ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH VÀO ĐỘI TUYỂN QUÓC GIA DỰ THI OLYMPIC TOÁN HỌC QUỐC TẾ NĂM 2011 Ngày thi thứ (09/4/2011) Thời gian làm bài: 240 phút Bài (5,0 điểm) Tại điểm (1; 1) mặt phẳng tọa độ Oxy, có cào cào Từ điểm đó, cào cào nhảy đến điểm nguyên dương khác theo quy tắc: từ điểm nguyên dương A, cào cào nhảy đến điểm nguyên dương B tam giác AOB có diện tích 1/ Tìm tất điểm nguyên dương (m; n) mà cào cào nhảy đến sau số hữu hạn bước nhảy, xuất phát từ điểm (1; 1) 2/ Giả sử (m; n) điểm ngun dương có tính chất nêu câu 1/ Chứng minh tồn cách nhảy cào cào từ điểm (1; 1) đến điểm (m; n) mà số bước nhảy không vượt |m – n| (Điểm (x; y) gọi điểm nguyên dương x y số nguyên dương) Bài (7,0 điểm) Trong mặt phẳng, cho đường tròn (O) điểm A nằm ngồi đường trịn Qua A, kẻ tiếp tuyến tới (O); gọi B C tiếp điểm Xét điểm P di động tia đối tia BA điểm Q di động tia đối tia CA cho đường thẳng PQ tiếp xúc với (O) Đường thẳng BC cắt đường thẳng qua P, song song với AC E cắt đường thẳng qua Q, song song với AB F Chứng minh 1/ Đường thẳng EQ qua điểm cố định, gọi M; đường thẳng FP qua điểm cố định, gọi N 2/ Tích PM.QN khơng đổi Bài (8,0 điểm) Cho số nguyên n ≥ Xét n số thực x1 , x2 , … , xn thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i/ x1 ≥ x2 ≥ ≥ xn ; ii/ n ∑ xi = 0; i =1 iii/ n ∑ xi2 = n(n – 1) i =1 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ tổng S = x1 + x2 Ngày thi thứ hai (10/4/2011) Thời gian làm bài: 240 phút Bài (6,0 điểm) Cho dãy số nguyên dương (an) xác định ⎡ a2 ⎤ a0 = 1, a1 = an + = + ⎢ n + ⎥ với n ≥ ⎢⎣ an ⎥⎦ Chứng minh an + an − an2 + = 2n với số tự nhiên n ([x] kí hiệu phần nguyên số thực x) Bài (7,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho 2n + 2.(2n − 1) − 8.3n + số phương Bài (7,0 điểm) Cho n số nguyên lớn Có n học sinh ngồi quanh bàn trịn, em có số kẹo (có thể có em khơng có kẹo nào) tổng số kẹo tất em bội n Các em thực việc chuyển kẹo cho sau: Với số kẹo em có lúc đầu, có em có nhiều kẹo bạn ngồi bên phải em (tùy ý) số em chuyển kẹo cho bạn ngồi bên phải Với số kẹo em có sau lần chuyển thứ nhất, có em có nhiều kẹo bạn ngồi bên phải em (tùy ý) số em lại chuyển kẹo cho bạn ngồi bên phải Quá trình chuyển kẹo tiếp tục Chứng minh sau số hữu hạn lần chuyển kẹo vậy, tất em có số kẹo - HẾT -