D05 diện tích hình phẳng y=f(x), y=g(x) muc do 3

Câu 12: [2D3-5.5-3] (Toán học Tuổi trẻ - Tháng - 2018 - BTN) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  x y  x quay quanh trục tung tạo nên vật thể trịn xoay tích A  B  C 2 15 D 4 15 Lời giải Chọn A x   y  Phương trình hồnh độ giao điểm x  x    x  1  y  Ta có đồ thị hai hàm số y  x y  x đối xứng qua Oy nên hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  x y  x quay quanh trục tung tạo nên vật thể trịn xoay tích thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn hai đường x  y x  y quay xung quanh trục Oy Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm là: 1   1 V    y  y dy     y  y  dy    y  y   0 2 0 1 2 Câu 29: [2D3-5.5-3] (Toán học Tuổi trẻ - Tháng - 2018 - BTN) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  nửa đường tròn x  y  bằng? A   B  1 C  1 D  1 Lời giải Chọn A  x  x  y  x 1   1  x x  x2  y   y    x tính nửa đường tròn nên ta lấy y   x Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  nửa đường tròn x  y  phần tơ màu vàng hình vẽ Diện tích hình phẳng là: 1 1  x2  S     x  1  x   dx    x dx    x  1 dx  I1    x   I1     0 0 Tính I1    x dx    Đặt x  sin t , t    ;  ; dx  cos t.dt  2 Đổi cận x   t  ; x   t       2 0  cos 2t dt 2 I1    x dx    sin t cos t.dt   cos t cos t.dt   cos t.dt     sin 2t    t    2 0 Vậy S    Câu 31: [2D3-5.5-3] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần -2018) Cho hình phẳng  H  y giới hạn đường y  x  x  , y  x  (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích H  37 454 C 25 A 109 91 D B Lời giải Chọn B Diện tích  H  3 O x 5 0   S   x  x    x  3 dx   x   x  x  dx 5 1     x  3 dx     x  x  3 dx    x  x  3 dx    x  x  3 dx  0  5  x2   x   x3   x3   2    x     x  x     x  x     x  x      0  1    55  4 20  109       3 3  Câu 11: [2D3-5.5-3] (THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội - 2017 - 2018 - BTN) [2D3-2] Cho parabol  P  : y  x2 hai điểm A , B thuộc  P  cho AB  Tìm giá trị lớn diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P  đường thẳng AB A B 3 Lời giải C D Chọn B y y=x2 B A O x Gọi A  a; a  B  b; b2  hai điểm thuộc  P  cho AB  Khơng tính tổng qt giả sử a  b 2 Theo giả thiết ta có AB  nên  b  a    b2  a     b  a   b  a   1    Phương trình đường thẳng qua hai điểm A B y   b  a  x  ab Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn parabol  P  đường thẳng AB ta có  b  a  x2 x3  S    a  b  x  ab  x  dx   a  b   abx    a  a b b 2 2 Mặt khác  b  a   b  a   1  nên b  a  b  a   b  a      Vậy b  a  S  23 Vậy Smax  Câu 150: [2D3-5.5-3] [CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ – 2017] Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho  E  có x2 y phương trình   1,  a, b   đường tròn  C  : x  y  Để diện tích elip  E  gấp a b lần diện tích hình trịn  C  A ab  B ab  7 D ab  49 C ab  Lời giải Chọn D x2 y b   1,  a, b    y  a  x2 a b a a b a  x dx b   a  x dx a a0 a Diện tích  E  S E   4    Đặt x  a sin t , t    ;   dx  a cos tdt  2  Đổi cận: x   t  ; x  a  t  a a b S E    a cos t dt  2ab  1  cos 2t  dt   ab a0 Mà ta có SC    R  7 Theo giả thiết ta có S E   7.SC    ab  49  ab  49 Câu 152: [2D3-5.5-3] [NGÔ QUYỀN – HP -2017] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường 2my  x , mx  y ,  m   Tìm giá trị m để S  A m  B m  C m  D m  2 Lời giải Chọn A x  (do