Chuyên đề Phép chia các đa thức.doc

http://violet.vn/tranthuquynh81 CHUYấN 4 : phép chia các đa thức A. Lý THUYếT: Cho đa thức f(x) và g(x) 0, ta luôn tìm đợc một đa thức q(x) (đa thức thơng) và một đa thức r(x) ( đa thức d) sao cho: f(x) = g(x) . q(x) + r(x) trong đó: Bậc của đa thức r(x) nhỏ hơn bậc của đa thức g(x) Nếu f(x) 0 thì bậc của f(x) = bậc của g(x) + bậc của q(x) Nếu r(x) =0 thì ta nói đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x) và f(x) = g(x) . q(x) x = a gọi là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0 Định lý Bezout: D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a là một hằng số bằng f(a). Hệ quả: Nếu x=a là một nghiệm của đa thức f(x) thì đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x-a Ta có thể vận dụng các tính chất và định lý trên để phân tích một đa thức thành nhân tử bằng hai phơng pháp sau: Phơng pháp hệ số bất định Ví dụ: Phân tích đa thức x 3 - 15x -18 thành tích một nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai. Giả sử đa thức trên đợc phân tích thì: x 3 - 15x -18= (x+a)(x 2 + bx+ c) x 3 - 15x -18= x 3 + (a+b)x 2 + (ab +c)x + ac Đồng nhất hai đa thức ở 2 vế ta đợc: 0 15(*) 18 a b ab c ac + = + = = Từ ac=-18 ta có chọn a=3 c=-6 ; b = -3 thoả mãn (*) Vậy: x 3 - 15x -18= (x+3)(x 2 - 3x -6) http://violet.vn/tranthuquynh81 CHUYấN 4 : phép chia các đa thức B.MộT Số Ví Dụ: Phơng pháp xét giá trị riêng VD1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử. f(x) = x 3 - x 2 14x + 24 Ta thấy với x=2 ta có f(2)= 8 - 4 - 28 + 24 = 0 f(x) chia hết cho x-2 và tìm đợc f(x) = (x-2)(x 2 + x -12) Tơng tự với x=3; x=- 4 f(3)= 0; f(- 4)= 0 Và tìm đợc f(x)=(x-2)(x -3)(x + 4) VD2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )A x y z y z x z x y = + + Nếu x=y A=0 A chia hết cho x-y Vì x,y,z vai trò nnh nhau nên A cũng chia hết cho y-z, z-x A chia hết cho (x-y) (y -z)(z -x) Mặt khác bậc của các đa thức trong đa thức A cao nhất là 3, còn bậc của đa thức trong đa thức (x-y)(y -z)(z -x) cao nhất cũng là 3 đa thức thơng có bậc là 9. A=k(x-y)(y -z)(z -x) xét các biến nhận giá trị riêng x=0; y=1; z=2 ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 1 2 2 0 1 k k + + = = Vậy A=(x-y)(y -z)(z -x) Ta có thể giải bài toán trên bằng cách tạo ra các nhân tử chung lần lợt là: x-y; y z; z x VD: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) A x y z y z x z x y x y x x z y z x z x y x y z x z x y x x y z x x y z x x y z x y z = + + = + + + = + = + = http://violet.vn/tranthuquynh81 CHUYấN 4 : phép chia các đa thức C.MộT Số BàI TậP áP DụNG: Bài toán 1: Rút gọn biểu thức A= 80298 160100 4.5 2.125 ; B = 438 88 5.27.3 5.9 ; C= (15.3 11 +4.27 4 ):9 7 ; D = yx yx 42 )2(8 5 + + Bài toán 2: Xác định các số a sao cho : a) 27x 2 +a chia hết cho 3x+2 ; b) x 4 +a.x 2 +1 chia hết cho x 2 +2x+1; c) 3x 2 +a.x+27 chia cho x+5 có số d bằng 2 Bài toán 3: Xác định các số a và b sao cho : a)x 4 +a.x 2 +b chia hết cho x 2 +x+1; b) a.x 3 +b.x-24 chia hết cho (x+1)(x+3); c) x 4 -x 3 -3x 2 +ã+b chia hết cho x 2 -x-2 có d là 2x-3. d) 2x 3 +a.x+b chia cho x+1 d -6, chia cho x-2 d 21. Bài toán 4: Không làm phép chia đa thức,hãy xác định xem đa thức : 4x 3 -7x 2 -x-2 có hay không chia hết cho: a) x-1 ; b) x+2 . Bài toán 5: Làm tính chia a) (6x 3 -7x 2 -x+2):(2x+1) ; b) (x 4 -x 3 +x 2 +3x) : (x 2 -2x+3) c) x 2 -y 2 +6x+9): (x+y+3) ; d) (2x 4 +x 3 -3x 2 +5x-2) : (x 2 -x+1). Bài toán 6: Làm tính chia a) ( 125 x 3 y 4 z 5 +10x 3 y 2 z 3 ) :( -5 x 3 y 2 z 2 ). b) ( 8x 2 -26x+21):( 2x-3) Bài toán 7: Tìm m để đa thức a)2x 3 +5x 2 -2x+m chia hết cho đa thức 2x 2 -x+1. b) 5x 3 -3x 2 +x+m chia hết cho đa thức x+2. Bài toán 8: Xác định d của phép chia đa thức : x+x 3 +x 9 +x 27 +x 81 cho: a) x-2 ; b) x+2 Bài toán 9: Tìm các giá trị nguyên của x để : a) 2x 2 +x-7 chia hết cho x+2 ; b) 10x 2 +x+7 chia hết cho 2x-3. Bài toán 10: Tìm các giá trị nguyên dơng của x ,y sao cho : x 2 =y 2 +2y+13. Bài toán 11: Tìm số tự nhiên x sao cho 25x 2 -97x+11 chia hết cho x-4. Bài toán 12: Chứng minh rằng 2n 3 +3n 2 +n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n. . 4 : phép chia các đa thức A. Lý THUYếT: Cho đa thức f(x) và g(x) 0, ta luôn tìm đợc một đa thức q(x) (đa thức thơng) và một đa thức r(x) ( đa thức d). hết cho đa thức g(x) và f(x) = g(x) . q(x) x = a gọi là nghiệm của đa thức f(x) f(a) = 0 Định lý Bezout: D trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a