*Ngày thi th hai... ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIADỰ THI IMO 2003 *Ngày thi thứ nhất.. *Ngày thi th hai... Cho tam giác ABC có H là tr c tâm... Cho tam giác ABC.
Trang 1Đ THI CH N Đ I TUY N QU C GIA Ề Ọ Ộ Ể Ố
D THI IMO 2001 Ự
*Ngày thi th nh t ứ ấ
Bài 1
Cho dãy s nguyên ố ( ),a n n∈¥ đ c xác đ nh b i ượ ị ở 0 1
3
a a a − a
= = + v i m i ớ ọ n∈¥
Ch ng minh r ng v i m i s nguyên t ứ ằ ớ ọ ố ố p≤13, t n t i vô s s nguyên dồ ạ ố ố ương k th a mãnỏ
k
a chia h t cho p.ế
Bài 2.
Trong m t ph ng, cho hai đặ ẳ ường tròn c t nhau t i hai đi m phân bi t A và B G i PT là ắ ạ ể ệ ọ
m t trong hai ti p tuy n chung c a độ ế ế ủ ường tròn (P, T là các ti p đi m) Ti p tuy n t i P và ế ể ế ế ạ
T c a đủ ường tròn ngo i ti p tam giác APT c t nhau t i S G i H là đi m đ i x ng v i B qua ạ ế ắ ạ ọ ể ố ứ ớ PT
Ch ng minh r ng A, S, H th ng hàng.ứ ằ ẳ
Bài 3
M t câu l c b có 42 thành viên sao cho trong 31 thành viên b t kì, luôn t n t i ít nh t ộ ạ ộ ấ ồ ạ ấ
m t c p nam và n quen bi t nhau Ch ng minh r ng có th ch n ra độ ặ ữ ế ứ ằ ể ọ ược 12 c p nam và ặ
n đôi m t khác nhau có quen bi t nhau t câu l c b ữ ộ ế ừ ạ ộ
*Ngày thi th hai ứ
Bài 4
Xét các s th c dố ự ương th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ 21ab+2bc+8ca≤12
Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ P a b c( , , ) 1 1 1
a b c
Bài 5
Cho s nguyên dố ương n l n h n 1 Trong không gian vuông góc ớ ơ Oxyz , g i T là t p h p t t ọ ậ ợ ấ
c các đi m có t a đ là ả ể ọ ộ ( , , )x y z v i ớ , ,x y z là các s nguyên d ng th a mãn ố ươ ỏ 1≤x y z n, , ≤
Tô màu t t c các đi m thu c t p h p T sao cho: n u đi m ấ ả ể ộ ậ ợ ế ể A x y z đ( , , )0 0 0 ược tô màu thì
nh ng đi m có d ng ữ ể ạ B x y z v i ( , , )1 1 1 ớ x1 ≤x y0, 1 ≤y z0, 1≤z0 sẽ không được tô màu
Tìm giá tr l n nh t các đi m đị ớ ấ ể ược tô màu th a mãn đi u ki n trên ỏ ề ệ
Bài 6
Cho dãy { },a n n∈¥ th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ 0<a n+1− ≤a n 2001 v i m i n nguyên dớ ọ ương
Ch ng minh r ng t n t i vô s c p s nguyên dứ ằ ồ ạ ố ặ ố ương ( , )p q th a mãn ỏ p q< và a là m t p ộ
c nguyên d ng c a
Trang 2Đ THI CH N Đ I TUY N QU C GIA Ề Ọ Ộ Ể Ố
D THI IMO 2002 Ự
*Ngày thi th nh t ứ ấ
Bài 1
