SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2011 -2012 MÔN: TỐN 12 – THPT Thời gian: 180 phút (khơng kể phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 10/11/2011 Đề thi có 01 trang Bài (4,0 điểm) Cho hàm số y = x − x có đồ thị (C) Tìm tất điểm đồ thị (C) cho hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) 4x + điểm giá trị lớn hàm số: g(x) = x +1 Bài (5,0 điểm) Giải phương trình sau tập số thực R: 1/ cosx + 3(sin2x + sinx) - 4cos2x.cosx - 2cos x + = 2/ x − 2x + x − 2(x − x) = Bài (5,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cân có AB = AC = a (a số thực dương) mặt bên ACC’A’ hình chữ nhật có AA’=2a Hình chiếu vng góc H đỉnh B lên mặt phẳng (ACC’) nằm đoạn thẳng A’C 1/ Chứng minh thể tích khối chóp A’.BCC’B’ lần thể tích khối chóp B.ACA’ 2/ Khi B thay đổi, xác định vị trí H A’C cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ tích lớn 3/ Trong trường hợp thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ lớn nhất, tìm khoảng cách AB A’C Bài (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(1;1); B(–2;–4); C(5;–1) uuuur uuuur uuuur đường thẳng ∆ : 2x – 3y + 12 = Tìm điểm M∈∆ cho: MA + MB + MC nhỏ Bài 5(3 điểm) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Cho m số nguyên thỏa mãn: < m < 2011 Chứng minh (m + 2010)! m!2011! số nguyên HẾT a) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu b) Giám thị khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh…………………… ……………… Số báo danh……… http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 1012 TỈNH ĐẮK LẮK MƠN: TỐN 12 – THPT ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM (gồm trang) A ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM Bài(ý) Nội dung đáp án Biểu điểm Bài (4 đ) * Tìm giá trị lớn hàm số: g(x) = 4x + x +1 - Đặt t = x2, với t ≥ ta có hàm số g(t) = 4t + ; t +1 - g'(t) = −4t − 6t + (t +1) 2 ; g’(t) = ⇔ t = −2; t = ; 0,75 g (t ) = ; lim g (t ) = , bảng biến thiên hàm số: - Ta lại có: tlim →−∞ t →+∞ t −∞ g’(t) g(t) –2 – 0 + + +∞ – 0,5 –1 - Vậy giá trị lớn hàm số g (x) = 4, đạt x = ± * Tìm điểm thuộc đồ thị (C) - Ta có: y’ = 3x2 – x , giả sử điểm M0(x0, f(x0)) ∈ (C), hệ số góc tiếp tuyến (C) M 0,75 f’(x0)= 3x 02 − x 4 40 - Vậy: 3x 02 − x = suy x0 = –1; x0 = , tung độ tương ứng f(–1) = – ; f( ) = 3 27 + Có hai điểm thỏa mãn giải thiết (–1;– 0,5 40 ); ( ; ) 27 1,0 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Phương trình ⇔ 0,5 cosx + 2cos2x + sinx(2cosx + 1) – 4cos2x.cosx – 2(2cos2 x – ) = ⇔ cosx(2cosx + 1)+ sinx(2cosx + 1)–2.cos2x(2cosx + 1) = Bài (5 đ) ⇔ (2cosx + 1)(cosx + sinx –2.cos2x) = Nếu: 1/ 2cosx + = ⇒ x = ± 1/ (2,5 đ) 2/ cosx + 2π + k 2π , k ∈ Z 3 sinx –2.cos2x = ⇔ 1,0 π π π k 2π ;k ∈Z , cos x + sin x = cos x ⇔ cos( x − ) = cos x ⇔ x = − + k 2π ; x = + 3 2 0,5 - Nghiệm pt là: x=± 2π π π k 2π + k 2π , k ∈ Z ; x = − + k 2π ; x = + ;k ∈Z 3 0,5 0,5 2/ (2,5 đ) - Phương trình ⇔ x − 2x + x − ( x − x) − 2(x − x) = ⇔ (x − x)2 − ( x − x) − 2(x − x) = 1,0 - Đặt t = x − x , với t ≥ ta có phương trình: t4 – t2 – t = 0; suy t = 0; t = 0,75 - Với t = x = 0; x = - Với t = x = –1; x = Tóm lại phương trình có nghiệm phân biệt: { −1;0;1; 2} B B’ Bài (5 đ) J C C’ http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0,75 H A 1/ A’ Gọi V thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, VB.ACA’ thể tích khối chóp B.ACA’, (1, đ) - Ta có V = h.SABC (h chiều cao khối lăng trụ ABC.A’B’C’) - Ta có VB.ACA’ = - h.SABC Vậy V= 3.VB.ACA’ hay VA’.BCC’B’ = 2.VB.ACA’ 1,0 - Ta có V= 3.VB.ACA’ 2/ (2 đ) Vậy V lớn VB.ACA’ lớn nhất, a2 - Ta có: VB ACA' = S ACA ' BH hay VB ACA' = BH , mà BH2 = AB2 – AH2 = a2 – AH2 – 3 BH lớn AH nhỏ tức AH ⊥ A’C ⇔ CH = 0,5 a 1,5 3/ (2 đ) - Trong mp(AHB) kẻ HJ ⊥ AB, suy HJ đường vng góc chung AB A’C 1 4a 2 = + - Trong ta giác vng AHB ta H ta có: , ta có: HA = ; HJ HA2 HB 0,5 2a a2 ; suy ra: HJ = HB = 5 1,5 4 Gọi G trọng tâm tam giác ABC ta có tọa độ G G( ; − ) 3 uuuur uuuur uuuur uuuu r - Khi đó: MA + MB + MC = 3MG , G ∆ cố định (G không nằm ∆ ), Bài http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0,5 (3 đ) uuuur uuuur uuuur uuuu r - Vậy MA + MB + MC nhỏ 3MG nhỏ nhất, tức MG nhỏ hay MG vng góc với ∆ Do M giao điểm ∆ đường thẳng d qua G vng góc với ∆ 0,5 r - Một véc tơ phương ∆ u = (3; 2) vec tơ pháp tuyến d, phương trình d là: 3x + 2y – 0,5 = 0, Tọa độ M nghiệm hệ phương trình: 0,5 20 x=− x − y + 12 = 13 ⇒ x + y − = y = 116 39 ⇒ M (− 20 116 ; ) 13 39 y 1,0 M A -6 -2 O -1 x G -4 Ta có: 2010 Cm+2010 = (m + 2010)! 2011 (m + 2011)! 2011 = Cm2011 = + 2011 m !2010! m + 2011 m !2011! m + 2011 2010 2011 2010 Suy ra: (m+ 2011)Cm+2010 = 2011.Cm + 2011 , tức là: (m+ 2011)Cm+2010 chia hết cho 2011 (do Bài ( đ) 2010 2011 Cm+2010 ; Cm + 2011 số tự nhiên) Vì: 2011 số nguyên tố < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: ƯCLN(m + http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 1,0 2011, 2011)= 2010 Vậy Cm+2010 M2011 hay (m + 2010)! số nguyên m!2011! 1,0 1,0 B HƯỚNG DẪN CHẤM 1/ Điểm làm theo thang điểm 20, tổng điểm thành phần khơng làm trịn số 2/ Nếu thí sinh làm cách khác cho điểm tối đa phần Hết http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word