1.1. Giới thiệu môn phương pháp tính Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán, nó cung cấp các phương pháp giải cho những bài toán trong thực tế mà không có lời giải chính xác. Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế. Trong thời đại tin học hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính toán. 1.2. Nhiệm vụ môn học - Tìm ra các phương pháp giải cho các bài toán gồm: phương pháp (PP) đúng và phương pháp gần đúng. + Phương pháp: chỉ ra kết quả dưới dạng một biểu thức giải tích cụ thể. + Phương pháp gần đúng: thường cho kết quả sau một quá trình tính lặp theo một quy luật nào đó, nó được áp dụng trong trường hợp bài toán không có lời giải đúng hoặc nếu có thì quá phức tạp. - Xác định tính chất nghiệm - Giải các bài toán về cực trị - Xấp xỉ hàm: khi khảo sát, tính toán trên một hàm f(x) khá phức tạp, ta có thể thay hàm f(x) bởi hàm g(x) đơn giản hơn sao cho g(x) ≅ f(x). Việc lựa chọn g(x) được gọi là phép xấp xỉ hàm - Đánh giá sai số : khi giải bài toán bằng phương pháp gần đúng thì sai số xuất hiện do sự sai lệch giữa giá trị nhận được với nghiệm thực của bài toán. Vì vậy ta phải đánh giá sai số để từ đó chọn ra được phương pháp tối ưu nhất 1.3. Trình tự giải bài toán trong phương pháp tính - Khảo sát, phân tích bài toán - Lựa chọn phương pháp dựa vào các tiêu chí sau: + Khối lượng tính toán ít + Đơn giản khi xây dựng thuật toán + Sai số bé6 + Khả thi - Xây dựng thuật toán: sử dụng ngôn ngữ giả hoặc sơ đồ khối (càng mịn càng tốt) - Viết chương trình: sử dụng ngôn ngữ lập trình (C, C++, Pascal, Matlab,…) - Thực hiện chương trình, thử nghiệm, sửa đổi và hoàn chỉnh.
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN ^[]\\][^ Biên soạn: GV.Đỗ Thị Tuyết Hoa BÀI GIẢNG MƠN PHƯƠNG PHÁP TÍNH (Dành cho sinh viên khoa Công nghệ thông tin) ( TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ ) ĐÀ NẴNG, NĂM 2007 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỤC LỤC CHƯƠNG I NHẬP MÔN 1.1 Giới thiệu mơn phương pháp tính 1.2 Nhiệm vụ môn học 1.3 Trình tự giải tốn phương pháp tính CHƯƠNG II SAI SỐ 2.1 Khái niệm 2.2 Các loại sai số 2.3 Sai số tính tốn CHƯƠNG III TÍNH GIÁ TRỊ HÀM 3.1 Tính giá trị đa thức Sơ đồ Hoocner 3.1.1 Đặt vấn đề 3.1.2 Phương pháp 3.1.3 Thuật toán 3.1.4 Chương trình 10 3.2 Sơ đồ Hoocner tổng quát 10 3.2.1 Đặt vấn đề 10 3.2.2 Phương pháp 10 3.2.3 Thuật toán 12 3.3 Khai triển hàm qua chuỗi Taylo 12 CHƯƠNG IV GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH 14 4.1 Giới thiệu 14 4.2 Tách nghiệm 14 3.3 Tách nghiệm cho phương trình đại số 16 4.4 Chính xác hố nghiệm 17 4.4.1 Phương pháp chia đôi 17 4.4.2 Phương pháp lặp 19 4.4.3 Phương pháp tiếp tuyến 