Đào tạo thế hệ trẻ trở thành những người năng động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật hiện đại, biết vận dụng và thực hiện các giải pháp hợp lý cho những vấn đề trong cuộc sống xã hội và trong thế giới khách quan là một vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và đang quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục của Đảng và Nhà nước ta trong giai đoạn lịch sử hiện nay. Trong tập hợp các môn nằm trong chương trình của giáo dục phổ thông nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là một môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với nhau đồng thời nó có tính thực tiễn rất cao trong cuộc sống xã hội và với mỗi cá nhân. Đổi mới phương pháp dạy học được hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư duy của người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội. Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh trong tự thân của người học từ đó phát triển, phát huy khả năng tự học của họ. Đối với học sinh bậc THCS cũng vậy, các em là những đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi mới là cần thiết và thiết thực. Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả năng tư duy tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm của môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học trong các giờ học sao cho phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh một hướng tư duy chủ động, sáng tạo. Vấn đề nêu trên cũng là khó khăn với không ít giáo viên nhưng ngược lại, giải quyết được điều này là góp phần xây dựng trong bản thân mỗi giáo viên một phong cách và phương pháp dạy học hiện đại giúp cho học sinh có hướng tư duy mới trong việc lĩnh hội kiến thức Toán.
Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== Phần I - Đặt vấn đề Đào tạo hệ trẻ trở thành ngời động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật đại, biết vận dụng thực giải pháp hợp lý cho vấn đề sống xà hội giới khách quan vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đà quan tâm.Vấn đề không nằm mục tiêu giáo dục Đảng Nhà nớc ta giai đoạn lịch sử Trong tập hợp môn nằm chơng trình giáo dục phổ thông nói chung, trờng THCS nói riêng, môn Toán môn khoa học quan trọng, cầu nối ngành khoa học với ®ång thêi nã cã tÝnh thùc tiÔn rÊt cao sống xà hội với cá nhân Đổi phơng pháp dạy học đợc hiểu tổ chức hoạt động tích cực cho ngời học, kích thích, thúc đẩy, hớng t ngời học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội Từ khơi dậy thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh tự thân ngời học từ phát triển, phát huy khả tự học họ Đối với học sinh bậc THCS vậy, em đối tợng ngời học nhạy cảm việc đa phơng pháp học tập theo hớng đổi cần thiết thiết thực Vậy làm để khơi dậy kích thích nhu cầu t duy, khả t tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trớc vấn đề ngời giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp phơng pháp dạy học học cho phù hợp với kiểu bài, đối tợng häc sinh, x©y dùng cho häc sinh mét híng t chủ động, sáng tạo ================================================ ============ Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== Vấn đề nêu khó khăn với không giáo viên nhng ngợc lại, giải đợc điều góp phần xây dựng thân giáo viên phong cách phơng pháp dạy học đại giúp cho häc sinh cã híng t míi viƯc lĩnh hội kiến thức Toán Phần II - Nội dung đề tài I/ Những lý chọn đề tài Trong tìm phơng pháp giải toán hình học, ta gặp số toán mà không vẽ thêm đờng phụ bế tắc Nếu biết vẽ thêm đờng phụ thích hợp tạo liên hệ yếu tố đà cho việc giải toán trở lên thuận lợi hơn, dễ dàng Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nh để có lợi cho việc giải toán điều khó khăn phức tạp Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, phơng pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ, mà sáng tạo trong giải toán, việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt đợc mục đích tạo điều kiện để giải đợc toán cách ngắn gọn công việc tuỳ ttieen Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình toán dựng hình bản, nhiều ngời giáo viên đà tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ nhng giải thích rõ cho học sinh hiểu đợc lại phải vẽ nh vậy, học sinh hỏi giáo viên: Tại cô (thầy) lại nghĩ đợc cách vẽ đờng phụ nh vậy, cách vẽ có cách khác không? hay: vẽ thêm nh giải đợc toán? gặp phải tình nh vậy, thật ngời giáo viên phải vất vả để giải thích mà có hiệu không cao, học sinh không nghĩ đợc cách