HSG lớp 9 vòng 1.doc

đề thi hsg lớp 9 vòng I Môn : Toán Năm học 2007-2008 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) -----------o0o--------- Câu 1: Chứng minh rằng có duy nhất bộ số nguyên tố thoả mãn x y + 1 = z Câu 2: a/. Cho x > y > 0. Rút gọn biểu thức: ( ) yx yxxyxx Q + = 2 2222 b/. Tính tổng 22222222 2008 1 2007 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 ++++++++++++= S Câu 3: Giải phơng trình ( ) 22 12111 xxx +=+ Câu 4: Cho P(x) là đa thức bậc 3 có các hệ số là số nguyên và P(0), P(1) là các số lẻ. Chứng minh rằng P(x) không thể có nghiệm nguyên. Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 10 - 10x 10 +2008 Câu 6: Cho a, b, c dơng và 1 2 1 2 1 2 1 = + + + + + cba . Chứng minh rằng P = abc 1 Câu 7: Cho ABC có A = 120 0 , BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: a 2 = b 2 + c 2 + bc Câu 8: Cho ABC vuông có cạnh huyền BC = 2a. Gọi HA là đờng cao, D và E là hình chiếu của H trên AC và AB. Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác ADHE. ---------------------------------------------------------------- Họ tên thí sinh: SBD. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm ! ) hớng dẫn chấm thi hsg lớp 9 vòng I Môn : Toán Năm học 2007-2008 -----------o0o--------- Câu Nội dung Điểm 1(1đ) - Từ x y + 1 = z và z là số nguyên tố z là số lẻ x y chẵn x chẵn mà x nguyên tố x = 2. - Khi đó 2 y + 1 = z . Xét 2 khả năng: + Nếu y chẵn mà y nguyên tố y = 2 z = 5 + Nếu y lẻ y = 2k +1 2 2k+1 + 1 = 2.4 k + 1 0 mod 3 z không là sô nguyên tố loại - Vậy có (x, y, z) = (2, 2, 5) là duy nhất 0,25 0,5 0,25 2a(1đ) - Tử số ( ) ( ) ( ) )(2)(222 2 2222 222222222 2222 yxTyxyxxxT yxxyxxyxxyxxT yxxyxxT === +++= += - Do đó Q = 1 0,5 0,5 2b(1đ) - Ta có ( ) 1 11 1 1 11 1 1 11 1 2 22 + += + += + ++ kkkk k k - Do đó 2008 2009.2007 2008 12008 2008 1 2008 2008 1 2007 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 = == +++ ++ ++ += S 0,5 0,5 3(1,5đ) -ĐKXĐ: 0 x 1 - Bình phơng 2 vế: ( ) 2222 4414111 xxxx ++=+ Đặt 2 1 xa = , a 0 ta có phơng trình 1 + a = (1 - a 2 )(1+ 4a + 4a 2 ). Vì a 0 nên 1 = (1- a )(1+ 4a + 4a 2 ) 4a 3 -3a = 0 a= 0 hoặc 4 3 2 = a - Với a= 0 thì x = 1 mà 0 x 1 nên x = 1 là nghiệm - Với 4 3 2 = a thì 2 1 = x mà 0 x 1 nên 2 1 = x là nghiệm Vậy x= 1; 2 1 = x là nghiệm 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 4(1,5đ) - Giả sử P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d với a, b, c, d Z - Nếu x chẵn, mà P(0) = d lẻ thì P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d là số lẻ nên P(x) 0 mọi x Z - Nếu x lẻ , ta có P(x)- P(1)= a(x 3 -1)+ b(x 2 -1)+ c(x-1) là số chẵn mà P(1) lẻ P(x) chẵn P(x) 0 mọi x Z Vậy P(x) không có nghiệm nguyên. 