nequality via theorems problems

Bất đẳng thức qua định lý toán Trần Nam Dũng Trường ĐH KHTN TpHCM Đi chậm tiến xa - Start small, go big Làm để học tốn cách hiệu quả? Có phải giải thật nhiều toán? Tất nhiên muốn học tốn phải biết giải tốn Nhưng đâm đầu vào giải hay đọc lời giải toán cho thật nhiều, thật nhanh cố gắng nhớ khơng phải cách hay Học tốn phải vấn đề bản, phải chậm để ngấm hiểu phương pháp cách thấu đáo Và phải luôn việc nghiên cứu chứng minh định lý, tìm hiểu ý nghĩa tầm ứng dụng Chính mà người ta nói: Đi chậm tiến xa Ai vội vàng dễ dàng vấp ngã bị toán đè lên: Lật đật toán đè Hãy cố gắng làm toán với tốc độ thật chậm, thật Chậm học để nhanh thi Bất đẳng thức mảng tốn khó chương trình phổ thơng nói chung chương trình chun tốn nói chung Mặc dù trang bị công cụ mạnh, phương pháp phân tích bình phương, dồn biến, ABC, pqr, hàm lồi … đứng trước toán bất đẳng thức mới, cảm thấy lúng túng thiếu tự tin Vậy làm để tự tin tìm định hướng giải tốn bất đẳng thức? Để khơng bị bối rối bơi rừng phương pháp khác nhau, phải nắm tư tưởng chứng minh bất đẳng thức là: Ln tìm cách đưa toán đơn giản cách + Giảm dần số biến số + Thay biểu thức đơn giản Luôn nhớ quy tắc “No square is negative – x 0 x R”, “Look at the end – Hãy nhìn vào đầu mút!”, “Hãy hoá chuẩn hoá”, “Hãy đối xứng hoá”, “Hãy thứ tự!”, “Hãy đặt biến phụ!” Việc sử dụng phương pháp đạo hàm, dồn biến, SOS, bất đẳng thức cổ điển, ABC, pqr, quy nạp … phục vụ cho mục đích đưa bất đẳng thức cần chứng minh dạng đơn giản 1 Phương pháp quy nạp toán học Khi bất đẳng thức phụ thuộc vào biến số nguyên dương n (n biến số, số biến số), ta nghĩ đến phép quy nạp toán học: sử dụng bất đẳng thức n = k (hoặc nhỏ hơn) để chứng minh cho n = k+1 Chứng minh với n nguyên dương ta có bất đẳng thức Cho a, b hai số thực dương Chứng minh ta có bất đẳng thức Cho x1, x2, , xn n số thực dương có tích Hãy chứng minh x1 + x2 + + xn ≥ n Cho D khoảng thuộc R Giả sử f hàm xác định D thỏa mãn điều kiện với x1, x2 D a) Chứng minh x3, x4 D b) Chứng minh với x1, x2, với x1, x2, x3 D Hướng dẫn: Làm để x4? c) Chứng minh với x1, x2, , xn thuộc D ta có Cho n ≥ x1, x2, , xn số nguyên dương cho với i= 1,2, , n (Ở ta hiểu x0 = xn, xn+1= x1) Chứng minh nguyên Cho số nguyên dương n ≥ Cho x 1, x2, , xn số thực thuộc đoạn [0, 1] Chứng minh ta có bất đẳng thức Hướng dẫn: Bạn có gặp khó khăn chuyển từ n > n+1? Hãy tìm cách vượt qua khó khăn đó! a) (VMO 2011) Cho số nguyên dương n Chứng minh với số thực dương x ta có bất đẳng thức b)* Cho số nguyên dương n Chứng minh bất đẳng thức (xy)n(n+1)/2(xn+yn) ≤ với x, y dương có tổng 2 Phương pháp phản chứng Phản chứng phương pháp dùng để thêm giả thiết cho toán lật kết luận với giả thiết Trong bất đẳng thức, phương pháp tỏ hiệu Cho a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > Chứng minh a > 0, b > 0, c > (USAMO 2001) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c ≥ abc Chứng minh bất đẳng thức sau bất đẳng thức (IMO 2001) Chứng minh với a, b, c > ta có Xét hai tốn sau (A) Chứng minh a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b2 + c2 + abc = a + b + c ≤ (B) Chứng minh a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = a2 + b2 + c2 + abc ≥ Hãy chứng minh từ tốn (B) suy toán (A) Cho a, b, c > 2(a2+b2+c2) + 3abc = Chứng