làm gặp toán ================================================ ============ Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== tơng em cha biết cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy thấy rằng: để giải vấn đề cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán bồi dỡng khả t tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho em nhng sở việc vẽ thêm đờng phụ số phơng pháp thờng dùng vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ em tiếp xúc với toán, em chủ động đợc cách giải, chủ động t tìm hớng giải cho toán, nh hiệu cao ii/ Những së cđa viƯc vÏ thªm u tè phơ I - Cơ sở lý luận Việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình số toán dựng hình Sau số toán dựng hình chơng trình THCS: Bài toán 1: Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh a; b; c Giải: Cách dựng: a B c A b b c a C x - Dùng tia Ax - Dựng đờng tròn(A; b) Gọi C giao điểm ®êng trßn ( A; b) víi tia Ax - dùng đờng tròn (A; c) đờng tròn (C; a), gọi B giao điểm chúng Tam giác ABC tam giác phải dựng có AB = c; AC = b; BC = a ================================================ ============ Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== - Chú ý: Nếu hai đờng tròn ( A; c) ( C; a) không cắt không dựng đợc tam giác ABC Bài toán 2: Dựng góc góc cho trớc Cách dựng: - Gọi xOy góc cho trớc Dựng đờng tròn (O; r) cắt Ox A cắt Oy B ta đợc OAB - Dựng OAB = OAB ( c- c- c) nh toán 1, ta đợc O ' = O x A A O B O y B Bài toán 3: Dựng tia phân giác góc xAy cho trớc Cách dựng: - Dựng đờng tròn ( A; r) cắt Ax B cắt Ay C - Dợng đờng tròn ( B; r) ( C; r) chúng cắt nnhau D Tia phân giác phân giác xAy ThËt vËy: ∆ABD = ∆ACD ( c- c- c) ⇒ Aˆ1 = Aˆ x B r r D z A C r cho trớc Bài toán 4: Dựng trung điểm đoạn r thẳng AB C Cách dựng: y - Dựng hai đờng tròn ( A; AB ) ( B; BA )chúng cắt C, D A B Giao điểm CD AB trung điểm AB ================================================ ============ Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An D Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== *Chú ý: cách dựng đờng trung trực đoạn thẳng cho trớc Bài toán 5: Qua điểm O cho trớc, dựng đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng a cho trớc Cách dựng: - Dựng đờng tròn ( O; r) cắt a A, B - Dựng đờng trung trực AB O Trên toán dựng hình bản, cần sử dụng mà không cần nhắc lại cách dựng A B Khi cần vẽ thêm đờng phụ để chứng minh phải vào đờng đà dựng để vẽ thêm không nên vẽ cách tuỳ tiện I - Cơ sở thực tế D ================================================ ============ Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== Ta đà biết hai tam giác suy đợc cặp cạnh tơng ứng nhau, cặp góc tơng ứng Đó lợi ích việc chứng minh hai tam giác Vì muốn chứng minh hai đoạn thẳng (hay hai góc nhau) ta thờng làm theo bớc sau: Bớc 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) hai cạnh (hay hai góc) thuộc hai tam giác nào? Bớc 2: Chứng minh hai tam giác b»ng Bíc 3: Tõ hai tam gi¸c b»ng nhau, suy cặp cạnh ( hay cặp góc) tơng ứng Tuy nhiên thực tế giải toán lúc hai tam giác cần có đợc cho đề mà nhiều phải tạo thêm yếu tố phụ xuất đợc tam giác cần thiết có lợi cho việc giải toán Vì yêu cầu đặt làm học sinh nhận biết cách vẽ thêm đợc yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung toán hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy đà tích luỹ đợc số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản thiÕt thùc, híng dÉn häc sinh thùc hiƯn gi¶i toán hiệu phần III: số phơng pháp vẽ yêú tố phụ Bây nghiên cứu số cách đơn giản nhất, thông dụng để vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học 7: Cách 1: Vẽ trung điểm đoạn thẳng, vẽ tia phân giác góc Bài to¸n 1: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 10 cm; BC = 12 cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC( H BC) DH = 4cm Chứng minh tam giác ABC cân A 1) Phân tích toán: Bài cho tam gi¸c ABC cã AB = 10 cm; BC = 12 cm, D trung điểm cạnh AB Vẽ DH vuông góc với BC( H BC) DH = 4cm ================================================ ============ Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== Yêu cầu chứng minh tam giác ABC cân A 2) Hớng suy nghĩ: ABC cân A AB = AC Ta nghĩ đến ®iĨm phơ K lµ trung ®iĨm cđa AB VËy u tố phụ cần vẽ trung điểm BC 3) Chøng minh: AA ∆ABC; AB = 10cm; BC = 12 cm; GT KL D DA = DB = AB ; DH ⊥ BC DH = cm ∆ ABC cân A B H K Gọi K trung điểm đoạn thẳng BC, ta có: BK = KC = C BC = cm L¹i cã: BD = AB = cm ( D trung điểm AB) Xét HBD