File394 - PT _ HE PT BAC CAO

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN : ĐỖ KIM SƠN 1/ LÝ THUYẾT 2/ BÀI TẬP ÁP DỤNG NHỮNG NGƯỜI THỰC HIỆN : ψ NGUYỄN DUY HIỂN ψ HÀ QUỐC KHÁNH LÝ THUYẾT ÁP DỤNG CÁCH GIẢI BÀI TẬP ĐỊNH NGHĨA CÁCH GIẢI : - Ví dụ - Giải toán 1/ Phương trình trùng phương: DẠNG : ax4+bx2+c= CÁCH GIẢI : Ví dụ Giải toán 2/ Phương trình bậc DẠNG : (a+x)(x+b)(x+c)(x+d)=k với a+b=c+d CÁCH GIẢI : Ví dụ Giải toán :ax4+bx3+cx+d=0 Cách giải : Ví dụ : I / ĐỊNH LÝ VIET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA : II / ĐỊNH LÝ BEZU : III/ LƯC ĐỒ HOOCNE : I II III IV ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG CHỨA CĂN THỨC : ĐẶT ẨN PHỤ : PHƯƠNG PHÁP QUI VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI : ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO : I/ Phương trình bậc cao có nghiệm nguyên : Nếu phương trình bậc cao có nghiệm nguyên nghiệm nguyên ước số hạng tự do( không chứa biến x ) ∗ Ví dụ : Giải phương trình x3 + 8x -9 = Ta coù : x3 + 8x – = x - x2 + x2 - x+ 9x – = ( x-1 )( x2+x+9 ) =  x −1 = o x =  2  x + x + = 0v.nghiem x + x + = Vậy phương trình có nghiệm x = ∗ Ví dụ : Giải phương x4 + 8x3 + 14x2 – 8x- 15= x4 - x3 + 9x3 - 9x2 + 23x2 - 23x + 15x - 15 = (x3 + 9x2 + 23x + 15)(x - 1) = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x - 1) =  x = −1  x = −3   x = −5  x = Vậy phương trình có nghieäm x = -1 , x = , x = 3, x = -5 ∗ Ví dụ : Phân tích phương trình thành nhân tử : P= a10+a5+1 Nhận xét : Nếu ta thêm vào P số hạng a9, a8, … ,a đồng thời bớt số hạng P có 21 số hạng ta phân tích P thành thừa số : thừa số gồm số hạng thừa số gồm số hạng P= a10+a5+1 P= a10 + a9 – a9 + a8 – a8 + a7–a7+a6–a6+a5–a5 +a4–a4+a3–a3+a2–a2+a–a+1 P= a8(a2+a+1) –a7(a2+a+1)+a5(a2+a+1) –a4(a2+a+1)+a3(a2+a+1) – a(a2+a+1)+( a2+a+1) P= (a2+a+1)(a8–a7+a5–a4+a3–a+1)  BÀI TẬP ỨNG DỤNG Bài 1: Tìm nghiệm nguyên x : a/ x4 – x2 +2x + =0 b/ x(x+2)(x2 + 2x + 3)=0 c/ x(x+1)(x+7)(x+8)=0 d/ x(x7 + 6) + 25=0 Bài 2: Chứng minh phương trình sau nghiệm nguyên : a / x + y = 2004 b / x − 5x y + y = c / ( x + y ) + x + y = 3996 d / x2 − y3 = Bài 3: Tìm nghiệm nguyên: x3 + y3 = 3xy + Bài 4: Tìm nghiệm nguyên: x3 – y3 = xy +25 Bài 5: Tìm nghiệm nguyên: x2 + y3 = y6 Bài 6: a/ Tìm nghiệm nguyên