Không gian metric mờ và định lý điểm bất động

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ∗∗∗∗∗∗ ∗∗∗∗∗∗ NGUYỄN THỊ PHƯƠNG THẢO KHÔNG GIAN METRIC MỜ VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS LÊ THỊ NHƯ BÍCH Thừa Thiên Huế, năm 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, luận văn cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn trực tiếp giáo TS Lê Thị Như Bích Trong q trình nghiên cứu đề tài luận văn, tơi kế thừa thành khoa học nhà Toán học nhà Khoa học với trân trọng biết ơn Tác giả Nguyễn Thị Phương Thảo ii LỜI CẢM ƠN Trước hết xin gửi lời cảm ơn sâu sắc sắc đến cô giáo hướng dẫn luận văn cho tơi, TS Lê Thị Như Bích Cảm ơn cô bên cạnh, động viên nhắc nhở tơi suốt q trình hồn thành luận văn Cơ giúp tơi vượt qua khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ học tập nghiên cứu Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo giảng dạy lớp cao học Tốn Khóa 24 trường ĐHSP Huế tồn thể thầy khoa Tốn trường ĐHSP Huế giảng dạy tận tình quan tâm, động viên, khích lệ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng Đào Tạo Sau Đại Học trường ĐHSP Huế tạo điều kiện để tơi hồn thành cơng việc học tập, nghiên cứu Xin trân trọng cảm ơn! iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian metric 1.2 Định lý điểm bất động cho số ánh xạ không gian metric Chương Không gian metric mờ 12 2.1 Tập mờ khái niệm liên quan 12 2.2 Định nghĩa không gian metric mờ 16 2.3 Tôpô cảm sinh metric mờ 26 2.4 Dãy Cauchy không gian metric mờ đầy đủ 34 2.5 Không gian mờ compact 36 2.6 Định lý Baire cho không gian metric mờ 37 Chương Định lý điểm bất động không gian metric mờ 39 3.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co 39 3.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ R-giao hoán yếu 41 3.3 Định lý điểm bất động cho ánh xạ tương thích yếu 45 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 MỞ ĐẦU Lý thuyết không gian metric, với khái niệm “khoảng cách” (hay metric) định nghĩa đó, xây dựng từ lâu có nhiều ứng dụng, đặc biệt lý thuyết thông tin, trình tự ADN khoa học máy tính Tuy nhiên thực tế, việc xác định khoảng cách xác hai điểm khó khăn, cơng việc chịu nhiều tác động từ môi trường yếu tố bên ngồi Chẳng hạn như: khó khăn việc đo đạc, phép đo có sai số, hai điểm cần đo không cố định mà di động vị trí hai điểm khơng xác định cụ thể mà ta đoán mức độ gần chúng Để giải vấn đề này, khái niệm “tập mờ” “không gian metric mờ” xây dựng Sự phát triển toán học mờ bắt đầu giới thiệu khái niệm tập mờ L.A ZaDeh vào năm 1965 Năm 1975, O Kramosil J MiChalek lần đưa định nghĩa khơng gian metric mờ Nhưng sau đó, năm 1994 định nghĩa điều chỉnh lại A George P Veermani việc giới thiệu t-chuẩn liên tục Trong ba thập kỷ qua, có nhiều kết toán học mờ Trong tài liệu gần đây, ta thấy tốn học mờ có mặt hầu hết mảng toán