Ước lượng khoảng cách biên soạn Nguyễn Tiên Tiến

MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC I MỞ ĐẦU Khi nghiên cứu tính chất tam giác, ta thấy có số điểm đóng vai trị đặc biệt chúng có quan hệ mật thiết với Chẳng hạn, mối quan hệ điểm: trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác uuu uuu uuu r r r biểu thị qua hệ thức OG : GH : OH = 1: : ; khoảng cách hai tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp bán kính R, r chúng biểu thị qua hệ thức Euler đẹp đẽ: IO = R - 2Rr Một vấn đề đặt với điểm nêu ta xác định khoảng cách cịn điểm đặc biệt khác tam giác như: tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp, điểm Lemoine, điểm Naghen, điểm Gergone hệ thức liên hệ chúng nào? Có xác định khơng? Bài tập xin giới thiệu cách xác định khoảng cách số hệ thức khoảng cách Đồng thời, thông qua nghiên cứu khoảng cách ta đưa số đánh giá yếu tố liên quan đến tam giác như: chu vi, bán kính đường trịn nội tiếp, bán kính đường trịn ngoại tiếp Cũng thơng qua tập thấy số cặp phạm trù triết học vận dụng trình nghiên cứu như: chung riêng; nội dung hình thức; chủ quan khách quan MỘT SỐ KÝ HIỆU ABC : tam giác ABC G : trọng tâm tam giác ABC H : trực tâm tam giác ABC I : tâm đường tròn nội tiếp tam giác O : tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Ia , Ib ,Ic : tâm đường tròn bàng tiếp tương ứng với góc A, B, C L : điểm Lemoine tam giác N : điểm Naghen tam giác Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác J : điểm Gergone tam giác p : nửa chu vi tam giác S : diện tích tam giác R, r : bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác , rb , rc : bán kính đường trịn bàng tiếp ứng với góc A, B, C å ab = ab + bc + ca ; å a b = a b åa = a + b + c ; åa = a + b 2 3 3 2 4 + b2c2 + c2a ; åa = a + b + c2 + c4 II MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN Trước hết, ta nhắc lại kết sau:(dễ dàng chứng minh được) uuu uuu uuu r r r r GA + GB + GC = uu r uu r uu r r aIA + bIB + cIC = uuu uuu uuu r r r uuu r HA + HB + HC = 2HO uuu uuu uuu uuu r r r r OA + OB + OC = OH r uuu r uuu r uuu r uuu uuu r OH = 3OG; 3HG = 2HO = 6GO uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu r r r r r r r r r AH = OB + OC; BH = OC + OA; CH = OA + OB S = abc = pr = (p - a ) = (p - b) rb = (p - c) rc 4R S = p (p - a )(p - b)(p - c) = (å a b ) - (å a ) 16 2(å ab) - (å a ) = 4r + 16Rr å ab = p + r + 4Rr 11 å a = 2p - 2r - 8Rr 12 å a = 2p (p - 3r - 6Rr ) 10 2 2 13 (p - a )(p - b) + (p - b)(p - c) + (p - c)(p - a ) = r (4R + r ) 4p (R - r ) a2 b2 c2 14 + + = p-a p-b p-c r Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 15 GA = 2(b + c2 ) - a 2(c + a ) - b (a + b ) - c ;GB = ;GC = 9 uuu uuu r r 16 HA = OB + OC = 4R - a ; HB2 = 4R - b ; HC2 = 4R - c2 ( 