BÀI TOÁN NGƯỜI bán HÀNG

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒNG TRÍ TỒN BÀI TỐN NGƯỜI BÁN HÀNG Chun ngành: HÌNH HỌC VÀ TƠPƠ Mã số: 60460105 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS ĐOÀN THẾ HIẾU Thừa Thiên Huế, năm 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi, số liệu kết nghiên cứu ghi luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa công bố cơng trình khác HỒNG TRÍ TỒN ii LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Đoàn Thế Hiếu, người hướng dẫn tơi hồn thành luận văn này, người tận tình dạy bảo, hướng dẫn động viên tơi q trình học tập, nghiên cứu Tơi xin gửi lời cảm ơn đến q Thầy Khoa Tốn, Thầy Đại học Huế Viện Toán học dạy dỗ truyền đạt kiến thức cho tơi suốt q trình học tập Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phịng Đào tạo sau Đại học, khoa Tốn trường ĐHSP Huế tạo điều kiện cho suốt khóa học Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, anh chị lớp Cao học Tốn khóa XXVI trường ĐHSP Huế chun ngành Hình học Tơpơ, động viên, giúp đỡ q trình học tập vừa qua Ngày 30 tháng năm 2019 Học viên thực Hồng Trí Tồn iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Lời mở đầu Sơ lược đồ thị 1.1 Bài toán by cõy cu thnh ph Kăonigsberg 1.2 Đồ thị Định nghĩa ví dụ 1.3 Một số khái niệm 1.4 Các phép toán đồ thị 11 1.5 Chu trình (cycle), đường (path) 14 1.6 Trọng đồ (weighted graph) 17 1.7 Đồ thị Euler 18 1.8 Đồ thị Hamilton 18 Chu trình Hamilton 2.1 20 Chu trình Hamilton Các điều kiện đủ: Định lý Dirac, định lý Ore, định lý Chvátal 21 2.2 Chu trình Hamilton dãy bậc 27 2.3 Bài toán người bán hàng 31 2.4 Thuật toán xếp cạnh 32 2.5 Các đoán chu trình Hamilton 35 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 LỜI MỞ ĐẦU Trong đời sống hàng ngày thường gặp hình ảnh quen thuộc sơ đồ mạng điện, sơ đồ giao thơng Đó hình ảnh trực quan khái niệm đồ thị (graph) Có thể hiểu đơn giản đồ thị cấu trúc toán học bao gồm hai yếu tố đỉnh cạnh với mối quan hệ chúng Đồ thị mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn đa dạng Chính mà địi hỏi tốn học phải đặt mơ hình biểu diễn cách chặt chẽ, tổng quát ngôn ngữ ký hiệu riêng Lý thuyết đồ thị đời từ ý tưởng thừ kỷ XVIII nhà tốn học Thụy Sỹ Leonhard Euler Chính ông người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng bảy cầu thành ph Kăonigsberg mt bi bỏo cụng b nm 1736 Bài báo Euler cơng trình đồ thị suốt gần trăm năm sau Khoảng kỷ XIX, người ta bắt đầu quay lại với vấn đề đồ thị, đặc biệt nước Anh Nguyên nhân quay lại xuất phát từ nhu cầu nghiên cứu mạng điện, mạng giao thơng, mơ hình tinh thể, cấu trúc phân tử chất Sau loạt tốn phát triển dựa ngôn ngữ lý thuyết đồ thị đời Đặc biệt vài chục