21 4.4.4 Phương pháp dây cung 22 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG V GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 26 5.1 Giới thiệu 26 5.2 Phương pháp Krame 26 5.3 Phương pháp Gauss 27 5.3.1 Nội dung phương pháp 27 5.3.2 Thuật toán 27 5.4 Phương pháp lặp Gauss - Siedel (tự sửa sai) 28 5.4.1 Nội dung phương pháp 28 5.4.2 Thuật toán 30 5.5 Phương pháp giảm dư 31 5.5.1 Nội dung phương pháp 31 5.5.2 Thuật toán 32 CHƯƠNG VI TÌM GIÁ TRỊ RIÊNG - VECTƠ RIÊNG 34 6.1 Giới thiệu 34 6.2 Ma trận đồng đạng 34 6.3 Tìm giá trị riêng phương pháp Đanhilepski 35 6.3.1 Nội dung phương pháp 35 6.3.2 Thuật toán 37 6.4 Tìm vectơ riêng phương pháp Đanhilepski 38 6.4.1 Xây dựng công thức 38 6.4.2 Thuật toán 39 CHƯƠNG VII NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT 41 7.1 Giới thiệu 41 7.2 Đa thức nội suy Lagrange 42 7.3 Đa thức nội suy Lagrange với mối cách 43 7.4 Bảng nội suy Ayken 44 7.4.1 Xây dựng bảng nội suy Ayken 45 7.4.2 Thuật toán 46 7.5 Bảng Nội suy Ayken (dạng 2) 46 7.6 Nội suy Newton 48 7.6.1 Sai phân 48 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 7.6.2 Công thức nội suy Newton 49 7.7 Nội suy tổng quát (Nội suy Hecmit) 51 7.8 Phương pháp bình phương bé 53 CHƯƠNG VIII TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 57 8.1 Giới thiệu 57 8.2 Công thức hình thang 57 8.3 Công thức Parabol 58 8.4 Công thức Newton-Cotet 59 MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH THAM KHẢO 62 TÀI LI ỆU THAM KHẢO 68 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG I NHẬP MƠN 1.1 Giới thiệu mơn phương pháp tính Phương pháp tính mơn tốn học có nhiệm vụ giải đến kết số cho tốn, cung cấp phương pháp giải cho toán thực tế mà khơng có lời giải xác Mơn học cầu nối tốn học lý thuyết ứng dụng thực tế Trong thời đại tin học việc áp dụng phương pháp tính trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính tốn 1.2 Nhiệm vụ mơn học - Tìm phương pháp giải cho toán gồm: phương pháp (PP) phương pháp gần + Phương pháp: kết dạng biểu thức giải tích cụ thể + Phương pháp gần đúng: thường cho kết sau trình tính lặp theo quy luật đó, áp dụng trường hợp tốn khơng có lời giải có q phức tạp - Xác định tính chất nghiệm - Giải toán cực trị - Xấp xỉ hàm: khảo sát, tính tốn hàm f(x) phức tạp, ta thay hàm f(x) hàm g(x) đơn giản cho g(x) ≅ f(x) Việc lựa chọn g(x) gọi phép xấp xỉ hàm - Đánh giá sai số : giải toán phương pháp gần sai số xuất sai lệch giá trị nhận với nghiệm thực tốn Vì ta phải đánh giá sai số để từ chọn phương pháp tối ưu 1.3 Trình tự giải tốn phương pháp tính - Khảo sát, phân tích tốn - Lựa chọn phương pháp dựa vào tiêu chí sau: + Khối lượng tính tốn + Đơn giản xây dựng