình hệ phương trình đại số thông qua cách đặt ẩn phụ hàm lượng giác Do đó, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy, học tập góp phần nhỏ bé vào nghiệp giáo dục, luận văn "Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng" nhằm hệ thống kiến thức phương trình lượng giác kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương trình theo phương pháp giải chúng Bố cục luận văn bao gồm chương: Chương Một số kiến thức - Nhắc lại kiến thức hàm số lượng giác - Nhắc lại khái niệm đa thức lượng giác số tính chất Chương Một số loại phương trình lượng giác - Phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải - Một số ví dụ cho phương pháp - Bài tập ứng dụng Chương Một số ứng dụng lượng giác đại số - Trình bày số ứng dụng lượng giác đại số - Trình bày số ví dụ ứng với dạng toán - Một số tập tương tự Do thời gian thực luận văn khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2016 Học viên Vũ Thị Mừng Chương Một số kiến thức 1.1 Các hàm số lượng giác Nhiều tượng tuần hoàn đơn giản thực tế mô tả hàm lượng giác Chương cung cấp kiến thức hàm số lượng giác, đa thức lượng giác Hình 1.1: Đường tròn lượng giác Hàm số y = sin x y = cos x 1.1.1 a) Định nghĩa 1.1.1 • Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số sin, kí hiệu y = sin x • Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cơsin góc lượng giác có số đo rađian x gọi hàm số cơsin, kí hiệu y = cos x Nhận xét • Hàm số y = sin x hàm số lẻ sin(−x) = − sin x với x thuộc R • Hàm số y = cos x hàm số chẵn cos(−x) = cos x với x thuộc R b) Tính tuần hồn Ta biết, với số nguyên k, số k2π thỏa mãn sin(x + k2π) = sin x với x Ngược lại, chứng minh số T cho sin(x + T ) = sin x với x phải có dạng T = k2π, k số nguyên Rõ ràng, số dạng k2π(k ∈ Z), số dương nhỏ 2π Vậy hàm số y = sin x, số T = 2π số dương nhỏ thỏa mãn sin(x + T ) = sin x với x Hàm số y = cos x có tính chất tương tự Ta nói hai hàm số hàm số tuần hồn với chu kì 2π c) Tập giá trị tập xác định - Hàm số y = sin x, y = cos x xác định với x ∈ R nghĩa tập xác định hàm số y = sin x, y = cos x D = R - Khi x thay đổi, hàm số y = sin x hàm số y = cos x nhận giá trị thuộc đoạn [−1; 1] Ta nói tập giá trị hàm số y = sin x y = cos x đoạn [−1; 1] d) Vài giá trị đặc biệt 0o x 90o π 180o π 270o 3π 360o 2π cos x -1 sin x -1 1.1.2 Hàm số y = tan x y = cot x a) Định nghĩa 1.1.2 π • Với số thực x mà cos x = 0, tức x = sin x định số thực tan x = Đặt D1 = R\ cos x Quy tắc đặt tương ứng số x ∈ D1 với + kπ (k ∈ Z), ta xác π + kπ|k ∈ Z sin x số thực tan x = cos x gọi hàm số tang, kí hiệu y = tan x • Với số thực x mà sin x = 0, tức x = kπ (k ∈ Z), ta xác định cos x số thực cot x = Đặt D2 = R\{kπ|k ∈ Z} sin x cos x Quy tắc đặt tương ứng số x ∈ D2 với số thực cot x = sin x gọi hàm số