ĐỀ THI HSG LỚP 9 - EAKAR - 06-07

PHÒNG GIÁO DỤC EAKAR ---------------------------- KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 - 2007 Môn : Toán lớp 9 Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Đề bài : I.Phần trắc nghiệm : (6 điểm) Thí sinh chọn phương án trả lời đúng nhất trong các câu sau đây : Câu 1 : Biểu thức 2 2 5 1 5 1 2 2     + − +  ÷  ÷  ÷  ÷     có giá trò là số : (A) vô tỉ (B) hữu tỉ (C) số nguyên (D) số thập phân Câu 2 : Cho 2 10 4 10 4M a a= − + , với 2 5 5 2 a = + thì M có giá trò là : (A) 2 5 3 8 5 2   +  ÷  ÷   (B) 17 (C) 25 (D) 2 5 3 8 5 2   −  ÷  ÷   (E) -24 Câu 3 : Cho 1 1 x P x + = − , tất cả các giá trò nguyên cuả x để P nhận những giá trò nguyên là : (A) x = 1; 2; 3 (B) x = 0; 4; 9 (C) x = 0; 2; 3 (D) x = 0; 4; -1 (E) Không có câu nào trong các câu trên nêu đủ các giá trò x cần tìm Câu 4 : Cho các đường thẳng : 2x – y + 3 = 0, x+ y + 3 = 0, ax – y – 1 = 0. Để các đường thẳng này đồng quy thì : (A) a = 1 (B) a = 2 (C) a = 3 (D) a = 4 (E) cả A, B, C, D đều sai Câu 5 : Cho tam giác ABC, biết góc BCA = 110 0 , góc CAB = 35 0 , BC = 4 cm. Khi đó độ dài đường cao CH (H thuộc AB) là: (A) 3cm (B) 5,123cm (C) 3,759cm (D) 4,123cm (E) Một kết quả khác Câu 6 : Cho tam giác ABC vuông cân nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có tỉ số R r bằng : (A) 1 2+ (B) 2 2 2 + (C) 2 1 2 − (D) 1 2 2 + (E) ( ) 2 2 2− II.Phần tự luận : (14 điểm) Bài 1 : Cho x = ( ) 3 10 6 3 3 1 6 2 5 5 + − + − . Tính giá trò cuả biểu thức P = ( ) ( ) 2007 2006 3 4 1x x− + Bài 2 : Cho 3 3 125 125 3 9 3 9 27 27 P = + + − − + + . Chứng minh rằng P là mộït số nguyên Bài 3 : Cho hai nửa đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài ở A. Tiếp tuyến chung ngoài TT’ có tiếp điểm với đường tròn (O) ở T, với đường tròn (O’) ở T’. Đường thẳng nối tâm OO’ cắt đường thẳng TT’ ở S. Tiếp tuyến chung trong tại A cuả hai đường tròn cắt TT’ ở M a) Tính độ dài AM theo các bán kính cuả hai đường tròn (O) và (O’) b) Chứng minh rằng : SO . SO’ = SM 2 , ST . ST’ = SA 2 c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác TAT’ tiếp xúc với OO’ tại A và đường tròn ngoại tiếp tam giác OMO’ tiếp xúc với SM tại M Bài 4 : Cho tam giác ABC. P là điểm nằm trên đường thẳng BC, trên tia đối cuả tia AP lấy điểm D sao cho 2 BC AD = . Gọi E và F theo thứ tự cuả DB và DC. Chứng minh rằng đường tròn đường kính EF luôn đi qua một điểm cố đònh khi P di động trên BC Bài 5 : Giải hệ phương trình 2 2 3 3 1 3 x y xy x y x y  + + =   + = +   ------------------------------------------- PHÒNG GIÁO DỤC EAKAR ---------------------------- HƯỚNG DẪN CHẤM Môn : Toán lớp 9 I.Phần trắc nghiệm : (6 điểm) Mỗi ý đúng : 1 điểm Câu 1 : C Câu 4 : E Câu 2 : C Câu 5 : C Câu 3 : B Câu 6 : A II.Phần tự luận : (14 điểm) Bài 1 : (2 điểm) Tính giá trò cuả biểu thức P = ( ) ( ) 2007 2006 3 4 1x x− + Ta có x = ( ) ( ) ( ) 3 3 2 10 6 3 3 1 5 1 5 + − + − (1 điểm) = ( ) ( ) 3 3 10 6 3 6 3 10 8 2 1 + − = = (0,5 điểm) Suy ra x 3 – 4x + 1 = 1 Suy ra P = ( ) 2007 2006 1 1= (0,5 điểm) Bài 2 : (2 điểm) p dụng hằng đẳng thức (a – b) 3 = a 3 – b 3 – 3ab(a - b) 3 3 3 3 125 125 125 125 125 125 3 9 3 9 3. 3 9 3 9 . 3 9 3 9 27 27 27 27 27 27 P         = + + − − + + − + + − + + + + − − + +  ÷  ÷  ÷  ÷         (1 điểm) ⇔ 3 3 125 6 3 . 