minh a + b + c ≤ (USAMO 1999) Cho a1, a2, …, an (n > 3) số thực thỏa mãn điều kiện a1 + a2 + … + an = n, a12 + a22 + … + an2 ≥ n2 Chứng minh max{a1, a2, …, an} ≥ Cho số dương thỏa mãn Chứng minh (a) (b) Bất đẳng thức AM-GM a) Từ kết 1.3, chứng minh a 1, a2, , an số thực dương ta có b) Hãy chứng minh bất đẳng thức (1) phương pháp quy nạp lùi 1.4 c) Chứng minh a1, a2, , an số thực dương r1, r2, , rn số hữu tỉ dương có tổng ta có (2) d) Chứng minh bất đẳng thức (2) r1, r2, , rn số thực dương Chứng minh với n ≥ ta có bất đẳng thức Cho a, b, x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện xy = ax + by Chứng minh Cho a, b, c > Chứng minh a) 2(a3+b3+c3) ≥ a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) b) c) (Bất đẳng thức Muirhead) Giả sử (m, n, p) (m', n', p') hai số thực dương cho: (i) m ≥ n ≥ p, m' ≥ n' ≥ p' (ii) m + n + p = m'+ n' +p' (ii) m ≥ m', m + n ≥ m' + n' ta viết (m, n, p) > (m', n', p') nói (m, n, p) trội (m', n', p') Đặt Mm,n,p(a, b, c) = ambncp + ambpcn + anbmcp + anbpcm + apbmcn + apbncm Chứng minh (m, n, p) trội (m', n', p') Mm,n,p(a, b, c) ≥ Mm',n',p'(a, b, c) a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro) Cho a, b, c > 0, chứng minh b) (Trung Quốc 2004) Cho số dương a, b, c Chứng minh (Nga 2002) Cho Cho số dương (a) (b) (c) thỏa mãn Chứng minh Chứng minh Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz a) Cho a1, a2, , an; b1, b2, , bn số thực thỏa mãn điều kiện chứng minh Hãy Từ suy bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: (1) với 2n số thực x1, x2, ,xn; y1, y2, , yn Dấu xảy x1:y1=x2:y2= =xn:yn b) Từ bất đẳng thức hiển nhiên thức ai, bi tỷ lệ với x thuộc R, suy bất đẳng (2) với ai, bi thực (i=1 n) Dấu xảy c) Chứng minh a > giá trị nhỏ hàm số ax2 + bx Từ đó, xét hàm fi(x) = aix + bix với > áp dụng nguyên lý minimum tổng lớn hay tổng minimum, ta có suy bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng (3) d) Chứng minh dạng (1), (2), (3) có suy từ a) (Bất đẳng thức Nesbit-Shapiro) Chứng minh với ≤ n ≤ ta có bất đẳng thức (Ở an+1 = a1, an+2 = a2) Dấu xảy nào? b) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh ta có bất đẳng thức (Iran 1998) Cho x, y, z > 1, Chứng minh ta có bất đẳng thức (Ba Lan 1991) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y2 + z2 = Chứng minh ta có bất đẳng thức x + y + z ≤ + xyz 4* Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = Chứng minh (Iran 1998) Cho x, y, z > 1, Chứng minh ta có bất đẳng thức Chứng minh x,y,z 7* Cho thỏa mãn điều kiện x+y+z+xyz=0, ta có: n > cho Chứng minh rằng: Một số bất đẳng thức cổ điển khác Bất đẳng thức Bernoulli a) Chứng minh với x > -1 với r > ta có (1+x)r > + rx b) Chứng minh bất đẳng thức r < đổi chiều < r < c) Chứng minh x, y > xy + yx > a) Cho r > s Chứng minh a 1, a2, , an số thực dương cho a 1s + a2s + + ans = n ta có a1r + a2r + + anr ≥ n b) (Bất đẳng thức trung bình lũy thừa) Với a = (a1, , an) số thực r ta đặt Khi đó, r > s ta có Mr(a) ≥ Ms(a) a) (Công thức tổng Abel) Cho hai dãy số thực (a 1, a2, , an) (b1,b2, ,bn) Khi ta có b) (Bất đẳng thức Abel) Cho hai dãy số thực (a1, a2, , an) (b1,b2, ,bn) dãy thứ dãy số giảm Đặt ck = b1+ +bk M = max (ck), m = (ck) Chứng minh ma1 ≤ a1b1 + a2b2 + + anbn ≤ Ma1 c) (Bất đẳng thức hoán vị) Giả sử a 1, a2, , an