Khảo sát từ trở trong graphene đơn lớp dưới ảnh hưởng của tương tác electron – phonon âm

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - LÊ VĂN CHIẾN KHẢO SÁT TỪ TRỞ TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA TƯƠNG TÁC ELECTRON–PHONON ÂM Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số : 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU Người hướng dẫn khoa học TS BÙI ĐÌNH HỢI Thừa Thiên Huế, 2017 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu nêu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình nghiên cứu khác Huế, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Lê Văn Chiến ii LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận văn tốt nghiệp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Bùi Đình Hợi TS Lê Thị Thu Phương tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình thực Qua đây, tơi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô giáo khoa Vật Lý phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế; gia đình bạn học viên Cao học khóa K24, bạn bè động viên, góp ý, giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình học tập thực luận văn Huế, tháng năm 2017 Tác giả luận văn Lê Văn Chiến iii MỤC LỤC Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục iv Danh sách hình vẽ vi MỞ ĐẦU NỘI DUNG Chương TỔNG QUAN VỀ GRAPHENE ĐƠN LỚP 1.1 Cấu trúc mạng tinh thể số tính chất bật graphene 1.2 Hàm sóng, phổ lượng electron graphene đơn lớp khơng có từ trường 10 1.3 Hàm sóng, phổ lượng electron graphene đơn lớp đặt từ trường vng góc với graphene 14 Chương CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA TENSOR ĐỘ DẪN TRONG LÝ THUYẾT PHẢN ỨNG TUYẾN TÍNH 17 2.1 Biểu thức tổng quát cho tensor độ dẫn từ không chéo 17 2.2 Biểu thức tổng cho tensor độ dẫn từ chéo 21 Chương ÁP DỤNG KHẢO SÁT TỪ TRỞ TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP KHI ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG VNG GĨC 27 3.1 Thành phần σyx tensor độ dẫn từ không chéo 27 3.2 Thành phần σxx tensor độ dẫn từ chéo iv 29 3.3 Kết tính số thảo luận 34 3.3.1 Sự phụ thuộc từ trở vào từ trường 34 3.3.2 Sự phụ thuộc từ trở vào nhiệt độ 35 KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 PHỤ LỤC P.1 v DANH SÁCH CÁC HÌNH VẼ 1.1 Graphene cấu trúc (2D) cấu trúc nanocarbon khác (0D, 1D 3D) [34] 1.2 Cấu trúc tổ ong graphene đơn lớp 1.3 Cấu trúc màng graphene, nguyên tử carbon xếp đặn ô lục giác với vector đơn vị mạng thuận l1 l2 [11] 1.4 Vùng Brillouin thứ [11] 1.5 Minh họa cấu trúc vùng lượng graphene vùng Brillouin thứ dựa hệ thức tán sắc thu từ phép gần liên kết mạnh [11] 13 1.6 Sự phụ thuộc lượng mức Landau vào từ trường với số mức Landau n = ÷ [36] 16 3.1 Sự phụ thuộc từ trở dọc ρxx vào từ trường giá trị khác tham số W Ở nhiệt độ T = 200 (K) 35 3.2 Sự phụ thuộc từ trở dọc ρxx vào nhiệt độ giá trị khác từ trường: B = T (đường nét liền), B = 10 T (đường nét đứt), B = 12 T (đường nét chấm) Ở W −1 = 40 36 vi MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Sự phát triển khoa học công nghệ đạt thành tựu to lớn Trong lĩnh vực cơng nghệ nano, tìm nhiều loại vật liệu có tiềm ứng dụng cao, số loại vật liệu graphene Graphene P R Wallace nghiên cứu lý thuyết vào năm 1946 ví dụ sách cho phép tính ngành vật lý chất rắn Tuy nhiên thời điểm nhà khoa học khơng tin tồn cấu trúc hai chiều có bề dày nguyên tử, thời gian đó, thiết bị kỹ thuật quan sát cấu trúc Đến năm 2004, hai nhà Vật lý A K Geim K S Novoselov thuộc trường đại học Manchester Anh tạo graphene thực nghiệm Họ sử dụng phương pháp bóc tách học đơn giản hiệu để trích lớp mỏng graphite từ tinh thể graphite loại băng dính văn phịng sau đưa lớp lên chất silicon Với cơng trình nghiên cứu họ trao giải Nobel Vật lý vào năm 2010 Graphene loại vật liệu có cấu trúc hai chiều có bề dày kích thước nguyên tử Trong graphene, nguyên tử carbon liên kết cộng hóa trị với ba ngun tử carbon khác hình thành nên hình lục giác (kiểu tổ ong) với khoảng cách carbon - carbon 0,142nm, nguyên tử carbon mạng thừa electron, electron cịn lại chuyển động tự mặt phẳng graphene Với cấu trúc thế, graphene có tính chất vật lý tuyệt vời xem vật liệu tương lai Ngày graphene nghiên cứu ứng dụng thành công nhiều lĩnh vực khoa học đời sống, số ứng dụng kể đến mạch máy tính graphene tốc độ cao, bóng đèn graphene, pin graphene, ứng dụng y học Với phạm vi ứng dụng rộng rãi vô tận graphene chứng tỏ có nhiều tiềm ứng dụng khoa học, cơng nghệ đời sống Vì nên graphene đã, đối tượng thu hút số lượng lớn quan tâm nghiên cứu nhà vật lý chất rắn khoa học vật liệu phương diện lý thuyết thực nghiệm Ở nước ngoài, nhiều hiệu ứng quan trọng graphene nhiều tác giả nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm gặt hái nhiều thành công Ta kể số nhóm tác giả như: + Nhóm tác giả Engin Tiras khảo sát hiệu ứng từ trở graphen thực nghiệm qua cơng trình "Các tính chất chuyển tải fermions Dirac graphene đơn lớp chế tạo lắng đọng hóa học" + Nhóm tác giả W Xu, F M Peeters T C Lu sử dụng phương trình cân xung lượng để khảo sát phụ thuộc điện trở suất graphene qua cơng trình "Sự phụ thuộc điện trở suất vào nhiệt độ mật độ electron graphene" [37] + Nhóm tác giả E H Hwang and S Das Sarma phương pháp phương trình động Boltzmann khảo sát từ trở dọc ảnh hưởng tương tác electron - phonon âm qua cơng trình "Độ linh động graphene chiều giới hạn tán xạ phonon âm" [19] Ở Việt Nam, điều kiện tiến hành nghiên cứu thực nghiệm graphene hạn chế nên nghiên cứu lý thuyết cần thiết, góp phần vào phát triển chung khoa học vật liệu nước nhà, bắt kịp với phát triển khoa học tiên tiến giới Trong nước ta vài năm hình thành nên nhiều nhóm nghiên cứu lý thuyết mạnh graphene, điển hình như: + Nhóm GS.VS Nguyễn Văn Hiệu (Viện Vật lý - Viện Hàn Lâm KH&CN VN) đạt số thành công định, thiết lập hàm Green fermion Dirac graphene đơn lớp rộng vô hạn nhiệt độ không tuyệt đối nhiệt độ hữu hạn + Nhóm PGS.TS Huỳnh Vĩnh Phúc khảo