thuật toán + Sai số bé CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt + Khả thi - Xây dựng thuật toán: sử dụng ngôn ngữ giả sơ đồ khối (càng mịn tốt) - Viết chương trình: sử dụng ngơn ngữ lập trình (C, C++, Pascal, Matlab,…) - Thực chương trình, thử nghiệm, sửa đổi hồn chỉnh CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG II SAI SỐ 2.1 Khái niệm Giả sử x số gần x* (x* : số đúng), Khi ∆ = x − x∗ gọi sai số thực x Vì khơng xác định ∆ nên ta xét đến loại sai số sau: - Sai số tuyệt đối: Giả sử ∃ ∆ x > du be cho x − x * ≤ ∆x Khi ∆ x gọi sai số tuyệt đối x ∆x x - Sai số tương đối : δ x = 2.2 Các loại sai số Dựa vào nguyên nhân gây sai số, ta có loại sau: - Sai số giả thiết: xuất việc giả thiết toán đạt số điều kiện lý tưởng nhằm làm giảm độ phức tạp toán - Sai số số liệu ban đầu: xuất việc đo đạc cung cấp giá trị đầu vào khơng xác - Sai số phương pháp : xuất việc giải toán phương pháp gần - Sai số tính tốn : xuất làm trịn số q trình tính tốn, q trình tính nhiều sai số tích luỹ lớn 2.3 Sai số tính tốn Giả sử dùng n số gần x i ( i = 1, n ) để tính đại lượng y, với y = f(xi) = f(x1, x2, , xn) Trong : f hàm khả vi liên tục theo đối số xi Khi sai số y xác định theo công thức sau: Sai số tuyệt đối: ∆y = n ∑ i =1 Sai số tương đối: δy = n ∑ i =1 - Trường hợp f có dạng tổng: ∂f ∆x i ∂x i ∂ ln f ∆x i ∂x i y = f (x i ) = ± x ± x ± ± x n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ∂f = ∀i ∂x i suy ∆ y = n ∑ i =1 ∆xi - Trường hợp f có dạng tích: x * x * * x k y = f (x ) = i * * x n x k +1 lnf = ln x1.x2 x m = (lnx1 + ln x2 + + ln xm ) − (lnxm+1 + + ln x n ) x m+1 xn ∂ ln f = ∀i ∂x i xi δy = Vậy n => δ y = ∑ i =1 n ∆x i = ∑ δx i xi i =1 n ∑ δx i =1 i - Trường hợp f dạng luỹ thừa: y = f(x) = x α (α > 0) ln y = ln f = α ln x ∂ ln f α = ∂x x Suy δ y = α ∆x = αδ x x Ví dụ Cho a ≈ 10 25 ; b ≈ 324 ; c ≈ 12 13 Tính sai số của: a3 y1 = ; b c GiảI δ y = δ ( a ) + δ ( b = y2 = a3 − b c c ) = 3δa + δb + δc ∆a ∆b ∆c + + a b c ∆y2 = ∆(a3 ) + ∆(b c) = a3 δ(a3 ) + b c δ(b c) ∆y =3a ∆a + b a c( ∆b ∆c + ) b c CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG III TÍNH GIÁ TRỊ HÀM 3.1 Tính giá trị đa thức Sơ đồ Hoocner 3.1.1 Đặt vấn đề Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát : p(x) = a0xn + a1xn-1 + + an-1x+ an (a#0) Tính giá trị đa thức p(x) x = c (c: giá trị cho trước) 3.1.2 Phương pháp Áp dụng sơ đồ Hoocner nhằm làm giảm số phép tính nhân (chỉ thực n phép nhân), phương pháp phân tích sau: p(x) = ( ((a0x + a1)x +a2)x+ +an-1 )x + an Ö p(c) = ( ((a0c + a1)c +a2)c+ +an-1 )c + an Ö Đặt p0 = a0 p1 = a0c + a1 = p0c + a1 p2 = p1c + a2 pn = pn-1c + an = p(c) Sơ đồ Hoocner a0 p0 a1 a2 an-1 an p0*c p1*c