có: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta cã:DH + BH2 = BD2 ⇒ BH2 = BD2 - DH2 = 52 – 42 = ⇒ BH = ( cm) Tõ ®ã: BD = DA; BH = HK ( = cm) ⇒ DH // AK ( đờng nối trung điểm cạnh tam giác song song với cạnh thứ 3) Ta có: DH ⊥ BC, DH // AK ⇒ AK ⊥ BC Xét ABK ACK có: ã BK = KC ( theo cách lấy điểm K) ã AKB = AKC = 900 ã AK cạnh chung ABK = ∆ACK (c – g – c) ⇒ AB = AC ABC cân A ================================================ ============ Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== 4) Nhận xét: Trong cách giải toán ta đà chứng minh AB = AC cách tạo hai tam giác chứa hai cạnh AB AC từ việc kẻ thêm trung tuyến AK, việc chứng minh sử dụng thêm toán phụ là: Trong tam giác , đờng thẳng qua trung điểm cạnh thứ cạnh thứ hai song song với cạnh thử ba, kiến thức đờng trung bình học sinh đợc nghiên cứu chơng trình toán nhng phạm vi kiến thức lớp chứng minh đợc, việc chứng minh dành cho học sinh giỏi, có sử dụng kết toán mà không chứng minh lại muốn nhấn mạnh vào việc vẽ thêm yếu tố phụ Bài toán 2: Cho tam giác ABC cã Bˆ = Cˆ ; chøng minh r»ng: AB = AC? ( Giải cách vận dụng trờng hợp góc cạnh góc hai tam giác) !) Phân tích toán: Bài cho: tam giác ABC có B = C ; Yêu cầu: chứng minh rằng: AB = AC 2) Híng suy nghÜ: A §êng phơ cần vẽ thêm tia phân giác AI BAC (I∈ BC) 3) Chøng minh: ˆ ˆ = ∆ABC; B C AB = AC GT KL VÏ tia phân giác AI BAC (I BC) =A ˆ = ⇒A BAC (1) ˆ ⇒ˆ I1 = I2 B ˆ ( gt) ˆ = Mµ B C I C (2) XÐt ABI ACI ta có: ã I1 = I ( theo (2)) ================================================ ============ Gi¸o viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== ã Cạnh AI chung =A ( theo (1)) ã A ⇒ ∆ ABI = ∆ ACI ( g – c – g) ⇒ AB = AC (2 cạnh tơng ứng) 4) Nhận xét: Trong cách giải trên, ta phải chứng minh AB = AC cách kẻ thêm đoạn thẳng AI tia phân giác góc BAC để tạo hai tam giác Cách 2: Trên tia cho trớc, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền nửa cạnh huyền ( Bài 25/ 67- SGK toán tập 2) 1) Phân tích toán: Bài cho Tam giác ABC vuông A, AM đờng trung tuyến ứng với cạng huyền, yêu cầu chứng minh: AM = BC ⇒2 AM = BC 2) Hớng suy nghĩ: Ta cần tạo đoạn thẳng 2.AM tìm cách chứng minh BC đoạn thẳng ®ã Nh vËy dƠ nhËn r»ng, u tè phơ cần vẽ A thêm điểm D cho M trung điểm AD 3) Chứng minh: GT ˆ =900 ; ∆ABC; A AM lµ trung tuyÕn KL M Trên tia đối tia MA lấy ®iÓm D cho: MD = MA AM = BC B C XÐt ∆ MAC vµ ∆ MDB ta có: ã MA = MD ( theo cách lấy điểm D) ã M1 = M2 ( đối đỉnh) D ================================================ ============ Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAC = ∆ MDB ( c - g - c) AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1) =D (2 góc tơng ứng) A AB // CD ( có cặp góc so le b»ng nhau) L¹i cã: AC ⊥ AB ( gt) ⇒ AC ⊥CD (Quan hƯ gi÷a tÝnh song song vuông góc) hay =C = 900 (2) A Xét ABC CDA có: ã AB = CD ( Theo (1)) ˆ =C ˆ = 900 ( Theo (2)) ã A ã AC cạnh chung ⇒ ∆ ABC = ∆ CDA ( c – g – c) 2 ⇒ BC = AD (2 cạnh tơng ứng) Mà AM = AD AM = BC 4) NhËn xÐt: Trong c¸ch giải tập trên, để chứng minh AM = BC ta đà vẽ thêm đoạn thẳng MD cho MD = MA, ®ã AM = AD Nh phải chứng minh AD = BC Trên tia cho trớc, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác cách vẽ đờng phụ để vận dụng trờng hợp tam giác Bài toán 4: Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M trung điểm BC So sánh BAM MAC ?( Bài 7/ 24 SBT toán tập 2) 1) Phân tích toán: Bài cho tam giác ABC có AB < AC, M trung điểm BC ================================================ ============ Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ =========== Yêu cầu : So sánh BAM MAC? 2) Hớng suy nghĩ: Hai góc BAM MAC không thuộc tam giác Do ta tìm tam giác có hai góc hai góc BAM MAC liên quan đến AB, AC đà có AB < AC Từ dẫn đến việc lấy điểm D tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải đợc toán A 3) Lời giải: ABC; AB < AC GT M trung điểm BC KL M B C So sánh BAM MAC? Đ Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA XÐt ∆ MAB vµ ∆ MDC ta có: ã MA = MD ( theo cách lấy điểm D) ã M1 = M2 ( đối đỉnh) • MB = MC ( Theo gt) ⇒ ∆ MAB = ∆ MDC ( c - g - c) ⇒ AB = CD (2 cạnh tơng ứng) (1) =D (2 A góc tơng ứng) (2) Ta cã: AB = CD ( Theo (1)), mµ AB < AC ( gt) ⇒CD < AC (3) XÐt ∆ACD cã: CD < AC ( theo (3)) ================================================ ============ Giáo viên: Từ Thị Thu Ngọc- Trờng THCS Bắc Sơn, Kiến An Một số phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học lớp ================================================ ===========