BT PTH thi OLP 30-4-v2- MATHVN.COM

MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TỐN HỌC TỒN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH HÀM ( , ,  ) ( VĂN PHÚ QUỐC- GV TRƯỜNG ĐH QUẢNG NAM) Cho hàm số f :    thỏa mãn f 1  f  m  n   f  m   f  n    4mn  1 , m, n   HD: - Thay m  n  , ta có: f    f 1   ; - Thay m  n  , ta có: f    f    45  63 ; - Thay m  n  , ta có: f  8  f    189  315 ; - Thay m  n  , ta có: f 16   f    765  1395 ; - Thay m  , n  ta có: f  3  f    f 1  21  30 - Thay m  16, n  ta có kết quả: f 19   f 16  3  f 16   f  3  573  1998 Cho hàm số f : *  * thỏa mãn f 1  5; f  f  n    4n  f  2n   2n 1  n  * Tính f 1789  HD: Ta có: 1789  4.445  ; 445  4.109  ; 109  4.25  ; 25  4.4  Lần lượt áp dụng giả thiết ta được: f      11 ; f 11  f  f     4.4   25 ; f  25   f  f 11   4.11   53 ; f  53  f  f  25    4.25   109 ; f 109   f  f  53   4.53   221 ; f  221  f  f 109    4.109   445 ; f  445   f  f  221   4.221   893 ; f  893  f  f  445    4.445   1789 ; f 1789   f  f  9893   4.893   3581 Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Cho hàm số f xác định tập * thỏa mãn: f  n  1  n  1 n 1  f  n  ; f 1  f  2013  Tính tổng S  f 1  f     f  2012  HD: Ta có: f     f 1 ; f    2  f   ; f     f  3 ; ; f  2012   2011  f  2011 ; f  2013  2012  f  2012  Cộng vế theo vế đẳng thức ta được: 2012 f    f  3   f  2012   f  2013       2011  2012   f  k  k 1 2012 Thay f  2013  f 1 ta được:  k 1 2012 2012 f  k   1006   f  k    f  k    k 1 k 1 1006 Cho hàm số f xác định tập số nguyên dương thỏa mãn: f 1  1006 ; f 1  f     f  n   n f  n  n  * Tính f  2012  HD: Từ giả thiết tốn ta có:  n  1 f  n  1  f  n   n f  n   Cho n  2,3, , 2012 ta được: f 2 f 1  f n f  n  1  n 1 n 1 f  2012  2011 f  3 f   ;  ;  ; ;  f 2 f  3 f  2011 2013 Nhân vế theo vế đẳng thức ta được: f  2012  f 1  1  f  2012   1006.2013 2013 Cho hàm số f :    thỏa mãn: xf  y   yf  x    x  y  f  x  y  , x, y   Chứng minh rằng: f hàm Giả sử: f không hàm Chọn x, y cho f  y   f  x   bé Từ f  x  xf  x   yf  x  x y  xf  y   yf  x  x y  xf  y   yf  y  x y  f  y    f  x2  y   f  x   f  y   f  x  Điều mâu thuẫn nên f hàm Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Tốn Tìm tất hàm f : *  * thỏa mãn điều kiện: f 1  1; f  m  n   f  m   f  n   mn m, n  * HD: Cho m  ta thược: f  n  1  f  n   n  Từ suy tồn hàm số Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh: f  n   n  n  1 Cho hàm số f :    thỏa mãn điều kiện f  m   f  n  m  n số nguyên tố Hỏi tập giá trị hàm f có phần tử? HD: Ta có:   2;   3;   5;   5;   số nguyên tố nên f 1 ; f  3 ; f   ; f 8  phải khác Do tập giá trị hàm f có phần tử Xét hàm số f  n  xác định sau: Nếu n  r  mod  f  n   r Khi tập giá trị hàm f có phần tử là: 0;1;2;3 Ta chứng tỏ hàm f xây dựng thỏa mãn điều kiện toán Thật vậy, f  m   f  n  m  n  mod   m  n   mod   m  n hợp số Vậy tập giá trị hàm f có phần tử Tìm tất hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  