m  ) 2m  y  2mx  mx  y  y  2mx   y   mx   Ta có 2my  x  y  Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2my  x mx  y ta có x  x  2mx  x  2m 2mx  x  8m3 x    2m  x  2m 2m Khi S    x  2mx dx  2m x 2m  x x 2m 3 2m  2m 4m    2m x   2mx  dx  Để S   4m   m2   m  (do m  ) Câu 155: [2D3-5.5-3] [CHUYÊN VINH – L2-2017]Trong Công viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy 16 y  x  25  x  hình vẽ bên Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét 125 125 250 125 A S  B S  C S  D S  m2  m2  m2     m2   Lời giải Chọn D Vì tính đối xứng trụ nên diện tích mảnh đất tương ứng với lần diện tích mảnh đất thuộc góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy Từ giả thuyết tốn, ta có y   x  x Góc phần tư thứ y  x 25  x ; x  0;5 Nên S( I )  125 125 x 25  x dx  S  (m )  40 12 Câu 15: [2D3-5.5-3] (Đề thi lần 6- Đồn Trí Dũng - 2017 - 2018)Cho hàm số y  e x , gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x ; x  1; x  k S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x ; x  k ; x  Xác định k để S1  S2 ? y y  ex 2 1 O x 1   1 A k  ln  e    ln B k  2ln  e    e e   C k  2ln 1 D k  ln Lời giải Chọn A  1 Ta có S1  S2   e x dx   e x dx  ek   e  ek  k  ln  e    ln e e  1 k k Câu 32 [2D3-5.5-3] [SGD SOC TRANG_2018_BTN_6ID_HDG] Tính diện tích hình phẳng tạo thành parabol y  x , đường thẳng y   x  trục hoành đoạn  0; 2 A B C D Lời giải Chọn B  x2  x3 Ta có S   x dx     x   dx      2x    1 1 2 Câu 32 [2D3-5.5-3] (Sở Giáo dục Gia Lai – 2018-BTN)Cho hình phẳng D giới hạn parabol y   x  x , cung tròn có phương trình y  16  x , với (  x  ), trục tung (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích hình D A 8  16 B 2  16 C 4  16 Lời giải Chọn D 4   Diện tích hình phẳng D S    16  x    x  x   dx    Xét tích phân D 4  16 I    1  16  x dx   16  16sin x 4cos xdx  16 cos xdx  16  x  sin x   4 0 2      16 J     x  x  dx    x3  x      0 16 Vậy S  4  Câu 40: [2D3-5.5-3] (SGD Đà Nẵng - HKII - 2017 - 2018) Cho hình phẳng  H  giới hạn đồ thị hàm số y  x đường thẳng y  mx với m  Hỏi có số nguyên dương m để diện tích hình phẳng  H  số nhỏ 20 B A D C Lời giải Chọn A x  x  m Ta có phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị : x  mx   Do diện tích hình phẳng  H  là: S  m  Theo đề bài: S  20  m  x x3  m3 x  mx dx    mx  x  dx   m     0 m 2 m3  20  m3  120  m  4.9324 Do m số nguyên dương nên m  1; 2;3; 4 Vậy có giá trị m thỏa mãn Câu 47: [2D3-5.5-3] [TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG- NAM ĐỊNH – 5/2018] Tính diện tích hình phẳng giới han đường y  x  y   x A 13 B C D 11 Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm x    x  x  x    x   x  1 Diện tích hình phẳng là: S   x   x dx  1   x   x  dx  1 1 2   x   x  dx    x   x  dx  x3  x3 7 x2  x2     2x      2x        1  0 6  Câu 3: [2D3-5.5-3] (THPT Ninh Giang - Hải Dương - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường: y  2 x3  x2  x  , y  x  x  được: A S  (đvdt) B S  (đvdt) C S  (đvdt) D S  (đvdt) Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm 2 x3  x2  x   x2  x  x   x  x    x   x  1 Khi S   1 x3  x dx   x3  x dx   x3  x dx 1 0 x  x4  2    x  x  dx    x  x  dx    x     x   (đvdt)   1  0 1 0 Câu 26: [2D3-5.5-3] [THPT QUẾ VÂN 2-2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  ln x; y  , x  ; x  e e 2 A  B e  C  D e  e e e e Lời giải Chọn C Ta có: ln x   x  Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  ln x; y  0; x  ; x  e e 1  e e e e   S   ln x dx    ln x dx   ln x dx    ln xdx   ln xdx   ln xdx   ln xdx 1 1 1  e e e  e   e  e 1    e e 1      x ln x    x dx     x ln x    x dx   x ln x  x   x ln x  x    x   x  e e e   e 1  e    Câu 32:  [2D3-5.5-3] [THPT ĐẶNG THÚC HỨA-2017] Biết hình thang cong  H  giới hạn đường y   x, y  0, x  k , x   k   có diện tích S k Xác định giá trị k để Sk  16 A k   15 B k   31 C k   15 Lời giải D k   31 Chọn D Diện tích hình phẳng cần tính là:  k   x2   x2  x dx     x  dx    x   dx   x      x  k   2 k 2  k2  k2    2k      2k  2 2  Do Sk  16 nên  k   31 k2  2k   16   Do điều kiện nên ta nhận k   31 2  k   31 Câu 5161: [2D3-5.5-3] [THPTchunHưngn lần - 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3 , y  x5 A S  C S  B S  D S  Lời giải Chọn D x  Phương trình hồnh độ giao điểm: x3  x5   x  1   x  Diện tích hình phẳng cần tìm S   x  x  dx  1 x  x5  dx  x2 Câu 5180:[2D3-5.5-3][BTN171-2017]Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x đồ thị hàm số y  4 A 2  D C 2  B 2  Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm: 2  x  16  l  x2 x2 4    x  2 Khi S   4  x  2 4 x2 x2  dx  2  4 Câu 5190: [2D3-5.5-3][BTN173 - 2017] Tính diện tích hình phẳng S giới hạn đồ thị hàm số y   x3  3x  đồ thị hàm số y   x  A S  16 B S  D S  C S  Lời giải Chọn C Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y   x3  3x  y   x  là: x   x3  3x    x   x3  x     x  2 S  x3  x dx  2  2 x3  x dx   x3  x dx 0  x4   x4     x  x  dx    x  x  dx    x     x     2  0 2 0 3 Câu 5192: [2D3-5.5-3][THPTChuyênHàTĩnh - 2017] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x y   x  3x  Chọn mệnh đề mệnh đề sau ? A S  16; 17  B S  15; 16  C S  14; 15 D S  13; 14  Hướngdẫngiải Chọn D Ta có S  Câu 5210: 2 x x    x  3x    dx     x  3x    dx  13,4 [2D3-5.5-3] [THPTNGUYỄNHUỆ – HUẾ – 2017 ]Cho hình phẳng  H  giới hạn đường parabol:  P  : y  x  x  , tiếp tuyến  P  M  3;5 trục Oy Tính diện tích hình  H  A 15 ( đvdt) B 12 ( đvdt) C 18 ( đvdt) D ( đvdt) Lời giải Chọn D  P  : y  x  x  , y  x  PTTT  P  M  3;5 : d : y  y  3 x  3   d : y  x  Diện tích hình  H  : 3 S    x  x     x   dx   x  x  9dx    x  3 0  x  3 dx  3 9 Câu 5220: [2D3-5.5-3] [THPTCHUNHÀTĨNH – 2017 ]Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x y   x  3x  Chọn mệnh đề mệnh đề sau ? A S  16; 17  B S  15; 16  C S  14; 15 D S  13; 14  Lời giải Chọn D 14 12 10 g( x ) = x 3∙x + 10 5 10 15 20 Ta có S   x x  3x   2  dx    x  3x   3x  dx  13,4 x2 chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành phần Tỉ số diện tích chúng thuộc khoảng nào? A  0,5;0,6  B  0,4;0,5 C  0,7;0,8 D  0,6;0,7  [2D3-5.5-3] [THPTHỒNGVĂNTHỤ– KHÁNHHỊA – 2017 ]Parabol y  Câu 5224: Lời giải Chọn B Phương trình đường trịn có tâm O , bán kính 2 x  y  Phương trình hồnh độ giao điểm parabol đường tròn:  x2  x      x4  x2  32   x  2  2 Diện tích phần giới hạn phần lõm parabol nửa đường tròn x2 S1    x  dx  7,616518641 2 Diện tích hình trịn 8 S1 Vậy tỉ số diện tích cần tìm  0,43 8  S1 Câu 5225: [2D3-5.5-3] Tìm diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị  C  : y  x , tiếp tuyến d  C  điểm có hồnh độ x  trục hoành A S  B S  C S  3 Lời giải Chọn A Ta có  C  : y  x ; y  x ; x   y  ; y     D S  Phương trình tiếp tuyến d : y   x     