Bài Toán Biên Thứ Nhất Đối Với Phương Trình Đạo Hàm Riêng Cấp Hai Tuyến Tính Với Dạng Đặc Trưng

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t♦→♥ n n bk (x) uxk + Cu = f Ω, kj a (x) uxk xj + L (u) = k=1 k,j=1 u = tr➯♥ Σ2 ∪ Σ3 ✭✷✳✶✹✮ ✣→♥❤ ❣✐→ t✐➯♥ ♥❣❤✐➺♠ ♥➔② ✤÷đ❝ sû ự ỵ sỹ tỗ t ♥❣❤✐➺♠ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t✳ ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉✿ 1 p p  |u| dx  u Lp (Ω) = Ω  u Lp (Σi ) = 1 p p  |u| dσ , i = 0, Σi ✸✻ ❇ê ✤➲ ✷✳✹✳ ●✐↔ sû u ∈ C (Σ ∪ Ω) , u = tr➯♥ Σ2 ∪ Σ3, ♣ ❧➔ ❣✐→ trà ❞÷ì♥❣ tị② þ s❛♦ ✤â ≤ p ≤ +∞, ❣✐↔ sû tỗ t số C ( Ω) t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ω ≤ ✈➔ L∗ (ω) + (p − 1) Cω > Σ ∪ Ω ✭✷✳✶✺✮ ❑❤✐ ✤â max p |ω| u Lp (Ω) ≤ Ω∪Σ Ω∪Σ ∗ [L (ω) + (p − 1) Cω] L (u) ✭✷✳✶✻✮ Lp (Ω) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ●r❡❡♥ ✭✷✳✶✸✮ ❝❤♦ ❤➔♠ ω ✈➔ ❤➔♠ u2 + δ p ✈ỵ✐ δ > tr tũ ỵ t õ p p L∗ (ω) u2 + δ dx − Ω ωL u2 + δ dx Ω ∂ u2 + δ ω ∂η p 2 bω u + δ dδ − = Σ − u +δ p dω ∂η p u2 + δ p dω dδ, ∂η ✭✷✳✶✼✮ ✈➻ ∂ u +δ ∂η p 2 =p u +δ p −1 n akj uxk xj = tr➯♥ Σ3 u k,j=1 ❉➵ ❞➔♥❣ ♥❤➟♥ t❤➜②✿ L∗ u2 + δ p dδ Σ3 bω u2 + δ dδ − = p = u2 + δ p −1 uL (u) + C u2 + δ n akj uxk uxj p u2 + δ + p −2 p −1 (1 − p) u2 + δ (p − 1) u2 + δ k,j=1 ❱➻ tr➯♥ Σ1 ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜❃✵ t❤ä❛ ♠➣♥✱ ♥❣♦➔✐ r❛ t❛ ❝â✿ n akj uxk uxj ≥ 0, p ≥ 0, ω ≤ k,j=1 ✸✼ ❙✉② r❛ p L∗ (ω) u2 + δ − ω u2 + δ p −1 C (1 − p) u2 + δ dx Ω p −1 ωp u2 + δ ≤ p bωdδ−δ Σ1 ∪Σ2 Ω ∂ω dδ ∂η p uL (u) dx + δ ✭✷✳✶✽✮ Σ3 ❚r♦♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✽✮ t❛ ❝❤♦ δ → t❛ t❤➜②✿ ♣❃✶ ✰ ◆➳✉ ♣❂✶ ✰ ◆➳✉ p −1 t❤➻ u2 + δ t❤➻ − 21 u2 + δ → |u|p−2 δ → u ≤ ▼➦t ❦❤→❝✱ ♥➳✉ p ≥ t❤➻ lim u + δ p δ→∞ L∗ (ω) − Cω u2 + δ −1 (1 − p) u2 + δ = |u|p [L∗ (ω) − (1 − p) ω] ♥➯♥ tø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✽✮ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝✿ pmax |ω| p |u| dx ≤ Ω∪Σ Ω Ω∪Σ ∗ [L (ω) + (p − 1) Cω] |u|p−1 |L (u)| dx ✭✷✳✶✾✮ |u| |L (u)| dx ✭✷✳✷✵✮ Ω ❙✉② r❛ pmax |ω| |u| dx ≤ Ω∪Σ [L∗ (ω) + (p − 1) Cω] Ω∪Σ Ω ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍♦❧❞❡r ❝❤♦ t➼❝❤ ♣❤➙♥ ð ✈➳ tr→✐ ❝õ❛ ✭✷✳✷✵✮ t❛ ❝â✿ pmax |ω| u Lp (Ω) ≤ Ω∪Σ Ω∪Σ ∗ [L (ω) + (p − 1) Cω] L (u) Lp (Ω) ❇ê ✤➲ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣à♥❤ ỵ tr t ợ ♠å✐ ❣✐→ trà ♣ ✤õ ❧ỵ♥ s❛♦ ❝❤♦ −C ∗ + (1 − p) C > tr♦♥❣ Σ ∪ Ω ✈➔ ♠➣♥ ✉❂✵ tr➯♥ Σ2 ∪ Σ3 t❛ ❝â ✤→♥❤ ❣✐→ u Lp (Ω) ≤ ❝❤♦ ♠å✐ ❤➔♠ u ∈ C (Σ ∪ Ω) t❤ä❛ s❛✉✿ p