VNMATH COM vietnam TST problems 2014

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2014 Ngày thi thứ (25/03/2014) Bài Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn điều kiện f  2m  f ( m)  f (m) f (n)  nf ( m)  m với m, n số nguyên Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , xét điểm nguyên có tọa độ thuộc tập hợp T  ( x; y) : x , y  20,( x; y )  (0; 0) Tô màu điểm thuộc T cho với điểm có tọa độ ( x , y)  T có hai điểm ( x; y) (x; y) tô màu Với cách tô thế, gọi N số ( x1 ; y1 ),( x2 ; y2 ) mà hai điểm tô màu x1  x2 , y1  y2 (mod 41) Tìm tất giá trị có N Bài Cho tam giác ABC có A  B  C nội tiếp đường tròn (O) Trên cung nhỏ BC (O) không chứa điểm A , lấy điểm D tùy ý Giả sử CD cắt AB E BD cắt AC F Gọi O1 tâm đường tròn nằm tam giác EBD , tiếp xúc với EB, ED tiếp xúc với đường tròn (O) Gọi O2 tâm đường tròn nằm tam giác FCD , tiếp xúc với FC , FD tiếp xúc với đường tròn (O) a Gọi M tiếp điểm (O1 ) với BE N tiếp điểm O2 với CF Chứng minh đường trịn đường kính MN ln qua điểm cố định b Đường thẳng qua M song song với CE cắt AC P , đường thẳng qua N song song với BF cắt AB Q Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ( AMP),( ANQ) tiếp xúc với đường tròn cố định ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2014 Ngày thi thứ hai (26/03/2014) Bài a Cho tam giác ABC có đường cao AD P điểm di động AD Các đường thẳng PB AC cắt E , đường thẳng PC AB cắt F Giả sử tứ giác AEDF nội tiếp Chứng minh PA A  (tan B  tan C )cot PD b Cho tam giác ABC có trực tâm H P điểm di động AH Đường thẳng vng góc với AC C cắt BP M , đường thẳng vng góc với AB B cắt CP N Gọi K hình chiếu A MN Chứng minh BKC  MAN khơng đổi Bài Tìm tất đa thức P( x), Q( x) có hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện: Với dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiện: x0  2014, x2 n1  P( x2 n ), x2 n  Q( x2 n1 ) với n  số nguyên dương m ước số hạng dãy ( xn ) Bài Cho m, n, p số tự nhiên không đồng thời Không gian tọa độ chia thành mặt phẳng song song cách Một cách điền vào khối lập phương đơn vị số từ đến 60 gọi cách điền Điện Biên thỏa mãn: hình hộp chữ nhật với mặt hệ mặt cho tập hợp độ dài ba cạnh xuất phát từ đỉnh 2m  1, 2n  1, p  1 Khối lập phương đơn vị có tâm trùng với tâm hình hộp chữ nhật điền số trung bình cộng số điền tâm hình lập phương góc hình hộp Hỏi có tất cách điền Điện Biên? Những cách điền giống số điền vào khối lập phương đơn vị có tọa độ cách giống  ...ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA DỰ THI IMO 2014 Ngày thi thứ hai (26/03 /2014) Bài a Cho tam giác ABC có đường cao AD P điểm di động AD Các đường thẳng PB... thức P( x), Q( x) có hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện: Với dãy số ( xn ) thỏa mãn điều kiện: x0  2014, x2 n1  P( x2 n ), x2 n  Q( x2 n1 ) với n  số nguyên dương m ước số hạng dãy ( xn ) Bài