phương trình: 2x3 + xy – = b/ Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: y2 – x(x+1)(x+2)(x+3) = Bài 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x4 – y4 – 20x2 + 28y2 = 107 Bài 8: Tìm tất số nguyên x, y biết x > y> thỏa mãn: x3 + 7y = y3 + 7x Bài 9: Tìm tất nhiệm nguyên phương trình: y2 + y = x + x3 + x2 + x Bài 10: Tìm cặp số nguyên dương (a;b) thoả mãn phương trình: (a – 2b)2 + b4 = 169 Bài 11: Với giá trị m; p ta có đẳng thức: (m + 1)(p2 – m2 + 4) = m2 Bài 12: Chứng minh phương trình sau nghiệm nguyên: y14 + y 24 +  + y144 = 1599 Bài 13: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: xy3 + 2xy – 243y2 + x = Bài 14: Tìm nghiệm nguyên phương trình: a / x3 − y − 4z = b / x − y33 − z 3û3= Hướng dẫn: a/ x =2(y + 2z3), suy x chẵn Đặt x=2x1.Tương tự ta y=2y1,z=2z1.Ta đươcï nghiệm x= 0, y= 0, z= Bài 15 : Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : a/ x4+11x2-12=0 b/ 2x4+5x2+3=0 c/ n4+6n3+11n2+6n=0 d/ x4+x2+1=0 e/ a4x-a2x3+a3x2-ax4=0 f/ a5-ax4+a4x-x5=0 g/ x5+x4+x3+x2+x+1=0 h/ x8+x4+1=0 k/ x12+x6+1=0 l/ x16+x8+1=0 II/ PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HƯU TỶ: M Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ M ước số hạng tự N N ước dương khác hệ số số hạng cao Ví dụ : X4 – ( − ) X3 – 4X2 - ( + 12 )X -12 10 = x4 - x3 + x3 – 4x2 - x - 12 x −12 10 = (x2-4 ) (x + )(x+ ) =  x = −2 x =  x = −   x = −3 Vậy phương trình có nghieäm x = 2, x = −2, x = − 5, x = −3 Chú ý : a ) Trong phương trình đối xứng , a 1nghiệm 1/a nghiệm phương trình b ) Phương trình đối xứng bậc lẻ có nghiệm x=-1 c ) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n đưa phương trình bậc n cách đặt ẩn phụ y=x+ x III/PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA HAI ẨN TRỞ LÊN Ví dụ 1:Tìm ngiệm nguyên phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1) ⇔(x2+3x)(x2+3x+2) = y2 Đặt x2+3x+1 = a ≥ ,ta được: (a-1)(a+1) = y2 ⇔a2-1 = y2 ⇔(a-y)(a+y) = a+y = a-y, y = 0, thay vào (1) ta được:x 1=0; x2= -1; x3= -2; x4= -3 Đáp số: (0;0), (-1;0), (-2;0), (-3,0) Ví dụ 2: Tìm ngiệm nguyên phương trình: x3 – y3 = xy+8 (1) Giải Cách 1: {x – y{.