Giáo trình phương pháp tính

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC VÀ HÀM SỐ §1 KHÁI NIỆM CHUNG Khái niệm phương pháp tính: Phương pháp tính môn học lí luận phương pháp giải gần đúng, cho kết số toán thường gặp toán học kĩ thuật Chúng ta thấy hầu hết toán toán học giải phương trình đại số hay siêu việt, hệ phương trình tuyến tính hay phi tuyến, phương trình vi phân thường hay đạo hàm riêng,tính tích phân, thường khó giải được, nghĩa khó tìm kết dạng biểu thức Một số toán giải biểu thức kết lại cồng kềnh, phức tạp khối lượng tính toán lớn Vì lí trên, việc giải gần toán vô cần thiết Các toán kĩ thuật thường dựa số liệu thực nghiệm giả thiết gần Do việc tìm kết gần với sai số cho phép hoàn toàn có ý nghĩa thực tế Từ lâu người ta nghiên cứu phương pháp tính đạt nhiều kết đáng kể Tuy nhiên để lời giải đạt độ xác cao, khối lượng tính toán thường lớn Với phương tiện tính toán thô sơ, nhiều phương pháp tính đề xuất thực khối lượng tính toán lớn Khó khăn làm phương pháp tính không phát triển Ngày nhờ máy tính điện tử người ta giải nhanh toán khổng lồ, phức tạp, kiểm nghiệm phương pháp tính cũ đề phương pháp tính Phương pháp tính nhờ phát triển mạnh mẽ Nó cầu nối toán học thực tiễn Nó môn học thiếu kĩ sư Ngoài nhiệm vụ phương pháp tính tìm phương pháp giải gần toán,nó có nhiệm vụ khác nghiên cứu tính chất nghiệm, nghiên cứu toán cực trị, xấp xỉ hàm v.v Trong phần nghiên cứu loạt toán thường gặp thực tế đưa chương trình giải chúng Các đặc điểm phương pháp tính: Đặc điểm phương pháp môn học hữu hạn hoá rời rạc hoá Phương pháp tính thường biến vô hạn thành hữu hạn, liên tục thành rời rạc sau lại trở với vô hạn, liên tục Nhưng cần ý trình trở lại vô hạn, liên tục phải trả giá đắt khối lượng tính toán tăng lên nhiều Cho nên thực tế người ta dừng lại nghiệm gần sát với nghiệm mức độ Đặc điểm thứ hai môn học tiến đến kết trình liên tiếp Đó trình chia ngày nhỏ hơn, dày đặc trình tính toán bước sau dựa vào kết bước trước Công việc tính toán lặp lặp lại thích hợp với máy điện toán Khi nghiên cứu phương pháp tính người ta thường triệt để lợi dụng kết đạt toán học Cùng toán có nhiều phương pháp tính khác Một phương pháp tính coi tốt đạt yêu cầu sau: - phương pháp tính biểu diễn dãy hữu hạn bước tính cụ thể Các bước tính toán cụ thể phương pháp tính gọi thuật toán Thuật toán đơn giản tốt - đánh giá sai số sai số nhỏ tốt - thuật toán thực máy điện toán thời gian chạy máy Các loại sai số: Trong việc thiết lập giải toán thực tế ta thường gặp loại sai số Giả sử ta xét toán A Nghiên cứu quy luật liên hệ đại lượng toán đẫn đến phương trình có dạng tổng quát : y = Bx Trong : x - đại lượng biết y - đại lượng chưa biết B - quy luật biến đổi từ x sang y Bài toán thực tế thường phức tạp Để đơn giản diễn đạt toán học, người ta đưa số giả thiết không hoàn toàn xác để nhận phương trình Vì gọi y1 giá trị y y  y1 Giá trị | y - y1| gọi sai số giả thiết toán Do x số liệu ban đầu toán,thu từ đo lường,thí nghiệm nên giá trị gần Sai số gọi sai số số liệu ban đầu Để giải gần phương trình ta thường thay B C hay x t để phương trình đơn giản giải Bằng cách ta tìm y2 gần với y Giá trị | y2 - y| gọi sai số phương pháp toán Cuối thực phép tính ta thường thu gọn kết trung gian hay kết cuối nên đáp số toán y3 Giá trị |y3-y| sai số tính toán Trong phần quan tâm tới sai số phương pháp Xấp xỉ hội tụ: Xét toán y = Bx Giả sử y nghiệm toán mà ta chưa biết Bằng phương pháp ta lấy y1 thay cho y y1 gọi xấp xỉ thứ nghiệm viết : y1  y Cũng phương pháp tương tự, ta xây dựng dãy xấp xỉ y1,y2,y3, yn Nếu ta có : lim y n  y n ta nói dãy xấp xỉ hội tụ tới nghiệm y §2 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC Sơ đồ Horner: Giả sử cần tìm giá trị đa thức tổng quát dạng: P(x) = a0xn + a1xn - + a2xn - + + an (1) trị số x Trong (1) hệ số số thực cho Chúng ta viết lại (1) theo thuật toán Horner dạng: P(xo) = ( ((a0x + a1)x+ a2x)+ + an -1 )x + an (2) Từ (2) ta nhận thấy : P = a0 P = P x + a1 P = P x + a2 P = P x + a3 P(x) = Pn = Pn-1x + an Tổng quát ta có : Pk = Pk-1x + ak với k = 1, n ; P0 = a0 Do quan tâm đến trị số Pn nên công thức truy hồi sau bỏ qua số k P viết gọn P := Px + ak với k = n.Khi ta tính tới k = n P giá trị cần tìm đa thức cho x Chúng ta thử bước tính sau : Ban đầu P=0 Bước k=0 P = ao Bước k = P = aox + a1 Bước k = P = (aox + a1)x + a2 Bước n-1 k=n-1 P = P(xo) = ( ((aox + a1 )x+a2x)+ +an-1)x Bước n k = n P = P(xo) = ( ((aox + a1 )x+a2x)+ +an-1)x + an Sau chương trình thực hiên thuật toán Chương trình 1-1 #include #include #define m 10 void main(void) { int k,n; float p,x; float a[m]; clrscr(); printf("\nCho bac cua da thuc n = "); scanf("\%d",&n); printf("Vao cac he so a:\n"); for (k=1;k khoảng ( 9, 10 ) nên không thoả mãn điều kiện (4) Chúng ta đưa phương trình dạng 13 int m,n,n1,it,i,j,h1,h2,hi,m1,ps,pz,v,p; float bv[20]; float a[20][20]; float h,mi,x,z; void don_hinh() { int t; float hi; if (p!=2) for (i=1;i