học như: số học, tô pô, lý thuyết đồ thị, lý thuyết xác suất, logic Ngoài ra, lý thuyết tập mờ ứng dụng lĩnh vực khoa học nhiều, chẳng hạn như: lý thuyết ổn định, lập trình tốn học, lý thuyết mơ hình, khoa học kỹ tht, y học (di truyền, hệ thần kinh), xử lý ảnh, lý thuyết điều khiển, thơng tin Bên cạnh đó, định lý điểm bất động phát triển đóng vai trị quan trọng tốn học mờ ngành tốn học nói chung Nhiều nhà nghiên cứu thu kết định lý điểm bất động chung cho ánh xạ khác Năm 1999, R Vasuki chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ R-giao hoán yếu R.P Pant giới thiệu khái niệm mới: ánh xạ liên tục tương thích thiết lập số định lý điểm bất động chung S.N Mishra, N Sharma S.L Singh định nghĩa ánh xạ giao hoán z-ổn định tiệm cận Gần đây, nhiều nhà nghiên cứu phát triển rộng rãi lý thuyết cách nghiên cứu khía cạnh khác mở rộng khái niệm metric mờ thơng qua việc áp dụng số tính chất như: tính co, tính suy rộng, tính liên tục, khả tương thích tập mờ kết có khác Với mong muốn tìm hiểu tổng hợp lại kết liên quan đến không gian metric mờ, định lý điểm bất động không gian metric mờ số vấn đề liên quan, chúng tơi chọn đề tài luận văn là: Không gian metric mờ định lý điểm bất động Trong luận văn này, lời mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia làm ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày kiến thức khơng gian metric, ánh xạ co, ánh xạ R-giao hoán yếu ánh xạ tương thích yếu khơng gian metric định lý điểm bất động cho ánh xạ tương ứng kể Chương Không gian metric mờ Chương giới thiệu tập mờ, không gian metric mờ tìm hiểu số tính chất không gian metric mờ Chương Định lý điểm bất động không gian metric mờ Trong chương này, giới thiệu định nghĩa ánh xạ co, ánh xạ R-giao hốn yếu ánh xạ tương thích yếu khơng gian metric mờ tìm hiểu định lý điểm bất động không gian metric mờ cho ánh xạ Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Khơng gian metric Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết không gian metric với mục đích so sánh với khái niệm kết không gian metric mờ trình bày chương 2, định nghĩa số ánh xạ không gian metric với định lý điểm bất động tương ứng cho ánh xạ nêu Các kiến thức mục tham khảo từ tài liệu [2] Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp X, ánh xạ d : X × X → R gọi hàm khoảng cách hay metric X nếu, với x, y, z ∈ X ta có: a) d(x, y) ≥ d(x, y) = ⇔ x = y b) d(x, y) = d(y, x) c) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Lúc đó, (X, d) gọi không gian metric Định nghĩa 1.1.2 Một dãy không gian metric X ánh xạ f : N → X Lúc đó, kí hiệu xn = f (n) với n ∈ N dãy f cịn gọi dãy {x1 , x2 , , xn , } hay đơn giản {xn } Cho dãy f = {xn } Giả sử ϕ : N → N ánh xạ cho ϕ(k) < ϕ(k + 1), ∀k Lúc đó, f ◦ ϕ gọi dãy f Trong thực tế, người ta thường đặt nk := ϕ(k), (f ◦ ϕ)(k) = f (ϕ(k)) = f (nk ) = xnk