m  f  n    f  m   n m, n   HD: Giả sử: f    a  Khi đó: f  m  f     f  m  hay f  m  a   f  m  , m   Vì f hàm tuần hoàn giá trị f tập A   f   ; f 1 ; ; f  a  1 Ta gọi M số lớn A Khi đó: f  n   M n   Mặt khác: thay m  vào f  m  f  n    f  m   n ta được: f  f  n    n  a lớn tùy ý, vơ lý Vậy ta phải có f    Khi đó: f  f  n    n n   Nếu f 1   f    f  f 1   , mâu thuẫn Do đó: f 1  b  Chứng minh quy nạp: f  n   bn n   ? Ta có: f  bn   b n  n  b  Vậy f  n   n n   Thử lại thấy Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chun Tốn Tìm tất hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  mn  1  mf  n   m, n   HD: - Thay m  ta có: f 1  - Lại thay n  ta có: f 1  mf     mf    m    f    (1) - Thay n  ta có: f  m  1  mf 1   2m    m  1  f  m   2m , m  * (2) Từ (1) (2) ta có: f  m   2m m   Vậy f  n   2n n   10 Tìm tất hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  f  n    n  2; f  f  n  1  1  n  4; f    n   HD: - Chứng minh f đơn ánh? - Ta có: f  f  n     n   f  f  n  1  1  f  n    f  n  1  Hay f  n   f    n  n  n   ( thỏa mãn) 11 Cho hàm số f  n  xác định tập hợp số nguyên dương thỏa mãn: f 1  f  n  1  f  n   f  n   ; n  1;2;3; Chứng minh:  22011  1 1      22012 f 1 f   f  2012  HD: - Ta có: f  n  1  f  n    f  n   1  f tăng f  n   n  * - Chứng minh: 1 1     1 ? f 1 f   f  n f  n  1  n1 n - Chứng minh quy nạp: 22  f  n  1   22 ? - Cho n  2012 ta suy điều phải chứng minh 12 Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn: f  x  1  f  x   ; f  x   f  x  x    - Chứng minh quy nap: f  x  n   f  x   n x   , n   ? - Với x  p   q  p, q    Giả sử: *  p m f   q n  m, n     f  qp *   m2   n  p2  m2 2mq p   p m Khi đó: f   q   f    q   q  f   p  q     q2 q q n q n n       Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán  p2  m 2mq 2mq m p Hay f    p  q    q2   2p   n n n n q q  Vậy f  x   x x   13 Tìm tất hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  x  y   f  x  y   f  x   f  y  x, y   HD: - Cho x  y  ta được: f    f    f    - Với x  ny  n    ta được: f   n  1 y   f  ny  y   f  ny   f  y   f   n  1 y  - Chứng minh quy nạp: f  nx   n2 f  x  n   ? - Thay x 1   f 1 ta được: f 1  n f    f    n n  n n  m  1 - Ta có: f    f  m   m f n  n 1 m      f 1 n  n  Do đó: f  x   ax x   , đó: a  f 1 Thử lại thấy 14 Tồn hay không hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  x  f  y    f  x   y x, y   HD: - Chứng minh f đơn ánh ? - Cho x  y  ta được: f  f     f    f    - Cho x  ta được: f  f  y     y y   (*) - Thay f  y  y vào điều kiện toán cho ý đến (*) ta có: f  x  y   f  x   f  y  Do đó: y  kx x   Thay vào điều kiện toán cho ta suy được: k  1 , vô lý Vậy không tồn hàm số thỏa mãn yêu cầu toán 15 Đặt q  1 n   gọi f :    hàm số thỏa mãn điều kiện f  n   qn  q Chứng minh f  f  n    f  n   n n   HD: - Từ  1  f     f    Như điều kiện f  n   qn  với n  q q Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Tốn - Với n  f  n   Thật vậy, f  n   từ f  n   qn  cho ta: q qn  1  qn    n   , vô lý q q q - Để ý q  q  1  Từ với n  tùy ý ta có: f  f  n    f  n   n  f  f  n    qf  n    q  1 f  n   q  q  1 n = f  f  n    qf  n    q  1  f  n   qn   f  f  n    qf  n    q  1  f  n   qn  = f  f  n    qf  n    q  1 f  n   qn Từ f  n   qn  1 thay n f  n  ta có: f  f  n    qf  n   q q Vậy f  f  n    f  n   n  1   q  1  q q Do f  f  n    f  n   n   nên f  f  n     f  n   n   f  f  n    f  n   n 16 Chứng minh không tồn song ánh f : *   thỏa mãn điều kiện: f  mn   f  m   f  n   f  m  f  n  m, n  * HD: Giả sử tồn hàm f thỏa mãn yêu cầu toán - Cho m  ta được: f  n   f  n   f 1  f 1 f  n  Nếu f 1  f  n   , vơ lý Vậy phải có: f 1  Vì f song ánh nên f  n   n  - Suy n hợp số f  n   Cũng f song ánh nên có p, q, r  * cho f  p   1, f  q   3, f  r   Chú ý   p, q số nguyên tố phân biệt Khi đó: f q  f  pr   33  q  pr , vô lý Vậy không tồn hàm số 17 Tìm tất hàm f :    cho với m, n, k   ta có: f  km   f  kn   f  k  f  mn   HD: - Cho k  m  n    f    1   f    - Cho m  n  k   f 1  Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán - Cho m  n   f  k   k   - Cho k  1, m   f  n   n   Suy ra: f  n   n   18 Cho f : *  * thỏa mãn điều kiện: f  m f  n    mnf  m  m, n  * Chứng minh f  2003  a a số nguyên tố HD: - Chứng minh f đơn ánh f 1  ? - Dễ thấy f  f  n    n n   Thay n f  n  có:   f m f  f  n    mf  n  f  m   f  m n   mf  m  f  n  Vậy f  m   mf  m  m f  m n   mf  m  f  n   f  m  f  n  , nghĩa f nhân tính tập hợp số phương Giả sử f  2003  a với a hợp số, nghĩa a  mn với m  n  Khi đó: f  f  2003   f  a   f  m n   2003  f  m  f  n  Vô lý 2003 số nguyên tố 19 Tìm tất hàm f : *  * thỏa mãn điều kiện: (i) f tăng thực (ii) f  mf  n    n f  mn  m, n  * HD: - Thay m  ta có: f  f  n    n f  n  - Giả sử f  n   n  f  f  n    f  n   n f  n   f  n   f  n   n , vô lý - Tương tự ta chứng minh được: f  n   n Vậy f  n   n n  * 20 Tìm tất hàm f thỏa mãn hai điều kiện: (i) m, n   f  m  n   f  m   f  n  (ii) m, n   mà m  n f  m   f  n  HD: - Cho m  n  ta f  n   f  n   f   f  m   f  m   f   Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Tốn Do f  m   f  n   f  m   f  n    - Cho m  n  có f    hay f    + Nếu f    ta có: f  m   f  m    f 1   f       12  f   Từ đẳng thức: f 22 n 2n 1 n  1 , quy nạp ta có: f 22  n    k 1 k    f  n  f 2   f  n  Với n tùy ý ln có số k cho 22  n  22  f 22 k 1 2k + Nếu f     f 1  f 1  Với f 1  ta có hàm số f  n   với f 1  ta có f  n   2n 21 Xác định hàm số f :    thỏa mãn điều kiện: f  f  n   f  m    n  m n, m   HD: Giả sử tồn hàm f thỏa mãn yêu cầu toán - Chứng minh f đơn ánh ? - n  * ta có: f  f  n   f  n    n  n  2n   n  1   n  1  f  f  n  1  f  n  1   f  n   f  n   f  n  1  f  n  1  f  n  1  f  n   f  n   f  n  1 n    f hàm tuyến tính tức f có dạng: f  n   an  b Thử lại ta có: a  an  b    am  b    b  m  n   a  1, b  Suy ra: f  n   n 22 Cho f :    Chứng minh tồn x0   cho: f  f  x0     x04 HD: Giả sử: f  f  x     x x   Dễ thấy: f 1   f   ; f     f 1 Suy ra: f 1  f    f 1  f     f 1  f     f 1  f     f 1  f    Chứng minh f 1  f    ?  