pn-2*c pn-1*c p1 p2 pn-1 pn= p(c) Vd: Cho p(x) = x6 + 5x4 + x3 - x - Tính p(-2) Áp dụng sơ đồ Hoocner: 1 -5 -1 -1 -2 -8 16 -30 -2 -1 -8 15 -31 Vậy p(-2) = -31 3.1.3 Thuật toán + Nhập vào: n, c, hệ số ( i = 0, n ) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt + Xử lý: Đặt p = a0 Lặp i = → n : p = p * c + + Xuất kết quả: p 3.1.4 Chương trình #include #include main ( ) { int i, n; float c, p, a [10]; clrsr (); printf (“Nhap gia tri can tinh : ”); scanf (“%f”,&c); printf (“Nhap bac da thuc : ”); scanf (“%d”,&n); printf (“Nhap hệ số: \n”); for (i = 0, i a = 10A, b=B Ví dụ Cho biết cặp giá trị x y theo bảng sau: xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15 yi 0.96 1.06 1.17 1.29 1.58 Lập công thức thực nghiệm y dạng aebx 55 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giải Ta có: y = aebx Lấy Logarit số e hai vế: Lny = lna + bx Đặt Y = lny; A = lna; B = b; X = x Ta đưa dạng: Y = A + BX X i = xi 0.65 0.75 0.85 0.95 1.15 Yi = lnyi -0.04 0.06 0.18 0.25 0.46 ΣXi ΣXi2 ΣXiYi ΣYi 4.35 3.93 0.92 0.89 Phương pháp bình phương bé nhất: A, B nghiệm hệ phương trình n nA + B ∑ X i =1 n n i =1 i =1 i = n ∑ i=1 Yi n A ∑ X i + B ∑ X i = ∑ X i Yi i =1 5A + 4.35B =0.89 4.35A + 3.93B = 0.92 Giải hệ phương trình ta được: A = -.069, B = Suy ra: a = eA = ½, b = B =1 Vậy f(x) = e x 56 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt CHƯƠNG VIII TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 8.1 Giới thiệu Xét hàm số f(x) liên tục [a,b], xác định nguyên hàm F(x) ta có cơng thức tính tích phân: b ∫ f (x )dx = F(b) − F(a ) a Nhưng đa số trường hợp ta không xác định nguyên hàm của, không xác định biểu thức f(x) mà nhận giá trị tạI điểm rời rạc Trong trường hợp ta sử dụng cơng thức gần sau để tính tích phân: - Cơng thức hình thang - Cơng thức Parabol - Cơng thức Newton _Cotet 8.2 Cơng thức hình thang Chia [a, b] thành n đoạn với khoảng cách h = (b - a)/n theo điểm chia: x0=a, x1=a+h, , xn = b b ∫ f ( x ) dx a = x1 ∫ f ( x ) dx x0 =a x2 xn x1 x n −1 + ∫ f ( x ) dx + + ∫ f ( x ) dx =S S diện tích giới hạn đường cong f(x), x=a, x=b, trục x S1 f(x) S x0 =a x1 Sn xn-1 xn = b Xét [x0, x1], ta xem đường cong f(x) đường thẳng 57 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt S1 ≈ S hthang = h ( y + y1 ) Tương tự: S2 ≈ h ( y1 + y ) … … Sn ≈ h(y n −1 + y n ) b Vậy: ∫ f ( x ) dx ≈ a h ( y + y + y + + y n − + y n ) 8.3 Công thức Parabol Chia [a, b] thành 2n đoạn với khoảng cách h = (b - a)/2n theo điểm chia: x0=a, x1=a+h, , x2n = b b x2 x4 x 2n a x0 x2 x 2n −2 ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + + ∫ f ( x )dx Xét [x0, x2] xem đường cong f(x) Parabol (nội suy bậc điểm x0, x1, x2) f (x) ≈ L (x) = y ( x − x )( x − x ) ( x − x1 )( x − x ) + y1 + ( x1 − x )( x1 − x ) ( x − x1 )( x − x ) + y2 x2 x2 x0 x0 ( x − x )( x − x1 ) ( x − x )( x − x1 ) ∫ f ( x )dx ≈ ∫ L (x )dx Thay x0 = a, x1 = a + h , x2 = a+2h vào, ta có: x2 h ∫ f ( x )dx ≈ ( y + y1 + y ) x0 Tương tự: 58 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt x4 h ∫ f (x )dx ≈ ( y + y + y ) x2 x2n h f ( x )dx ≈ ( y n −2 + y n −1 + y ) x n −2 ∫ b h ∫ f ( x )dx ≈ ( y + y1 + y + + y 2n −2 + y 2n −1 + y 2n ) Vậy: a dx theo cách 1+ x2 Ví dụ Tính J = ∫ Giải Cách 1: J = arctgx 15 = arctg5 − Π / ≈ 0.588 Cách 2: chia [1, 5] thành đoạn (h=1) với điểm chia xi yi 1/2 1/5 1/10 1/17 1/26 Cơng thức hình thang: J ≈ (1/2 + 2/5 +2/10 +2/17 + 1/26) /2 ≈ 0.628 Cách 3: Công thức Parabol: J ≈ (1/2 + 4/5 +2/10 +4/17 + 1/26) /3 ≈ 0.591 8.4 Công thức Newton-Cotet Chia [a, b] thành n đoạn với khoảng cách h = (b - a)/n với x0=a; x1 = a + h , , xn = b Đặt x = a + (b - a)t => dx = (b - a) dt xi a a+h a + 2h b ti 1/n 2/n Khi đó: b 1 a 0 ∫ f ( x )dx = (b − a ) ∫ f (a + (b − a ) t )dt = (b − a ) ∫ Φ( t )dt Với φ(t)= f(a + (b - a)t Xem φ(t) hàm nội suy Lagrange n + điểm: t0, t1, , tn 59 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt 2 ( t − )( t − ) ( t − 1) ( t − 0)( t − ) ( t − 1) n n n Φ( t ) ≈ L n ( t ) = y + y1 + 1 (− )(− ) (−1) ( − 0)( − ) ( − 1) n n n n n n n −1 ( t − 0)( t − ) ( t − ) n n + yn n −1 (1 − 0)(1 − ) (1 − ) n n Khi đó: 1 0 ∫ Φ( t )dt ≈ ∫ L n ( t )dt i −1 i +1 ( t − 0)( t − ) ( t − )( t − ) ( t − 1) i n n n Đặt Pn = ∫ dt i i i i −1 i i +1 i ( − 0)( − ) ( − )( − ) ( − 1) n n n n n n n n b n a i =0 i ∫ f ( x )dx ≈ (b − a )∑ y i p n Vậy: Xét n = ( h = b-a ) P10 t −1 dt = − =∫ 0 −1 b ∫ f ( x )dx = (b − a )( a ; P11 t−0 dt = 01− =∫ y y1 h + ) = ( y + y1 ) → Cơng thức hình thang 2 Lưu ý: Giá trị Pni tra bảng sau: n Pni 1/2 1/2 1/6 4/6 1/6 1/8 3/8 3/8 1/8 9/71 16/45 2/15 16/45 9/70 19/288 25/95 25/144 25/144 25/95 19/288 … … … … … … … 60 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt BÀI TẬP Khai báo (định nghĩa) hàm C để tính gần tích phân xác định f(x) tr ên [a, b] (đối kiểu trỏ hàm) a Dùng cơng thức hình thang b Dùng cơng thức Parabol c Dùng cơng thức Newton-cotet Viết chương trình tính gần tích phân xác định [a, b] hàm f(x) cụ thể (sử dụng hàm khai báo câu 1) So sánh kết quả, nhận xét 61 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt MỘT SỐ CHƯƠNG TRÌNH THAM KHẢO Tính gần tích phân xác định # include # include "conio.h" # include "math.h" # define PI 3.14159 float d[10];int n; double g(double x) { return 1/(1+x*x); } double tp(double (*f)(double),float a,float b) { int n=100,i; float s,h=(b-a)/n; s=(f(a)+f(b))/2; for (i=1; i