cơtang, kí hiệu y = cot x Nhận xét • Hàm số y = tan x hàm số lẻ x ∈ D1 −x ∈ D1 tan x = − tan x • Hàm số y = cot x hàm số lẻ x ∈ D2 −x ∈ D2 cot x = − cot x 3π ) nên π k = Vậy α + β + γ = Ta có Do α + β + γ ∈ [0, x π 3π −1 + kπ < hay 2 (1 + y )(1 + z ) = tan α + x2 = tan α k < Vì k ∈ Z nên (1 + tan2 β)(1 + tan2 γ) + tan2 α sin α cos(β + γ) cos α = = cos β cos γ cos β cos γ cos β cos γ = − tan β tan γ = − yz Tương tự y (1 + z )(1 + x2 ) = − zx + y2 z (1 + x2 )(1 + y ) = − xy + z2 Suy x (1 + y )(1 + z ) +y + x2 (1 + z )(1 + x2 ) +z + y2 (1 + x2 )(1 + y ) + z2 = − (xy + yz + zx) = Bài tập tương tự 1) Cho < a, b, c < a2 + b2 + c2 + 2abc = Chứng minh abc + = c (1 − a2 )(1 − b2 ) + (1 − b2 )(1 − c2 ) + (1 − c2 )(1 − a2 ) 2) Cho x2 +y = 1, u2 +v = Chứng minh rằng: |x(u+v)+y(u−v)| 69 √ 3.3 Bài toán cực trị Các bước thực hiện: • Dựa vào điều kiện tốn lựa chọn kiểu đặt thích hợp để chuyển từ tốn đại số sang tốn lượng giác • Gải tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số lượng giác • Kết luận Ví dụ 3.3.1 Với x khác y thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức 2xy + y P = 2xy + 2x2 + Lời giải Với giả thiết   x = y ,  x + y = ta đặt:   x = sin t  y = cos t π t ∈ [0, 2π]\{ } Khi ta có P = sin t cos t + cos2 t sin 2t + cos 2t + = 2 sin 2t − cos 2t + sin t cos t + sin t + ⇔ (2P − 2) sin 2t − (2P + 1) cos 2t = − 4P Phương trình có nghiệm (2P − 2)2 + (2P + 1)2 ⇔ 8P − 4P − (1 − 4P )2 −1 0⇔ P 70 Vậy M axP = ⇔ cos 2t = −1 ⇔   cos t = = x  sin t = ±1 = y     cos t = ± √ = x  −1 ⇔ sin 2t = ⇔ M inP =    sin t = ∓ √ = y Ví dụ 3.3.2 Cho số thực x,y thay đổi thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = 2(x3 + y ) − 3xy Lời giải Từ giả thiết ta đặt:  √  x = cos t √  y = sin t Khi ta có √ P = 2(cos t + sin t)(1 − sin t cos t) − sin t cos t √ √ π ,− u 2, ta có √ √ P = −2 2u3 − 3u2 + 2u + = f (u) Đặt u = sin t + cos t = √ sin t + Suy  √ √  u = √2 f (u) = −6 2u − 6u + 2, f (u) = ⇔  √ u=− √ √ Cả hai giá trị u thỏa mãn điều kiện − u √ √ 13 = Ta có f (− 2) = −7, f ( 2) = 1, f √ 2 13 Vậy M axP = M inP = −7 Ví dụ 3.3.3 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức: 71 M= Lời giải Đặt a = tan b 3c a + +√ 2 1+a 1+b + c2 A B C , b = tan , c = tan với A, B, C ∈ (0, π) 2 Khi ta có B B C C A A tan tan + tan tan + tan tan = ⇔ A + B + C = π 2 2 2 B C A tan tan tan 2 + + Và M = A B C + tan2 + tan2 + tan 2 C = (sin A + sin B) + sin 2 Bài toán trở thành cho A, B, C số đo góc tam giác C Tìm giá trị lớn M = (sin A + sin B) + sin 2 Rõ ràng với phép biến đổi lượng giác, việc tìm giá trị lớn biểu thức M khơng khó Thật vậy, A+B A−B A+B cos + cos 2 A+B A−B A+B sin2 + cos2 cos2 +9 2 M = sin Dấu đẳng thức xảy  A−B   cos2 =1    ⇔ a = b = −3 + A+B A+B   sin cos   2  = Vậy giá trị lớn biểu thức