sát tính chất điện tử quang từ liệu graphene Trong cơng trình "Cộng hưởng cyclotron-phonon graphene thơng qua q trình hấp thụ nhiều photon" Hiện tại, chúng tơi chưa tìm thấy đề tài nghiên cứu từ trở graphene đơn lớp sử dụng phương trình động lượng tử dẫn từ phương pháp chiếu Zwanzig gần phản ứng tuyến tính Do chúng tơi định chọn đề tài “Khảo sát từ trở graphene đơn lớp ảnh hưởng tương tác electron - phonon âm” cho Luận văn Thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu phụ thuộc từ trở vào từ trường nhiệt độ graphene đơn lớp ảnh hưởng tương tác electron - phonon âm Nội dung nghiên cứu - Tìm hiểu cấu trúc, tính chất điện tử graphene đơn lớp khơng có có mặt từ trường - Thiết lập biểu thức giải tích từ trở graphene đơn lớp đặt từ trường vng góc với graphene (xét đến tương tác electron - phonon âm) - Tiến hành tính số, vẽ đồ thị thảo luận phụ thuộc từ trở vào từ trường nhiệt độ hệ Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp chiếu Zwanzig kết hợp với gần phản ứng tuyến tính để tính tốn từ trở - Sử dụng chương trình mathematica để tính số vẽ đồ thị Phạm vi nghiên cứu - Chỉ xét đến tương tác electron-phonon âm, bỏ qua tương tác loại (electron - electron, phonon - phonon) - Chỉ xét đến thành phần tuyến tính độ dẫn từ Bố cục luận văn Luận văn gồm có phần chính: Phần mở đầu: Trình bày lí chọn đề tài, mục tiêu nghiên cứu, nội dung nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên cứu bố cục luận văn Phần nội dung: Gồm chương • Chương 1: Tổng quan graphene đơn lớp • Chương 2: Công thức tổng quát tensor độ dẫn lý thuyết phản ứng tuyến tính • Chương 3: Áp dụng khảo sát từ trở graphene đơn lớp đặt từ trường vng góc Phần kết luận Tóm tắt kết đạt được, kết luận đề xuất hướng phát triển đề tài × {Nq δ (εn − εn + ωq ) + (1 + Nq ) δ (εn − εn − ωq )} qx2 + qy2 (3.23) Đối với tổng theo q, ky , ta tiến hành chuyển thành tích phân với biểu thức sau → − q So → (2π)2 ∞ qdq 0 Lx /2l2 ky Ly → 2π 2π Lx Ly dθ = 2πl2 π So dθ = 2πl2 0 −Lx /2l2 qdq, π π dky ∞ So dϕ = 2π dθ, cận tích phân ±Lx /2l2 xuất hàm điều hòa ΦN (x) đặt xo = −l2 ky , (−Lx /2 ≤ x ≤ Lx /2) Với ý trên, thay vào (3.23), ta thu βe2 l2 So = π σxx ∞ π n,n q |C (q)|2 |Jnn (u)|2 dq cos2 (θ/2)dθ fn (1 − fn ) 0 × {Nq δ (εn − εn + ωq ) + (1 + Nq ) δ (εn − εn − ωq )} (3.24) Thế tương tác hệ electron-phonon âm graphene đơn lớp [22] Dac q q → − |C ( q )| = 1− 2ρSo vs 2k , (3.25) ρ = 7, 7.10−8 g/cm2 mật độ khối 2D graphene, với Dac = 19 eV biến dạng phonon âm Lấy gần bậc Dac q → − , |C ( q )| = 2ρSo vs (3.26) thay (3.26) vào (3.24) ta có σxx βe2 l2 So = π ∞ π fn (1 − fn ) n,n cos (θ/2)dθ 0 32 Dac q q |Jnn (u)|2 dq 2ρSo vs × {Nq δ (εn − εn + ωq ) + (1 + Nq ) δ (εn − εn − ωq )} βe2 l2 Dac = 2πρvs ∞ π n,n q |Jnn (u)|2 dq cos2 (θ/2)dθ fn (1 − fn ) 0 × {Nq δ (εn − εn + ωq ) + (1 + Nq ) δ (εn − εn − ωq )} (3.27) Đối với phonon âm, ta có cơng thức gần Nq ≈ + Nq ≈ kB T / ωq Khi phương trình (3.27) viết lại σxx βe2 l2 Dac = 2πρvs × ∞ π q |Jnn (u)|2 dq cos2 (θ/2)dθ fn (1 − fn ) n,n 0 kB T {δ (εn − εn + ωq ) + δ (εn − εn − ωq )} ωq e2 l2 Dac = 2π ρvs2 ∞ π n,n q |Jnn (u)|2 dq cos2 (θ/2)dθ fn (1 − fn ) 0 × {δ (εn − εn + ωq ) + δ (εn − εn − ωq )} (3.28) Tiến hành tính tích phân thành phần biểu thức (3.28) [xem phụ lục 4,5] π θ π dθ = , 2 cos2 A= (3.29) ∞ q |Jnn (u)|2 dq B= 2Cn2 Cn2 = l4 (2m + j + 1) − 2sn sn m (m + j) + s2n s2n (2m + j − 1) (3.30) Xét trường hợp tán xạ đàn hồi, lượng phonon nhỏ so với lượng điện tử ( ωq εn,n ) ta bỏ qua lượng phonon Thay kết A B phương trình (3.29) (3.30) vào phương 33 trình (3.28), chúng tơi đưa biểu thức xác xuất chuyển dời cho trường hợp tán xạ đàn hồi σxx = e2 Dac l2 ρvs2 fn (1 − fn )Cn2 Cn2 δ (εn − εn ) n,n × (2m + j + 1) − 2sn sn m (m + j) + s2n s2n (2m + j − 1) (3.31) Biếu thức (3.31) có chứa hèm delta hàm bị phân kỳ đối số chúng Để khử phân kỳ ta thay hàm delta hàm Lorentzian sau [25] δ (ε) = Γ = ωB Γ , π (ε2 + Γ2 ) (3.32) W/2 thừa số suy giảm; W tham số thứ nguyên Từ biểu thức ta tính từ trở từ trở dọc (longitudinal magnetoresistance) ρxx theo công thức [11] ρxx = σxx + σyx σxx 3.3 Kết tính số thảo luận 3.3.1 Sự phụ thuộc từ trở vào từ trường (3.33) Để thấy rõ phụ thuộc từ trở dọc ρxx vào từ trường B, nhiệt độ T tham số vật liệu Trong phần này, trình bày kết tính số từ trở graphene đơn lớp ảnh hưởng tương tác electron - phonon âm, sử dụng phần mềm tính số Mathematica Các tham số đặc trưng để thực tính số cho sau [28], [19], [11]: a = 0, 246 (nm), γ0 = 2, (eV), = 6, 6176 × 10−34 (J.s/2π), kB = 1, 3807 × 10−23 (J/K), Dac = 19 (eV), ρ = 7, 7.10−8 g/cm2 , vs = 106 (m/s) 34 Hình 3.1 mơ tả phụ thuộc từ trở vào từ trường nhiệt độ T = 200 (K), với giá trị khác tham số W Ta thấy từ trường tăng từ trở ln ln tăng Các kết phù hợp với kết thu nhóm tác giả Engin Arslan [8], đặc biệt miền nhiệt độ cao Trong nhóm tác giả khảo sát thực nghiệm phụ thuộc từ trở vào vào từ trường giá trị khác khau nhiệt độ Với cường độ từ trường xét khoảng (T) − 11 (T) Ngồi tham số W giảm từ trở hệ tăng lên Hình 3.1: Sự phụ thuộc từ trở dọc ρxx vào từ trường giá trị khác tham số W Ở nhiệt độ T = 200 (K) 3.3.2 Sự phụ thuộc từ trở vào nhiệt độ Hình 3.2 phụ thuộc từ trở vào nhiệt độ hệ giá trị khác từ trường Ta thấy nhiệt độ tăng từ trở tăng theo quy luật gần tuyến tính Kết phù hợp với kết thu số nhóm tác giả chẳng hạn, nhóm tác 35 giả E H Hwang, S Das Sarma phương pháp phương trình động Boltzmann để khảo sát từ trở dọc ảnh hưởng tương tác electron phonon âm, xét điều điều kiện nhiệt độ cao (5 − 500 K) [19] Nhóm tác giả W Xu, F M Peeters T C Lu sử dụng phương trình cân xung lượng khảo sát phụ thuộc điện trở suất graphene theo nhiệt độ với giá trị khác mật độ electron Xét đến tương tác điện tử với tạp chất phonon âm [37] Điều nhiệt độ tăng, xác suất tương tác electron phonon tăng lên phonon dao động mạnh hơn, làm khả cản trở eletron tăng lên khiến điện trở vật liệu tăng Hình 3.2: Sự phụ thuộc từ trở dọc ρxx vào