Do đó, dãy f ◦ ϕ dãy {xn } dãy: {xn1 , xn2 , , xnk , } hay {xn }k n1 < n2 < < nk < Một dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ điểm x ∈ X, hay x điểm giới hạn dãy {xn }, kí hiệu: x = lim xn dãy số d(xn , x) hội tụ (trên R), n→∞ tức là: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ≥ n0 , d(xn , x) < ε Định nghĩa 1.1.3 Giả sử x0 ∈ X r số thực dương, ta gọi hình cầu mở, hình cầu đóng tâm x0 , bán kính r, tập sau đây: B(x0 ; r) = {x ∈ X|d(x0 , x) < r}, B (x0 ; r) = {x ∈ X|d(x0 , x) ≤ r} Định nghĩa 1.1.4 Một tập A X gọi mở ∀x ∈ A, ∃ε > 0, B(x, ε) ⊂ A Một tập F ⊂ X gọi đóng phần bù X \ F mở Định nghĩa 1.1.5 Cho x ∈ X, tập V ⊂ X gọi lân cận x tồn ε > cho B(x, ε) ⊂ V Một họ V lân cận x gọi sở lân cận x với lân cận U x tồn V ∈ V cho V ⊂ U Mệnh đề 1.1.6 Hình cầu mở B(a, r) tập mở, hình cầu đóng B (a, r) tập đóng, với a ∈ X r > Định nghĩa 1.1.7 Cho không gian metric (X, d), họ T tất tập mở không gian metric (X, d) gọi tôpô sinh metric d Định nghĩa 1.1.8 Cho (X, T ) không gian tôpô {xn } dãy X Ta nói xn → x khơng gian (X, T ) với lân cận U x, tồn n0 ∈ N cho xn ∈ U, ∀n ≥ n0 Mệnh đề 1.1.9 Cho F ⊂ X Lúc F đóng ⇔ ∀{xn } ⊂ F, (xn → x ⇒ x ∈ F ) Định nghĩa 1.1.10 Cho A ⊂ Y ⊂ X Ta nói A trù mật Y A ⊃ Y Vậy A trù mật Y ⇔ ∀y ∈ Y, ∀ε > 0, B(y, ε) ∩ A = ∅ Định nghĩa 1.1.11 Cho hai không gian metric X Y ánh xạ f : X → Y Ta nói f ánh xạ liên tục x0 ∈ X ∀{xn } ⊂ X, xn → x0 ⇒ f (xn ) → f (x0 ) f gọi liên tục tập M ⊂ X f liên tục điểm thuộc M Ta nói f ánh xa liên tục f liên tục X Định nghĩa 1.1.12 Cho X không gian metric, hàm f : X → R Khi f gọi nửa liên tục x0 ∈ X ⇔ (∀{xn } ⊂ X, xn → x0 , f (x0 ) ≤ lim inf f (xn )), n→∞ f gọi nửa liên tục x0 ∈ X ⇔ (∀{xn } ⊂ X, xn → x0 , f (x0 ) ≥ lim sup f (xn )) n→∞ Định nghĩa 1.1.13 Cho không gian (X, d) Một dãy {xn } ⊂ X gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀m, k ≥ n0 , d(xm , xk ) < ε, X gọi không gian đầy đủ dãy Cauchy thuộc X hội tụ nạp ta M (xn , xn+1 , t) ≥ M x, x1 , t kn ∀n ∈ N, t > (3.3) Do đó, với số nguyên dương p bất kỳ, ta có M (xn , xn+p , t) ≥ M ≥M xn , xn+1 , x, x1 , t p t pk n (p) ∗ ··· ∗ M (p) ∗ ··· ∗ M xn+p−1 , xn+p , x, x1 , t p t pk n+p−1 (theo (3.3)) Từ (3.1), ta có (p) lim M (xn+p , xn , t) ≥ ∗ · · · ∗ = 1, nghĩa là: {xn } dãy Cauchy nên hội tụ Gọi giới hạn dãy y Khi đó, ta có M (T (y), y, t) ≥ M ≥M T (y), T (xn ), y, xn , t 2k t ∗M ∗M xn+1 , y, xn+1 , y, t t → ∗ = Suy T (y) = y điểm bất động Để chứng minh tính nhất, ta giả sử T (z) = z với z ∈ X Khi ≥ M (z, y, t) = M (T (z), T (y), t) ≥ M ≥M z, y, t k2 ≥ ··· ≥ M z, y, t kn z, y, t k =M T (z), T (y), t k → n → ∞ Suy z = y , n ∈ N ∪ {0} Với t ∈ [0, ∞), định nghĩa: n    0, t=0 M (x, y, t) = t   , t > 0, x, y ∈ X t + |x − y| Ví dụ 3.1.1 Cho X = với t-chuẩn a ∗ b = ab Khi đó, (X, M, ∗) khơng gian metric mờ đầy đủ t lim M (x, y, t) = lim = lim = t→∞ t→∞ t + |x − y| t→∞ |x − y| 1+ t 40 Xét ánh xạ T (x) : X → X x → cos(cosx) d (cos(cosx)) = |sin(cosx).sinx| ≤ sin1 < nên suy dx |cos(cosx) − cos(cosy)| ≤ sin1.