Tìm t t c các tam giác ABC có C là góc nh n và đấ ả ọ ường trung tr c c a đo n th ng BC c t ự ủ ạ ẳ ắ các tia Ax và Ay, là các tia chia góc BAC thành ba ph n b ng nhau (ầ ằ BAx xAy· =· =·yAC) t i ạ các đi m M và N tho mãn ể ả AB NP= 2= HM , trong đó H là hình chi u vuông góc c a A ế ủ trên C và M là trung đi m c a đo n th ng BC.ể ủ ạ ẳ
Bài 2
Người ta ghi lên b ng m t s nguyên dả ộ ố ươngN Hai ng0 ười A và B ch i trò ch i trò ch i ơ ơ ơ sau: Người A xoá s ố N r i ghi lên b ng s 0 ồ ả ố 0
3
N
N ∈N −
Ti p theo ngế ười B xoá s Nố
r i ghi lên b ng s ồ ả ố 1
3
N
N ∈N −
Đ n lế ượt mình người A l i th c hi n phép toán ạ ự ệ trên đ i v i ố ớ N N2, 3, Trò ch i c ti p t c cho đ n khi trên b ng xu t hi n s 0 Ngơ ứ ế ụ ế ả ấ ệ ố ười ghi
s 0 đ u tiên đố ầ ược coi là th ng cu c, ngắ ộ ười còn l i b coi là thua cu c ạ ị ộ
H i ai, ngỏ ười A hay người B, là người có cách ch i đ ch c ch n th ng n u: ơ ể ắ ắ ắ ế
1) N0 =120?
2) 0 32002 1
2
N = − ?
3) 32002 1
2
N = + ?
Bài 3
Cho s nguyên dố ương m có m t ộ ước nguyên t l n h n ố ớ ơ 2m+1 Hãy tìm s nguyên ố
dương M nh nh t sao cho t n t i m t t p h p g m h u h n s nguyên dỏ ấ ồ ạ ộ ậ ợ ồ ữ ạ ố ương đôi
m t khác nhau tho mãn đ ng th i các đi u ki n sau: ộ ả ồ ờ ề ệ
i) m và M tương ng là s nh nh t và s l n nh t trong T ứ ố ỏ ấ ố ớ ấ
ii) Tích t t c các s thu c T là m t s chính phấ ả ố ộ ộ ố ương
*Ngày thi th hai ứ
Bài 4
Cho s nguyên dố ương n≥2 và cho b ng ô vuông kích thả ước n×2n(b ng g m n ả ồ hàng và 2n c t) Ngộ ười ta đánh d u m t cách ng u nhiên ấ ộ ẫ n ô vuông con c a b ng 2 ủ ả
Trang 3Ch ng minh r ng v i m i s nguyên k mà ứ ằ ớ ỗ ố 1 1
2
n
k
≤ ≤ + , luôn t n t i k hàng sao cho b ng ồ ạ ả
ô vuông kích thước k×2n, đượ ạc t o nên t k hàng đó, có không ít h nừ ơ
k n k
− + − + − c t ch g m các ô độ ỉ ồ ược đánh d u ấ
Bài 5
Hãy tìm t t c các đa th c ấ ả ứ P x v i h s nguyên sao cho đa th c sau( ) ớ ệ ố ứ
( ) ( 6 10) ( ) 1
Q x = x + x+ P x −
là bình phương c a m t đa th c v i h s nguyên.ủ ộ ứ ớ ệ ố
Bài 6
Ch ng minh r ng t n t i s nguyên ứ ằ ồ ạ ố m≥2002và m s nguyên d ố ươ ng đôi m t khác nhau ộ
1, , , ,2 3 m 1, m
a a a a − a sao cho s ố 2 2
1 1
4
i i
=
=
∏ là s chính ph ố ươ ng
Trang 4ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA
DỰ THI IMO 2003
*Ngày thi thứ nhất.