f 1  f    Khi đó:  f 1  f     f 1  f       2  f 1  f    hay f 1  1, f    f 1  0, f    Giả sử: f 1  1, f    Suy ra: f  f 1   f 1 , f  f     f   Điều mâu thuẫn Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán 23 Tìm tất hàm f :    thỏa mãn điều kiện: (i) f  f  n    f  n  (ii) f  f  m   f  n    f  m  n  (iii) f nhận vô số giá trị HD: Giả sử tồn m1  m2 mà f  m1   f  m2  Ta xem m2  m1 Khi với n ta có: f  f  m1   f  n    f  f  m2   f  n    f  m1  n   f  m2  n  Dễ có f  n   f  n  d  với d  m2  m1  Như f hàm tuần hoàn nhận hữu hạn giá trị Điều mâu thuẫn với (iii) Suy f đơn ánh Từ (i) có f  n   n n   24 Tìm tất hàm f :    thỏa mãn f  n  m   f  n  m   f  3n  m, n   n  m HD: - Cho m  ta có: f  n   f  3n  n  * - Cho m  n  ta được: f    f    f    - Cho m  n ta được: f  2n   f  3n  n  * Suy ra: f  4m   f  6m   f  2.3m   f  3.3m   f  9m  Như thế: f  2m   m  * Cuối m  * ta có: f  m   1 f  3m   f  2m   Kiểm tra hàm số: f  n   n  * thỏa mãn u cầu tốn 25 Tìm tất hàm f :    thỏa mãn: f  x  y   f  x   f  y   xy x, y   HD: Từ điều kiện tốn ta có: f  x  y    x  y   f  x   x  f  y   y Đặt g  x   f  x   x , g  x  y   g  x   g  y  Dễ dàng có: g    Đặt g 1  k Chứng minh quy nạp: g  nx   ng  x  x    1 1 1 k Lại có: k  g 1  g  n   ng    g    n  * n n n n       Với x  k m m  1 1   , ta có: g  x   g    g  m   mg    m  kx Hơn n n n  n n g    g  x   g   x   g   x    g  x  Do đó: g  x   kx x   Suy ra: f  x   x  kx Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán  x  y  f  x  f  y 26 Tìm tất hàm f :    thỏa mãn: f  x, y   x  y chia hết    cho HD:   3n  f    f  3n  Với n   ta có: f  n   f   f  n   f    f  3n  (*)     n  2n  f  n   f  2n  Và f  n   f   f  n   f  2n      3n  3n  f  3n   f  3n  Lại có: f  n   f  2n   f   f  3n     Vậy f  n   f  2n   f  3n  Do để ý đến (*) ta có: f  n   f   Suy f hàm 27 Tìm tất hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  n   f  f  n    n n   HD: Giả sử f hàm số thỏa mãn yêu cầu toán Đặt: g  n   f  n   n Khi đó: g  f  n    g  n  n   (*)      Áp dụng liên tiếp hệ thức (*) ta suy ra: g  n   g  f  n    22 g f  f  n     m g f f  f  n    m Như g  n  chia hết cho 2m m   Điều xảy g  n   hay f  n   n 28 Tìm tất hàm f :    thỏa mãn điều kiện: f  x  f  y    y  f  x  x, y   HD: - Chứng minh f đơn ánh? - Thay y  f  x  ta có f  x3  y   , nghĩa tồn số a cho f  a   Đặt f    b Tìm cách chứng minh f    ? - Thay y  vào điều kiện toán ta được: f  x3   f  x  x   Từ f 1  f 1  f 1  f 1  1 Nhưng f đơn ánh f    nên xảy hai khả năng: a) TH: f 1  Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 10 www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Thay x  y f  y  ta được:   f  f  f  y    f  y   f 1  f  y  1  f  y   hay f  x  1  f  x   x   Bằng quy nạp, ta dễ dàng