0,25 0,5 0,5 0,25 5(1đ) - Ta có 1999199910101999101 11 101010 9 100 =++++++= xxxxP (theo BĐT Cosi) - Dấu = khi x= 1 - Vậy GTNN của P = 1999 khi x= 1 0,5 0,25 0,25 6(1đ) - Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 22222 2 22222 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ++ = ++ + + + = + + + = + c c b b c c b b c c b b cba - Tơng tự ( ) ( ) ( ) ( ) 2 . 22 1 2 . 22 1 ++ + ++ + b b a a c c c a a b - Nhân các vế của BĐT trên ta đợc ĐPCM 0,5 0,25 0,25 7(1đ) - Vẻ hình , GT,KL - Kẻ AH vuông góc với BC - Ta có a 2 = BH 2 + HC 2 = BH 2 + AH 2 + 2AH.AC+AC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AH.AC - Vì ABH vuông tại H có HAB = 60 0 nên 2AH = AB Do đó a 2 = b 2 + c 2 + bc 0,25 0,5 0,25 8(1đ) - Chứng minh đợc ADHE là hình chữ nhật - Ta có S ADHE = AE.AD = 2. 234 a BC AH ACAB AH = - Dấu = khi ABC vuông cân - Vậy GTLN của S ADHE = a 2 /2 khi ABC vuông cân 0,25 0,5 0,25 đề thi hsg lớp 9 vòng I Môn : Toán Năm học 2007-2008 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) -----------o0o--------- Câu 1 (1,5 điểm). Tìm các số tự nhiên dạng bc c, b avà 11 abcdbiết abcd += là số chính phơng. Câu 2(2 điểm). Cho: ( ) 3612 2 3 7829 2 : 6 6 6 7 414 3 1 2 1 4 4 + ++ + + + = xx xx xxx xxx x x x - 1,5 P 1. Rút gọn P. 2. Tìm x để P = 15. Câu 3 (1,5 điểm): Giải phơng trình: 2 2x x x2x 22 +=+++ 168 Câu 4 (1 điểm). Tìm đa thức P(x) biết: P(x) chia cho (x -3) d 3. P(x) chia cho (x+4) d (- 4) P(x) chia cho (x 2 + x 12) đợc (x 2 + 3) và còn d. Câu 5(1 điểm): Tìm Min của: 20082008 += x 2008 x P Câu 6 (1 điểm): Cho a, b, c > 0 thoả mãn: 2 1 1 1 1 = + + + + + c1 b 1 a . CMR: 8 1 abc . Câu 7 (1 điểm): Qua điểm A của hình vuông ABCD cạnh a vẽ 1 đờng thẳng cắt BC tại M và cắt DC tại I. CMR: giá trị của biểu thức: 22 AIAM 1 P 1 += không phụ thuộc vào vị trí của M và I. Câu 8(1điểm): Cho O nằm trong ABC. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh của ABC lần lợt tại C ,B, A . Tìm vị trí của O để : CO OC BO OB AO OA P + + = nhỏ nhất. hớng dẫn chấm thi hsg lớp 9 vòng I Môn : Toán Năm học 2007-2008 -----------o0o--------- Điểm Nội dung Thang điểm Câu 1 (1,5đ) Vì 1111 dbcaabcd + Mà 112 dccba += (1) Mặt khác: { } 1;021829 dcdc (2) Từ (1) và (2) ta có: +TH1: 2c d =0 492 = ccd mà bc là số chính phơng { } 4;1;0 c Nếu c =0 thì vô lí vì số chính phơng đã tận cùng là 0 thì phảI có hai chữ số tận cùng là 00 Nếu c = 1 thì = == = = 2 98129 8 81 d abcda b bc Nếu c = 4 = = = 10 6 64 a b bc loại +TH2: 2c d =11 { } 6;5;4;1;0 718112 += c ccd Mà c lẻ vậy c 1; 5 Nếu c=1 = == = = 6 98168 9 81 d abcdb a bc loại vì không chia hết cho 11 Nếu c=5 = == = = 8 72582 7 25 d abcdb a bc loại vì không chia hết cho 11 Vậy có duy nhất số 9812 thoả mãn Câu 2 (2đ) )3(2 63 )26)(3( )63)(6( . )6(2 26 )26)(3( )63)(6( . )6(2 82183 )26)(3( )63)(6( . 