đề thi khảo sát học sinh giỏi Năm học 2005-2006 Môn: toán 8 Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề ) Câu 1 (2đ): a/. Chứng minh rằng: Với x, y nguyên thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là một số chính phơng. b/. Cho x > y > z. Chứng minh rằng: P = x 4 (y z) + y 4 (z x) + z 4 (x y) luôn là số dơng Câu 2 (2đ): a/. Cho a, b, c 0; a 2 + 2bc 0; b 2 + 2c 0; c 2 + 2ab 0 và ab + bc + ca 0 Tính giá trị của biểu thức: b/. Cho biểu thức với x Z b1/. Rút gọn b2/. Tìm giá trị nhỏ nhất của P Câu 3 (2đ): a/. Cho 2 số x, y thoả mãn Tìm x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất b/. Tìm tất cả các tam giác vuông có cạnh là các số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi Câu 4 (2đ): Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Lấy điểm K trên AM sao cho AK:AM = 1:3, biết BK cắt AC tại N. a/. Tính diện tích tam giác AKN , biết diện tích tam giác ABC là S. b/. Một đờng thẳng qua K cắt cạnh AB và AC ở I và J. Chứng minh rằng: Câu 5 (2đ): Tìm tất cả các số chính phơng có không ít hơn 3 chữ số, biết rằng khi bỏ bớt 2 chữ số của nó thì số còn lại (giữ nguyên thứ tự) cũng là 1 số chính phơng. đáp án đề thi khảo sát học sinh giỏi abc c acb b bca a S 222 2 2 2 2 2 2 + + + + + = 242 22 234 234 + + = xxxx xxxx S 4 4 1 2 2 2 2 =++ y x x 6 AC AI AB =+ AJ Năm 2005-2006 Môn: toán 8 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề ) Câu 1 (2đ): a/. A = {( x + y) (x + 4y)}{ (x + 2y)(x + 3y)} = (x 2 + 5xy + 4y 2 ) (x 2 + 5xy + 6y 2 ) = (x 2 + 5xy + 4y 2 ) 2 + 2(x 2 + 5xy + 4y 2 ).y 2 + y 4 = (x 2 + 5xy + 5y 2 ) 2 Vậy A là số chính phơng b/. P = x 4 ( y x +x z ) + y 4 ( z x ) + z 4 (x y) = ( x- y) ( z 4 x 4 ) + ( z x ) ( y 4 x 4 ) = ( x- y ) ( z x ) ( z + x ) ( z 2 + x 2 ) + ( z x ) ( y x ) ( y + x ) ( x 2 + y 2 ) = ( x- y ) ( z x ) [( x + z ) ( z 2 + x 2 ) ( y + x ) ( x 2 + y 2 ) ] = ( x- y ) ( z x ) ( xz 2 + x 3 + z 3 + x 2 z yx 2 y 3 x 3 xy 2 ) = ( x- y ) ( z x ) ( xz 2 xy 2 + x 2 z yx 2 + z 3 y 3 ) = ( x- y ) ( z x ) [ x( z y ) ( z +y ) + x 2 ( z y) + ( z y ) ( z 2 + zy + y 2 ) ] = ( x- y ) ( z x ) ( z y ) ( x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + zx ) = ( x- y ) ( y z ) ( x z ) [ ( x +y ) 2 + ( y + z ) 2 + ( z +x) 2 ] 2 Vì x > y > z P > 0. Câu 2 : a) Phân tích a 2 + 2bc = a 2 2ab 2ac = a( a- 2b -2c ) = a [ 3a -2( a+b + c ) ] b 2 + 2ac = b 2 - 2ab - 2bc = b( b - 2a - 2c ) = b [ 3b 2 (a+b+c) ] c 2 + 2ab = c 2 - 2bc - 2ca = c(c-2b - 2a ) = c [ 3c 2( a+b +c ) ] + Ta có S = Với t = 2 ( a + b +c ) P = = = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.75 0.25 0.25 tc c tb b ta a + + 333 )3)(3)(3( )3)(3()3)(3()3)(3( tctbta tbtactctatctba ++ )3)(339( )3)(3()3)(3()3)(3( 2 tctbtatab tbctactcbtabtcatab + ++ 3222 222 33939927 339339339 tctbtbctatactabtabc ctbctactabcbtbctabtabcatactabtabc +++ +++++ 32 2 )(3)(927 )()(627 