x  Phương trình hồnh độ giao điểm  C  Ox là: x2   x  Phương trình hoành độ giao điểm  C  d là: x2  x   x  Phương trình hồnh độ giao điểm Ox d là: x    x  2 Vậy diện tích cần tìm là: S   x dx   x  x  dx    [2D3-5.5-3] Biết diện tích hình phẳng giới hạn đường y  ln x y  b S  ae   c với a , b , c số nguyên Tính P  a  b  c e A P  2 B P  C P  D P  Lời giải Chọn C Câu 5226: Ta có phương trình hồnh độ giao điểm: x  e  ln x   ln x    x  ln x    e  e 1 e e S   1  ln x  dx   1  ln x  dx  e  1  ln x  dx  I  I2 1  u   ln x du = dx Tính I1   1  ln x  dx Đặt   x dv =dx  v  x e 1  1  I1  x 1  ln x  |   dx   x |11   1     e e e 1 e e  u   ln x du =  dx  Tính I   1  ln x  dx Đặt  x dv =dx  v  x e e  I  x 1  ln x  |1e   dx  1  x |1e  1   e  1  e  1 b Suy S  e    ae   c  a  , b  , c  2 e e Vậy, P  a  b  c  Câu 5229: [2D3-5.5-3] [THPTTIÊNLÃNG– 2017 ]Hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , trục tung tiếp tuyến với y  x  điểm có tọa độ 1;2  quay quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay tích tính sau:   B    2x  dx A   x  dx 2   C   x  x  dx 2   D    x   x  dx   Lời giải Chọn D Ta có phương trình tiếp tuyến 1;2  có dạng: y  y  xo   x  x0   yo  y  x Dựa vào đồ thị ta đáp án B Câu 5379: [2D3-5.5-3] [THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG - 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  3x  x đồ thị hàm số y  x  x 37 81 A B C 13 D 12 12 Lời giải Chọn D x  2 Phương trình hoành độ giao điểm: x  3x  x  x  x  x  x  x    x   x  2 Diện tích hình phẳng: S  x  x  x dx  2 x 2  x  x dx   x3  x  x dx 0  x x3   x x3  37 Ta có S    x  x  x  dx    x  x  x  dx     x      x     2   12 2 0 3 Câu 5380: [2D3-5.5-3] [THPT CHUYÊN BẾN TRE - 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y  x  đồ thị hàm số y  x  x  1 1 A B C  D 6 Lời giải Chọn D x  Phương trình hồnh độ giao điểm x   x  x    x  2 Cách 1: Diện tích S   x  3x  dx  2 x Cách 2: Dùng máy tính CASIO, ta có: x Câu 5387: 2  x3 3x 2  3x   dx     2x    1  3x  dx  [2D3-5.5-3] [THPT Lý Văn Thịnh - 2017] Parabol y  x2 chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành phần Tỉ số diện tích chúng thuộc khoảng nào? A  0,4;0,5 B  0,6;0,7  C  0,5;0,6  D  0,7;0,8 Lời giải Chọn A   S1     x  x dx  2   2  4  S2  8   2    6  3  2  S1  0, 4348   0, 4;0,5   S2 6  Câu 5388: [2D3-5.5-3] [THPT LÝ THƯỜNG KIỆT - 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   e  1 x y  1  e x  x A B 2e  C e 1 D  Lời giải Chọn C x  Phương trình hoành độ giao điểm  e  1 x  1  e x  x   x  1 S    e x  e  x dx   e x  e  xdx   e e  1 2 Câu 5393: [2D3-5.5-3] [THPT Lê Hồng Phong - 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) : y  x3  x tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hồnh độ 2 A 21 B 25 C 27 D 20 Lời giải Chọn C Ta có: y  x   y(2)  Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  x   x  2 1 Phương trình hồnh độ giao điểm: x3  x  x   x3  3x     4 x  4 Diện tích cần tìm là: S  1   x 2   x    x   dx  27  Câu 5394: [2D3-5.5-3] [THPT chuyên ĐHKH Huế - 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường: y  x  x  , y  x  109 A B 109 Lời giải 107 C D 109 Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm ta có x    x  x2  x   x    x2  x   x   x   x2  x    x      Sau vẽ hình ta thấy x  x   x  3, x  0;5 Vậy diện tích phần hình phẳng cần tính   S   x   x  x  dx    