9 mô men quán tính của vật rắn namdinh

MƠ MEN QN TÍNH CỦA VẬT RẮN CHƯƠNG I MƠ MEN QUÁN TÍNH KHỐI I MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Mơ men qn tính khối -là đại lượng vật lý (với đơn vị đo SI kilôgam mét vuông kg m2) đặc trưng cho mức quán tính vật thể chuyển động quay , tương tự khối lượng chuyển động thẳng -Với khối lượng m có kích thước nhỏ so với khoảng cách r tới trục quay, mơ men qn tính tính bằng: I = m r2 -Với hệ nhiều khối lượng có kích thước nhỏ, mơ men qn tính hệ tổng mơ men qn tính khối lượng: I = ∑ mi ri -Với vật thể rắn đặc, chứa phần tử khối lượng gần liên tục, phép tổng thay tích phân tồn thể tích vật thể: I = ∫ r dm -Với dm phần tử khối lượng vật r khoảng cách từ dm đến tâm quay Nếu khối lượng riêng vật ρ thì: dm = ρ dV Với dV phần tử thể tích Định lí trục song song Mơ men qn tính vật trục quay song song với trục quay qua khối tâm vật: I = I C + m.d IC -là mơ men qn tính vật trục quay qua khối tâm m -là khối lượng vật d -là khoảng cách trục quay Định lí trục vng góc áp dụng cho vật có dạng phẳng Mơ men quán tính vật rắn phẳng quanh trục quay Oz vng góc với vật tổng mơ men qn tính trục quay vng góc Oy Oz mặt phẳng vật Iz = Ix + Iy II TÍNH MƠ MEN QN TÍNH KHỐI CỦA MỘT SỐ VẬT RẮN CĨ HÌNH DẠNG ĐƠN GIẢN mơ men qn tính khối vật có tính đối xứng với trục quay LO định nghĩa 75 I = ∫ r dm V Bài Tính mơ men quán tính ống trụ rắn khối lượng m, chiều cao h bán kính r1 bán kính ngồi r2 Xét trường hợp giới hạn a r1=0 b r1=0, h=0 c h=0 d r1=r2 Hình 1.1 Lời giải - Mơ men qn tính có trục quay OZ )( ) ( )( )( ) ( m m m 4 2 2 r2 − r1 = r2 − r1 r2 + r1 = r2 + r1 2 2 r2 − r1 r2 − r1 I zz = ( - Mô men qn tính có trục quay Ox Oy I xx = I yy = ∫V r dm = ∫V r ρ dV = m r 2dV ∫ 2 V π (r2 − r1 )h Viết theo r2 r = r + z2 Khoảng cách đến trục quay: r = r sin θ Chú ý: ∫ sin I xx = I xx = x= ( x − sin x cos x ) + C (r  r2 r14 2  − + z r2 − r1 ∫  4 − r1 h −h /  (r 2 2 ( h/2 m ) ( )( ) ( ) dz  z m z3 2  r2 − r12 r2 + r12 + r2 − r1 − r1 h  ) I xx = I yy = )  h/2  −h / mh h3  m r + r + = ( r2 + r12 ) + h ( )  ÷ h4 12  12 ( Các trường hợp riêng: a I zz = r1=0 hình trụ rỗng trở thành hình trụ đặc m m r2 + r12 ) = r22 ( 2 76 ) ) m 3r2 + h ) ( 12 I xx = I yy = b r1=0, h=0 hình trụ đặc trở thành đĩa tròn mỏng: I zz = m m r2 + r12 ) = r22 ( 2 m m.r22 3r2 ) = ( 12 I xx = I yy = c h=0 Vật có hình dạng đĩa rỗng I zz = m r2 + r12 ) ( I xx = I yy = d m ( r2 + r12 ) 12 ( ) r1=r2 Vật có dạng đĩa mỏng I zz = m ( r2 ) I xx = I yy = m ( r2 ) + h 12 ( ) Hình 1.2 Bài Tính mơ men qn tính khối hình hộp chữ nhật, khối lượng m, chiều dài w, chiều rộng d,chiều cao h.Trục quay qua tâm hình chữ nhật Xét trường hợp: a h=0 Vật có dạng hình chữ nhật b h=0, d=0 vật có dạng thẳng dài với ρ = I zz = m wdh m  w d wd    = + m w2 + d2 wd  12 12  12 ( ) Tương tự: I xx = ( ) I yy ( ) m h2 + w 12 = m h2 + d 12 a I zz = h=0 Vật có dạng hình chữ nhật m wd  w d wd    = + m w2 + d2 12 12 12   ( ) 77 mw2 12 I yy = md 12 I xx = b h=0, d=0 vật có dạng thẳng dài mw2 12 I yy = I xx = I zz = mw2 12 Bài Tính mơ men qn tính khối lượng khối hình nón đặc đồng chất mật a z a z h a h y h z Hình 1.3 z Hình 1.4 độ ρ (kg/m3) quanh trục Oz x Giải Đơn vị thể tích dV = rdrd θ dz Giới hạn biên 0 ≤ z ≤ h  a 0 ≤ r ≤ z h  0 ≤ θ ≤ 2π r Mơ men qn tính trục Oz z θ Nếu khối lượng riêng không đổi ρ= m m = V π a 2h Hình 1.5 Khi I zz = π a hρ a 2m = 10 10 III TÍNH MƠ MEN QN TÍNH CỦA HÌNH ELLIPSOID 78 Phương pháp tính mơ men qn tính dựa vào đồ thị đường viền vật rắn Giả sử ta biết đồ thị đường bao vật rắn mặt phẳng XY Có nghĩa biết hình dạng bề mặt nằm mặt phẳng song song với mặt XY(hình vẽ) Hình 1.6 Giả sử với giá trị z xác định, mặt bao quanh biểu diễn hàm theo toạ độ y f1 ( x, z ) f ( x, z ) Các hàm toạ độ x biểu diễn hàm x0 ( z ) x f ( z ) Xét đĩa mỏng dày dz, bề mặt biểu diễn hàm Ta chia đĩa thành hình hộp chữ nhật có diện tích mặt dxdy, chiều cao dz Mơ men qn tính vật trục OX: I X = ∫ ( y + z )dm V thể tích hình hộp dV=dx.dy.dz Mơ men qn tính hình hộp trục Ox dI X = ( y + z )dm = ( y + z ) ρ ( x, y, z )dxdydz Lấy tích phân ta có: thí dụ Tính mơ men qn tính hình ellipsoid có tâm gốc toạ độ, mô tả phương trình: x2 y z + + =1 a b2 c2 với a ≥ b ≥ c Xét trường hợp riêng a=b=c Giải đặt 79 2 y = ( a ( z )2 − x ) (1 − ε ) a ( z ) ≡ a − z ; b( z ) ≡ b − z c c 2  b( z )  b tâm sai ε ≡ −  ÷ = 1−  ÷ a  a( z )  số Mơ men qn tính theo trục Oz IZ = c  πρ (2 − ε ) − ε  ∫ a( z ) dz  = π a c ρ (2 − ε ) − ε  −c  15 trường hợp riêng a=b=c Khối elipsoid thành khối cầu : Iz= π a c ρ (2 − ε ) − ε = π a c ρ = ( π a ) ρ a = m.a 15 15 5 80 CHƯƠNG II THIẾT LẬP CÔNG THỨC TÍNH MƠ MEN QN TÍNH PHỤ THUỘC VÀO HÀM SINH I MƠ MEN QN TÍNH CỦA MỘT VẬT RẮN DO SỰ QUAY CỦA MỘT HÀM SỐ QUANH TRỤC Ox Trên hình vẽ biểu diễn hàm số để tạo vật rắn nhờ quay hàm số quanh trục Ox, hàm số gọi hàm