b1, b2, , bn hai dãy đơn điệu giảm Nếu c1, c2, ,cn hốn vị tùy ý b1,b2, ,bn a1b1 + a2b2 + + anbn ≥ a1c1 + a2c2 + + ancn Cho < x < y ≤ z ≤ 3x + 2y + z ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = 3x2 + 2y2 + z2 Cho dãy giảm n số dương x1, x2, , xn thỏa mãn điều kiện với k = 1, 2, , n Chứng minh Chứng minh với a, b, c > ta có bất đẳng thức (Crux) Với số thực dương x1, x2, ,xn có tổng 1, tìm giá trị nhỏ biểu thức Phương pháp phân tích bình phương Nhiều bất đẳng thức đối xứng biến đưa dạng Sa(b-c)2 + Sb(c-a)2 + Sc(a-b)2 ≥ Hiển nhiên Sa, Sb, Sc khơng âm bất đẳng thức Tuy nhiên, trường hợp số Sa, Sb, Sc âm bất đẳng thức chứng minh thơng qua phân tích Cho a ≥ b ≥ c a ≤ b ≤ c Giả sử S c ≤ Sb ≤ Sa Chứng minh Sc < Sb + Sc ≥ ta có Sa(b-c)2 + Sb(c-a)2 + Sc(a-b)2 ≥ Cho a, b, c số thực dương Chứng minh (Kvant) Cho a, b, c > 0, a + b + c = Chứng minh Cho a, b, c > Chứng minh Cho a, b, c > Chứng minh ta có bất đẳng thức Cho a, b, c > Chứng minh Cho a, b, c > Chứng minh Phương pháp dồn biến Ý tưởng phương pháp dồn biến làm giảm dần số biến số, đưa việc chứng minh bất đẳng thức việc chứng minh (hay nhiều) bất đẳng thức đơn giản Ví dụ để chứng minh f(a, b, c) ≥ 0, ta chứng minh i) ii) f(a, t, t) 0 Ta có số ý sau 1) Khi thực hành phương pháp dồn biến, nên bất đẳng thức ii) trước với lý sau: i) Tìm điểm nghi vấn xảy dấu Biết điểm xảy dấu bằng, tìm cách tiếp cận thích hợp ii) Nếu khơng chứng minh ii) việc dồn biến vơ ích Vì phải làm bước trước 2) Bất đẳng thức nói chung khơng với a, b, c Sử dụng tính đối xứng bất đẳng thức, ta xếp thứ tự a, b, c để bất đẳng thức 3) Việc chọn giá trị để dồn biến đến phụ thuộc vào biểu thức f điều kiện ràng buộc Ví dụ điều kiện a + b + c = nên ta phải dồn trung bình cộng (hoặc thành b+c, 0) (Bất đẳng thức Schur) Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh ta có bất đẳng thức a3 + b3 + c3 + 3abc ≥ a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) (Việt Nam 2006) Cho a, b, c > abc = Chứng minh Cho ba số không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh Hướng dẫn: Phải dồn biến để điều kiện đảm bảo? (Việt Nam 2002) Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a + b2 + c2 = Chứng minh 2(a+b+c) - abc ≤ Dồn biến biên Cho số không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh a2b + b2c + c2a ≤ (Iran 1996) Cho x, y, z > Chứng minh ta có bất đẳng thức (Vietnam TST 2006) Cho x, y, z số thực thuộc đoạn [1, 2] Chứng minh ta có bất đẳng thức Khử dần biến số đạo hàm biến Nguyên lý Fermat nói c điểm cực trị hàm khả vi f(x) f'(c) = Điềi cho phép xây dựng thuật tốn tìm cực trị hàm biến Với hàm nhiều biến, ta sử dụng phương pháp cách cố định số biến, biến tự Việc sử dụng "đường mức" (điều kiện cố định) phụ thuộc vào tốn Tìm giá trị lớn hàm số đoạn [0, 1] (PTNK 2012) a) Chứng minh với số thực dương x ta có bất đẳng thức b) Tìm số thực dương nhỏ cho bất đẳng thức với x > Cho tam giác ABC Với điểm M nằm mặt phẳng tam giác, gọi D, E, F hình chiếu M lên đường thẳng (BC), (CA), (AB) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức (Việt Nam TST 2001) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện 2x + 4y + 7z = 2xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức x+y+z Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện x + y2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Cho Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức f(x)f(y) với x, y số thực thoả mãn điều kiện x + y = Cho a, b, c số thực phân biệt, tìm giá trị nhỏ biểu thức Phương pháp tiếp tuyến Theo công thức Taylor khai triển đến bậc f(x) = f(x 0) + f'(x0)(x-x0) + f"(c)(x-x0)2/2 với c nằm x x0 Như f"(x0) 0 lân cận x 0, tiếp tuyến f(x) (đường thẳng y = f(x0) + f'(x0)(x-x0) nằm hay nằm f(x) Điều cho phép ta đánh giá f(x) thơng qua hàm tuyến tính Đây ý tưởng phương pháp tiếp tuyến (Ba Lan 1996) Cho Chứng minh a) (Baltic Way) Chứng minh bất đẳng thức sau với a, b, c > b) Chứng minh a1, a2, , an số thực dương ta có (ở an+1 = a1) (Nhật Bản 1997) Chứng minh với a, b, c > ta có bất đẳng thức (Mỹ 2003) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c >0 Chứng minh Cho x, y > x2 + y3 ≥ x3 + y4 Chứng minh x3 + y2 ≤ (Romanian TST 2006) Cho a, b, c số thực dương có tổng Chứng minh 10 Hàm lồi bất đẳng thức Karamata Bất đẳng thức Karamata công cụ mạnh để giải bất đẳng thức dạng "tổng hàm" Để phát biểu bất đẳng thức Karamata, ta nhắc lại khái niệm trội Cho hai dãy số thực không tăng a = (a 1, a2, , an) b = (b1, b2, , bn) Dãy a gọi trội dãy b, ký hiệu a > b, chúng thỏa mãn a1 ≥ b1, a1 + a2 ≥ b1 + b2, , a1 + a2 + + an = b1 + b2 + + bn a) Cho I khoảng R Giả sử f hàm liên tục, khả vi bậc hai I lõm I (tức f"(x) ≥ với x thuộc I) Khi với x, y thuộc I ta có f(x) ≥ f(y) + f'(y)(x-y) b) (Bất đẳng thức Karamata) Giả sử hàm số f hàm liên tục, khả vi bậc hai I lõm I Khi với hai dãy số thực khơng tăng a = (a 1, a2, ,an) b = (b1, b2, ,bn) thỏa a > b, ta có f(a1) + f(a2) + + f(an) ≥ f(b1) + f(b2) + + f(bn) c) (Bất đẳng thức Jensen) Giả sử hàm số f hàm liên tục, khả vi bậc hai I lõm I Khi với x1, x2, , xn thuộc I ta có d) (Bất đẳng thức Popoviciu) Giả sử hàm số f hàm liên tục, khả vi bậc hai I lõm I Khi với x, y, z thuộc I ta có bất đẳng thức a) Cho x, y, z [1, 2] Chứng minh b) Cho x, y, z [1, 2] Chứng minh x3 + y3 + z3 ≤ 5xyz (Việt Nam TST 1992) Cho x1, x2, , xn [-1, 1] (n > 2) thỏa mãn x1 + x2 + + xn = n Chứng minh x12 + x22 + + xn2 ≤ n - Cho a, b, c [0, 1] Chứng minh Cho x1, x2, …, xn 0 x1 + x2 + … + xn = n Chứng minh 2(x13+x23+…+xn3) + n2 ≤ (2n+1)(x12+x22+…+xn2) Cho số dương a, b, c,d thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = Chứng minh a) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh b)* Cho a1, a2, , an n số thực dương Hãy chứng minh 11 Bất đẳng thức toán cực trị Cho x, y số thực dương thay đổi Tìm giá trị lớn biểu thức (PTNK 1999) Cho x, y số thực thoả mãn điều kiện: x, y 2, x + y 3 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : A = x2 + y2 + xy – 3x – 3y (Việt Nam TST 1993) Cho x1, x2, x3, x4 số thực thoả mãn điều kiện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = (x1 – 2x2 + x3)2 + (x2 – 2x3 + x4)2 + (x2 – 2x1)2 + (x3 – 2x4)2 Cho x, y, z w số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn (xy + wz)2 (Trung Quốc 2003) Cho a1, a2, , a2n số thực thỏa mãn điều kiện (a1 - a2)2 + (a3 - a4)2 + + (a2n-1-a2n)2 = Tìm giá trị lớn biểu thức P = (an+1 + an+2 + + a2n) - (a1 + a2 + + an) 6* Cho a1, a2, …, an số thực cho a12 + a22 + … + an2 = Tìm giá trị lớn biểu thức a1a2 + a2a3 + … + an-1an Phương pháp hệ phương trình kết hợp hàm