năm trở lại đây, với đời máy tính điện tử phát triển tin học, lý thuyết đồ thị quan tâm nhiều Lý thuyết đồ thị đề cập tới nhiều dạng tốn đa dạng với cách xử lý, phương pháp giải độc đáo, hiệu Điều gợi mở tư toán học khả vận dụng thực tiễn Trong toán lý thuyết đồ thị, đáng ý toán người bán hàng (Travelling Salesman Problem) Đây tốn khó ứng dụng rộng rãi, có ý nghĩa thực tiễn cao Với mong muốn tìm hiểu khái niệm bản, toán ứng dụng quan trọng lý thuyết đồ thị toán người bán hàng hướng dẫn thầy giáo Đồn Thế Hiếu, tơi chọn đề tài “Bài tốn người bán hàng” để tìm hiểu Luận văn viết dựa vào tham khảo, tổng hợp sưu tầm từ nguồn tài liệu Cấu trúc luận văn gồm hai chương: Chương Một số khái niệm, định lý đồ thị Các kết chương sử dụng cho chương sau Chương Trình bày điều kiện đủ để có chu trình Hamilton từ đến tốn người bán hàng, tìm hiểu thuật tốn để giải toán giả thuyết, đoán chu trình Hamilton Do hạn chế mặt thời gian kiến thức nên luận văn không tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Huế, tháng năm 2019 Hồng Trí Tồn Chương Sơ lược đồ thị 1.1 Bài toán bảy cầu thành ph Kă onigsberg Hỡnh 1.1: Bi toỏn by cõy cu thnh ph Kăonigsberg Bi toỏn c t nh sau: Trong thnh ph Kăonigsberg cú hai hũn o c nối liền với với hai bờ sông bảy cầu hình 1.1 Bài tốn đặt tìm hành trình bốn phần đất A, B, C, D kết thúc phần đất cho qua tất cầu cầu lần Để giải bải tốn liệt kê khả xảy Biểu diễn tốn ngôn ngữ đồ thị, Euler chứng minh hành trình thỏa mãn điều kiện đặt khơng tồn Trong chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức lý thuyết đồ thị Các kiến thức trình bày nhằm tham khảo cho nội dung chương sau Một số kết chương kinh điển, chúng tơi trình bày nội dung mà khơng trình bày phần chứng minh (phần chứng minh tham khảo tài liệu [1], [2], [4], [6], [7], ) 1.2 Đồ thị Định nghĩa ví dụ Đồ thị sử dụng để giải nhiều toán thuộc lĩnh vực khác Chẳng hạn, ta dùng đồ thị để biểu diễn mạch vòng mạch điện, dùng đồ thị biểu diễn q trình tương tác lồi giới động thực vật, dùng đồ thị biểu diễn đồng phân hợp chất polyme biểu diễn mối liên hệ loại thơng tin khác Có thể nói lý thuyết đồ thị ứng dụng rộng rãi tất lĩnh vực khác thực tế lĩnh vực trừu tượng lý thuyết tính tốn Định nghĩa 1.2.1 Đồ thị (graph) G tập hợp gồm đỉnh cạnh Ta thường kí hiệu: G = (V, E), đó: +V : tập hợp đỉnh (vertices) khác rỗng +E: tập hợp cạnh (edges) (E ⊆ V × V ) Mỗi đỉnh đồ thị G thường kí hiệu v1 , v2 , v3 , hay a, b, c, chữ số 1, 2, 3, Cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh, cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh có hướng hay cung Cạnh nối liền hai đỉnh vi vj kí hiệu vi vj hay vj vi Cung nối liền hai đỉnh vi vj kí hiệu (vi vj ) Một