Bài 1
Trong m t ph ng t a đ , cho b n đi m phân bi t ặ ẳ ọ ộ ố ể ệ A(0,0), ( ,0), ( , ), ( , )B p C m q D m n v iớ , , ,
m n p q là b n s nguyên d ng th a mãn ố ố ươ ỏ p m< và n q< Xét m t độ ường đi f t A đ n D ừ ế
và m t độ ường đi G t B đ n C th a mãn đi u ki n: các đừ ế ỏ ề ệ ường này ch đi theo chi u dỉ ề ương
c a tr c t a đ và ch đ i hủ ụ ọ ộ ỉ ổ ướng t i các đi m có t a đ nguyên G i S là s các c p đạ ể ọ ộ ọ ố ặ ường
đi ( , )f g sao cho chúng không có đi m chung ể
Ch ng minh r ng: ứ ằ n q q n
m n m q p m q m n p
S C= + C + − −C + C + −
Bài 2
Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngo i ti p G i H, K, L l n lạ ế ọ ầ ượt là chân các đường vuông góc k t các đ nh A, B, C c a tam giác ABC G i Aẻ ừ ỉ ủ ọ 0, B0, C0 l n lầ ượt là trung đi m c a ể ủ các đường cao AH, BK, CL Đường tròn n i ti p tâm I c a tam giác ABC ti p xúc v i các ộ ế ủ ế ớ
đo n BC, CA, AB l n lạ ầ ượ ạt t i D, E, F
Ch ng minh r ng ứ ằ A D B E C F cùng đi qua m t đi m và nó n m trên đ0 , 0 , 0 ộ ể ằ ường th ng OI ẳ (N u O trùng I thì coi OI là đế ường th ng tùy ý qua O).ẳ
Bài 3
Cho hàm s ố f :¢ ¥× →¢ th a mãn đ ng th i các đi u ki n sau:ỏ ồ ờ ề ệ
i) f(0,0) 5= 2005, (0, ) 0f n = v i m i n là nguyên khác 0.ớ ọ
f m n = f m− n − − + − − + − +
v i m i s t nhiên m và m i s nguyên n.ớ ọ ố ự ọ ố
Ch ng minh r ng t n t i s nguyên dứ ằ ồ ạ ố ương N sao cho f m n( , )= f n m( , ),∀m n N, ≥ v i ớ n∈¥
*Ngày thi th hai ứ
Bài 4
Trên các c nh c a ạ ủ ∆ABC l y Mấ 1, N1, P1 sao cho các đo n MMạ 1, NN1, PP1 chia đôi chu vi tam giác, trong đó M, N, P l n lầ ượt là trung đi m c a BC, CA, AB ể ủ Ch ng minh r ng:ứ ằ
1 Các đường th ng MMẳ 1, NN1, PP1 đ ng quy t i m t đi m ồ ạ ộ ể G i đi m đó là K.ọ ể
2 Trong các t s ỉ ố KA, KB, KC
BC CA ABcó ít nh t m t t s không nh h n ấ ộ ỉ ố ỏ ơ 1
3
Bài 5
Trang 5Cho A là t p h p t t c các hoán v ậ ợ ấ ả ị a=( , , , ,a a a1 2 3 a2003) c a 2003 s nguyên dủ ố ương đ u ầ tiên và m i hoán v th a mãn đi u ki n: không có t p con S nào c a A mà ỗ ị ỏ ề ệ ậ ủ { |a k S k ∈ }=S
V i m i ớ ỗ a=( , , , ,a a a1 2 3 a2003)∈A, kí hi u ệ
2003
2 1
k
=
1 Tìm giá tr nh nh t c a ị ỏ ấ ủ d a , g i giá tr nh nh t đó là ( ) ọ ị ỏ ấ d 0
2 Tìm t t c các hoán v ấ ả ị a A∈ th a mãn ỏ d a( )=d0
Bài 6
Cho n là s nguyên dố ương Ch ng minh r ng s ứ ằ ố 2 1n+ không có ước nguyên t nào có d ngố ạ
8k+7 v i k là s nguyên dớ ố ương