|x − y| hay |T (x) − T (y)| ≤ sin1.|x − y| Ta có Khi đó, ta có sin1.t + |T (x) − T (y)| ≤ sin1.t + sin1.|x − y| ⇔ sin1.t + |T (x) − T (y)| ≤ sin1.(t + |x − y|) sin1.t sin1.t ≥ sin1.t + |T (x) − T (y)| sin1.(t + |x − y|) sin1.t t ⇔ ≥ sin1.t + |T (x) − T (y)| t + |x − y| ⇔ Hay M (T (x), T (y), kt) ≥ M (x, y, t) với k = sin1 Vậy T có điểm bất động 3.2 Định lý điểm bất động cho ánh xạ R-giao hoán yếu Năm 1994, R.P Pant giới thiệu ánh xạ R-giao hốn yếu khơng gian metric chứng minh định lý điểm bất động Đến năm 1999, R Vasuki định nghĩa ánh xạ không gian metric mờ chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ không gian metric mờ Định nghĩa 3.2.1 [13] Cho f, g hai ánh xạ từ không gian metric mờ (X, M, ∗) vào Khi đó, f g gọi R-giao hoán yếu ∃ R > cho M (f (g(x)), g(f (x)), t) ≥ M Ví dụ f (x), g(x), t , ∀x ∈ X, t > R 3.2.1 Cho không gian metric mờ (X, M, ∗) với X = R, t-chuẩn a ∗ b = ab M (x, y, t) = e |x−y| t −1 ∀x, y ∈ X, t > 41 Xét hai hàm: f (x) = 2x − g(x) = x2 , ta có M (f (g(x)), g(f (x)), t) = e M t f (x), g(x), 2 |x−1| t |x−1| t −1 , −1 = e Do đó, với R = 2, f g R-giao hoán yếu Mệnh đề 3.2.2 Cho (X, M, ∗) không gian metric mờ, với {xn }, {yn } hai dãy X cho xn → x, yn → y Khi M (xn , yn , t) → M (x, y, t) với t > Định lí 3.2.3 [13] Cho (X, M, ∗) khơng gian metric mờ đầy đủ, f, g : X → X hai ánh xạ R-giao hoán yếu X, thỏa mãn điều kiện sau: M (f (x), f (y), t) ≥ r(M (g(x), g(y), t)) (3.4) với r : [0, 1] → [0, 1] hàm liên tục cho r(t) > t với < t < 1, {xn }, {yn } hai dãy X cho xn → x, yn → y Khi đó, miền giá trị g chứa miền giá trị f g f liên tục f g có điểm bất động chung Chứng minh Lấy x0 điểm thuộc X Vì f (X) ⊂ g(X) nên ta chọn x1 ∈ X cho f (x0 ) = g(x1 ) Một cách tổng quát, chọn xn+1 cho f (xn ) = g(xn+1 ) Khi đó, với t > M (f (xn ), f (xn+1 ), t) ≥ r(M (g(xn ), g(xn+1 ), t)) = r(M (f (xn−1 ), f (xn ), t)) > M (f (xn−1 ), f (xn ), t) r(t) > t, < t < (3.5) Do đó, {M (f (xn ), f (xn+1 ), t), n > 0} dãy số thực dương tăng [0, 1] nên tiến tới giới hạn L ≤ Ta giả sử L = 42 Nếu L < 1, cho n → ∞ 3.5, ta L ≥ r(L) > L (mâu thuẫn) Do đó, L = Với p số nguyên dương bất kỳ, M (f (xn ), f (xn+p ), t) ≥ M ≥M t p t f (xn ), f (xn+1 ), p f (xn ), f (xn+1 ), ∗ ∗ M f (xn+p−1 ), f (xn+p ), ∗ ∗ M f (xn ), f (xn+1 ), t p Vì lim M (f (xn ), f (xn+1 ), t) = 1, với t > nên suy n→∞ lim M (f (xn ), f (xn+p ), t) ≥ ∗ ∗ ≥ n→∞ Do {f (xn )} dãy Cauchy X khơng gian đầy đủ nên f (xn ) → z g(xn ) → z X Giả sử f liên tục Khi đó, f (f (xn )) → f (z) f (g(xn )) → f (z) Hơn nữa, f, g R-giao hoán yếu M (f (g(xn )), g(f (xn )), t) ≥ M f (xn ), g(xn ), t R nên cho n → ∞ bất đẳng thức trên, ta g(f (xn )) → f (z), theo