cặp đỉnh nối với hai hay nhiều hai cạnh (hai nhiều hai cung) Khi đó, cạnh (cung) gọi cạnh (cung) song song (parallel edges) Một cạnh có dạng vi vi (nối đỉnh vi với nó) gọi khun (loop) Thông thường để vẽ e6 v3 v6 e3 e2 v2 v4 e4 e1 e5 v1 v5 Hình 1.2: Ví dụ đồ thị đồ thị ta vẽ chấm thay cho đỉnh nối hai chấm đường thẳng đường cong hai đỉnh tương ứng tạo thành cạnh Định nghĩa 1.2.2 Số đỉnh đồ thị G kí hiệu |V |, gọi cấp G Số cạnh đồ thị G kí hiệu |E|, gọi cỡ G Ví dụ 1.2.3 Cho G = (V, E) với V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 } E = {e1 = v1 v2 , e2 = v2 v3 , e3 = v3 v4 , e4 = v4 v5 , e5 = v5 v4 , e6 = v3 v3 } biểu diễn hình 1.2 Khi đó, |V | = |E| = Định nghĩa 1.2.4 Cho đồ thị G = (V, E) Đồ thị G gọi đồ thị hữu hạn (finite graph) số đỉnh |V | số cạnh |E| hữu hạn, ngược lại đồ thị G gọi đồ thị vô hạn (infinite graph) số đỉnh |V | số cạnh |E| vơ hạn Quy ước: Đồ thị có dạng G = (∅, ∅) gọi đồ thị tầm thường (hay đồ thị rỗng, cịn kí hiệu G = ∅) Đồ thị cho Ví dụ 1.2.3 đồ thị hữu hạn Trong luận văn ta xét đồ thị hữu hạn khác rỗng Định nghĩa 1.2.5 Cho đồ thị G = (V, E) Một đỉnh v ∈ V gọi thuộc cạnh e ∈ E v ∈ e, e gọi cạnh đỉnh v Định nghĩa 1.2.6 Cho đồ thị G = (V, E) Hai đỉnh vi , vj ∈ V gọi liền kề (neighbours) với vi vj cạnh đồ thị G (hay vi vj ∈ E) Hai cạnh ei , ej ∈ E gọi kề chúng có đỉnh chung (hay tồn v ∈ V cho v ∈ ei v ∈ ej ) Định nghĩa 1.2.7 Cho đồ thị G = (V, E), ta có định nghĩa sau: i) Nếu đỉnh v ∈ V (hoặc cạnh e ∈ E) khơng liền kề với đỉnh (hoặc cạnh) v (hoặc e) gọi đỉnh (hoặc cạnh) cô lập (isolated ) đồ thị G ii) Hai đỉnh vi , vj ∈ V không kề gọi hai đỉnh đối iii) Hai cạnh em , en ∈ E không kề không song song với gọi hai cạnh đối Cạnh bc(13) cạnh cuối ta thêm vào chu trình để hồn thành chu trình Hamilton hình 2.14 với tổng trọng số 25 Mục đích sử dụng cạnh có trọng số nhỏ Bên cạnh đó, phải hồn thành chu trình Hamilton nên phải bỏ số cạnh có trọng số nhỏ sử dụng số cạnh có trọng số lớn Cuối cùng, có chu trình Hamilton với tổng trọng số nhỏ Ở ví dụ này, chưa thể có chu trình Hamilton mà tổng trọng số nhỏ ta tìm chu trình Hamilton có tổng trọng số nhỏ 23 hình 2.15 a d b 13 c Hình 2.15: Chu trình Hamilton với tổng trọng số nhỏ Tóm tắt lại thuật tốn sau: Bước 1: Chọn cạnh có trọng số nhỏ đồ thị Bước 2: Lặp lại bước cạnh lại Nếu cạnh thỏa mãn hai điều sau thêm vào chu trình: • Cạnh thêm vào khơng tạo thành chu trình khơng chứa tất đỉnh • Cạnh thêm vào khơng tạo thành đỉnh bậc ba Bước 3: Lặp lại bước có chu trình gồm tất đỉnh 2.5 Các đốn chu trình Hamilton Để tìm hiểu mục phải tìm hiểu qua định nghĩa sau đây: 36 Định nghĩa 2.5.1 Một đồ thị G = (V, E) gọi đồ thị hai thành phần (bipartite graph) tập đỉnh