nhiệt độ giá trị khác từ trường: B = T (đường nét liền), B = 10 T (đường nét đứt), B = 12 T (đường nét chấm) Ở W −1 = 40 36 KẾT LUẬN Trong luận văn sử dụng công thức tổng quát lý thuyết phản ứng tuyến tính để khảo sát phụ thuộc từ trở vào từ trường nhiệt độ graphene đơn lớp đặt từ trường vng góc với graphene Các tính tốn thực tương tác electron-phonon âm, bỏ qua tương tác khác qua chúng tơi thu kết tóm tắt sau: Đưa biểu thức giải tích tensor độ dẫn từ σxx , σyx từ trở ρxx phụ thuộc vào từ trường, nhiệt độ thơng số vật liệu Thực tính số vẽ đồ thị để khảo sát phụ thuộc từ trở vào từ trường nhiệt độ Kết cho thấy từ trở tăng từ trường tăng nhiệt độ tăng Các kết thu phù hợp mặt định tính với kết thu tác giả khác lý thuyết thực nghiệm 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bùi Đình Hợi (2015), Lý thuyết lượng tử hiệu ứng Hall hố lượng tử siêu mạng, Luận án Tiến sĩ Vật Lý, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Lê Đình (2014), Bài giảng vật lý hệ thấp chiều, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, Huế Nguyễn Văn Hiệu (1984), Những nguyên lý phương pháp lượng tử hóa lần thứ hai, NXB Năng lượng Nguyên tử, Moskva Nguyễn Văn Hiệu (2015), Những giảng lý thuyết graphene lớp học Việt Nam School of Physics lần thứ 21, Hội nghị Vật lý toàn quốc graphene lần thứ nhất, Quy Nhơn Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội Tiếng Anh Ado J., Riichiro S., Gene D., and Mildred S S (2011), "Raman Spectroscopy in Graphene Related Systems", Wiley-VCH, pp 2831 Ando T., J Phys Soc Jpn (2007), "Filling-factor-dependent magnetophonon resonance in graphene", Phys Rev B, 76, p 024712 Arslan E (2017), "The transport properties of Dirac fermions in chemical vapour-deposited single-layer graphene", Philosophical Magazine, Vol 97, no 3, 187–200 38 Bouchiat (2015), Graphene: fundamental and applications, Viet Nam School of physics, Session XXI, August, Quy Nhon, Viet Nam 10 Branislav K Nikolic (2012), "Introduction to Nanophysics" Lecture notes for PHYS 824 11 Castro Neto A.H., Guinea F., Peres N.M.R., Novoselov K.S and Geim A K (2009), "The electronic properties of graphene", Rev Mod Phys 81, 109 12 Chalet V., Higgins D., Yu A., Xiao X., Chen Z., Zhang J (2014), "A review of graphene and graphene oxide sponge: Material synthesis and applications to energy and the enviroment", J Energy Environ Sci., pp 1564-1596 13 Charbonneau M., van Vliet K M., Vasilopoulos P (1982), "Linear response theory revisited III: One - Body response formulas and generalized Boltzmann equations", J.Math.Phys.23(2), 1982 14 Fialkovsky I.V., Vassilevich D.V., (2011), "Quantum Field Theory In Graphene", A talk at QFEXT 11, Benasque, Russia 15 Geim A.K and Novoselov K.S (2007), Nat Mat 6, 183 16 Gordon W.S (1984), "Condensed Matter Simulation of a Three Dimensional Anomaly", Phys Rev Lett 53, 2449 17 Ha B N., Hieu V N (2015), "Lecture on Theory of Electronic Structure of Bilayer Graphene", Hanoi 18 Ha N.B., Hieu N.V., Hoi B D., Phuong L.T.T (2015), "Theory of photon-electron interaction in single-layer graphene sheet", Adv Nat Sci 6, 39 19 Hwang E H., Sarma D S (2008), "Acoustic phonon scattering limited carrier mobility in two-dimensional extrinsic graphene", PhysRevB.77.115449 20 Jean Christophe C., Xavier B., Stephan R (2007), "Electronic and transport properties of nanatubes" Rev Mod Phys 79, 667 21 Krstajic P.M., Vasilopoulos P (2011), “Integral quantum Hall effect in graphene: Zero and finite Hall field”, PhysRevB.83.075427 22 Kubakaddi S S (2009), "Interaction of massless Dirac electrons with acoustic phonons in graphene at low temperratures", PhysRevB.79.075417 23 Lee C., Wei X (2008), “Measurement of the Elastic Properties and Intrinsic Strength of Monolayer Graphene” Science 321, 385 24 Leggett A.J (2015), "Graphene I: Electronic band structure and Dirac fermion," Phys 598 PTD 25 Mori N., Ando T (2011), "Magnetophonon Resonance in Monolayer Graphene", JPSJ.80.044706 26 Ning M., Shengli Z., Daqing L (2016), "Mechanical control over valley magnetotransport in strained graphene", Physics Letters A, p.4 27 Novoselov K.S, Geim A.K., Morozov S.V., Jiang D., Katsnelson M.I., Grigorieva I.V., Dubonos S.V and Firsov A.A (2005), "Twodimentional gas of massless Dirac fermion in graphene," Nature (London) 438 , 197-200 40 28 Phuc H.V., Hieu N.N (2015), "Nonlinear optical absorption in graphene via two-photon absorption process", Optics Communications, 344, pp 12–16 29 Van Vliet K M (1978), Linear response theory revisited I The manybody van Hove limit, J Math Phys., Vol 19, 1345 - 1370 30 Van Vliet K M (1979), Linear response theory revisited II The master equation approach, J Math Phys., Vol 20, 2573 - 2595 31 Vasilopoulos P., Van Vliet K M (1983), Linear response theory revisited IV Applications, J Math Phys., 25(5) 32 Vasilopoulos P (1985), "Finite temperature aspects of the quantum Hall effect: A Boltzmann-equation approach", Phys Rev B, Vol 32, 771 - 776 33 Vasilopoulos P., Charbonneau M., and Van Vliet C M (1987), "Linear and nonlinear electrical conduction in quasi-two-dimensional quantum wells", Phys Rev B 35, No.3, p 1335 34 Wan X., Huang Y., Chen Y (2012), "Focusing on energy and opotoeclectronic application: A journey for grphene and graphene oxide at large scale" Acc.Chem.Res 45, 741-747 35 Wang Z.F., Li Qunxiang, Su Haibin, Wang Xiaoping, Shi Q.W., Chen Jie, Yang Yinlong, and Hou J.G (2007), "Electronic structure of graphene bilayer graphene: A real-space Green’s function study", Phys Rev 75, 16 36 Wendler F., Knorr A., Malic E (2015), "Ultrafast carrier dynamics in Landau-quantized graphene" 41 37 Xu W., Peeters F M , Lu T C (2009), "Dependence of resistivity on electron density and temperature in graphene", PhysRevB.79.073403 42 PHỤ LỤC Phụ lục Tính tích ξ | v˙ x |ξ ξ| v˙ y |ξ biểu thức (3.3) ξ | v˙ x |ξ ξ| v˙ y |ξ iγ = [(1 + sn sn ) δn,n + sn δn,n −1 + sn δn−1,n ] × (−sn δn,n −1 + sn δn−1,n ) δky ky iγ = [−sn (1 + sn sn ) δn,n δn,n −1 + sn (1 + sn sn ) δn,n δn−1,n −s2n δn,n −1 δn,n −1 + sn sn δn,n −1 δn−1,n − sn sn δn−1,n δn,n −1 + s2n δn−1,n δn−1,n δky ky iγ = −s2n δn,n −1 + s2n δn−1,n δky ky Phụ lục Tính σyx nd σyx = ie2 So − eβ∆ fn ,ky − fn,ky ∆2 n,n ,ky ,ky iγ −s2n δn,n −1 + s2n δn−1,n δky ky − eβ∆ e2 γ fn ,ky − fn,ky = So ∆2 × n,n ,ky ,ky × s2n δn,n −1 − s2n δn−1,n δky ky (P.1) Áp dụng tính chất [26] − eβ∆ fn ,ky − fn,ky = − eβ(εn −εn ) fn ,ky − fn,ky = fn ,ky − fn,ky , P.1 (P.2) ta nd σyx e2 γ = So fn ,ky − fn,ky (εn − εn ) n,n ,ky ,ky s2n δn,n −1 − s2n δn−1,n δky ky (P.3) Phụ lục Tính σxx σxx βe2 = So = βe2 So nξ eq − nξ eq Wξξ (χξ − χξ )2 nξ eq − nξ eq gs gυ ξ,ξ ξ,ξ q × Q (ξ, q → ξ ) Nq βe2 = So nξ q + 2π eq eq + Q (ξ → ξ , q) + Nq − nξ (χξ − χξ )2 eq eq ξ,ξ cos2 ×4 g (θ) θ 2π → −→ − − |C (→ q )| ξ | ei q r |ξ → −→ − − |C (→ q )| ξ | e−i q r |ξ 8πβe2 l4 = So − δ εξ − εξ + ω→ q Nq l2 ky − l2 ky − δ εξ − εξ − ω→ q (1 + Nq ) fn,ky − fn,ky cos2 n,ky n ,ky q θ − q )| |C (→ − × |Jnn (u)|2 δky ,ky +qy δ εn − εn + ω→ q Nq − + |Jnn (u)|2 δky ,ky −qy δ εn − εn − ω→ q (1 + Nq ) = 8πβe2 l4 So fn,ky − fn,ky cos2 n,ky n ,ky q ky − ky θ − |C (→ q )| |Jnn (u)|2 − × δky ,ky +qy δ εn − εn + ω→ q Nq − + δky ,ky −qy δ εn − εn − ω→ q (1 + Nq ) P.2 ky − ky (P.4) Phụ lục Tính tích phân A biểu thức (3.28) π π cos2 (θ/2) dθ = A= (1 + cosθ) dθ = (θ + sin θ)|π0 π = (P.5) Phụ lục Tính tích phân B biểu thức (3.28) ∞ q |Jnn (u)|2 dq B= (P.6) Đặt l2 q du 2u ⇒ q = ⇒ qdq = 2 l l (u)| từ (3.18) vào tích phân trên, ta u= Thay |Jnn ∞ B= 2u du 2 m! Cn Cn e−u uj Ljm (u) + sn sn 2 l l (m + j)! 2Cn2 Cn2 = l4 ∞ m! e−u uj+1 (m + j)! +2Ljm (u) sn sn 2Cn2 Cn2 = l4 + 2Cn2 Cn2 l4 2Cn2 Cn2 2 + sn sn l4 2 Ljm (u) + m+j j m+j 2 Lm−1 (u) + sn sn Ljm−1 (u) m m m! (m + j)! 2sn sn m+j j Lm−1 (u) m ∞ du e−u uj+1 Ljm (u) du m! (m + j)! m+j m (m − 1)! (m + j − 1)! ∞ ∞ e−u uj+1 Ljm (u) Ljm−1 (u) du e−u uj+1 Ljm−1 (u) P.3 du (P.7) Ta áp dụng kết tích phân sau [28] m! B1 = (m + j)! ∞ e−u uj+1 Ljm (u) du = 2m + j + m! B2 = (m + j)! m+j m ∞ e−u uj+1 Ljm (u) Ljm−1 (u) du = − m (m + j) (m − 1)! B3 = (m + j − 1)! ∞ e−u uj+1 Ljm−1 (u) du = (m − 1) + j + = 2m + j − Thay B1 , B2 B3 vào (P.7), ta B= 2Cn2 Cn2 l4 (2m + j + 1) − 2sn sn m (m + j) + s2n s2n (2m + j − 1) (P.8) P.4 ... ? ?Khảo sát từ trở graphene đơn lớp ảnh hưởng tương tác electron - phonon âm? ?? cho Luận văn Thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu phụ thuộc từ trở vào từ trường nhiệt độ graphene đơn lớp ảnh hưởng. .. tính tốn tensor độ dẫn từ từ trở graphene đơn lớp đặt từ trường vng góc với graphene 26 Chương ÁP DỤNG KHẢO SÁT TỪ TRỞ TRONG GRAPHENE ĐƠN LỚP KHI ĐẶT TRONG TỪ TRƯỜNG VNG GĨC Trong chương này, chúng... phụ thuộc từ trở dọc ρxx vào từ trường B, nhiệt độ T tham số vật liệu Trong phần này, chúng tơi trình bày kết tính số từ trở graphene đơn lớp ảnh hưởng tương tác electron - phonon âm, sử dụng