L (u) [−C ∗ + (1 − p) C] Ω∪Σ ✸✽ Lp (Ω) ✭✷✳✷✶✮ ◆➳✉ C ∗ < tr♦♥❣ Σ ∪ Ω t❤➻ ✭✷✳✷✵✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈ỵ✐ ♣ ✤õ ❣➛♥ ✶ s❛♦ ❝❤♦ −C ∗ + (1 − p) C > tr♦♥❣ Σ ∪ Ω ◆➳✉ C ∗ < ✈➔ ❈ ❃ ✵ t❤➻ ✭✷✳✷✵✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈ỵ✐ ∀p ≥ ✈ỵ✐ u ∈ C (Σ ∪ Ω) tr➯♥ Σ2 ∪ Σ3 ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❇ê ✤➲ ✭✷✳✹✮ ✈ỵ✐ ❤➔♠ ω = −1, L∗ (ω) = −C ∗ s✉② r❛✿ u Lp (Ω) ≤ p L (u) [−C ∗ + (1 − p) C] Lp () ú ỵ C < 0, u ∈ C (Σ ∪ Ω) ✈➔ u = tr➯♥ Σ2 ∪ Σ3 t❤➻ tr♦♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✷✵✮ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤✉②➸♥ q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ p → ∞ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❣✐↔ sû ❝â ♠ët sè p0 s❛♦ ❝❤♦ −C ∗ + (1 − p0 ) C > ❑❤✐ p > p0 t❛ ❝â −C ∗ + (1 − p) C > C (p0 − p) t tự ữủ t ữợ u Lp (Ω) ≤ p L (u) (p − p0 ) |C| Lp (Ω) ✭✷✳✷✷✮ Ω∪Σ ❈❤✉②➸♥ q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ p → ∞ tr♦♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ t ữủ ỹ s ợ ❜➜t ❦➻ ❤➔♠ u ∈ C (Σ ∪ Ω) ❝ị♥❣ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ u = tr➯♥ Σ2 ∪ Σ3 ✤➲✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✿ max |L (u)| |u| ≤ Ω∪Σ |C| Ω Ω∪Σ ✣à♥❤ ỵ sỷ tr õ tọ p tỗ t tọ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✤➙②✿ ω < 0, L∗ (ω) + (p − 1) Cω > tr♦♥❣ Σ ∪ Ω, ω = tr➯♥ Σ3 ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ ❤➔♠ u ∈ C (Σ ∪ Ω) s❛♦ ❝❤♦ L (u) = ✤➲✉ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✿ u ∈ C (Σ2 ∪ Σ3 ) u Lp (Ω) ≤ kp u Lp (Σ2 ) ✈ỵ✐ ✸✾ + kp u Lp (Σ3 ) ✭✷✳✷✸✮ kp =   1 p max |bω| Σ2  |L∗ (ω) + (p − 1) Cω|  , Ω∪Σ kp =       n akj ωxk γj max Σ3  p      k,j=1  |L∗ (ω) + (p − 1) Cω|         Ω∪Σ  ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ⑩♣ ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ●r❡❡♥ ❝❤♦ ❤➔♠ sè ω ✈➔ ❤➔♠ u2 − δ p ✈ỵ✐ ọ tũ ỵ t õ p p L () u2 + δ dx − Ω Ω p p 2 bω u + δ dσ − = L u2 + δ ωL u2 + δ dx = p u2 + δ p −1 u +δ ∂ω dσ ∂η p −1 uL (u) + C u2 + δ n p −1 akj uxk uxj p u2 + δ + p ✭✷✳✷✹✮ (1 − p) u2 + δ ✭✷✳✷✺✮ (p − 1) u2 + δ k,j=1 ❚❤❛② ✭✷✳✷✺✮ ✈➔♦ ✭✷✳✷✹✮ t❛ ❝â✿ p L∗ (ω) u2 + δ dx − Ω ωp u2 + δ p −1 uL(u)dx Ω ωC u2 + δ − Ω − (1 − p) u2 + δ dx n kj ω Ω p −1 a uxk uxj p u + δ p Σ1 (p − 1) u2 + δ dx k,j=1 bω u2 + δ dσ+ ≤ p −1 p bω u2 + δ dσ+ Σ2 bω u2 + δ Σ3 ✹✵ p ∂ω dσ ∂η p bω u2 + δ dσ− − Σ3 p u2 + δ ∂ω dσ ∂η Σ3 ❈❤✉②➸♥ q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ tr➯♥ ❦❤✐ δ → t❛ ❝â✿ u p ωb|u|p dσ + [L∗ (ω) + (p − 1) + Cω] dx ≤ Ω Σ3 |u|p ∂ω dσ ✭✷✳✷✻✮ ∂η Σ3 ✣➦t✿ kp =   1 p max |bω| Σ2  |L∗ (ω)| + (p − 1) Cω  Ω∪Σ kp = ❚❛ ❝â u Lp (Ω)       n max Σ2 akj ωxk γj k,j=1  p       |L∗ (ω)| + (p − 1) Cω         Ω∪Σ  ≤ kp u Lp ( 2) + kp u Lp ( 3) ỵ ữủ ự ỹ tỗ t s rở t ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lp (Ω) ●✐↔ sû ❤➔♠ u ∈ C (Σ ∪ Ω) ✈➔ ✉❂✵ tr➯♥ Σ2 ∪ Σ3 ❚❛ ❦➼ ❤✐➺✉ ❱ ❧➔ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❤➔♠ v ∈ C (Σ ∈ Ω) , v = tr➯♥ Σ2 ∪ Σ3 ❑❤✐ ✤â✱ tø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ●r❡❡♥ ✭✷✳✶✸✮ s✉② r❛✿ uL∗ (v) dx = Ω vL (u)dx Ω ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳ ❚❛ ❣å✐ u ∈ Lp (Ω) ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ s✉② rë♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✿ L (u) = f Ω ✭✷✳✷✼✮ u = 0, tr➯♥ Σ1 ∪ Σ3 , ✭✷✳✷✽✮ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ v ∈ V t❤➻ ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ t❤ä❛ ♠➣♥✿ uL∗ (v)dx vf dx = Ω Ω ✹✶ ✭✷✳✷✾✮ ỵ sỷ tỗ t C (Σ ∪ Ω) cho ω ≤ ✈➔ L (ω) + (q − 1) C ∗ ω > Ω ∪ Σ, ✭✷✳✸✵✮ tr♦♥❣ ✤â < q < +∞ ❑➼ ❤✐➺✉ ♣ ❧➔ sè ❧✐➯♥ ❤đ♣ ✈ỵ✐ q tù❝ ❧➔ p1 + 1q = ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ f ∈ Lp (Ω) ❧✉ỉ♥ tỗ t s rở t ✭✷✳✷✽✮ t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✿ inf u + u0 Lp (Ω) u0 ∈z ≤k f Lp (Ω) , k = const Ð ✤➙② ❩ ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ❤➔♠ u0 t❤✉ë❝ Lp (Ω) s❛♦ ❝❤♦ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➔♠ v ∈ V ❜➜t ❦➻ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ t❤ä❛ ♠➣♥✿ u0 L∗ (v) dx = Ω ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❇ê ✤➲ ✭✷✳✹✮ ❝❤♦ ❤➔♠ v ∈ C (Ω ∪ Σ) s❛♦ ❝❤♦ v = tr➯♥ Σ3 ∪ Σ1 , q ≥ ❜➜t ❦➻✱ t❛ ❝â✿ max q |ω| v Lq (Ω) ≤ Ω∪Σ ∗ [L (ω) + Ω∪Σ (q − 1) C ∗ ω] L∗ (v) Lq (Ω) ✭✷✳✸✶✮ ❇ð✐ ✈➻ ✈❛✐ trá ❝õ❛ t♦→♥ tû L∗ (v) tr♦♥❣ t➟♣ ❤ñ♣ Σ3 ✤â♥❣ ✈❛✐ trá ❝õ❛ t♦→♥ tû L (u) tr♦♥❣ t➟♣ ❤ñ♣ Σ1 t f vdx ữ ố ợ Ω ✈ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ LP (Ω) ð 1 + = p q ❚❛ →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❍♦❧❞❡r✱ ✤→♥❤ ❣✐→ ✭✷✳✸✶✮✱ t❛ ✤÷đ❝✿ ✤➙② f vdx ≤ f Lp (Ω) v Lq (Ω) ≤ kq L∗ (v) Lq (Ω) Ω ð ✤➙② max q |ω| kq = Ω∪Σ ∗ [L (ω) + Ω∪Σ ✹✷ (q − 1) C ∗ ω] f Lp (Ω) , ✭✷✳✸✷✮ ●✐↔ sû Lq (Ω) ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Lq (Ω) ❚❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ tø ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Lq (Ω) ❤➔♠ L∗ (v) , v ∈ V ❉➵ ❞➔♥❣ ♥❤➟♥ t❤➜② ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ Lq (Ω) ✈ỵ✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ t❤÷ì♥❣ Lp (Ω) /Z ❧➟♣ ♥➯♥ ❤➔♠ ❩ s❛♦ ❝❤♦✿ L∗ (v) zdx = 0, ✈ỵ✐ v ∈ V ❜➜t ❦➻✱ Ω z ⊂ Lp (Ω) ▼å✐ ❤➔♠ tr➯♥ Lq (Ω) ❝â t❤➸ t❤→❝ tr✐➸♥ tr➯♥ Lq (Ω) ❱➻ ✈➟② ♠å✐ ❤➔♠ tr➯♥ Lq (Ω) ❝â t❤➸ t ữợ uL (v) dx; u Lp () ó r ợ ổ tữỡ Lp (Ω) /Z ✤÷❛ r❛ ♠ët ❤➔♠ ❞✉② ♥❤➜t ❝â ❞↕♥❣ ✭✷✳✸✸✮ tr♦♥❣ Lq (Ω) ❚ø ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✸✶✮ s✉② r❛ ❤➔♠ f vdx ❧➔ ❤➔♠ t✉②➳♥ t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ Ω ✤è✐ ✈ỵ✐ x ∈ Lq (Ω) ✈➔ ✈➻ õ õ t t ữợ r uL∗ (v) dx ✈ỵ✐ ∀u ∈ Lp (Ω) /Z f vdx = Ω Ω ❚❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❤➔♠ uL∗ (v) dx Ω ≤ f Lp (Ω) ✉ v Lq (Ω) ≤ kq L∗ (v) Lq (Ω) f Lp (Ω) Lp (Ω) ❚❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➲ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❤➔♠ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ Lq (Ω) s✉② r❛✿ inf u + u0 u0 ∈z Lp (Ω) ≤ kq f Lp (Ω) , u0 ∈ Z ✣➦t k = kq ỵ ữủ ự t rữớ ủ ố ợ ữỡ tr t t Ω ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Rn ✈ỵ✐ Σ ❧➔ ❜✐➯♥ ❝õ❛ õ Pữỡ tr õ t t ữợ n n kj L (u) = a (x) uk k,j=1 xj bj (x) uxj + c (x) u = f (x) , + j=1 ợ bj (x) ữủ t❤❛② ✤ê✐ ♠ët ❝→❝❤ t÷ì♥❣ ù♥❣✳ → − γ = (γ1 , γ2 , , γn ) ❧➔ ✈➨❝tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ tr♦♥❣ ✤ì♥ ✈à tr➯♥ Σ − x0 ∈ Σ, → γ x0 = n ❚❛ ❝â − akj x0 γk γj > ♥➳✉ → γ = k,j=1 ❚ø ✤â s✉② r❛ Σ0 = φ, Σ3 = Σ ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✸✹✮ s➩ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚➻♠ ❤➔♠ sè ✉✭①✮ tr♦♥❣ Ω ∈ Σ t❤ä❛ ♠➣♥✿ L (x) = f tr♦♥❣ Ω u = g tr➯♥ Σ ❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ tr➯♥ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝✭✷✳✸✹✮ ✤➣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ♠ư❝ ✶✳✼ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ∗ ▼✐➲♥ Ω ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ Rn ✈ỵ✐ Σ ❧➔ ❜✐➯♥ ❝õ❛ ♥â✳ ❚❛ ❝â QT = Ω × [0, T ] ❧➔ ❤➻♥❤ trö✱ ❚ ❃ ✵✳ ❝â ♠➦t ①✉♥❣ q✉❛♥❤ ΓT = {(x, t) ; x ∈ Σ, < t < T } ✣→② tr➯♥ ❝õ❛ QT ❧➔ ΩT = {(x, t) ; x ∈ Ω, t = T } ữợ QT = {(x, t) ; x ∈ Ω, t = 0} → − γ = (γ1 , γ2 , , γn , γn+1 ) ❧➔ ✈➨❝tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ tr♦♥❣ ✤ì♥ ✈à tr➯♥ ❜✐➯♥ ❝õ❛ QT − ❚r➯♥ Ωo t❛ ❝â → γ = (0, 0, , 0, 1) − ❚r➯♥ ΩT t❛ ❝â → γ = (0, 0, , 0, −1) → − − ❚r➯♥ ΓT t❛ ❝â γ = (γ1 , γ2 , , γn , 0) , → = rữớ ủ ố ợ ữỡ tr r n ❑❤✐ ✤â t❛ ❝â ∀x ∈ Ω0 ∪ ΩT : akj x0 γk γj = 0; k,j=1 n akj x0 γk γj = 0; ∀x ∈ ΓT : k,j=1 ❞♦ ✤â✿ ✹✹ Σ0 = Ω0 ∪ ΩT ; Σ3 = ΓT ❚r♦♥❣ ♠✐➲♥ ❤➻♥❤ trö QT ❣✐↔ sû ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❝➜♣ ❤❛✐✿ n n kj L (x) = ut − a (x) uxk xj bj (x) uxj + c (x) u = f (x) ✭✷✳✸✺✮ + j=1 k,j=1 ❚❛ ♥❤➙♥ ❝↔ ❤❛✐ ✈➳ ❝õ❛ ữỡ tr ợ t ữủ ữỡ tr ợ ❞↕♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ s❛✉ ✤➙②✿ n n kj −ut − a (x) uxk xj bj (x) uxj − c (x) u = −f (x) − ✭✷✳✸✻✮ j=1 k,j=1 − ❚❛ ❝♦✐ xn+1 = t ❑❤✐ ✤â → γ = (γ1 , γ2 γn , γn+1 ) ❍➔♠ ❋✐❦❡r❛ ❝â ❞↕♥❣ s❛✉ n n k akj ) (γk − γn+1 ) xj (b − b (x) = k=1 j=1 ❉♦ ✤â✿ b (x) = > tr➯♥ ΩT b (x) = −1 < tr➯♥ Ω0 ❉♦ ✈➟② t❛ s➩ ❝â Σ0 = Ω0 ∪ ΩT ✈➔ Σ1 = ΩT = {(x, T ) ; x ∈ Ω} ; Σ2 = Ω0 = {(x, 0) ; x ∈ Ω} ; Σ3 = ΓT = {(x, t) ; x ∈ Σ, < t < T } ❇➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✸✻✮ s➩ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚➻♠ ❤➔♠ ✉✭①✮ tr♦♥❣ Ω ∪ Σ t❤ä❛ ♠➣♥✿ L (u) = f tr♦♥❣ Ω; u (x, 0) = u0 (x) , x ∈ Ω; u (x, t) = ϕ (x, t) , (x, t) ∈ ΓT ◆❤÷ ✈➟② ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✭✷✳✸✻✮ ❝❤➼♥❤ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ ❤é♥ ❤đ♣ t❤ù ♥❤➜t ✤➣ ❜✐➳t ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ❝➜♣ ❤❛✐ ✭✷✳✸✺✮ ♠➔ ✤➣ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ♠ư❝ ✶✳✽ ❝õ❛ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ✹✺ ❘ã r➔♥❣✱ t❛ t r ợ ữỡ tr ợ trữ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ ❝❤ù❛ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ❡❧❧✐♣t✐❝ ✈➔ ♣❛r❛❜♦❧✐❝ ♥❤÷ ❧➔ ❝→❝ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✳ ✹✻ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ❜➔✐ t tự t ố ợ ữỡ tr r t t ợ trữ ổ ➙♠✳ ❚r♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ ✶✳ ❚r➻♥❤ ❜➔② tê♥❣ q✉❛♥ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ♥ë✐ ❞✉♥❣ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❤÷ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❙♦❜♦❧❡✈✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù t ố ợ ữỡ tr t t ộ ủ tự t ố ợ ữỡ tr r ❚r➻♥❤ ❜➔② ❜➔✐ t♦→♥ ❜✐➯♥ t❤ù ♥❤➜t ❝❤♦ ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ r✐➯♥❣ ❝➜♣ ❤❛✐ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✈ỵ✐ ❞↕♥❣ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠✱ ✤→♥❤ ❣✐→ t✐➯♥ ♥❣❤✐➺♠ trì♥ ❝õ❛ ❜➔✐ t tự t ự ỵ sỹ tỗ t s rở t tự ♥❤➜t✳ ✹✼ ❚⑨■ ▲■➏❯ ❚❍❆▼ 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