V chia làm hai tập V1 , V2 rời cho cạnh tập E nối đỉnh thuộc V1 đỉnh thuộc V2 Kí hiệu: G = (V1 ∪ V2 , E) Định nghĩa 2.5.2 Đồ thị hai thành phần đầy đủ Km,n (complete bipartite graph) đồ thị hai thành phần (V1 ∪ V2 , E) với tập V1 có m đỉnh tập V2 có n đỉnh đỉnh V1 nối với đỉnh V2 cạnh Ví dụ 2.5.3 Đồ thị hai thành phần đầy đủ K3,3 hình 2.16 a x b y c z Hình 2.16: K3,3 Định nghĩa 2.5.4 Đồ thị vô hướng gọi liên thông, cặp đỉnh đồ thị có đường nối chúng với Đồ thị G gọi k-liên thông (k-connected ) hay đầy đủ k-đỉnh liên thơng (k-vertex-connected ) ta xóa khơng q k − đỉnh cạnh liên thuộc với đỉnh đồ thị cịn lại liên thơng Định nghĩa 2.5.5 Đồ thị quy (regular graph) đồ thị mà đỉnh kề có bậc Đồ thị k-chính quy đồ thị quy mà đỉnh có số bậc k Đồ thị quy bậc ba gọi đồ thị bậc ba (cubic graph) Định lý 2.5.6 (Định lý màu Appel-Haken) Mọi đồ thị phẳng tơ màu Chu trình Hamilton liên quan đến lý thuyết nhóm đề cập lần vào năm 1850 nhà toán học William Rowan Hamilton nhà toán học 37 Thomas Kirkman Năm 1736, Euler tìm chu trình Euler 1850 phát chu trình Hamilton Hơn nữa, đồ thị với chu trình Euler có đặc tính đơn giản đỉnh chu trình có bậc chẵn Người ta nghĩ lấy đồ thị cách hốn đổi đỉnh cạnh sau áp dụng tính chất chu trình Euler với hy vọng đưa đến đồ thị Hamilton Nhưng ý tưởng không khả thi Tầm quan trọng đồ thị Hamilton dường phụ thuộc phần vào độ khó đồ thị Trên thực tế đồ thị Hamilton có liên quan đến tốn người bán hàng Vì vậy, đồ thị Hamilton có ứng dụng thực tế tiềm thiết thực Nếu thuật tốn tốt để tìm chu trình Hamilton đồ thị, tìm thấy chu trình mà tổng trọng số nhỏ Đầu tiên, nhà toán học quan tâm đến đồ thị đường (line graph) xem xét có phải đồ thị Hamilton hay không? Các đỉnh L(G) xây Đồ thị G dựng từ cạnh G 1 1-2 1-4 1-3 3-4 2-5 4-5 5 1-2 1-2 1-4 1-3 1-3 1-4 3-4 3-4 2-5 2-5 4-5 4-5 Đồ thị đường L(G) Đã thêm cạnh L(G) Hình 2.17: Cách xây dựng đồ thị đường 38 Định nghĩa 2.5.7 Cho đồ thị G, đồ thị đường L(G) đồ thị cho: i) Mỗi đỉnh đồ thị đường L(G) đại diện cho cạnh đồ thị G ii) Hai đỉnh L(G) liền kề cạnh tương ứng chung đỉnh G Nghĩa là, đồ thị đường đồ thị giao cạnh đồ thị G, đại diện cho cạnh tập hợp hai đỉnh cạnh Người ta khái quát đồ thị đường thành đồ thị khơng có hình vuốt Định nghĩa 2.5.8 Đồ thị khơng có hình vuốt (claw-free) đồ thị không chứa đồ thị cảm sinh từ đồ thị hai thành phần đầy đủ K1,3 K1,3 Hình 2.18: Đồ thị K1,3 hay đồ thị hình vuốt Như vậy, đồ thị đường đồ thị khơng có hình vuốt Người ta lấy chủ đề liên quan đến đồ thị khơng có hình vuốt để nghiên cứu khảo sát từ đời hàng trăm viết đồ thị Phỏng đốn Matthews-Summer đồ thị khơng có hình vuốt đồ thị Hamilton sau: - Mọi đồ thị 4-liên thơng khơng có hình