Đề thi học sinh gioi Toán cấp Huyện

Đề 1 Câu 1 : ( 5 điểm ) a) Rút gọn biểu thức A = ( )         − − − − − + + yx yyxx yx yx yyxx yx . 2 b) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là : a , b, c thoả mãn 4.( a 2 + b 2 + c 2 –ab - bc- ca) =(a-b) 2 + (b-c) 2 + ( c-a) 2 Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều Câu 2 : ( 5 điểm ) a) Tìm nghiệm nguyên của phương tình sau : xy –y -3x = 2 b) Giải phương trình : xx 21 ++ + xx 69 −+ = 4 Câu 3 : ( 4 điểm ) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = ( ) ( ) 22 20112010 −+− xx b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q = -x 2 - y 2 + xy -3x + 3y + 2008 Câu 4 : ( 4 điểm ) Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a . Hai đưòng chéo AC và BD cắt nhau tại O . Gọi M ; N lần lượt là trung điểm của OB và CD a) Tính góc AMN b) Gọi P là trung điểm của AN . Tính độ dài đoạn thẳng MP theo a Câu 5.(2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông. a) Chứng minh rằng S ABCD AC 4 ≤ (MN + NP + PQ + QM). b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất. Hết . PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 NĂM HỌC: 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: LỜI GIẢI ĐỀ 1 PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 NĂM HỌC: 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: b) Giải phương trình : 2 1 2x x+ + + 2 9 6x x+ − = 4 ⇔ ( ) 2 1x + + 2 ( 3)x − = 4 0,5 ⇔ | x+1| + | x-3| = 4 0,5 Nếu -1 ≤ x <3 Ta có phương trình: x + 1 +3 –x = 4 Phương trình có nghiệm đúng với mọi -1 ≤ x <3 0,5 Nếu x< -1 ta có phương trình: 1 – x + 3-x = 4 - 2x = 0 x = o không thỏa mãn 0,5 Nếu 3 ≤ x ta có phương trình: x + 1 + x – 3 = 4 2x = 6 x = 3 0,5 Câu 3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = ( ) ( ) 22 20112010 −+− xx 0,5 ⇔ P = | x-2010| + | x – 2011| 0,5 ⇔ P = | x-2010| + | 2011-x| ≥ | x-2010 +2011-x | =1 Khi 2010 ≤ x ≤ 2011 1 b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : Q = -x 2 - y 2 + xy -3x + 3y + 2008 ⇔ 2Q = -(2x 2 + 2 y 2 - 2xy+ 6x - 6y – 4016) 0,5 ⇔ 2Q = - [ ] 4022)12()12()442( 22222 −+−++++++−++ yyxxyxxyzyx 0,5 ⇔ 2Q = - [ ] 4022)1()1()2( 222 −−++++− yxyx 0,25 ⇔ 2Q = 4022 - [ ] 222 )1()1()2( −++++− yxyx ≤ 4022 0,25 ⇔ Q = 2011 - 2 1 [ ] 222 )1()1()2( −++++− yxyx ≤ 2011 Max Q = 2011 khi x = -1 ; y = 1 0,5 Câu 4 Câu 4 : O A D C B I M N P 0,25đ Gọi I là trung điểm của BC Ta có M là trung điểm cảu OB ⇒ MI là đường tung bình của ttam giác OBC ⇒ MI //OC và MI = 2 1 OC (1) 0,25 đ Hoàn toàn tương tự NI là đường trung bình của tam giác BCD ⇒ NI //BD (1) và NI = 2 1 BD (2) 0,25 đ A B D C M N P Q I J K . SƠN TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 NĂM HỌC: 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: LỜI GIẢI ĐỀ 1 PHÒNG GD&ĐT THANH. TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN HƯỚNG DẪN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 NĂM HỌC: 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: b) Giải phương trình : 2 1 2x