Trang 6Đ THI CH N Đ I TUY N QU C GIA Ề Ọ Ộ Ể Ố
D THI IMO 2004 Ự
*Ngày thi th nh t ứ ấ
Bài 1
Xét t p h p S g m 2004 s nguyên dậ ợ ồ ố ương phân bi t ệ a a a1, , , ,2 3 a2003,a2004 có tính ch t: N uấ ế
v i m i ớ ỗ i=1, 2,3 , 2004, ta ký hi u ệ f a là s các s th c thu c S nguyên t cùng nhau ( )i ố ố ự ộ ố
v i ớ a thì ( ) 2003 i d a i < và ( )f a i = f a( )j v i m i ớ ọ ,i j∈{1, 2,3, , 2004}
Hãy tìm s nguyên dố ương k nh nh t sao cho trong m i k – t p con c a m t t p S tuỳ ý có ỏ ấ ỗ ậ ủ ộ ậ tính ch t nêu trên đ u t n t i hai s phân bi t mà ấ ề ồ ạ ố ệ ướ ốc s chung l n nh t c a chúng khác ớ ấ ủ
1
(k - t p con là t p con có k ph n t ).ậ ậ ầ ử
Bài 2
Hãy xác đ nh t t c các s th c mà ng v i m i , có m t và ch m t hàm s f xác đ nh ị ấ ả ố ự α ứ ớ ỗ α ộ ỉ ộ ố ị trên t p h p ậ ợ ¡ , l y giá tr trong ấ ị ¡ và tho mãn h th cả ệ ứ
f x + +y f y = f x +αy
v i m i x, y thu c ớ ọ ộ ¡
Bài 3
Trong m t ph ng, cho hai đặ ẳ ường tròn ( )O và 1 ( )O c t nhau t i A và B Các ti p tuy n t i A2 ắ ạ ế ế ạ
và B c a đủ ường tròn( )O c t nhau t i đi m K Xét m t đi m M (không trùng v i A và B) 1 ắ ạ ể ộ ể ớ
n m trên đằ ường tròn( )O G i P là giao đi m th hai c a đ1 ọ ể ứ ủ ường th ng MA và đẳ ường tròn
2
( )O G i C là giao đi m th hai c a đọ ể ứ ủ ường th ng MK và đẳ ường tròn ( )O G i Q là giao 2 ọ
đi m th hai c a để ứ ủ ường th ng CA và đẳ ường tròn ( )O Ch ng minh r ng: 2 ứ ằ
1) Trung đi m c a đo n th ng P Q n m trên để ủ ạ ẳ ằ ường th ng MC ẳ
2) Đường th ng PQ luôn đi qua m t đi m c đ nh khi M di đ ng trên đẳ ộ ể ố ị ộ ường tròn( )O 1
*Ngày thi th hai ứ
Bài 4
Cho dãy s ố ( ),x n n =1, 2,3, xác đ nh b i ị ở x1 =603,x2 =102,x n+2 =x n+1+ +x n x n+1× −x n 2 v i ớ
m i ọ n≥1 Ch ng minh r ngứ ằ
1) T t c các s h ng c a dãy s đã cho đ u là các s nguyên dấ ả ố ạ ủ ố ề ố ương
2) T n t i vô s s nguyên dồ ạ ố ố ương n sao cho bi u di n th p phân c a ể ễ ậ ủ x có b n ch s n ố ữ ố
t n cùng là 2003 ậ
3) Không t n t i s nguyên dồ ạ ố ương n mà bi u di n th p phân c a ể ễ ậ ủ x có b n ch s t n n ố ữ ố ậ cùng là 2004
Trang 7Bài 5
Xét l c giác l i ABCDEF G i ụ ồ ọ A B C D E F l n l1, , ,1 1 1, ,1 1 ầ ượt là trung đi m c a các c nh AB, ể ủ ạ
BC, CD, DE, EF, F A Ký hi u p và ệ p t1 ương ng là chu vi c a l c giác ABCDEF và c a l c ứ ủ ụ ủ ụ giác A B C D E F Gi s l c giác 1 1 1 1 1 1 ả ử ụ A B C D E F có t t c các góc trong b ng nhau 1 1 1 1 1 1 ấ ả ằ