27 P P= − (0,5 điểm) ⇔ 3 5 6 0P P+ − = ⇔ (P – 1).(P 2 + P + 6) = 0 ⇔ P = 1 (vì P 2 + P + 6 > 0) Vậy P là một số nguyên. (0,5 điểm) Bài 3 : (4 điểm) + Hình vẽ, GT; KL : (0,5 điểm) a) MO, MO’ lần lượt là tia phân giác cuả hai góc kề bù AMT và AMT’ nên góc OMO’ = 90 0 . (0,5 điểm) Tam giác OMO’ vuông ở M có MA ⊥ OO’ nên MA 2 = OA.OA’, suy ra . ' . 'MA OA OA R R= = (0,5 điểm) b) + Ta có góc MOA = góc AMO’ ( vì cùng phụ với góc AMO) góc AMO’ = góc O’MT’ ⇒ góc MOA = góc O’MT’ ⇒ ∆ SO’M ∼ ∆ SMO (g – g) ⇒ 'SO SM SM SO = hay SO.SO’ = SM 2 . (0,5 điểm) + ∆ MAT cân ở M nên góc MAT = góc ATM góc MAT = góc O’AT’ (cùng phụ với góc MAT’) ⇒ góc ATS = góc SAT’ ⇒ ∆ SAT ∼ ∆ ST’A (g – g) ⇒ ' ST SA SA ST = hay ST.ST’ = SA 2 . (0,5 điểm) c) MA = MT = MT’ nên MA là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ hơn nữa OO’ ⊥ MA tại A, do đó đường tròn ngoại tiếp ∆ TAT’ tiếp xúc với OO’ ở A. (0,75 điểm) Gọi M’ là trung điểm của OO’ ⇒ MM’ // OT ⇒ SM ⊥ MM’ ở M. Mà MM’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’ ⇒ đường tròn ngoại tiếp ∆ OMO’ tiếp xúc với SM ở M (0,75 điểm) M ' S M T' A T O O' Bài 4 : (3 điểm) Hình vẽ, GT KL : 0,5 điểm Gọi M là trung điểm cuả BC + Tứ giác DEMF là hình bình hành do EM, FM là hai đường trung bình cuả ∆DBC. Suy ra DM và EF cắt nhau tại trung điểm O cuả mỗi đường. (0,5 điểm) Gọi I là trung điểm cuả AM thì suy ra I là điểm cố đònh. (0,5 điểm) + OI là đường trung bình cuả ∆AMD nên : OI = 1 2 AD = 1 4 BC (giả thiết) (1) (0,5 điểm) + EF là đường trung bình cuả ∆ABC nên EF = 1 2 BC (2) (0,5 điểm) Từ (1) và (2) suy ra OI = 1 2 EF. Suy ra I thuộc đường tròn (O; 1 4 BC) (0,5 điểm) Vậy đường tròn đường kính EF (O; 1 4 BC) luôn đi qua điểm cố đònh I khi P thay đổi trên đường thẳng BC (0,5 điểm) Bài 5 : (3 điểm) Do x 2 + y 2 + xy = 1 nên hệ phương trình đã cho tương đương với : ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 1 3 x y xy x y x y x y xy  + + =   + = + + +   (1 điểm) Phương trình ( ) ( ) 3 3 2 2 3x y x y x y xy+ = + + + ⇔ x 3 + y 3 = x 3 + xy 2 + x 2 y + 3x 2 y + 3y 3 + 3xy 2 ⇔ 2y 3 + 4xy 2 + 4x 2 y = 0 ⇔ 2y(y 2 + 2xy + 2x 2 ) = 0 ⇔ 2 2 0 2 2 0 y y xy x =   + + =  (0,5 điểm) • Với y = 0, thay vào phương trình thứ nhất cuả hệ ta được x = 1± . Hệ có hai nghiệm 1 0 x y =   =  và 1 0 x y = −   =  (0,5 điểm) I O F E D MB C A P • Với 2 2 2 2 0y xy x+ + = ⇔ (x + y) 2 + x 2 = 0 . Vì ( ) 2 2 0 0 x y x  + ≥   ≥   . Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 0 (không thoả mãn) vì 2 2 1x y xy+ + = (0,5 điểm) Vậy hệ đã cho có nghiệm là 1 0 x y =   =  và 1 0 x y = −   =  (0,5 điểm) ---------------------------------------- Ghi chú : + Học sinh làm bằng các cách giải khác nhưng nếu lập luận chặt chẽ và có kết quả đúng thì vẫn cho điểm tối đa tương ứng với điểm của bài đó. + Trong quá trình chấm, giám khảo có thể chia nhỏ điểm thành phần cuả từng bài. Điểm nhỏ nhất là 0,25. -------------------------------------- .   + = +   -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- PHÒNG GIÁO DỤC EAKAR -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- HƯỚNG DẪN CHẤM Môn : Toán lớp 9 I.Phần trắc. nghiệm là 1 0 x y =   =  và 1 0 x y = −   =  (0,5 điểm) -- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- Ghi chú : + Học sinh làm bằng các cách giải khác nhưng