mệnh đề 3.2.2 Ta chứng minh z = f (z) Giả sử z = f (z) Khi đó, tồn t > cho M (z, f (z), t) < Theo 3.4 M (f (xn ), f (f (xn )), t) ≥ r(M (g(xn ), g(f (xn )), t)) Cho n → ∞ bất đẳng thức trên, ta có M (z, f (z), t) ≥ r(M (z, f (z), t)) > M (z, f (z), t) ( Mâu thuẫn) Do đó, z = f (z) Vì f (X) ⊂ g(X), ta tìm z1 ∈ X cho z = f (z) = g(z1 ) Ta có M (f (f (xn )), f (z1 ), t) ≥ r(M (g(f (xn )), g(z1 ), t)) 43 t p Lấy giới hạn n → ∞, ta M (f (z), f (z1 ), t) ≥ r(M (f (z), g(z1 ), t)) = r(t) = với t = Suy f (z) = f (z1 ), nghĩa là: z = f (z) = f (z1 ) = g(z1 ) Tương tự với t > M (f (z), g(z), t) = M (f (g(z1 )), g(f (z1 )), t) ≥M f (z1 ), g(z1 ), t R = Điều lần suy f (z) = g(z) Do đó, z điểm bất động chung f g Bây giờ, ta chứng minh tính z Giả sử tồn z = z điểm bất động chung f g Khi đó, tồn t > cho M (z, z , t) < M (z, z , t) = M (f (z), f (z ), t) ≥ r(M (g(z), g(z ), t)) = r(M (z, z , t)) > M (z, z , t) r(t) > t, < t < (Mâu thuẫn) Vì thế, z = z hay z điểm bất động chung f g , n ∈ N ∪ {0} Với t ∈ (0, ∞), định nghĩa: n    0, t=0 M (x, y, t) = t   , t > 0, x, y ∈ X t + |x − y| Ví dụ 3.2.2 Cho X = với t-chuẩn a ∗ b = ab Khi đó, (X, M, ∗) khơng gian metric mờ đầy đủ Xét hai hàm f, g X sau: f (x) = g(x) =    1, x hữu tỉ   0, 44 x vô tỉ Rõ ràng f (X) ⊂ g(X), f liên tục g không liên tục Ta định nghĩa r : [0, 1] → [0, 1] với r(t) =  √   t, < t <   1, t=1 Khi đó, r(t) > t với < t < 1, M (f (x), f (y), t) ≥ r(M (g(x), g(y), t)) với x, y ∈ X f, g R-giao hoán yếu Do đó, tất điều kiện định lý thỏa mãn điểm bất động chung f g 3.3 Định lý điểm bất động cho ánh xạ tương thích yếu Năm 1998, B.E Rhoades G Jungck giới thiệu khái niệm tương thích yếu chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ không gian metric Mãi năm 2007, H.K Pathak P Singh lần đầu giới thiệu khái niệm ánh xạ tương thích yếu khơng gian metric mờ chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ không gian metric mờ Định nghĩa 3.3.1 [1] Cho f, g ánh xạ từ không gian metric mờ (X, M, ∗) vào Khi đó, ánh xạ f, g gọi tương thích với dãy {xn } X thỏa mãn lim f (xn ) = lim g(xn ) = z với z ∈ X, n→∞ n→∞ lim M (f (g(xn )), g(f (xn )), t) = ∀t > n→∞ Ví dụ 3.3.1 Cho X = R, với t > 0, ta định nghĩa M (x, y, t) = t t + |x − y| ∀x, y ∈ X Khi đó, (X, M, ∗) khơng gian metric mờ với t-chuẩn a ∗ b = ab Ta định nghĩa f, g : X → X với f (x) = x3 g(x) = − x 45 Xét dãy {xn } X, với z ∈ X Ta có |M (f (xn ), z, t) − M (g(xn ), z, t)| = = ≤ = = = t t − t + |f (xn ) − z| t + |g(xn ) − z| t(|g(xn ) − z| − |f (xn ) − z|) (t + |f (xn ) − z|)(t + |g(xn ) − z|) t(|g(xn ) − z − f (xn ) + z|) (t + |f (xn ) − z|)(t + |g(xn ) − z|) t|g(xn ) − f (xn )| (t + |f (xn ) − z|)(t + |g(xn ) − z|) t|x3n − + xn | (t + |x3n − z|)(t + |2 − xn − z|) t|xn − 1||x2n + xn + 2| → xn → (t + |x3n − z|)(t + |2 − xn − z|) Hay lim f (xn ) = lim g(xn ) = z