2 ) 17 IA = r + (p - a ) = bc - 4Rr ; IB2 = ca - 4Rr; IC2 = ab - 4Rr III ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC Bây sử dụng kết để ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác Khoảng cách điểm đặc biệt uuur uuur uuur uuur Trước hết, xuất phát từ hệ thức MA + MB + MC = 3.MG , ta có: uuur uuur uuu uuur r 9MG = MA + MB + MC ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur = MA + MB2 + MC2 + MA.MB + MB.MC + MC.MA ( = 3(MA + MB2 + MC2 ) - (a + b + c2 ) ) uuur uuur uuur uuur (do 2MA.MB = MA + MB2 - AB2 ;2MB.MC = MB2 + MC2 - BC2 ; uuur uuur 2MC.MA = MC2 + MA - CA ) Do đó, MG = 1 (MA + MB2 + MC2 ) - (å a ) (I) * Khi M º O , ta có: 1.1) OG = 1 (OA + OB2 + OC2 ) - (å a ) = R - (å a ) = R - p + (å ab) = (9R + 2r + 8Rr - 2p ) 9 * Khi M º H , ta có: 1.2) HG = 1 (HA + HB2 + HC2 ) - (å a ) = 4R - (å a ) = 4R - 16 p + (å ab) = (9R + 2r + 8Rr - 2p ) 9 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác * Khi M º I , ta có: 1.3) IG = 1 (IA + IB2 + IC2 ) - (å a ) = éêë3(å ab -12Rr ) - (å a )ùúû 1 = éê5(å ab) - 4p ùú - 4Rr = (p + 5r -16Rr ) û 9ë uuu r uuu r * Từ hệ thức OH = 3OG , ta có: 1.4) OH = 9OG = 9R + 2r + 8Rr - 2p uuu uuu uuu r r r uuu r Cũng tính OH xuất phát từ hệ thức HA + HB + HC = 2HO uuu uuu uuu uuu r r r r OA + OB + OC = OH uuur uuur uuur uur Tiếp tục, xuất phát từ hệ thức aMA + bMB + cMC = (a + b + c) MI , ta có: uuur uuur uuur (a + b + c) MI = aMA + bMB + cMC 2 ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur = a MA + b MB2 + c MC2 + abMA.MB + bcMB.MC + caMC.MA ( = (a + b + c)(aMA + bMB2 + cMC2 - abc) Do đó, MI2 = Û MI = ) abc (aMA + bMB2 + cMC2 ) - a + b + c a +b+c (aMA + bMB2 + cMC2 ) - 2Rr a +b+c (II) * Khi M º O , ta có: 1.5) OI = (aOA + bOB2 + cOC2 ) - 2Rr = R - 2Rr (Hệ thức Ơle) a +b+c * Khi M º H , ta có: 1.6) HI2 = = (aHA + bHB2 + cHC2 ) - 2Rr a +b+c é 4(a + b + c) R - ( a )ù - 2Rr å úû a + b + c êë = 4R - 6Rr - (å a - å ab) - 2Rr = 4R + 4Rr + 3r - p 2 Khoảng cách từ điểm đặc biệt đến tâm đường tròn bàng tiếp Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác Gọi Ia , I b , Ic tâm đường tròn bàng tiếp góc A, B, C tam giác ABC Khi dễ dàng chứng minh hệ thức sau: uuu r uuu r uuu r r uuur uuur uuur uuur i) -aIa A + bIa B + cIa C = ; -aMA + bMB + cMC = (-a + b + c) MIa uuu r uuu r uuu r uuur r uuu r uuur uuur ii) aI b A - bIb B + cI bC = ; aMA - bMB + cMC = (a - b + c) MI b uuu r uur uur r uuur uuur uuur uuur iii) aIc A + bIc B - cIcC = ; aMA + bMB - cMC = (a + b - c) MIc Xuất phát từ hệ thức i), ta có: uuur uuur uuur 2 (-a + b + c) MIa = -aMA + bMB + cMC ( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur = a MA + b MB2 + c MC2 - abMA.MB - bcMB.MC + caMC.MA ( = (-a + b + c) éêë-aMA + bMB2 + cMC2 + abcùúû Þ (-a + b + c) MIa = -aMA + bMB2 + cMC2 + abc ) (III) * Khi M º O , ta được: 2.1) OIa = abc (-aOA + bOB2 + cOC2 + abc) = R + -a + b + c (-a + b + c) = R + 2Rra Tương tự, ta có: OI = R + b abc abc = R + 2Rrb ; OIc = R + = R + 2Rrc a -b+c a + b-c * Khi M º H , ta được: 2.2) HIa = (-aHA + bHB2 + cHC2 + abc) -a + b + c a - b3 - c3 + abc = 4R + = 4R - 3p + r + 4Rr + 8Rra + 2bc -a + b + c Tương tự, ta có: HI2 = 4R + b b3 - c3 - a + abc = 4R - 3p + r + 4Rr + 8Rrb + 2ca ; a-b+c c3 - a - b3 + abc HI = 4R + = 4R - 3p + r + 4Rr + 8Rrc + 2ab a + b-c c Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác * Khi M º I , ta được: 2.3) I Ia = = (-aIA + bIB2 + cIC2 + abc) -a + b + c 2abc - 4Rr = 4R (ra - r ) -a + b + c Tương tự, ta có: I I = 4R (rb - r ) ; I Ic = 4R (rc - r ) b * Khi M º G , ta được: 2.4) GIa = (-aGA + bGB2 + cGC2 + abc) -a + b + c a - b3 - c3 + 3abc = (å a ) + = (6bc - 5p - r - 4Rr ) + 4Rra 3(-a + b + c) Tương tự, ta có: GI = b (6ca - 5p2 - r - 4Rr ) + 4Rrb GIc = (6ab - 5p2 - r - 4Rr ) + 4Rrc * Khi M º A , ta được: bAB2 + cAC2 + abc bcp 2.5) AI = = = bc + 4Rra p-a (-a + b + c) a Tương tự, ta có: BI = b cap abp = ca + 4Rrb , CIc = = ab + 4Rrc p-b p-c * Khi M º B , ta có: -aBA + cBC2 + abc ca (p - c) 2.6) BI = = -a + b + c p-a a Tương tự, ta có: CIa = AI = b ab (p - b) p-a bc(p - c) ab (p - a ) bc(p - b) ca (p - a ) , CI = , AIc = , BIc = b p-b p-b p-c p-c Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác * Khi M º I b , ta được: 2.7) I b Ia = -aI b A + bI b B2 + cIb C2 + abc abc = = 4R (ra + rb ) -a + b + c (p - a )(p - b) Tương tự, ta có: a bc ab 2c II = = 4R (rb + rc ) ; Ic Ia = = 4R (rc + ) (p - b)(p - c) (p - c)(p - a ) b c Khoảng cách từ điểm đặc biệt đến điểm Lemoine(Lomoan) tam giác Điểm Lemoine Trên cạnh AB, BC, CA tam giác ABC, lấy điểm C1 ,A1 ,B1 tương AC1 b BA1 c2 CB1 a ứng cho = ; = ; = Khi đường thẳng C1B a A1C b B1A c2 AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy điểm L(điểm L gọi điểm Lemoine tam giác) Chứng minh: Gọi L giao điểm hai đường thẳng AA1 , CC1 Áp dụng định lý Menelauyts cho tam giác ABA1 , ta có: AC1 BC A1L = C1B CA1 LA AC1 b BC b + c Với = ; = nên ta có; C1B a CA1 b2 A1L a2 LA b + c2 = Þ = LA b + c2 AA1 a + b + c2 Mặt khác, từ hệ thức uuur uuur BA1 c = ta có b BA1 = c2 A1C Từ đó, ta có hệ thức: A1C b uuuu r AA1 = r r b uuu c2 uuu AB + AC b + c2 b + c2 uuu r uur uur r Do vậy: a LA + b LB + c2 LC = Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác Tương tự, giao điểm hai đường thẳng BB1 CC1 thỏa mãn hệ thức Điểm L xác định theo hệ thức này, ba đường thẳng AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy điểm L thỏa mãn hệ thức trên☺ Xuất phát từ hệ thức trên, ta tính khoảng cách từ L đến điểm G, H, O, I, Ia , I b , Ic uuur uuur uuur uuu r 2 