Ch ng minh r ng: ứ ằ 2 3 1
3
p≥ p
H i d u đ ng th c x y ra khi và chi khi nào?ỏ ấ ẳ ứ ả
Bài 6
Cho S là m t t p h p g m m t s s nguyên dộ ậ ợ ồ ộ ố ố ương mà s nh nh t và s l n nh t trong Số ỏ ấ ố ớ ấ
là hai s nguyên t cùng nhau ố ố V i m i s t nhiên n, ký hi u ớ ỗ ố ự ệ S n là t p h p g m t t c các s tậ ợ ồ ấ ả ố ự
nhiên mà m i s đ u là t ng c a nhi u nh t n s (không nh t thi t đôi m t khác nhau) thu c t p ỗ ố ề ổ ủ ề ấ ố ấ ế ộ ộ ậ
S Quy ướ c 0 là t ng c a 0 s thu c S G i a là s l n nh t trong S ổ ủ ố ộ ọ ố ớ ấ
Ch ng minh r ng t n t i s nguyên d ứ ằ ồ ạ ố ươ ng k và s nguyên b sao cho ố S n =an b+ v i m i ớ ọ n k> ( X ký hi u s ph n t c a t p h p X) ệ ố ầ ử ủ ậ ợ
Trang 8Đ THI CH N Đ I TUY N QU C GIA Ề Ọ Ộ Ể Ố
D THI IMO 2005 Ự
*Ngày thi th nh t ứ ấ
Bài 1 Cho tam giác ABC có (I) và (O) l n lầ ượt là các đường tròn n i ti p, ngo i ti p.ộ ế ạ ế
G i D, E, F l n lọ ầ ượt là ti p đi m c a (I) trên các c nh BC, CA, AB G i ế ể ủ ạ ọ ω ω ωA, B, C l n lầ ượt
là các đường tròn ti p xúc v i hai đế ớ ường tròn (I) và (O) l n lầ ượ ạt t i các đi m D, K (v i ể ớ
đường tròn ωA); t i E, M (v i đạ ớ ường tròn ωB) và t i F, N (v i đạ ớ ường tròn ωC) Ch ng minh ứ
r ng:ằ
1 Các đường th ng ẳ DK EM FN, , đ ng quy t i P.ồ ạ
2 Tr c tâm c a tam giác DEF n m trên đo n OP.ự ủ ằ ạ
Bài 2 Trên m t vòng tròn có n chi c gh độ ế ế ược đánh s t 1 đ n n Ngố ừ ế ười ta ch n ọ
ra k chi c gh Hai chi c gh đế ế ế ế ược ch n g i là k nhau n u đó là hai chi c gh đọ ọ ề ế ế ế ược ch n ọ liên ti p Hãy tính s cách ch n ra k chi c gh sao cho gi a hai chi c gh k nhau, không ế ố ọ ế ế ữ ế ế ề
có ít h n 3 chi c gh khác.ơ ế ế
Bài 3 Tìm t t c các hàm s ấ ả ố f :¢→¢ th a mãn đi u ki n:ỏ ề ệ
f x +y +z = f x + f y + f z
*Ngày thi th hai ứ
Bài 4 Ch ng minh r ng: ứ ằ
3
a b + b c + c a ≥
trong đó a b c, , là các s th c dố ự ương
Bài 5 Cho s nguyên tố ốp p ( >3) Tính:
a)
1
2
1
2
2
p
k
S
−
=
∑ n u ế p≡1 (mod 4)
b)
1
2 2
1
p
k
k S
p
−
=
∑ n u ế p≡1 (mod 8)
Bài 6 M t s nguyên dộ ố ương đượ ọc g i là “s kim c ố ươ ng 2005” n u trong bi u di n ế ể ễ
th p phân c a nó có 2005 s 9 đ ng c nh nhau liên ti p Dãy ậ ủ ố ứ ạ ế ( )a n ,n=1, 2,3, là dãy tăng
ng t các s nguyên dặ ố ương th a mãn ỏ a n <nC (C là h ng s th c dằ ố ự ương nào đó)
Ch ng minh r ng dãy s ứ ằ ố ( )a n ,n=1, 2,3, ch a vô h n ứ ạ “s kim c ố ươ ng 2005”.