M a = b = −3 + 72 √ √ √ 10 10, c = 10, đạt 10, c = √ Ví dụ 3.3.4 Trong tất nghiệm hệ    x2 + y = 16    z + t2 =     xt + yz 12 (3.27) tìm nghiệm (x, y, z, t) cho (x + z) đạt giá trị lớn Lời giải Theo ta có  x y   + =1   4    t z + =1   3     xt + yz 12   x z      = cos α  = cos β Đặt với α 2π với α 2π   y t    = sin α  = sin β Khi (3.27) trở thành cos α sin β + sin α cos β ⇔ sin (α + β) suy π sin (α + β) = ⇔ α + β = Ta có |x + z| = |4 cos α + cos β| = |4 cos α + sin ϕ| = |5 sin (ϕ + α)| , cos ϕ = 5 π π Ta z + x = sin (ϕ + α) = ⇒ ϕ + α = ⇔ α = − ϕ 2 16 12 ⇒ x = cos α = sin ϕ = , y = sin α = cos ϕ = , 5 12 , t = sin β = cos ϕ = z = cos β = sin ϕ = 5 16 12 12 Vậy max (x + z) = x = ,y = ,z = ,t = 5 5 với sin ϕ = 73 5, Bài tập tương tự 1) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc + a + c = b Tìm giá trị lớn 2 biểu thức N = + + a +1 b +1 c +1 2) Cho x, y số thực thỏa mãn x2 + y = Tìm giá trị lớn √ √ biểu thức A = x + y + y + x 3) Cho hai số thực x, y dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = xy + xy 4) Cho hai số thực x, y dương thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ x y biểu thức Q = √ +√ 1−y 1−x 3.4 Xác định công thức tổng qt dãy số Nhiều dãy số có cơng thức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép lượng giác Khi toán xuất yếu tố gợi cho ta nhớ đến công thức lượng giác ta thử với phương pháp lượng giác Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3.4.1 Cho dãy số:   u1 = (un ) :  un = 2u2 n−1 −1 ∀n Xác định công thức tổng quát dãy(un ) Lời giải Từ công thức truy hồi dãy, ta liên tưởng đến công thức nhân đôi hàm số cơsin Ta có π = cos , 2π π , u2 = cos2 − = cos 3 u1 = 74 u3 = cos2 u4 = cos 2π 4π − = cos , 3 8π , 2n−1 π Bằng quy nạp ta chứng minh un = cos Thật vậy, i) Với n = công thức un Tức là: u2 = cos 22−1 π π = cos 3 (đúng) ii) Ta giả sử công thức un−1 Tức là: un−1 = cos 2n−2 π (đúng) iii) Ta chứng minh công thức un Tức ta phải chứng minh un = 2n−1 π cos Ta có: 2n−1 π un = − = cos −1 2n−1 π 2n−1 π = cos = cos 3 2.u2n−1 Suy điều phải chứng minh 2n−1 π Vậy un = cos với ∀n Tổng quát: Cho dãy số: (un ) :   u1 = p |p|  un = 2u2 − n−1 ∀n Đặt u1 = cos α Công thức tổng quát dãy số là: un = cos 2n−1 α 75 Ví dụ 3.4.2 Cho dãy số: √   u1 = (un ) :  u = 4u3 n n−1 − 3un−1 ∀n Xác định công thức tổng quát dãy(un ) Lời giải Ta √ có π = cos , u1 = π π π u2 = cos3 − cos = cos , 6 π u3 = cos 32 , Bằng quy nạp ta chứng minh un = cos 3n−1 π Thật vậy, i) Với n = công thức un Tức là: u2 = cos 32−1 π 3π = cos 6 (đúng) ii) Ta giả sử công thức un−1 Tức là: un−1 3n−2 π = cos (đúng) iii) Ta chứng minh công thức un Tức ta phải chứng minh un = 3n−1 π cos Ta có: un = 4.u3n−1 − 3un−1 = cos3 3n−2 π 3n−2 π − cos 6 3n−2 π 3n−1 π = cos = cos 6 Suy điều phải