Với điểm M, ta có hệ thức: a MA + b MB + c MC = (å a ) ML Do vậy, ta có: uuur uuur uuur a ) ML2 = a MA + b MB + c MC (å ( ) uuur uuu r uuur uuur uuur uuur = a MA + b MB2 + c MC2 + a b MA.MB + b 2c MB.MC + c 2a MC.MA ( = (å a )(a MA + b MB2 + c2 MC2 ) - 3a b 2c Þ ML2 = a MA + b MB2 + c2 MC2 3a b 2c2 a2 ) (å (å a ) ) (IV) * Khi M º O , ta có: a 2OA + b 2OB2 + c2OC2 3a b 2c2 3a b 2c 2 3.1) OL = =R 2 (å a ) a2 ) (å (å a ) * Khi M º G , ta có: a 2GA + b 2GB2 + c2GC2 3a b 2c2 3.2) GL = (å a ) (å a ) é( a )( a ) + 9a b 2c2 ù å êå úû = (å a ) - ë 3( a ) å 2(å a ) - 3(å a )(å a ) - 27 (abc) = (å a ) 2 2 6(å a )(å a b ) - (å a ) - 27 (abc) = (å a ) Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác * Khi M º H , ta có: a HA + b HB2 + c2 HC2 3a b 2c2 3.3) HL = (å a ) (å a ) = 4R (å a )(å a ) + 3a 2b2c2 (å a ) = 4R - (å a ) + 2 2(å a )(å a b ) - 3(abc) (å a ) * Khi M º I , ta có: a IA + b IB2 + c IC2 3a b 2c2 3.4) IL = (å a ) (å a ) abc éê(å a )(å a ) - 3abcùú 4Rr é p (R + r ) - r (4R + r )2 ù ë û - 4Rr = = 2 ê úû (å a ) (p2 - r - 4Rr ) ë * Khi M º Ia , ta có: abc(2p - 2bc) 3a b 2c a Ia A + b Ia B2 + c Ia C2 3a b 2c 3.5) Ia L = = 2 a2 ) (p - a )(å a ) (å a )2 (å (å a ) Tương tự, ta có: IbL = abc (2p - 2ca ) (p - b)(å a ) * Khi M º A , ta có: - 3a b 2c2 (å a ) 2 , Ic L = abc(2p - 2ab) (p - c)(å a ) - 3a b 2c2 (å a ) b 2c (2å a - 3a ) b AB2 + c2 AC2 3a b 2c2 3.6) AL = = 2 a2 ) (å (å a ) (å a ) Tương tự, ta có: BL = c2a (2å a - 3b ) (å a ) 2 , CL = a b (2å a - 3c ) (å a ) Khoảng cách từ điểm đặc biệt đến điểm Gergone tam giác Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 10 Điểm Gergone Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB A1 ,B1 ,C1 Khi đường thẳng AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy điểm J(điểm J gọi điểm Gergone) Ta có AC1 = AB1 = p - a;BC1 = BA1 = p - b;CA1 = CB1 = p - c Bằng cách chứng minh tương tự điểm Lemoine, ta có điểm Gergone uur uu r uu r r thỏa mãn hệ thức: (p - b)(p - c) JA + (p - c)(p - a ) JB + (p - a )(p - b) JC = Để thuận tiện việc tính tốn ta đặt: x = (p - b)(p - c); y = (p - c)(p - a ); z = (p - a )(p - b) uuur uuur uuur uur Khi đó, với điểm M ta có: xMA + yMB + zMC = ( x + y + z ) MJ Do vậy: uuur uuur uuur (x + y + z) MJ = ( xMA + yMB + zMC) 2 uuur uuur uuu uuur r uuur uuur = x MA + y MB2 + z MC2 + xyMA.MB + yzMB.MC + zxMC.MA ( = ( x + y + z)( xMA + yMB2 + zMC2 ) - ( xyc + yza + zxb ) xMA + yMB2 + zMC2 xyc + yza + zxb Þ MJ = x+y+z ( x + y + z) ) (V) Ta có: xyc2 + yza + zxb (x + y + z) = (p - a )(p - b)(p - c) éêë p(å a ) - (å a )ùúû * Khi M º O , ta có: é r (4R + r )ù ë û = 4p r (R + r ) (4R + r ) 4p r (R + r ) xOA + yOB2 + zOC2 xyc + yza + zxb 2 4.1) OJ = =R 2 x+y+z ( x + y + z) (4R + r ) * Khi M º G , ta có: 4.2) GJ = xGA + yGB2 + zGC2 xyc + yza + zxb 2 x+y+z ( x + y + z) Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 11 2 p (4R + 8Rr - 5r ) - r (4R + r ) = (4R + r ) * Khi M º H , ta có: xHA + yHB2 + zHC2 xyc2 + yza + zxb 4.3) HJ = x+y+z (x + y + z) = 4R 8p R (2R - r ) (4R + r ) * Khi M º I , ta có: xIA + yIB2 + zIC2 xyc2 + yza + zxb 3p r 2 4.4) IJ = =r 2 x+y+z (x + y + z) (4R + r ) * Khi M º L , ta có: xLA + yLB2 + zLC2 xyc2 + yza + zxb 4.5) LJ = x+y+z (x + y + z) 2 éê 4Rrp (å ab) + (å a 3b3 ) - p (å a b )ùú 3(abc)2 4p r (R + r ) û= ë 2 r (4R + r )(å a ) (4R + r ) a2 ) (å * Khi M º A , ta có: yAB2 + zAC2 xyc2 + yza + zxb 4.6) AJ = x+y+z ( x + y + z) 2 pr æ c b ö 4p r (R + r ) ữỗ ữ = + ỗ ữ ữ 4R + r ỗ p - b p - c ứ (4R + r )2 è Tương tự, ta có: pr æ c2 a ö 4p r (R + r ) ữỗ ữ JB = + ỗ ữ ữ 4R + r ỗ p - a p - c ứ (4R + r )2 è 2 pr æ a b ö 4p r (R + r ) ữỗ ữ JC = + ỗ ữ ữ 4R + r ỗ p - b p - a ứ (4R + r )2 è Khoảng cách từ điểm đặc biệt đến điểm Naghen tam giác Điểm Naghen Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 12 Các đường tròn bàng tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB tương ứng A1 ,B1 ,C1 Khi đường thẳng AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy điểm N(điểm N gọi điểm Naghen) Ta có C1B = CB1 = p - a;A1C = AC1 = p - b;B1A = A1B = p - c Bằng cách chứng minh tương tự điểm Lemoine, ta có điểm Naghen uuu r uuu r uuu r r thỏa mãn hệ thức: (p - a ) NA + (p - b) NB + (p - c) NC = uuur uuur uuur uuur Với điểm M, ta có (p - a ) MA + (p - b) MB + (p - c) MC = pMN Vì vậy: uuur uuur uuur p MN = éê(p - a ) MA + (p - b) MB + (p - c) MCùú ë û = p éêë(p - a ) MA + (p - b) MB2 + (p - c) MC2 ùúû - éêë(p - a )(p - b)c2 + (p - b)(p - c)a + (p - c)(p - a ) b ùúû Ta có: é(p - a )(p - b)c + (p - b)(p - c)a + (p - c)(p - a ) b ù êë úû = 4r (R - r ) p Þ MN = (p - a )MA + (p - b)MB2 + (p - c)MC2 p - 4r (R - r ) (VI) * Khi M º O , ta có: 5.1) ON = R - 4r (R - r ) = (R - 2r ) * Khi M º G , ta có: 5.2) GN = = (p - a )GA + (p - b)GB2 + (p - c)GC2 p - 4r (R - r ) (p + 5r -16Rr ) * Khi M º H , ta có: 5.3) HN = (p - a ) HA + (p - b) HB2 + (p - c) HC2 p - 4r (R - r ) = 4R (R - 2r ) * Khi M º I , ta có: Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 5.4) IN = (p - a )IA + (p - b) IB2 + (p - c) IC2 p 13 - 4r (R - r ) = p + 5r -16Rr * Khi M º L , ta có: 5.5) LN = (p - a )LA + (p - b) LB2 + (p - c) LC2 p - 4r (R - r ) 2 2 é ù - 48p r R - 4r (R - r ) = p - 2p r (6R - r ) + r (4R + r )úû a êë å ( a2 ) å * Khi M º J , ta có: 5.6) JN = = (p - a )JA + (p - b) JB2 + (p - c) JC2 p - 4r (R - r ) é p (R + r ) - r (4R + r )2 ù ê úû (4R + r ) ë 16R * Khi M º A , ta có: 5.7) AN = (p - b) AB2 + (p - c) AC2 p - 4r (R - r ) = (b - c) + 4r 2 Tương tự, ta có: BN = (c - a ) + 4r , CN = (a - b) + 4r 