vuốt đồ thị Hamilton (M Matthews - D Summer 1984) Phỏng đoán Thomassen đồ thị đường: - Mọi đồ thị đường 4-liên thông đồ thị Hammilton (C Thomassen 1986) - Các đồ thị đường 4-liên thông cạnh đồ thị Hamilton (C Thomassen 1986) 39 - Mọi đồ thị đường 7-liên thông đồ thị Hamilton (S M Zhan 1991) Sau nhà tốn học nghiên cứu đồ thị phẳng (planar graph) đưa điều kiện để đồ thị có chu trình Hamilton Trước hết, đồ thị phẳng lớp đồ thị thú vị Thứ hai, PG Tait đoán tất đồ thị phẳng bậc ba (cubic planar graph) đồ thị Hamilton Hai điều thúc nghiên cứu điều tra lớp đồ thị Nếu đốn Tait đúng, cung cấp chứng cho định lý bốn màu Mọi đồ thị bậc ba có số đỉnh chẵn Do đó, chu trình Hamilton đồ thị bậc ba có số chẵn cạnh Tơ màu cạnh xen kẽ màu đỏ trắng cịn cạnh khác tơ màu xanh Sau đó, có định lý nói định lý bốn màu tô màu ba cạnh đồ thị phẳng bậc ba tương đương Do đó, ba cạnh có màu đỏ, trắng xanh chứng minh định lý bốn màu Nhưng đoán Tait sai Kết thú vị khác phần đưa Tutte đồ thị phẳng 4-liên thông Hamilton Thomassen đưa cách chứng minh đẹp định lý Đồng thời, ông mở rộng kết Tutte để giải đoán Plummer đưa cạnh chu trình Hamilton Định lý 2.5.9 Cho G đồ thị phẳng 4-liên thơng G đồ thị Hamilton Hơn nữa, có chu trình Hamilton qua cạnh đồ thị G Trong lớp đồ thị phẳng đồ thị phẳng bậc ba đặc biệt Giả thuyết Tait cho đồ thị phẳng bậc ba đồ thị Hamilton không Hai đồ thị giả thuyết Tait khơng Hình 2.19: Đồ thị phẳng bậc ba 1-liên thông không đồ thị Hamilton (a 1-connected cubic planar non-Hamiltonian graph) 40 Hình 2.20: Đồ thị phẳng bậc ba 2-liên thông không đồ thị Hamilton (a 2-connected cubic planar non-Hamiltonian graph Trên sở hai hình trên, để đồ thị phẳng bậc ba đồ thị Hamilton cần phải 3-liên thơng Phỏng đốn ban đầu Tait kỳ lạ ông đưa đồ thị 3-liên thông Thật khó để nói xác có điều Dù lý nữa, đến năm 1946, Tutte đưa tác phẩm tiếng Đồ thị phẳng bậc ba 3-liên thông không đồ thị Hamilton (xem hình 2.21) Tất nhiên, Hình 2.21: Đồ thị phẳng bậc ba 3-liên thông không đồ thị Hamilton đồ thị Tutte có số lượng đỉnh tương đối lớn (46 đỉnh) ơng có đồ thị phẳng bậc ba 3-liên thông không đồ thị Hamilton Tuy 41 nhiên, sau nhà tốn học tìm thấy đồ thị có số đỉnh nhỏ Lederberg, Barnette Bosak đóng góp tổng cộng sáu đồ thị phẳng bậc ba 3-liên thơng khơng đồ thị Hamilton Hình vẽ cuối hình 2.22 Hình 2.22: Sáu đồ thị phẳng bậc ba 3-liên thông không đồ thị Hamilton hình vẽ mà Tutte khai thác để đoán Tait sai vào năm 1946 Holton McKay chứng minh sáu đồ thị hình 2.22 đồ thị phẳng bậc ba 3-liên thơng 38 đỉnh không đồ thị Hamilton Hơn nữa, sáu đồ thị có đỉnh số tất đồ thị đưa Các nhà toán học tiếp tục nghiên cứu mở rộng xem thử với đồ thị phẳng bậc ba k-liên thông