Trang 9Đ THI CH N Đ I TUY N QU C GIA Ề Ọ Ộ Ể Ố
D THI IMO 2006 Ự
* Ngày thi th nh t ứ ấ
Bài 1. Cho tam giác ABC có H là tr c tâm Đự ường phân giác ngoài c a góc BHC c t ủ ắ các c nh AB, AC l n lạ ầ ượ ạt t i D và E Đường phân giác trong c a góc BAC c t đủ ắ ường tròn ngo i ti p tam giác ADE t i đi m K Ch ng minh r ng đạ ế ạ ể ứ ằ ường th ng HK đi qua trung đi m ẳ ể
c a BC.ủ
Bài 2 Hãy tìm t t c các c p s t nhiên ấ ả ặ ố ự (n k v i n là s nguyên không âm và k ; ) ớ ố
là s nguyên l n h n 1 sao cho số ớ ơ ố : A=172006n+4.172n+7.195n có th phân tích để ược thành tích c a k s nguyên dủ ố ương liên ti p.ế
Bài 3 Trong không gian cho 2006 đi m mà trong đó không có 4 đi m nào đ ng ể ể ồ
ph ng Ngẳ ười ta n i t t c các đi m đó l i b i các đo n th ng S t nhiên m g i là s t t ố ấ ả ể ạ ở ạ ẳ ố ự ọ ố ố
n u ta có th gán cho m i đo n th ng trong các đo n th ng đã n i b i m t s t nhiên ế ể ỗ ạ ẳ ạ ẳ ố ở ộ ố ự không vượt quá m sao cho m i tam giác t o b i ba đi m b t kì trong s các đi m đó đ u ỗ ạ ở ể ấ ố ể ề
có hai c nh đạ ược gán b i hai s b ng nhau và c nh còn l i gán b i s l n h n hai s đó.ở ố ằ ạ ạ ở ố ớ ơ ố Tìm s t t có giá tr nh nh t ố ố ị ỏ ấ
* Ngày thi th hai ứ
Bài 4 Ch ng minh r ng v i m i s th c ứ ằ ớ ọ ố ự x y z, , ∈[1; 2], ta luôn có b t đ ng ấ ẳ
th cứ sau :
1 1 1 (x y z)( ) 6( x y z )
x y z y z z x x y
H i đ ng th c x y ra khi và ch khi nàoỏ ẳ ứ ả ỉ ?
Bài 5 Cho tam giác ABC là tam giác nh n, không cân, n i ti p trong đọ ộ ế ường tròn tâm
O bán kính R M t độ ường th ng d thay đ i sao cho d luôn vuông góc v i OA và luôn c t các ẳ ổ ớ ắ tia AB, AC G i M, N l n lọ ầ ượt là giao đi m c a để ủ ường th ng d và các tia AB, AC Gi s các ẳ ả ử
đường th ng BN và CN c t nhau t i K; gi s đẳ ắ ạ ả ử ường th ng AK c t đẳ ắ ường th ng BC.ẳ
1 G i P là giao c a đọ ủ ường th ng AK và đẳ ường th ng BC Ch ng minh ẳ ứ
r ng đằ ường tròn ngo i ti p c a tam giác MNP luôn đi qua m t đi m c đ nh khi d thay đ i.ạ ế ủ ộ ể ố ị ổ
2 G i H là tr c tâm c a tam giác AMN Đ t BC = a và l là kho ng cách ọ ự ủ ặ ả
t đi m A đ n HK Ch ng minh r ng đừ ể ế ứ ằ ường th ng HK luôn đi qua tr c tâm c a tam giác ẳ ự ủ ABC
T đó suy ra: ừ l≤ 4R2−a2 Đ ng th c x y ra khi và ch khi nào?ẳ ứ ả ỉ