tcbatcabcabtabc cbatcabcabtabc +++++ +++++ = V× ab +bc +ca = 0 Nªn P = b. TS = x 4 +x 3 + x 2 –– 2x-2 = x 2 (x 2 + x +1) – 2 (x 2 +x +1) = (x 2 - 2)(x 2 + x +1) MS = x 4 -2x 2 + 2 x 3 – 4x + x 2 -2 = (x 2 - 2) ( x +1 ) 2 ⇒ P = ( víi 1, −≠∈ xZx ) Ta cã P = DÊu “ = ” khi VËy P min =3/4 khi x = 1 C©u 3 : a, Ta cã 2x 2 + v× DÊu “=” khi Khi ®ã xy min = -2 b) Gäi x, y, z lµ c¹nh ∆ vu«ng Ta cã 1≤ x ≤ y ≤ z theo bµi ta cã x 2 + y 2 = z 2 (1) vµ xy = 2 ( x + y +z) (2) Tõ (1) ⇒ z 2 = ( x +y ) 2 – 2xy = ( x +y) 2 - 4 ( x+y +z) ⇔ ( x+y ) 2 - 4 ( x+y ) + 4 = z 2 + 2z +4 ⇔ ( x +y -2 ) 2 = ( z +2) 2 ⇒ x +y -2 = z +2 ( Do x+y ≥ 2 ) ⇔ z = x +y - 4. Thay vµo (2) ta cã : ( x – 4) ( y – 4 ) = 8 v× x – 4 ≤ y – 4 nªn 0.75 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 [ ] 1 )(27 )(27 )(2)(327 )(27 2 2 2 2 = +++ +++ = ++−+++ +++ cbatabc cbatabc cbacbatabc cbatabc ( ) 2 2 1 1 + ++ x xx 4 3 4 3 1 1 2 1 )1( 1 1 1 1 )1( 1)1(12 2 22 2 ≥+ + −= + + + −= + ++−++ x x x x xxx 1 1 1 2 1 =⇔ + = x x .2020 2 ,0 1 2 2 1 2 4 1 24 4 1 22 22 2 2 2 2 2 2 −≥⇒≥+⇒≥ +≥ − += ++ −⇔ += +++ +−⇔=+ xyxy y x x x xy y x x x xy y xyx x x y x = = ⇒ =− =− ⇒ 12 5 84 14 y x y x = −= −= = ⇔ −= = ⇔ =+ =− 2 1 2 1 2 1 02/ 0/1 2 y x y x xy x yx xx hoặc = = 44 24 y x hoặc = = 8 6 y x Vậy ( x, y , z) = ( 5, 12, 13) hoặc ( 6 , 8, 10) Câu4 : b/. Kẻ BD // IJ; CE // IJ; D, E AM Ta có BMD = CME MD = ME Ta có AE + AD = AM MD + AM + ME = 2AM áp dụng định lý Talet vào AIK, AKJ với IK // BD, KJ // CE ta có: 6 2 ; ==+=+== AK AM AK AE AK AD AJ AC AI AB AK AE AJ AC AK AD AI AB Câu 5: + Gọi số cần tìm là x 2 = Mab 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 B C M P K Gọi P là trung điểm NC MP là đường trung bình của BNC MP // BN, KN // MP và AN = NP = PC Đồng thời AKN AMP S AKN / S AMP = (AK/ AM ) 2 = (1/3) 2 = 1/9 S AKN = 1/9 S AMP Mặt khác S AMP = 2/3 S AMC ; S AMC = 1/2 S ABC S AMP = 1/3 S ABC Do đó :S AKN = 1/27 S ABC I J D E A N (M, a, b , x ∈ N, M > 0, a, b lµ c¸c ch÷ sè) ⇒ M = y 2 , ( y ≥ 1) + Ta cã x 2 = (10y) 2 + ab ⇒ x ≥ 10y + NÕu y ≥ 5 ⇒ (10y) 2 ≤ x 2 ≤ (10y) 2 + 20y +1 = (10y + 1) 2 ⇒ x 2 = (10y) 2 ⇔ ab = 0 ⇒ x 2 cã d¹ng y 2 00 + NÕu y < 5 , thö 4 trêng hîp: . víi y = 1 ⇒ 100 ≤ x 2 ≤ 199 ⇒ x 2 = 100; 121; 144; 169; 196 . víi y = 2 ⇒ 400 ≤ x 2 ≤ 499 ⇒ x 2 = 400; 441; 484 . víi y = 3 ⇒ 900 ≤ x 2 ≤ 999 ⇒ x 2 = 900; 961 . víi y = 4 ⇒ 1600 ≤ x 2 ≤ 1699 ⇒ x 2 = 1600; 1681 + KL : Sè cÇn t×m lµ tÊt c¶ c¸c sè d¹ng y 2 00 ; (y ≥ 1) vµ c¸c sè 121; 144; 169; 196; 441; 484; 961; 1681. 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 . 2 1 1 + ++ x xx 4 3 4 3 1 1 2 1 )1( 1 1 1 1 )1( 1) 1 (12 2 22 2 ≥+ + −= + + + −= + ++−++ x x x x xxx 1 1 1 2 1 =⇔ + = x x .2020 2 ,0 1 2 2 1. 4 ⇒ 16 00 ≤ x 2 ≤ 16 99 ⇒ x 2 = 16 00; 1 6 81 + KL : Sè cÇn t×m lµ tÊt c¶ c¸c sè d¹ng y 2 00 ; (y ≥ 1) vµ c¸c sè 12 1; 14 4; 16 9; 19 6; 4 41; 484 ; 9 61; 1 6 81 . 0.5