chứng minh được: f  x   x x   b) TH: f 1  1 Dễ dàng chứng minh f  x    x x   29 Cho hàm số f :    thỏa mãn điều kiện: f  x  y   f  x   n Chứng minh với số tự nhiên n ta có:  f 2   f 2   n i y x, y   x n  n  1 i 1 HD: Cho x  y  2i i   ta có: f  2i  2i   f  2i   2i  f  2i 1   f  2i   i Do đó: f  2n   f  2i   f  2n   f  2n 1   f  2n 1   f  2n     f  2i 1   f  2i   f  2n   f  2n 1   f  2n 1   f  2n     f  2i 1   f  2i   n  i n Vì n n 1 n  n  1 i 1 i 1  f 2   f 2   n  i   i  n i i 1 30 Cho hàm số f  n  xác định tập hợp số nguyên dương * thỏa mãn điều kiện: (i) f  p   p nguyên tố (ii) f  mn   mf  n   nf  m  m, n  * Hãy tìm giá trị n cho f  n   n HD: Ta xét hàm f xác định sau: Với p nguyên tố f  p k   kp k 1 k Với n  p1m1 p2m2 pkmk đặt f  n    i 1 mi n pi Dễ kiểm tra hàm số thỏa mãn điều kiện (i) (ii) Hơn hàm thỏa mãn đề k Ta thấy f  n   n   i 1 mi  Từ xác định n có dạng n  p n với p số nguyên tố pi 31 Chứng minh tồn vô số hàm số f :    thỏa mãn điều kiện: * (i) f  f  n    n n  * * (ii) f  n   n n  * Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 11 www.MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán HD: - Dễ chứng minh f đơn ánh? - Giả sử f  m   n , f  n   f  f  m    m , từ (ii) ta phải có m  n - Hàm f xây dựng sau: chia tập hợp số tự nhiên phân thành hai tập vô hạn S  m1 , m2 ,  ; T  n1 , n2 , , đặt f  mk   nk f  nk   mk Hiển nhiên có vơ hạn hàm f xây dựng cách 32 Hãy tìm tất hàm tăng thực f : *  * thỏa mãn: f  mf  n    nf  2m  m, n  * HD: - Chứng minh f đơn ánh? - Thay m  n  vào phương trình ta f  f 1   f   - Vì f đơn ánh nên f 1  - Từ cho phép ta dự đoán f  n   2n - Thay m  ta f  f  n    nf   n  *   Khi f f  f  n    f  nf     f  n  f    f  2n  Ta chứng minh f  n   2n n  * Giả sử có n mà f  n   2n Do f tăng thực sử dụng f  n  f    f  2n  ta có: f  f  n    f  2n   nf    f  2n   2nf    f  2n   f  n  f    f  n   2n mâu thuẫn Giả sử có n mà f  n   2n Khi f  f  n    f  2n   2nf    f  2n   f  n  f    f  n   2n , vô lý Vậy f  n   2n n  * Thử lại thấy 33 Cho hàm f : *  * Giả sử với n ta có: f  f  n    f  n  1 Chứng minh f  n   n n  * HD: Gọi a số nhỏ tập hợp  f  f 1  , f  2 , f  f    , f 3 , , f  f  n 1  , f  n  , f  f  n   , f  n  1 ,  Khi a phải có dạng f  f  n   suy f  n   Tiếp theo chứng minh f 1  f  n   n  Bằng quy nạp chứng minh f  k   k f  n   k n  k Từ dẫn đến kết luận toán Văn Phú Quốc, GV Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com 12 www.MATHVN.com ... Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www .MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10... Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www .MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Tốn học tồn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10... Trường ĐH Quảng Nam - DĐ: 0934 825 925 -Mail: vpquocdhqn@gmail.com www .MATHVN.com MATHVN.COM - Toán Học Việt Nam Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10