Bài 6 Cho dãy s th c ố ự ( )a đ n ược xác đ nh b i:ị ở
a
+
= = + v i m i n = 1, 2, 3, …ớ ọ
Trang 10Ch ng minh r ng v i m i s nguyên n, sứ ằ ớ ọ ố ố 2
3
n n
A a
=
− là m t s chính phộ ố ương và nó có ít
nh t n ấ ước nguyên t phân bi t.ố ệ
Trang 11Đ THI CH N Đ I TUY N QU C GIA Ề Ọ Ộ Ể Ố
D THI IMO 2007 Ự
*Ngày thi th nh t ứ ấ
Bài 1 Cho hai t p h p A,B là t p h p các s nguyên dậ ợ ậ ợ ố ương th a mãn ỏ A = B =n
(v i n là s nguyên dớ ố ương) và có t ng các ph n t b ng nhau Xét b ng ô vuông ổ ầ ử ằ ả n n×
Ch ng minh r ng ta có th đi n vào m i ô vuông c a b ng m t s nguyên không ứ ằ ể ề ỗ ủ ả ộ ố
âm th a mãn đ ng th i các đi u ki n: ỏ ồ ờ ề ệ
i/ T ng c a các ph n t m i hàng là các ph n t c a t p A.ổ ủ ầ ử ở ỗ ầ ử ủ ậ
ii/ T ng c a các ph n t m i c t là các ph n t c a t p B.ổ ủ ầ ử ở ỗ ộ ầ ử ủ ậ
iii/ Có ít nh t ấ (n−1)2 +k s 0 trong b ng v i k là s các ph n t chung c a A và B.ố ả ớ ố ầ ử ủ
Bài 2 Cho tam giác nh n ABC v i đọ ớ ường tròn n i ti p I G i ộ ế ọ ( )k là đ a ường tròn có tâm n m trên đằ ường cao c a góc A, đi qua đi m A và ti p xúc trong v i đủ ể ế ớ ường tròn (I) t iạ
1
A Các đi m ể B C xác đ nh t1, 1 ị ương t ự
1/ Ch ng minh ứ AA BB CC đ ng qui t i P.1, 1, 1 ồ ạ
2/ G i ọ ( ),( ),( )J a J b J l n l c ầ ượt là các đường tròn đ i x ng v i đố ứ ớ ường tròn bàng ti p ế các góc A, B, C c a tam giác ABC qua trung đi m BC, CA, AB ủ ể
Ch ng minh P là tâm đ ng phứ ẳ ương c a 3 đủ ường tròn nói trên
Bài 3 Cho tam giác ABC Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c sau:ị ỏ ấ ủ ể ứ
S
*Ngày thi th hai ứ
Bài 4 Tìm t t c các hàm s liên t c ấ ả ố ụ f :¡ →¡ th a mãn:ỏ
3 9
x
f x = f x + + v i m i ớ ọ x∈¡
Bài 5 Cho A là t p con ch a 2007 ph n t c a t p:ậ ứ ầ ử ủ ậ {1, 2, 3, , 4013, 4014} th a ỏ mãn v i m i ớ ọ a b A, ∈ thì a không chia h t cho b G i mế ọ A là ph n t nh nh t c a A.ầ ử ỏ ấ ủ
Tìm giá tr nh nh t c a mị ỏ ấ ủ A v i A th a mãn các đi u ki n trên.ớ ỏ ề ệ
Bài 6 Cho đa giác 9 c nh đ u (H) Xét ba tam giác v i các đ nh là các đ nh c a đa ạ ề ớ ỉ ỉ ủ giác (H) đã cho sao cho không có hai tam giác nào có chung đ nh.ỉ
Ch ng minh r ng có th ch n đứ ằ ể ọ ượ ừ ỗc t m i tam giác 1 c nh sao cho 3 c nh này b ng nhau.ạ ạ ằ