{x2 + xy +y2{ = {xy + 8{ Ta thaáy x = y phương trình vô nghiệm⇒ x≠ y Do x, y nguyeân neân {x – y{ ≥ {x2 + xy + y2{ ≤ {xy +8{ x2 + xy + y2 ≤ {xy + 8{ (2) Xét trường hợp: a/ xy + < Khi (2) trở thành: x2 + xy + y2 ≤ - xy –8 (x + y)2 ≤ -8 (loaïi) b/ xy + ≥ Khi (2) trở thành: x2 + xy + y2 ≤ xy + x2 + y ≤ Do đó: x2, y2 ∈ [0 ; 1; 4]  =1 x   y = hoaëc  2=4 x   y = Nếu x= từ (1)có y3 = -8, nên y= -2 Nếu y= từ (1) có x3= 8,nên x= Nếu x,y khác x2,y2 ∈ [1;4].Do x ≠ y (giải thích trên) nên có : Như hai số x y có số chẵn ,một số lẻ.Khi vế trái (1) lẻ ,còn vế phải (1) chẵn ,không xảy Cách : Đáp số : (0 ; -2 ) ,( ; 0) 3 x − y = xy + ⇔ ( x − y ) + xy ( x − y ) = xy + đặt x - y = a,xy = b tacoù : a + 3ab = b + ⇔ a − = −b( 3a − 1) ⇒ a − 83a − ( ) ⇒ 27 a − 3a − 27 a − 13a − ⇒ 2153a − ⇒ 3a − ∈ { ± 1;±5;±43;±215} 3a − : dö ⇒ 3a − ∈ { − 1;5;−43;215} Ta coù: 3a-1 -1 -43 215 A -14 72 B= -8 -64 -1786 Chú ý (x-y)2 + 4xy ≥ neân a2 + 4b ≥ 0, có a=2; b=0 ta x-y = 2; xy=0 Đáp số: (0; -2),(2:0) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: (x (x )( ) ) + y x + y = ( x + y) )( + y x + y = ( x + y) ⇔ xy ( x + y − xy − 1) = Giaûi x = ⇒ y∈Z ⇔ y = ⇒ x∈Z x + y − xy − = 0(1) (1) ⇔ ( x − 3)( y − 3) = = 1.8 = −1 − = 2.4 = −2 − = 8.1 = −8 − = 4.2 = −2 − Giả sử : x ≥ y, tược nghiệm : (11;4) , ( 4;11) , ( 7;5) , ( 5;7 ) , ( 2;−5) , ( − 5;2) , (1;−1) , ( − 1;1) , ( 0; k ) , ( t ;0) vớik;t số nguyên tuỳ ý Hướng dẫn: a/ x =2(ỷ3 + 2z3), suy x chẵn Đặt x=2x1.Tương tự ta y=2y1,z=2z1.Ta đươcï nghiệm x= 0, y= 0, z= IV/ Phương trình bậc ba : Định nghóa : phương trình có dạng ax3 + bx2 + cx + d = Phương pháp giải : B1 : Tìm nghiệm phương trình sau •a+b+c+d=0→phương trình có nghiệm x=1 •a-b+c-d=0→phương trình có mghiệm x=-1 •Có nghiệm la ước số d chia cho ước số a B2 : Chia ax3 + bx2 + cx + d cho x-1 B3 : Giải phương trình bậc lại Ví dụ:Giải phương trình sau 1/ x3 + 5x2 + 3x − = (1) 2/ x3 + 3x2 + x − = (2) Giaûi : ∗ (1) x3 + 5x2 + 3x − = (a+b+c+d=0) →Phương trình có nghiệm x=1 Lấy (1) chia cho x-1thì (1) x2+6x+9=0 (x+3)2=0 x= -3 Vậy tập nghiệm S=1;-3 ∗ (2) x3 + 3x2 + x − = (a+b+c+d=0) →Phương trình có nghiệm x=1 Lấy (2)chia cho x-1thì (2) x2+4x+5=0 Phương trình có ∆’=-30→  x = t  •Nếu t0  x = 1+   x = 1− Vậy S={ 1+ 5;1− } Với t=7 x2-2x=7 ∆’=1+7=8>0  x = 1+ 2  Vaäy S={ 1+ 2;1− 2 }  x = 1− 2 VI/ Phương trình bậc dạng : ax4+bx3+cx2±bx+a =0 (a ≠ 0) Cách giải :chia cho x2 ≠ 1 Ptrình a(x2+ )+b(1+ )+c+0 x x 1 Đặt t=x+ điều kiện t = x + ≥ x x Ví dụ : Giải phương trình :x +3x +6x2+3x+1=0 Chia vế phương trình cho x2≠ Ptrình x2+3x+6+ + =0 x x 1 x2+ +3(x+ ) +6=0 (*) x x Đặt t = x + ≥2 x (*) t2+3t+2=0  t = −1(loại)  n)  t = −2(nhậ = -2 x x2+2x+1=0 x=-1 Vậy S={-1} Với t=-2 x+ I/ Định lý Viet phương trình bậc : 1/ Cho phương trình bậc ba : ax3+bx2+cx+d=0 Với a≠ Giả sử phương trình có nghiệm thực ; x1,x2,x3 (kể trường hợp phương trình có nghiệm kép ) Khi ta có −b   x1 + x2 + x3 = a  c   x1x2 + x2x3 + x3x1 = a  d   x1x2x3 = − a  / Đảo lại giả sử cho ba số thực x1,x2,x3 Đặt : S1=x1+x2+x3 S2=x1x2+x2x3+x3x1 S3=x1x2x3 Khi phương trình bậc ba : x3-S1x2+S2x-S3=0 nhận x1,x2,x3 làm nghiệm II/ Định lý Bezu : Nhắc lại số định nghóa sau : Cho đa thức P(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 ,với an≠ Khi P(x)gọi đa thức bậc n, kí hiệu deg P(x)=n Giá trị x=x0 gọi nghiệm đa thức P(x),nếu P(x0) Ta có kết sau , thường đươc gọi đinh lý Bezu “Đa thức P(x) có nghiệm x=x0P(x)chia hết cho x-x0” - Ý nghóa định lý Bezu : Xét phương trình P(x) =0, P(x)là đa thức màdegP(x)≥ 3.Nếu cách ta biết trước x0 nghiệm phương trình Khi theo định lý Bezu, ta dưa phương trình cho dạng tương đương dạng tích : ( x-x0)Q(x)=0, degQ(x)=degP(x) -1 Nói cách khác nhờ định lý Bezu cho phép ta hạ bậc phương trình bậc cao, ta biết nghiệm III/ Lược đồ Hoocne Ý nghóa : p dụng lược đồ Hoocne để tính giá trị đa thức , để chia đa thức bậc cao cho nhị thức bậc nhất, nhờ tính giá trị đa thức biến”x” cách dễ dàng Trong số trường hợp, lược đồ Hoocne giúp việc tính toán dơn giản nhiều a/ tính giá trị đa thức : Cho đa thức P(x)=anxn+an-1xn+1+…+a1x+a0 Hãy tính giá trị đa thức x=α, tức tính P(α) Từ đo,ù tacó bảng sau : α an a0 bn b0 an-1 an-2 …ak …a1 bn-1 bn-2 …bk …b1 Trong bảng an,an-1,…a1,a0 hệ số biết đa thức P(x), αlà giá trị biến x mà ta cầ tính P(x) Chỉ lưu ý : Khi viết hệ số an,an-1,…,a1,a0 ta phải viế đầy đủ theo ý nghóa sau : Nếu đa thức P(x) chẳng hạn khuyết số hạng chứa xk(0≤ k2thì hệ sau vô nghiệm:  x5 − 2y = a  2  x + y = 4/ Chứng minh : a+b+c+d=0 thì: a3+b3+c3+d3=3(ac-bd)(b+d) 5/ Giải phương trình : • 2(x2+20=5 x3 + • 2(x2+2x++3)=5 x3 + 3x2 + 3x + • 2(x2-3x+2)=3 x3 + • 2(x2+2)=5 1+ x3 6/ Tìm tất nghiệm phương trình sau : x3(x2-7)2-36x=0 7/Giải