với số lượng đỉnh để đồ thị đồ thị Hamilton đồ thị không Hamilton Nhiều định lý liên quan vấn đề đời Các nhà toán học giả sử tất đồ thị xem xét đồ thị Hamilton không thiết phải phẳng, 3-liên thông bậc ba Câu hỏi xuất lúc liệu có tồn chu trình Hamilton khác hay có chu trình Hamilton hay không? Dễ thấy cần thêm vài cạnh vào chu trình tạo đồ thị với chu trình Hamilton Sheehan xem xét số cạnh tối đa mà đồ thị Hamilton n đỉnh với chu trình có 42 mối quan hệ nào? Định lý 2.5.10 G đồ thị n đỉnh với chu trình Hamilton Khi đó, |E| ≤ [ n4 ] + Hình 2.23: Một đồ thị với chu trình Hamilton có đỉnh bậc (ngoại trừ hai đỉnh bậc cùng) Người ta thấy tất đồ thị có đỉnh bậc 2, hợp lý để đốn tất đồ thị Hamilton với chu trình có đỉnh bậc Nhưng đoán sai Entringer Swart đưa ví dụ đồ thị hình 2.23 có bậc tối thiểu để chứng minh điều Điều đáng ý đồ thị Sheehan, Entringer Swart 2-liên thông 3-liên thông Điều đặt câu hỏi thành phần liên thơng có chu trình Hamilton Aldred Thomassen tạo đồ thị 3-liên thơng có chu trình Hamilton (xem hình 2.24) Tất nhiên, điều đặt câu hỏi liệu đồ thị 4-liên thơng Hình 2.24: Một đồ thị 3-liên thơng với chu trình Hamilton 43 có chu trình Hamilton hay khơng? Vậy G chứa chu trình Hamilton trường hợp đồ thị chứa thêm chu trình khác chứa chu trình Hamilton? Một kết cổ điển Cedric Smith cho thấy đồ thị bậc ba Hamilton chứa ba chu trình Hamilton Định lý 2.5.11 Tất cạnh đồ thị bậc ba nằm số chẵn chu trình Hamilton Hệ 2.5.12 Mỗi đồ thị bậc ba Hamilton chứa ba chu trình Hamilton Năm 1975, Sheehan đốn đồ thị 4-chính quy Hamilton có chu trình Hamilton Thomason nghiên cứu Phỏng đốn ba năm Sau đó, Smith khái quát hóa đoán Định lý 2.5.13 G đồ thị mà tất đỉnh bậc lẻ Khi đó, cạnh chứa số chẵn chu trình Hamilton Lưu ý G đồ thị quy bậc r tính chẵn lẻ bậc r điều cần thiết để lập luận Thomassen thành cơng Thomassen chứng minh đồ thị có chu trình Hamilton thứ hai bậc đủ lớn Tất nhiên, điều không mạnh kết Thomason cho biết tồn hai chu trình Hamilton thơng qua số cạnh Kết Thomassen sau: Định lý 2.5.14 G đồ thị quy Hamilton có bậc r Nếu r ≥ 300 G chứa chu trình Hamilton thứ hai Đồ thị bậc ba với chu trình Hamilton Hình 2.25: Đồ thị bậc ba với chu trình Hamilton Người ta hạn chế thu hẹp điều kiện r ≥ 300 tương tự chứng minh Thomassen Các nghiên cứu thảo luận cho thấy khơng 44 thể tìm thấy đồ thị quy có chu trình Hamilton Chắc chắn tồn đồ thị quy có chu trình Hamilton có bậc nhỏ 300 Điều sau lại đặt câu hỏi có chu trình Hamilton đồ thị Hamilton quy? Có đồ thị bậc ba có xác ba chu trình Hamilton khơng, cho ví dụ? Câu hỏi đặt Cantoni Đồ thị hình 2.25 có xác ba chu trình Hamilton Tuy nhiên, việc thêm hình tam giác đỉnh khơng làm tăng số lượng