x   x  x  3 dx    x   x  x  3 dx    x   x  x  3 dx 3     x  x  dx    x  3x   dx     x  x  dx  x3 x   x 3x   x3 5x  109 Câu 5402: [2D3-5.5-3] [THPT An Lão       x        0  2 3  1  lần - 2017] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường my  x , mx  y  m   Tìm giá trị m để S  A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn D my  x  Toạ độ giao điểm  x; y  thoả hệ PT  mx  y   x2 x2  x y  m y  m y       m 2  m3 x  x mx   x   x        x  m m x  x  m  hay  y  y  m  Với x  0; m ,  m   đường mx  y  y  mx Do diện tích hình phẳng  x2  x3 m  S     mx  dx  m m   m m x  m2  Yêu cầu S   m2   m  1,  m   f(x)= x2 m g(x)= mx x=0 x=m 10 h(x)= - mx x2 chia hình trịn có tâm gốc tọa tích chúng thuộc khoảng độ, bán kính 2 thành phần Tỉ số diện  4 3      A  ;  B  ;  C  ;  D  ;   10   5  10  5 2 Câu 5407: [2D3-5.5-3] [THPT Quế Vân - 2017] Parabol y  Lời giải Chọn B Ta có phương trình đường tròn: x  y   x2  y  x4  2 Phương trình hồnh độ giao điểm:   x    x  2 x y    2  x2  S1     x   dx, S2  2   S1 2 2  S S1    0, 4348 S2 2   S1   Câu 5411:    P  : y  x2  để diện tích hình phẳng giới hạn  P  d [2D3-5.5-3] [THPT chuyên Hưng Yên lần - 2017] Cho parabol đường thẳng d : y  mx  Biết tồn m đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ A S  B S  C S  D S  3 Lời giải Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d x2   mx   x  mx   * Ta có   m2   0, m  Nên phương trình * ln có nghiệm phân biệt x  a x  b  a  b  Do  P  cắt d điểm phân biệt A  a; ma   B  b; mb   Với m, đường thẳng d qua điểm M  0;  Mà yCT  Suy mx   x2  1, x   a; b Do diện tích hình phẳng giới hạn  P  d b b  mx x3  b S   mx    x  1 dx    mx   x  dx    x  a  a a 1  m  m   b  a    b  a     a  b  ab     b  a    b  a     a  b   ab  3  2  2   1  m  S   b  a    b  a     a  b   ab  3  2 2 1  m   b  a   4ab    b  a     a  b   ab    3  a  b  m Vì a, b nghiệm phương trình * nên ta có  ab  1 2  m2  16 Khi S   m        9  3 Đẳng thức xảy m  Vậy Smin  2 Câu 5412: [2D3-5.5-3] [THPT Ngơ Quyền - 2017] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường 2my  x , mx  y ,  m   Tìm giá trị m để S  A m  B m  C m  D m  2 Lời giải Chọn D Ta có 2my  x  y  x  (do m  ) 2m mx   y  2mx  y  y  2mx   y   mx   Xét phương trình hồnh độ giao điểm 2my  x mx  y ta có x  x  2mx  x  2m 2mx  x  8m3 x    2m  x  2m 2m Khi S    x  2mx dx  2m x 2m  x x 2m 3 2m  2m    2m x   2mx  dx  4m 4m   m2   m  (do m  ) Để S   Câu 12: [2D3-5.5-3] (THPT Tây Thụy Anh - Thái Bình - Lần - 2018 - BTN) Tìm a để diện tích S hình phẳng giới hạn (a  1) ln ?  P : y  x2  2x , đường thẳng d : y  x  x  a, x  2a x 1 B a  A a  C a  Lời giải D a  Chọn D 2a Ta có: S   a 2a 2a 2a x2  x 1   x  1 dx   dx (vì a  )  ln  x  1 a (vì a  ) dx   x 1 x 1 x 1 a a  ln  2a  1  ln  a  1  ln Ta có: ln 2a  2a   ln    a  a 1 a 1 2a  a 1 ... y  x  Diện tích hình  H  : 3 S    x  x     x   dx   x  x  9dx    x  3? ?? 0  x  3? ?? dx  3 9 Câu 5220: [2D3-5.5 -3] [THPTCHUYÊNHÀTĨNH – 2017 ]Gọi S diện tích hình phẳng giới... điểm: x3  x  x   x3  3x     4 x  4 Diện tích cần tìm là: S  1   x 2   x    x   dx  27  Câu 539 4: [2D3-5.5 -3] [THPT chun ĐHKH Huế - 2017] Tính diện tích hình phẳng giới... thị ta đáp án B Câu 537 9: [2D3-5.5 -3] [THPT CHUN TUN QUANG - 2017] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  3x  x đồ thị hàm số y  x  x 37 81 A B C 13 D 12 12 Lời giải