6 4 2 3 )63)(6( )26)(3( : )1)(6( )1)(4( . 1 )1)(1( 2 3 366183 76263 : 66 44 . 1 1 2 3 6 2 2 33 2 2 67 23 2 6 + = ++ + + + = ++ + + ++ = ++ + + = + ++ + + + + = + +++ + + + = x x xx xx x x xx xx x xx xx xx x x xx xx xx xx x xx xxx xxx xxx xxx x x P ĐKXĐ: 26 2 3 1 1 x x x x x b/ = = = += +== + = 9 28 9 32 30102 30102 310215 62 63 15 x x xx xx xx x x P Vậy với x= 9 32 và x= 9 28 thì |P| =15 Câu 3 (1,5đ) Giải phơng trình: 221682 22 +=+++ xxxx (1) ĐK = 1 1 x x )1)(1()3)(1(2|1| 1)3)(1(2).1)(1( 484)682)(1(21682)1( 2 22222 +=++ =+++ ++=++++++ xxxxx xxxxx xxxxxxxx + Nếu x =-1 thoả mãn + Nếu x 1 ta có PT: = = =+ = =+ =+ loaix x xx x xxx xxx 7 1 162 01 )1()3)(1(2 1)3)(1(2 2 Vậy nghiệm của PT là x = 1 và x=-1 Câu 4 1đ + Vì P(x) chia cho x 2 + x -12 đợc thơng là x 2 +3 và còn d. Do đó P(x) là đa thức bậc 4 và số d là: ax + b Vậy P(x) = (x 2 + 3 )(x 2 +x 12) + ax +b + P(3) = 3 33 =+ ba + P(-4) = -4 44 =+ ba xxxxxP b a +++= = = )12)(3()( 0 1 22 3649)( 363312)( 234 2234 ++= ++++= xxxxxP xxxxxxxP Câu 5 1 120081 .11.2008 120081 .11 2008 2008 2008 2007 2008 + ++++= P xxP xxP Dấu = xảy ra khi x = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là 1 Dấu = xảy ra khi x = 1 Câu 6 1đ Từ )1)(1( 2 11 ) 1 1 1() 1 1 1( 1 1 2 1 1 1 1 1 1 ++ + + + = + + + = + = + + + + + cb bc c c b b cba cba T 2 )1)(1( 2 1 1 )1)(1( 2 1 1 ++ + ++ + ba ab c ca ac b Nhân vế với vế của 3 BDDT trên ta có: 8 1 abc Câu 7 1đ Trên tia đối của tia DC lấy điểm E | BM = DE Ta có: ABM = ADE ( 2 cạnh góc vuông ) AEAMAA == ; 21 TA Có AEI AA AAAAAEI = +=+= 12 3123 Vuông tại A. Có CD vuông góc với EI 222 222 111 111 aAIAM hay AIAEAD = += Câu 8 1đ Ta có : S 1 = S BOC ; S 2 = S AOC ; S 3 = S AOB 6 3 21 2 1 3 21 ' 2 1 ' ' 1 3 3 1 3 2 2 3 1 2 2 1 3 1 32 3 2 1 32 ' 3 ' 2 ≥         ++         ++         += + + + + + =⇒ + = + = + ===⇒ S S S S S S S S S S S S S SS S SS S SS P S SS OC OC S SS OB OB T S SS S S S S OA OA BOACOA DÊu “=” x¶y ra khi S 1 = S 2 = S 3 Hay tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c dÒu . Ta có 19 9 9 19 9 910 10 19 9 910 1 . .11 10 1 010 9 10 0 =++++++= xxxxP (theo BĐT Cosi) - Dấu = khi x= 1 - Vậy GTNN của P = 19 9 9 khi x= 1 0,5 0,25 0,25 6 (1 ) -. 11 1 1 11 1 1 11 1 2 22 + += + += + ++ kkkk k k - Do đó 2008 20 09. 2007 2008 12 008 2008 1 2008 2008 1 2007 1 1 4 1 3 1 1 3 1 2 1 1 2 1 1 1 1 2 = ==