1.1. Giới thiệu môn phương pháp tính Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời giải chính xác. Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế. Trong thời đại tin học hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán. 1.2. Nhiệm vụ môn học - Tìm ra các phương pháp giải cho các bài toán gồm: phương pháp (PP) đúng và phương pháp gần đúng. + Phương pháp: chỉ ra kết quả dưới dạng một biểu thức giải tích cụ thể. + Phương pháp gần đúng: thường cho kết quả sau một quá trình tính lặp theo một quy luật nào đó, nó được áp dụng trong trường hợp bài toán không có lời giải đúng hoặc nếu có thì quá phức tạp. - Xác định tính chất nghiệm - Giải các bài toán về cực trị - Xấp xỉ hàm: khi khảo sát, tính toán trên một hàm f(x) khá phức tạp, ta có thể thay hàm f(x) bởi hàm g(x) đơn giản hơn sao cho g(x) ≅ f(x). Việc lựa chọn g(x) được gọi là phép xấp xỉ hàm - Đánh giá sai số : khi giải bài toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số xuất hiện do sự sai lệch giữa giá trị nhận được với nghiệm thực của bài toán. Vì vậy ta phải đánh giá sai số để từ đó chọn ra được phương pháp tối ưu nhất 1.3. Trình tự giải bài toán trong phương pháp tính - Khảo sát, phân tích bài toán - Lựa chọn phương pháp dựa vào các tiêu chí sau: + Khối lượng tính toán ít + Đơn giản khi xây dựng thuật toán + Sai số bé6 + Khả thi - Xây dựng thuật toán: sử dụng ngôn ngữ giả hoặc sơ đồ khối (càng mịn càng tốt) - Viết chương trình: sử dụng ngôn ngữ lập trình (C, C++, Pascal, Matlab,…) - Thực hiện chương trình, thử nghiệm, sửa đổi và hoàn chỉnh.
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT TP HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN ******************** Trƣơng Vĩnh An - Phạm Văn Hiển - Lê Xuân Trƣờng GIÁO TRÌNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP HỒ CHÍ MINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN ******************** Trương Vónh An - Phạm Văn Hiển - Lê Xuân Trường GIÁO TRÌNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH LƯU HÀNH NỘI BỘ CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt GIÁO TRÌNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH Trương Vĩnh An - Phạm Văn Hiển - Lê Xuân Trường CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt In 300 cuốn, khổ 16x24 Lưu hành nội theo giấy đề nghị số 135/ĐN-ĐHSPKT-TV ngày 16 tháng 03 năm 2011 Thư viện Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Tp Hồ Chí Minh GIỚI THIỆU Các tốn ứng dụng kinh tế, kỹ thuật … thường không “đẹp” khơng thể giải theo phương pháp tính Người ta cần phương pháp giải có tính chất giải thuật và, kết gần sai số phải “đủ nhỏ” (thường hội tụ 0) Cho dù phương pháp địi hỏi lượng phép tính lớn, với máy tính, tóan dễ dàng giải Một ngành học nghiên cứu phương pháp Giải tích số Giáo trình phương pháp tính viết với mục đích nhập mơn Giải tích số dành riêng cho sinh viên Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM Với mục đích đối tượng vậy, tài liệu khơng đào sâu sở tốn học giải thuật tính tổng qt tốn Các lập luận chủ yếu dùng lý thuyết mà sinh viên học toán cao cấp A1 định nghĩa đạo hàm, định lý trung bình, khai triển Maclaurin… Trong lập luận, chứng minh tài liệu này, người đọc xem điều kiện “đầu vào” thỏa mãn đến mức cần thiết Ví dụ lập luận cần đến đạo hàm cấp f(x) xem f(x) đảm bảo khả vi đến cấp 3… Cũng tính nghiệm toán mặc định Dù cố gắng chắn tài liệu nhiều thiếu sót Rất mong người đọc đồng nghiệp quan tâm góp ý Nhóm tác giả CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP HCM - http://www.hcmute.edu.vn Chương 1: Sai số CHƯƠNG SAI SỐ §1 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƢƠNG ĐỐI Sai số tuyệt đối Ta cần xấp xỉ A số gần a ta viết A ≈a Khi sai số phép tính gần mức chênh lệch A a, tức A a Tuy nhiên, khơng tính A nên ta khơng thể tính mức chênh lệch Chúng ta đánh giá sai số cận A a a (1.1) Khi a gọi sai số tuyệt đối giới hạn hay sai số tuyệt đối không sợ nhầm lẫn Rõ ràng sai số tuyệt đối có nhiều chọn lựa Ví dụ 1.1: Nếu lấy gần 3.14 , dù khơng biết xác số π ta có 3,14 0,0016 0,002 0,003 Như ta chọn sai số tuyệt đối 0,0016 hay 0,002, hay nhiều chọn lựa khác Sai số tuyệt đối cho phép xác định khoảng giá trị đại lượng A, tức A a a ; a a hay viết A a a Do ta chọn a nhỏ theo u cầu Thơng thường ta yêu cầu a gồm chữ số khác Với u cầu đó, ví dụ ta có 3,14 2.103 Sai số tƣơng đối Sai số tuyệt đối cho xác định miền giá trị đại lượng A không cho biết mức xác phép tính Để so sánh sai số nhiều phép tính gần khác nhau, xét sai số tương đối a a a (1.2) 0,111 có sai số tuyệt đối 2.104 nhỏ ví dụ 1.1 so sánh 3 2.10 2.104 sai số tương đối ta có Vậy phép tính 0,111 có sai số lớn phép tính 3,14 3,14 0,111 Ví dụ 1.2: Phép tính §2 SAI SỐ QUY TRỊN Một số dạng thập phân có nhiều chữ số Những chữ số mà ta bỏ làm thay đổi giá trị số gọi chữ số có nghĩa Như ta viết chữ số có nghĩa biểu diễn số Tuy nhiên, số có nhiều chữ số có nghĩa (thậm chí vơ hạn) ta cần quy tròn bớt Việc quy tròn làm phát sinh sai số Hãy xem ví dụ 1.1 1.2 minh họa Quy ước quy tròn số: Nếu chữ số quy trịn nhỏ ta quy tròn xuống trường hợp khác ta quy trịn lên Với số gần khơng quy trịn nhiều lần Ví dụ cần quy trịn 1,2345 giữ lại chữ số ta xét chữ số quy trịn thành 1,23 (khơng xét chữ số 5) Ví dụ 1.3: Tính gần tích phân I e x dx Trước hết thay tích phân (diện tích hình thang cong) diện tích hình thang I 1 e , sai số gọi sai số phương pháp, đặt Trang | Thư viện ĐH SPKT TP HCM - http://www.thuvienspkt.edu.vn CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP HCM - http://www.hcmute.edu.vn Chương 1: Sai số 1 e 1,85914 1,859 , sai số quy tròn phát sinh 1,85914 1,859 2.104 Vậy ta có kết I 1,859 2.104 Tiếp theo tính biểu thức dạng số thập phân §3 CHỮ SỐ CHẮC Ví dụ 1.3 cho thấy sai số cuối tổng sai số phương pháp sai số quy tròn Từ đặt yêu cầu quy tròn cho sai số quy trịn khơng làm tăng đáng kể sai số cuối Chúng ta đặt khái niệm chữ số để giải yêu cầu Cho A a a a gồm chữ số ai: a a1a0 , a1 (chữ số hàng đơn vị a0, từ trái sang phải số giảm dần) Khi chữ số gọi a 0,5.10i (1.3) Nhận xét: Nếu (1.3) với i=i0 với i>i0 (1.3) sai với i=i0 sai với i