chứng minh 3n−1 π Vậy un = cos với ∀n 76 Tổng quát: Cho dãy số: (un ) :   u1 = p |p|  un = 4u3 − 3un−1 n−1 ∀n Đặt u1 = cos α Công thức tổng quát dãy số là: un = cos 3n−1 α Ví dụ 3.4.3 Cho dãy số: (un ) :  √   u1 =   un = √ un−1 + − √ + (1 − 2)un−1 ∀n Tính u2017 Lời giải Ta có: tan π √ = − Suy π un−1 + tan un = π − tan un−1 Mặt khác: u1 = √ = tan π , π π + tan = tan π + π u2 = π π − tan tan tan π π + (n − 1) Bằng quy nạp ta chứng minh un = tan π 2016π π √ Vậy u2017 = tan + = tan = 3 Chú ý: Để tìm cơng thức tổng qt dãy: (un ) :   u1 = a  un = un−1 + b + (1 − b)un−1 77 ∀n Ta đặt tan α = a, tan β = b ta chứng minh un = tan [α + (n − 1) β] Ví dụ 3.4.4 Cho dãy số an , bn sau: với a < b cho trước, a1 = a+b , b1 = a2 = a1 + b1 , b2 = b.a1 , a2 b1 , ··· an = an−1 + bn−1 , bn = an bn−1 Tìm lim bn n→∞ Tìm lim an n→∞ a π Lời giải Đặt cos α = 0 0, ∀n ∈ Z+ Thật vậy: u1 > 0, u2 > Giả sử uk > 0, ∀k √ Ta có uk+1 Vậy: un > 0, ∀n ∈ Z+ Ta lại có: √ e √ Giả sử un = ecos nπ √ =e π = ecos , π e = e = esin , ∀n ∈ Z+ 80 u = k > uk−1 Ta có √ un+1 √ nπ nπ u e cos = n = = ecos (n−1)π un−1 ecos nπ Vậy un = ecos , ∀n ∈ Z+ nπ Ta lại có: e hàm đồng biến R Suy điều phải chứng ecos e minh Ta có = √ n u1 u2 un = e n (cos 1 π 2π nπ +cos +···+cos π = e 2n sin 12 π −sin 12 (sin (2n+1)π ) 12 Hay π = e n sin 12 cos (n+1)π sin nπ 12 12 Mặt khác ta lại có: −1 π n sin 12 cos (n + 1)π nπ sin 12 12 π n sin 12 −1 = lim π π = n→∞ n→∞ n sin n sin 12 12 Vậy lim = e = Mà lim n→∞ 81 ) n sin π 12 KẾT LUẬN Trong khóa luận em trình bày số kiến thức lượng giác kết hợp với kiến thức đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc phân loại phương trình lượng giác theo phương pháp giải chúng Đóng góp khóa luận bao gồm: Kiến thức hàm số lượng giác, đa thức lượng giác ví dụ Phân loại số phương trình lượng giác thường gặp Xây dựng hệ thống tốn với mức độ khó dễ khác Đặc biệt phần cuối luận văn em đưa số dạng toán đại số giải tích giải phương pháp lượng giác hóa minh họa số tập tiêu biểu lựa chọn từ đề thi Olympic toán khu vực Quốc tế Tuy nhiên thời gian thực luận văn khơng nhiều cịn có sai sót em mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc 82 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn (2008), Chuyên đề chọn lọc: Dãy số áp dụng [2] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ [3] Nguyễn Vũ Lương (Chủ biên), Nguyễn Hữu Độ, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng (2008), Lượng giác, NXB Giáo dục [4] Trần Đức Huyên, Lê Mậu Thống, Lê Mậu Thảo (1998), Phương pháp giải toán lượng giác luyện thi vào đại học, NXB Trẻ [5] Vũ Thế Hựu (2002), Phương pháp lượng giác hóa, NXB Giáo dục [6] http://luanvan.net.vn/luan-van/luan-van-mot-so-phuong-phap-giaiphuong-trinh-va-bat-phuong-trinh-luong-giac-51715/ 83