2 Hệ thức liên hệ khoảng cách điểm đặc biệt Như nhận xét trên, ta tìm hệ thức liên hệ khoảng cách điểm đặc biệt OG , HG , IG ,OH , HI ,OI r uuu r uuu r uuu r uuu uuu r Từ hệ thức OH = 3OG; 3HG = 2HO = 6GO ta có: 6.1) OH - 9OG = 6.2) GH - 4OG = 6.3) 9HG - 4OH = Ta xuất phát từ đẳng thức: xOG + yOH + zOI + tGH + kGI + qIH Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 14 = ( x + 9y + z + 4t + 4q ) R - 2(z + 2k + 4q ) Rr - ( x + 9y + 4t + k + 9q ) p + (2x + 18y + 8t + 5k + 27q )(ab + bc + ca ) = ( x + 9y + z + 4t + 4q ) R + (2x + 18y + 5k + 27q + 8t ) r 1 + (8x + 72y -18z -16k + 36q + 32t ) Rr + (-2x -18y + k - 9q - 8t ) p 9 x, y, z, k, t, q số thực * Lấy q = -1;z = 4;x = y = t = k = , ta được: 6.4) 4OI - IH = 4p - 3(å ab) = p - 3r -12Rr * Lấy k = -1;z = 2;x = y = t = q = , ta được: 6.5) 2OI - GI = 2R + p - (å ab) = (18R - 5r - 20Rr - p ) 9 * Lấy t = -1;z = 4;x = y = k = q = , ta được: 6.6) 4OI - GH = 16 8 p - (å ab) - 8Rr = (p - r -13Rr ) 9 * Lấy t = 3;q = -2;k = 6;z = -4; x = y = , ta được: 6.7) 3GH + 6IG = 2IH + 4IO * Lấy x = 6; y = t = 0;z = -2;k = 3;q = -1 , ta được: 6.8) 3(2OG + GI ) = 2OI + IH * Lấy x = 4;q = -1; y = z = t = k = , ta được: 6.9) 4OG - IH = 8Rr + = 20 19 4abc p - (å ab) = + (å a ) - (å ab) 9 a +b+c 5(å a ) + 9abc - éë ab (a + b) + bc(b + c) + ca (c + a )ùû (a + b + c ) = (p -19r - 4Rr ) * Lấy y = 1;q = -2;x = z = t = k = , ta được: 6.10) OH - 2IH = R + 16Rr + 4p - 3(å ab) Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 15 = R + 16Rr + å a - 2(å ab) = R - 4r * Lấy x = y = z = 0, t = 1, k = q = -1 , ta được: 8 6.11) GH - GI - IH = 12Rr + p - (å ab) = r (R - 2r ) 3 * Lấy x = t = k = 0, y = 1, z = -1,q = -2 , ta được: 6.12) OH - OI - 2IH = 18Rr + 4p - 4(å ab) = 2r (R - 2r ) Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt * Từ 6.4) bất đẳng thức 7.1) IH £ 2IO åa * Từ 1.4), 6.5) bất đẳng thức 7.2) IG £ OI * Từ bất đẳng thức åa 2 ³ å ab , ta có được: åa ³ å ab , ta được: ³ å ab ; bất đẳng thức å ab ³ 18Rr 6.6), ta được: 7.3) GH £ 2OI * Từ đẳng thức HG = 2OG; HG = OH 7.3), ta được: 7.4) OG £ OI; OH £ 3OI * Từ 7.1), 7.2), 7.3), 7.4), ta có: { } 7.5) max 3IH,3 2IG,6OG, 2OH £ 6OI * Từ đẳng thức 2(å ab) - (å a ) = 4r + 16Rr 6.10), 1.5) với ý OI2 ³ , ta được: 7.6) OH ³ 2IH * Từ bất đẳng thức: 2(a + b3 + c3 ) ³ ab (a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) ; Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 16 a + b3 + c3 + 3abc ³ ab (a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) 6.9), từ bất đẳng thức p ³ 16Rr - 5r ; R ³ 2r , ta được: 7.7) HI £ 2OG Một số kết khác khai thác từ khoảng cách Từ công thức xác định khoảng cách điểm đặc biệt ta khai thác số kết Cụ thể sau: * Từ 1.5) ta có: 8.1) R ³ 2r * Từ 1.1) ta có: 8.2) 2p £ 9R + 