sinh Xét hình chữ nhật nhỏ có chiều cao f(x) có bề dày dx sinh đĩa mỏng có bề dày dx bán kính f(x) Chúng ta tính mơ men quán tính vật rắn tạo hàm f(x) quay quanh trục đối xứng Ox Hình 2.1 Ta biết mơ men qn tính đĩa mỏng trục quay Ox MR , với M khối lượng đĩa, R bán kính đĩa Vì đĩa mỏng phần tử mơ men qn tính là: dI X = (dM ) f ( x ) (1) Vi phân khối lượng: dM = ρ dV = ρπ f ( x) dx (2) ρ khối lượng riêng vật, giả sử khơng đổi Tích phần ta IX = πρ xf ∫ f ( x) dx (3) x0 Tính mơ men qn tính vật trục quay Oy Ta biết mơ men qn tính đĩa mỏng trục quay Oy MR Vì đĩa mỏng phần tử mơ men qn tính trục Oy là: dI dIY ' = (dM ) f ( x) = X (4) Áp dụng lí thuyết trục song song: 81 dIY = dIY ' + x dM = dI X + x dM ( 5) Lấy tích phân ta có: xf I IY = X + πρ ∫ x f ( x ) dx x0 (6) Nếu vật rắn tạo hàm sinh f1(x) f2(x) quay quanh trục Ox xf πρ IX = ∫  f x0 ( x ) − f1 ( x )  dx (7) xf I IY = X + πρ ∫ x  f ( x ) − f1 ( x)  dx x0 (8) Thí dụ :Tính mơ men qn tính vật rắn có hàm sinh  R1− hx ÷ x∈[ 0, h] f1 ( x ) =  x∈( h , H )  Hình 2.2  a1 − a2  x + a ÷  H  f2 ( x) =  (9) quay quanh trục Ox Lời giải Thay phương trình (9) vào phương trình (7) (8) ta có: IX = πρ H (a14 + a24 + a1a23 + a13 a2 + a12 a22 ) − R h} { 10 Iy = Iz = ( 10) πρ H 1 R2 h IX + [ a1a2 + a12 + a22 − ( )] 6 H ( 11) Khối lượng vật xf M = πρ ∫ [ f ( x) − f1 ( x) ]dx (12) x0 Bán kính gyration 82 K = X 3{ H (a14 + a24 + a1a23 + a13 a2 + a12 a22 ) − R h} (13) 10[ H (a1a2 + a12 + a22 ) − R h] 1 R2 h [ a1a2 + a12 + a22 − ( )] K 3 2 6 H KY = K Z = + H 2 2 [ H (a1a2 + a1 + a2 ) − R h] X Khối tâm xf xCM = ∫x x0  f ( x) − f1 ( x)  dx ( 14) xf ∫  f x0 xCM = ( x ) − f1 ( x )  dx [(2a1a2 + 3a12 + a22 ) H − R h ] 4[ H (a1a2 + a12 + a22 ) − R h] (15) 2 K X2 C = K X2 ; KY2C = KY2 − xCM ; K Z2C = K Z2 − xCM (16) II MƠ MEN QN TÍNH CỦA MỘT VẬT RẮN DO SỰ QUAY CỦA MỘT HÀM SỐ QUANH TRỤC Oy Xét khối trụ mỏng, phần tử khối lượng, bỏ qua gần bậc dM = ρπ f ( x) ( x + dx ) − x  − 2πρ xf ( x)dx   ( 17) Mơ men qn tính trục Oy từ dIY = x dM xf IY = 2πρ ∫ x f ( x)dx (18) x0 Mơ men qn tính trục Ox, trước hết tính mơ men qn tính vỏ hình trụ có bán kính a1, bán kính ngồi a2, chiều cao h, trục quay qua khối tâm Khi đó: x0=-h/2, xf=h/2, f2(x)=a2, f1(x)=a1 Hình 2.3 I X CM πρ 4 πρ (a22 − a12 )h3 = (a2 − a1 )h + 12 (19) Áp dụng cho lớp hình trụ có a1=x, a2=x+dx, h=f(x) dI X ,CM = πρ x f ( x )dx + πρ x f ( x)3 dx (20) 83 Theo định lý trục song song dI X = dI X ,CM  f ( x)  πρ x f ( x )dx + πρ x f ( x )3 dx = + dM    (21) xf I Tích phân ta có I X = Y + πρ ∫ x f ( x) dx x0 (22) Nếu vật rắn sinh hàm f1(x) f2(x) xf IY = 2πρ ∫ x [ f ( x ) − f1 ( x )]dx (23) x0 xf I I X = Y + πρ ∫ x [ f ( x)3 − f1 ( x )3 ]dx x0 (24) Khi hàm sinh quay quanh trục Oy, ta giả sử x0 ≥ để tất điểm thuộc hàm sinh luôn có giá trị dương, hàm f1(x) f2(x) âm Chọn hệ toạ độ trụ Giả sử vật rắn tạo hàm sinh f1(x) f2(x) thoả mãn điều kiện f1 ( x) ≤ f ( x) với x ∈  x0 , x f  Do tính đối xứng IX=IY Biểu thức khối lượng khối tâm hàm sinh quay quanh Oy M = 2πρ ∫ [ f ( x ) − f1 ( x )]dx , yCM = ∫ [ f ( x) − f1 ( x) ]dx ∫ [ f ( x ) − f1 ( x)]dx 84 CHƯƠNG III THIẾT LẬP CƠNG THỨC TÍNH MƠ MEN QN TÍNH PHỤ THUỘC VÀO HÀM SINH TRONG TRƯỜNG HỢP TỔNG QT I MƠ MEN QN TÍNH CỦA MỘT VẬT RẮN DO SỰ QUAY CỦA HAI HÀM SỐ QUAY QUANH TRỤC Ox Mơ men qn tính trục Ox Giả sử vật rắn tạo hàm sinh f1(x) f2(x) thoả mãn điều kiện ≤ f1 ( x) ≤ f ( x) với x ∈  x0 , x f  Chọn hệ toạ độ trụ x, rx, θ với rx khoảng cách trục Ox đến phần tử khối lượng ta khảo sát θ có giá trị véc tơ bán kính song song với Oy Hình 3.1 Phần tử thể tích dV ứng với phần tử khối lượng dm dV = (dx )(drx )rx (dθ ) : dm = ρ ( x, rx , θ )dV Phần tử mơ men qn tính dI X = rx2 dm = rx3 ρ ( x, rx ,θ )(dx)(drx )( dθ ) Nếu ρ phụ thuộc x IX = π xf ∫ ρ ( x)[ f ( x) − f1 ( x) ]dx x0 Mô men quán tính trục Oy, Oz 2 2 Bình phương khoảng cách từ phần tử dm đến trục Oy ry = rx sin θ + x Phần tử mơ men qn tính trục Oy dIY = (rx2 sin θ + x )dm 85 Tích phân tồn phần x 2 Nếu ρ phụ thuộc x: IY = I X + π ∫ ρ ( x) x [ f ( x) − f1 ( x) ]dx x0 II MƠ MEN QN TÍNH CỦA MỘT VẬT RẮN DO SỰ QUAY CỦA HAI HÀM SỐ QUAY QUANH TRỤC Oy, Oz Giả sử x0 ≥ , hàm f1(x) f2(x) âm Chọn hệ toạ độ trụ Giả sử vật rắn tạo hàm sinh f1(x) f2(x) thoả mãn điều kiện f1 ( x) ≤ f ( x) với x ∈  x0 , x f  Chọn hệ toạ độ trụ y, ry, φ với ry khoảng cách trục Oy đến phần tử khối lượng ta khảo sát φ =0 véc tơ bán kính song song với Oz, viết hàm f1(ry) f2(ry) thay cho f1(x) f2(x) Tương tự tính mơ men qn tính hàm sinh quay quanh trục Ox, ta có: Hình 3.2 Xét trường hợp Nếu ρ khơng phụ thc φ thì: Trong trường hợp tính đối xứng nên IX=IZ Nếu Nếu ρ phụ thuộc y xf I y = 2π ∫ ry3 ρ (ry )[ f (ry ) − f1 (ry )]dry x0 86 CHƯƠNG IV BÀI TẬP ỨNG DỤNG I CÁC THÍ DỤ Bài Tính mơ men qn tính hình trụ (hình vẽ) Giả sử hình trụ có chiều cao h, bán kính b Khối lượng riêng ρ .α