phương trình chứa tham số sau : (x+a+b)((x+b+c)(x+c+a)(a+b+c)=abcx với abc≠ x4-10x3-2(a-11x2)+2(5a+6)x+2a+a2=0 9x8 + 84x6 + 126x4 + 36x2 + 9a8 + 84a6 + 126a4 + 36a2 + a +x =0 x + 36x6 + 126x4 + 84x2 + a8 + 36a6 + 126a4 + 84a2 + 8/ Giải phương trình sau : ο 23+7x2-28x+12=0 ο x4+x3-7x2-x+6=0 ο (x+2)4+x4=82 ο (x+4)4=2(2x+13)3+50(2x+13) ο x4-5x2-2x+3=0 ο (x2-2x+2)4-20x2(x2-2x+2)2+64x4=0 ο x8+2x6-12x4-13x2+42=0 ο (x3+9x2+23x+15)(x+7)=9 ο 9(x3+18x2+107x+210)=24x ο x4+4x3+3x2+2x-1=0 ο x4+2x3+2x2=x2+2x+1 9/ Giải phương trình sau đây: ♥ 36(x2+11x+30)(x2+11x+31)=(x2+11x+12)(x2+9x+20) (x2+13x+42) 1 1 + + = ♥ x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 4x2 + 16 ♥ − = + x + x +1 x + x + 10/ Giải phương trình sau : 643=(x-2)3+(3x+2)3 (x2+1)3+(1-3x)3=(x2-3x+2)3 25200 − x4 2x2+5x+1960= x 11/ Giải phương trình đối xứng sau: 2x4+3x2-16x2+3x+2=0 x7-2x6+3x5-x4-x3+3x2-2x+1=0 12/ Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : ∇ x5=x4+x3+x2+x+2 ∇ 3x3+5y3=26 ∇ x4+2y4+3x2y2+3x2+5y2=14 ∇ x4+x2+6=y4 ∇ x4=y2(y-x2) ∇ x4+x2+1=y2 ∇ x3-y3-2y2-3y-1=0 ∇ y3-x3=2x+1 ∇ x4-y4+z4+2x2z2+3x2+4z2+1=0 ∇ x4+x2+4=y2-y 13/ Giải hệ : ∇ x2-4x2y2+5y2=169 ∇ 3x4+2y4+y4+4x2y2+2x2y2=26-2x2y2 ∇ 6x3+z3-15x2z=3x2y2z-(y2+5)3 ∇ (x2+4y2+28)2=17(x4+y4+14y2+49) 14/ Tìm nghiệm nguyên không âm phương trình : x3y3-4xy3+y2+x2-2y-3=0 15/ Giải hệ phương trình sau :  x3 + y3 = ⊕   xy(x + y) = −2  x + y + xy = ⊕  4 2 x + y + x y = 4  x + y = 17 ⊕  2  x + y + xy = 2 3xy − x − y = ⊕  2 4  7x y − x − y = 155 2 (x + y )xy = 78 ⊕  4  x + y = 97 2  x − xy − yx + y = ⊕  2  x + xy + yx + y = 15  x + 3y = ⊕   y + 4(2x − 3)y − 48y + 48x + 155 = 2  x − 2x y + 3y = ⊕  2  x − 4x y + 5y = 3  x + y = ⊕  2  x y + 2xy + y = 3  x + y = ⊕  5 2  x + y = x + y 2x3 − 9y3 = (x − y)(2xy + 3) ⊕  2  x − xy + y =  x3 + y2 = ⊕  2  x + xy + y − y =  x2y2 − 2x + y2 = ⊕  2x − 4x + 3+ y = ⊕ ⊕  x4 + y4 =  2  x − 2x + 2x = y  x3y =  3x + y = 16/Giải hệ phương trình ẩn sau : x + y + z =  2 ⊕ x + y + z = x3 + y3 + z3 =   y + = (3− x)3  (2z − y)(y + 2) = 9+ 4y ⊕  2  x + z = 4x z ≥   y3 − 9x2 + 27x − 27 =  ⊕ z − 9y + 27y − 27 =  x3 − 9z2 + 27z − 27 =   2x2  x2 + = y   3y2 =z ⊕  y + y +1  4z4 =x  z + z + z +1 x + y = z ⊕  3 x + y = z 18/ Giải hệ :  698 x + y = 81 ◊   x2 + y2 + xy − 3x − 