Hơn n→∞ n→∞ M (f (g(xn )), g(f (xn )), t) = M ((2 − xn )3 , − x3n , t) t t + |(2 − xn )3 − + x3n | t = → xn → t + 6|xn − 1|2 = nên suy (f, g) tương thích Định nghĩa 3.3.2 [1] Cho f, g ánh xạ từ không gian metric mờ (X, M, ∗) vào Điểm x ∈ X gọi điểm trùng f g f (x) = g(x) Định nghĩa 3.3.3 [1] Hai ánh xạ f g từ không gian metric mờ (X, M, ∗) vào gọi tương thích yếu chúng giao hốn điểm trùng chúng, nghĩa là: f (x) = g(x) f (g(x)) = g(f (x)) Ví dụ 3.3.2 Cho (X, M, ∗) không gian metric mờ với X = [0, 2], t ∀x, y ∈ X, t > t-chuẩn a ∗ b = min{a, b}, M (x, y, t) = t + d(x, y) ∀a, b ∈ [0, 1] 46 Ta định nghĩa hai ánh xạ A S X sau: A(x) =    2, ≤ x ≤ S(x) =   x, < x ≤ 2    2, x=1   x + 3, x = Ta có S(1) = A(1) = S(2) = A(2) = nên hai điểm trùng f g Lại có S(A(1)) = A(S(1)) = S(A(2)) = A(S(2)) = Suy (A, S) tương thích yếu Định nghĩa 3.3.4 [12] Gọi Φ lớp tất hàm ϕ : [0, 1] → [0, 1] thỏa mãn tính chất sau: (ϕ1) ϕ hàm liên tục không giảm [0, 1] (ϕ2) ϕ(x) > x ∀x ∈ (0, 1) Định nghĩa 3.3.5 [12] Hai ánh xạ f, g từ không gian metric mờ (X, M, ∗) vào thỏa mãn tính chất (CLRg) tồn dãy {xn } ⊂ X cho f (xn ) g(xn ) hội tụ đến g(x) với x ∈ X, nghĩa là: lim f (xn ) = lim g(xn ) = g(x) với x ∈ X n→∞ n→∞ Định lí 3.3.6 [12] Cho (X, M, ∗) không gian metric mờ hai ánh xạ f, g từ không gian metric mờ (X, M, ∗) vào tương thích yếu cho với ϕ ∈ Φ: M (f (x), f (y), t) ≥ ϕ(min{M (g(x), g(y), t), M (f (x), g(x), t), M (f (y), g(y), t), M (f (y), g(x), t), M (f (x), g(y), t)}) (3.6) với x, y ∈ X, t > Nếu f g thỏa mãn tính chất (CLRg) f g có điểm bất động chung 47 Chứng minh Vì f, g thỏa mãn tính chất (CLRg) nên ta tìm dãy {xn } ⊂ X cho lim f (xn ) = lim g(xn ) = g(x) với x ∈ X n→∞ n→∞ Khi đó, với n ∈ N, M (f (xn ), f (x), t) ≥ ϕ(min{M (g(xn ), g(x), t), M (f (xn ), g(xn ), t), M (f (x), g(x), t), M (f (x), g(xn ), t), M (f (xn ), g(x), t)}) (3.7) Cho n → ∞ (3.7), ta M (g(x), f (x), t) ≥ ϕ(min{M (g(x), g(x), t), M (g(x), g(x), t), M (f (x), g(x), t), M (f (x), g(x), t), M (g(x), g(x), t)}) = ϕ(min{1, 1, M (g(x), f (x), t), M (g(x), f (x), t), 1}) = ϕ(M (g(x), f (x), t)) với t > Ta g(x) = f (x) Nếu g(x) = f (x), từ điều kiện (GV 1), (GV 2) định nghĩa 2.2.6, ta có < M (g(x), f (x), t) < ∀t > Từ điều kiện (ϕ2) ta suy ϕ(M (g(x), f (x), t)) > M (g(x), f (x), t) (Mâu thuẫn) Vì g(x) = f (x) Đặt z := f (x) = g(x) Vì f g tương thích yếu nên f (g(x)) = g(f (x)) suy f (z) = g(z) Bây ta chứng minh f (z) = z Giả sử f (z) = z Ta có < M (f (z), z, t) < ∀t > Từ điều kiện (ϕ2) ta có 48 ϕ(M (f (z), z, t)) > M (f (z), z, t) Từ điều kiện (3.6), ta có M (f (z), z, t) = M (f (z), f (x), t) ≥ ϕ(min{M (g(z), g(x), t), M (f (z), g(z), t), M (f (x), g(x), t), M (f (x), g(z), t), M (f (z), g(x), t)}) = ϕ(min{M (g(z), g(x), t), 1, 1, M (f (x), g(z), t), M (f (z), g(x), t)}) = ϕ(min{M (f (z), f (x), t), 1, 1, M (f (x), f (z), t), M (f (z), f (x), t)}) = ϕ(min{M (f (z), f (x), t), 1, 1, M (f (z), f (x), t), M (f (z), f (x), t)}) = ϕ(M (f (z), f (x), t)) = ϕ(M (f (z), z, t)) với t > Điều mẫu thuẫn với bất đẳng thức Vì f (z) = z z = f (z) = g(z) Suy z điểm bất động chung f g Cuối cùng, ta chứng minh z Giả sử w điểm bất động chung f g cho w = z Với t > 0, ta có M (w, z, t) ∈ (0, 1) suy ϕ(M (w, z, t)) > M (w, z, t) Mặt khác M (z, w, t) = M (f (z), f (w), t) ≥ ϕ(min{M (g(z), g(w), t), M (f (z), g(z), t), M (f (w), g(w), t), M (f (w), g(z), t), M (f (z), g(w), t)}) = ϕ(min{M (z, w, t), 1, 1, M (w, z, t), M (z, w, t)}) = ϕ(M (z, w, t)) với t > (Mâu thuẫn) Vì suy w = z nên f g có điểm bất động chung 49 Ví dụ 3.3.3 Cho X = (0, ∞), với x, y ∈ X, M (x, y, t) = t > 0, đặt min{x, y} max{x, y} t-chuẩn x ∗ y = xy Khi đó, (X, M, ∗) khơng gian metric mờ Chứng minh M (x, y, t) viết lại sau:  x   x≤y y M (x, y, t) =   y, y ≤ x x Vì x, y ∈ (0, ∞) nên hiển nhiên M (x, y, t) > y x = = nên M (x, y, t) = y x Ngược lại, giả sử M (x, y, t) = Giả sử x = y Khi đó, x = suy x = y y y • M (x, y, t) = = suy y = x x • M (x, y, t) = Vậy M (x, y, t) = x = y Rõ ràng M (x, y, t) = M (y, x, t) ∀x, y ∈ X, t > Với x, y, z ∈ X t, s > Ta xét trường hợp sau: • x = y = z Khi M (x, y, t) = 1, M (y, z, s) = 1, M (x, z, t + s) = nên suy M (x, y, t)M (y, z, s) ≤ M (x, z, t + s) = Vậy M (x, y, t) ∗ M (y, z, s) ≤ M (x, z, t + s) • x = y = z Khơng tính tổng quát, ta giả sử x < y y = z Khi đó, x x M (x, y, t) = , M (y, z, s) = 1, M (x, z, t + s) = nên suy y z x x x = = hay M (x, y, t)M (y, z, s) ≤ M (x, z, t + s) y y z Vậy M (x, y, t) ∗ M (y, z, s) ≤ M (x, z, t + s) 50 • x = y = z Khơng tính tổng qt, ta giả sử x = y y < z Khi đó, y x M (x, y, t) = 1, M (y, z, s) = , M (x, z, t + s) = nên suy z z y x y = = hay M (x, y, t)M (y, z, s) ≤ M (x, z, t + s) z z z Vậy M (x, y, t) ∗ M (y, z, s) ≤ M (x, z, t + s) • x = y = z Khơng tính tổng qt, ta giả sử x < y < z Khi đó, x y x M (x, y, t) = , M (y, z, s) = , M (x, z, t + s) = nên suy y z z x y x = hay M (x, y, t)M (y, z, s) ≤ M (x, z, t + s) y z z Vậy M (x, y, t) ∗ M (y, z, s) ≤ M (x, z, t + s) Do M (x, y, t) ∗ M (y, z, s) ≤ M (x, z, t + s) Vì M (x, y, t) khơng phụ thuộc vào t nên với t, s > 0, ta có M (x, y, t) = M (x, y, s) Do đó, M (x, y, ) liên tục Vì M (x, y, t) thỏa mãn điều kiện định nghĩa 2.2.6 nên (X, M, ∗) không gian metric mờ 1 Xét hai ánh xạ f, g : X → X với f (x) = x g(x) = x Chọn {xn } = + Ta có n lim f (xn ) = lim n→∞ n→∞ 1+ n = lim g(xn ) = lim n→∞ n→∞ 1+ n = Suy lim f (xn ) = lim g(xn ) = = g(1) n→∞ n→∞ nên f, g thỏa tính chất (CLRg) tất giả thiết định lý với ϕ(t) = t, t ∈ [0, 1] Vậy điểm bất động chung f, g 51 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu, luận văn hoàn thành mục tiêu đề đạt kết cụ thể sau: Chương trình bày kiến thức khơng gian metric, ánh xạ co, ánh xạ R-giao hoán yếu ánh xạ tương thích yếu khơng gian metric định lý điểm bất động cho ánh xạ tương ứng kể Chương giới thiệu khái niệm tập mờ, bước đầu việc cụ thể hóa q trình hình thành nên khơng gian metric mờ tìm hiểu số tính chất khơng gian metric mờ Chương giới thiệu định nghĩa ba loại ánh xạ không gian metric mờ: ánh xạ co, ánh xạ R-giao hốn yếu ánh xạ tương thích yếu tìm hiểu định lý điểm bất động không gian metric mờ tương ứng ánh xạ Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Huyền (2012), Điểm bất động cho ánh xạ tương thích yếu khơng gian metric mờ, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, Vĩnh Phúc [2] Huỳnh Thế Phùng (2012), Bài giảng: Học phần hàm thực, Đại học Khoa Học - Đai học Huế [3] Nguyễn Ngọc Quang (2011), Điểm bất động Caristi không gian metric mờ không gian metric xác suất, Luận văn thạc sĩ toán học, Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, Vĩnh Phúc Tiếng Anh [4] Almezel S (2014), Topics in Fixed Point Theory, Springer International Publishing Switzerland [5] Aphane M (2009), On some results of analysis in metric spaces and fuzzy metric spaces, Master of maths dissertation, University of South Afica, Gauteng [6] Chugh R and Kumar S (2001), “Common fixed points for weakly compatible maps”, Proceeding of the Indian Academy of Sciences, Vol 111, No 2, 241–247 [7] George A., Veermani P (1994), “On some results in Fuzzy metric spaces”, Fuzzy Set and Systems, 64, 395-399 53 [8] Grabiec M (1988), “Fixed points in fuzzy metric spaces”, Fuzzy Set and Systems 27, 385-389 [9] Gregori V (2009), “Some results in fuzzy metric spaces”, From Probabilistic metric spaces to fuzzy metric spaces [10] Pant R.P (1994), “Common Fixed Points of Noncommuting Mappings”, Journal of Mathematical Analysis and Application, 188(2), 436-440 [11] Saadati R (2015), “On the Topology of Fuzzy Metric Type Spaces”, Filomat 29:1, 133-141 [12] Sintunavarat W Kumam P (2011), “Common fixed point theorems for a pair of weakly compatible mapping in fuzzy metric spaces”, Journal of Applied Mathematics [13] Vasuki R (1999), “Common fixed points for R-weakly commuting maps in fuzzy metric spaces”, India Journal of Pure Applied Mathematics, 30, 419-423 54 ... 2.6 Định lý Baire cho không gian metric mờ 37 Chương Định lý điểm bất động không gian metric mờ 39 3.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co 39 3.2 Định lý điểm bất động. .. Chương Định lý điểm bất động không gian metric mờ 3.1 Định lý điểm bất động cho ánh xạ co Năm 1922, nhà toán học người Ba Lan, S Banach thiết lập định lý điểm bất động gọi là: Nguyên lý ánh xạ... Vasuki định nghĩa ánh xạ không gian metric mờ chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ không gian metric mờ Định nghĩa 3.2.1 [13] Cho f, g hai ánh xạ từ không gian metric mờ (X, M, ∗) vào Khi