2r + 8Rr * Từ 1.3) ta có: 8.3) p ³ 16Rr - 5r * Từ 1.6) ta có: 8.4) p £ 4R + 4Rr + 3r (đánh giá mạnh 8.2)) * Từ 8.1) 8.3) ta có: 8.5) p ³ 12Rr + 3r * Từ 8.1) 8.4) ta có: 8.6) 3p £ (4R + r ) * Từ 4.1) 5.6) ta có: r (4R + r ) R (4R + r ) 8.7) £p £ R +r 4r (R + r ) 2 * Từ 4.3) ta có: R (4R + r ) 8.8) p £ 2(2R - r ) 2 * Từ 8.3) 8.4) ta có: 8.9) 1 1 (R - 2r )(R + 2r ) £ OG = OH = GH £ (9R - 24Rr + 12r ) 9 Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 17 * Từ 4.1), 8.5) 8.6) ta có: 12r (R + r ) 2 8.10) R - r (R + r ) £ OJ £ R 4R + r * Từ 1.3), 8.4) 8.5) ta có: 8.11) 1 R (2R - r ) £ GI2 = NI = GN £ (R - 3Rr + 2r ) 9 * Từ 1.6) 8.5) ta có: 8.12) HI2 £ 4(R - 3Rr + 2r ) * Từ 6.11) 8.1) ta có: 8.13) GH ³ GI2 + IH * Từ 6.12) 8.1) ta có: 8.14) OH ³ OI2 + 2IH * Từ 4.1) 8.8) ta có: 8.15) OJ ³ R (R - 2r )(2R + r ) 2R - r * Từ 3.1), 8.3) 8.4) ta có: 8.16) OL ³ 8R (R - 2r ) 3(2R - r ) * Từ 1.5), 5.1) 8.15) ta có: OJ 5OI - ON 8.17) ³ OI2 3OI + ON * Từ 1.5), 5.1) 8.16) ta có: OL OI 8.18) ³4 OI 3OI2 + ON Ngồi ta tìm kết sau đây: 48Rr (R - 2r )(2R - r ) 8.19) (4R + r ) (4R - 3Rr + 2r 2 ) 2 £ IL £ R (R - 2r )(R + 2r )(4R + r ) 36r (2R - r ) Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác 8.20) 4r 18 (R + r )(R - 2r ) (2R - r )(R - 2r ) £ IJ £ 8r 2 (4R + r ) (4R + r ) 8.21) NJ £ 16 16 R (R - 2r ) = OI 3 2 8.22) OIa + OI b + OIc + OI = 12R 2 2 8.23) Ia Ib + I b Ic + Ic Ia = 8R (4R + r ) 2 8.24) HIa + HI + HIc - 7HI = 16(R - r )(R + r ) b 48R + 16Rr + r - 3p 8.25) GI + GI + GI = a b c 8.26) I Ia I I b I Ic = 16R r 8.27) 4p £ Ia I b + Ib Ic + Ic Ia £ 8.28) 12r £ (17R + 2r ) p £ I Ia + I Ib + I Ic £ 7R - 2r 8.29) Với điểm M, ta có: aMA + bMB2 + cMC2 ³ abc 3a b 2c 8.30) Với điểm M, ta có: a MA + b MB + c MC ³ a + b + c2 2 2 2 8.31) Với điểm M, ta có: (p - a ) MA + (p - b) MB2 + (p - c) MC2 ³ 4pr (R - r ) MA MB2 MC2 4p (R + r ) 8.32) Với điểm M, ta có: + + ³ p-a p-b p-c 4R + r 8.33) Với điểm M nằm đường trịn nội tiếp tam giác ABC, ta có: aMA + bMB2 + cMC2 = 2pr (2R + r ) 8.34) Với a, b, c ba cạnh tam giác thì: 6(å a )(å a b ) ³ (å a ) + 27 (abc) 8.35) 3.sin A.sin B.sin C £ + cos A.cos B.cosC Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com ... - 4Rr III ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC Bây sử dụng kết để ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt tam giác Khoảng cách điểm đặc biệt uuur uuur uuur uuur Trước hết, xuất... 4Rr + 3r - p 2 Khoảng cách từ điểm đặc biệt đến tâm đường tròn bàng tiếp Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc... a - 3c ) (å a ) Khoảng cách từ điểm đặc biệt đến điểm Gergone tam giác Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng www.mathvn.com MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách điểm đặc biệt