4y + =  19:Gỉai phương trình nghiệm nguyên: x2 + (x+1)2 = y4 + (y+1)4 + x + x + x3 + x = y2 + x + x + x3 = y x6 + 3x2+ = y4 (x-2)4 - x4 = y3 + x + x = y2 x2 +(x+y)2 = (x+90)2 xy + = z (x,z,y:nt) + y4 + z4 + t4 = 4xzyt 10 2(x+2x + 2z + 2y = 2336 11 3(x2 + xy + y20) = x + 8y 12 x2 + y2 + z2 + t2 = 2xzyt 13 x4 y) + xy = x2+y2 14 x^6 + x3y = y3 + 2y2 15 x = x2 16 x2 + y2 + z2 + 3(x+y+z) + 5=0 17 30(xyz + xy + yz + zt + 1) = 40(xz+t+x+z) 18 x3 + y3 = 3xy + 19 x30(x30 + y4) = y2004 20 x3 + 13y2 + 4xy = (yz)2 20:Chứng minh phương trình sau nghiệm nguyên: 3x5 –x3 +6x2 –18x =2004 21:Giải phương trình: a) a4+b4+c4+d4=4abcd b) a4+b4=32(với a+b=4) c) 8(a3+b3)=2(a3+b3) (a,b ≥ 0) d) a8+b8+c8= a2b2c2(ab+bc+ac) e) a4+b4+c4= abc(a+b+c) 22: Giải phương trình : a) x 35− x3 (x + 35− x3 ) = 30 b) x3+1=2 2x − 23:Giải phương trình 2000 x + x x + 2000 + x = 2000 1999 Gợi ý: Đặt a=2000(khi a>1) , đưa phương trình dạng tích a/ b/ ) ( ( x2 + − x + x2 + + x ) = 123 Gợi ý : Đặt u= x + − x ; v= x + − x , dễ thấy uv=1 , đưa phương trình dạng u5+v5=123 c/ 21 − 13x + 19 x = (6 x + 28) x − d/ Gợi ý : Đặt điều kiện x ≥ , ta ñaët t= x − ≥ −x −1 = − x + Gợi ý : Đặt y= − x − e/ x 35 − x ( x + 35 − x ) = 30 Gợi ý : Đặt y= 35 − x Bài 24 : Giải phương trình N x2+y3=y6 Bài 25 : Giải phương trình Z x2+y3=y6 Bài 26 : Giải phương trình R a/ x5-x=0 b/ x7-14x5+49x3-36x=0 Bài 27 : Giải hệ phương trình :  x − 3x y − xy + x − =  2  x y − x y − xy + xy + x − y − = Tìm hai chữ số cuối số : C=2999 D=3999 14 E= 14(14 ) Chứng minh biểu diễn th65p phân chúng : a/ Các số an an+4 có chữ số hàng đơn vị 9 b/ Các số 99 999 có hai chữ số cuối giống ... x4=y2(y-x2) ∇ x4+x2+1=y2 ∇ x3-y 3-2 y 2-3 y-1=0 ∇ y3-x3=2x+1 ∇ x4-y4+z4+2x2z2+3x2+4z2+1=0 ∇ x4+x2+4=y2-y 13/ Giải hệ : ∇ x 2-4 x2y2+5y2=169 ∇ 3x4+2y4+y4+4x2y2+2x2y2=2 6-2 x2y2 ∇ 6x3+z 3-1 5x2z=3x2y2z-(y2+5)3... ⇒ 3a − ∈ { − 1;5;−43;215} Ta coù: 3a-1 -1 -4 3 215 A -1 4 72 B= -8 -6 4 -1 786 Chú ý (x-y)2 + 4xy ≥ neân a2 + 4b ≥ 0, có a=2; b=0 ta x-y = 2; xy=0 Đáp số: (0; -2 ),(2:0) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên... -7 (1) Giải :Đặt t=x(x-2)=(x-1) 2-1 ≥ (1) (x 2-2 x)(x 2-2 x-8)= -7 t 2-8 t +7=0 t =  t = Với t=1 thìx 2-2 x=1 ∆’=1+4=5>0  x = 1+   x = 1− Vậy S={ 1+ 5;1− } Với t=7 x 2-2 x=7 ∆’=1+7=8>0 