chu trình Hamilton Do tồn đồ thị bậc ba với số đỉnh tùy ý mà có ba chu trình Hamilton Một cách tiếp cận khác đồ thị chứa chu trình Hamilton xem xét bậc đỉnh tối thiểu đồ thị bao nhiêu? Một kết gần Bondy Jackson cho thấy bậc đỉnh nhỏ đồ thị Hamilton đủ lớn đồ thị khơng thể chứa chu trình Hamilton Định lý 2.5.15 G đồ thị Hamilton có cấp n với bậc nhỏ c log2 n, c > (2 − log2 3)−1 Khi đó, G có hai chu trình Hamilton Lưu ý (2 − log2 3)−1 ≈ 2.41 Đồ thị hai thành phần quan tâm xem xét trình nghiên cứu chu trình Hamilton Rõ ràng, đồ thị hai thành phần đầy đủ Km,n với m = n đồ thị Hamilton Để có chu trình Hamilton phần đồ thị hai thành phần phải Vì vậy, trước tiên xét đồ thị quy Tutte đoán đồ thị hai thành phần bậc ba 3-liên thơng đồ thị Hamilton Các ví dụ tìm thấy Horton đồ thị 96 đỉnh ví dụ đồ thị có số đỉnh nhỏ 50 đỉnh Dường tất đồ thị hai thành phần bậc ba 3-liên thông đồ thị Hamilton Kel’mans đưa kết lần Một đốn dường khó để chứng minh đề xuất Barnette Phỏng đoán Barnette: Mọi đồ thị phẳng hai thành phần bậc ba 3-liên thơng đồ thị Hamilton Có nghiên cứu vấn đề Một số kết đốn tìm thấy Holton, Manvel McKay Định lý 2.5.16 G đồ thị phẳng hai thành phần bậc ba 3-liên thơng Nếu |E| ≤ 64 G đồ thị Hamilton 45 Các nhà toán học đề cập số lượng chu trình Hamilton đồ thị Hamilton hai thành phần Thomassen đưa điều kiện cho đồ thị Hamilton hai thành phần để có chu trình Hamilton thứ hai Định lý 2.5.17 G đồ thị Hamilton với hai thành phần A, B cho H chu trình Hamilton G Nếu đỉnh B có bậc G có chu trình Hamilton khác với H Trong phần cuối này, đề cập vấn đề nghiên cứu số câu hỏi mở liên quan đến chu trình Hamilton Một đoán khác Barnette quan trọng chứng minh đốn khó Phỏng đoán Barnette: G đồ thị phẳng bậc ba 3-liên thông với số cạnh mặt nhiều 6, G đồ thị Hamilton Một tập hợp đặc biệt lớp đồ thị Fullerene Những đồ thị nhà hóa học đặc biệt quan tâm chúng liên quan đến cấu trúc đồng phân cacbon Fullerene đồ thị phẳng bậc ba 3-liên thơng với 12 mặt có số cạnh tất mặt lại số cạnh Những đồ thị đặt tên theo Buckminster Fuller Điều đặc biệt quan tâm nhà hóa học xây dựng Fullerene chứng minh Fullerene đồ thị Hamilton Aldred Fullerene có số đỉnh không vượt 176 đỉnh đồ thị Hamilton Định lý 2.5.18 G đồ thị phẳng bậc ba 3-liên thông với số cạnh mặt nhiều Nếu |V | ≤ 176 G đồ thị Hamilton Các đồ thị hình 2.22 cho thấy đồ thị có hai nhiều mặt lớn đồ thị khơng có chu trình Hamilton Điều xảy đồ thị xét có mặt lớn 6? Để xem xét điều này, cần đồ thị 3-liên thơng hình 2.26 cho thấy đồ thị bậc ba 2-liên thông với mặt lớn mà khơng phải đồ thị Hamilton Tiến trình nghiên cứu vấn đề giới hạn lớp đồ thị đặc biệt Trong ví dụ Franzblau, đồ thị mà xem xét gọi đồ thị phẳng phân lớp (layered cubic planar graph), đồ thị hình dung chuỗi chu trình đồng tâm với cặp chu trình liên tiếp nối với cạnh Số lượng cạnh nối hai chu trình liên tiếp 46 3 15 Hình 2.26: Đồ thị bậc ba 2-liên thơng với mặt lớn đồ thị Hamilton tăng lên theo thứ tự chu trình Những đồ thị khơng phải ví dụ cho đốn Barnette Hình 2.27: Đồ thị phẳng phân lớp (layered cubic planar graphs) Định lý 2.5.19 Một đồ thị khối phẳng phân lớp đồ thị Hamilton Franzblau xem xét đồ thị mặt phẳng phân lớp số cạnh chu trình liên tiếp khơng giới hạn Điều gặp nhiều khó khăn thu phần kết Hai đoán Barnette dường khó thách thức cho vào kỷ 47 KẾT LUẬN Luận văn đề cập đến chu trình Hamilton, vấn đề xoay quanh đường đi, chu trình Hamilton toán người bán hàng Đây chủ đề hấp dẫn nhiều người quan tâm học tập nghiên cứu Tóm lại, luận văn này, tơi trình bày nội dung sau: Các kiến thức đồ thị, phép toán đồ thị Nêu dạng đồ thị đặc biệt hay sử dụng, đồ thị với trọng, chu trình Hamilton chu trình Euler Một số điều kiện đủ tồn chu trình Hamilton Đường đi, chu trình Hamilton tốn người bán hàng Thuật tốn xếp cạnh để tìm chu trình Hamilton có tổng trọng số nhỏ Các giả thuyết đốn chu trình Hamilton 48 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Lê Minh Hoàng (1999), Bài giảng chuyên đề giải thuật lập trình, Nhà Xuất Bản Đại Học Sư Phạm Hà Nội [2] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tơ Thành (1999), Tốn rời rạc, Nhà Xuất Bản Giáo Dục [3] Hà Chí Ổn (2016), Một số toán đường đồ thị, Luận văn Thạc sĩ toán học, Trường Đại học Thăng Long [4] Ngô Đắc Tân (2004), Lý thuyết tổ hợp đồ thị, Nhà Xuất Bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tiếng Anh: [5] J A Bondy (2014), Beautiful conjectures in graph theory, European Journal of Combinatorics [6] J A Bondy, U S R Murty (2008), Graph Theory, Springer [7] R Diestel (2017), Graph theory fifth edition, Springer, Berlin [8] Holton Derek , E L Aldred Robert (1999), Planar Graphs, Regular Graphs, Bipartite Graphs and Hamiltonicity, Australasian Journal of Combinatorics Typed by LATEX 49 50 ... khó Bài toán sau thường gọi toán người bán hàng toán khó tối ưu tổ hợp Bài tốn phát biểu sau đây: Bài toán 2.3.1 Người bán hàng giao hàng n thành phố T1 ,T2 , ,Tn Xuất phát từ thành phố đó, người. .. tổng độ dài: + + + = 17 Bài tốn người bán hàng tốn có nhiều ý nghĩa thực tiễn Nhiều tốn giao thơng liên lạc, sản xuất kinh doanh quy toán người bán hàng Bài toán người bán hàng lại tốn khó tiếng,... mong muốn tìm hiểu khái niệm bản, toán ứng dụng quan trọng lý thuyết đồ thị toán người bán hàng hướng dẫn thầy giáo Đồn Thế Hiếu, tơi chọn đề tài ? ?Bài tốn người bán hàng? ?? để tìm hiểu Luận văn viết