biến a) Cho x, y, z số thực thoả mãn điều kiện i) Chứng minh x, y, z  ii) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = xyz b) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện x + y + z = 10, 1/x + 1/y + 1/z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x3 + y3 + z3 c) (VMO 2004) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện (x+y+z) = 32xyz Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ d) Cho x, y, z số thực thoả mãn điều kiện x + y + z = 0, x + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x2y + y2z + z2x 12 Bài tập tổng hợp 1 Cho a, b, c số thực dương thoả mãn điều kiện a + b2 + c2 = Chứng minh (2-ab)(2-ca)(2-ab) 1 Cho x, y, z thuộc [0 ; 1] Chứng minh (xy-y+1)2 + (yz-z+1)2 + (zx-x+1)2 3/2 (IMC 2008) Cho a, b, c, d, e > thoả mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = d2 + e2, a4 + b4 + c4 = d4 + e4 Hãy so sánh a3 + b3 + c3 d3 + e3 Chứng minh với a, b, c > ta có Cho x1, x2, …, xn 0 x1 + x2 + … + xn = n Chứng minh (n-1)(x13+x23+…+xn3) + n2 (2n-1)(x12+x22+…+xn2) (Hello 2007, TH&TT) Cho x, y, z số thực dương Chứng minh ta có bất đẳng thức xyz + 2(x2 + y2 + z2) + 5(x+y+z) (Trung Quốc 2006) Cho số thực a 1, a2, , an thỏa mãn điều kiện a1 + a2 + … + an = Chứng minh Tìm số m nhỏ cho từ bốn số thực a, b, c, d thuộc [0, 1], ta chọn hai số x, y cho xy(x-y) m Cho x1, x2, , xn n số thuộc đoạn [0, 2] Chứng minh Dấu xảy nào? 10 (Balkan MO 2011) Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện x + y + z = Chứng minh 11 (USAMO 2004) Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức (a5 – a2 + 3)(b5 – b2 + 3)(c5 – c2 + 3) ≥ (a+b+c)5 12 (IMO 2005) Cho a, b, c > 0, abc ≥ Chứng minh 13 Các số nguyên dương a1, a2, …, an thỏa mãn điều kiện tất tổng riêng (i1 < …< ik) đôi khác Chứng minh 13 Bài tập tổng hợp (USA MO 2011) Cho a, b, c số thực dương cho a2 + b2 + c2 + (a+b+c)2 ≤ Chứng minh a) (Vietnam SMO 2011) Đoạn thẳng [m, n] gọi đoạn thẳng tốt với ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a + 3b + 6c = phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm thuộc đoạn [m, n] Tìm đoạn thẳng tốt có độ dài nhỏ b) Nếu [m, n] đoạn thẳng tốt, chứng minh m + n – 2mn ≥ (IMO 2003) Cho lục giác lồi mà hai cạnh đối diện có tính chất sau: khoảng cách trung điểm chúng minh tất góc lục giác lần tổng độ dài chúng Chứng (Romanian TST 2006) Cho a1, a2, …, an số thực cho |ai| ≤ a1 + a2 + … + an = a) Chứng minh tồn k {1, 2, …, n} cho b) Chứng minh với n > đánh giá tốt (Putnam, Romania, Iran) Cho n số thực x1, x2, …, xn Chứng minh ta có bất đẳng thức a) (Bất đẳng thức Newton) Cho a1, a2, , an số thực Đặt (x-a1)(x-a2) (x-an) = xn - 1xn-1 + 2xn-2 - +(-1)nn Chứng minh với i = 1, 2, , n-1 b) Bất đẳng thức Maclaurin) Với ký hiệu a i ≥ Chứng minh (Việt Nam 1996) Cho a, b, c, d bốn số thực không âm thỏa mãn điều kiện 2(ab + ac + ad + bc + bc + cd) + abc + abd + acd + bcd = 16 Chứng minh a + b + c + d  (ab + ac + ad + bc + bd + cd) xác định điều kiện xảy dấu 8* (Việt Nam TST 2011) Cho số nguyên dương n ≥ Các số thực x 1, x2, …, xn thỏa mãn điều kiện i) x1 ≥ x2 ≥ …≥ xn; ii) x1 + x2 + … + xn = 0; iii) x12 + x22 + … + xn2 = n(n-1) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = x1 + x2 (IMO 2003) Cho n số nguyên dương cho x1 ≤ x2 ≤ …≤ xn số thực a) Chứng minh b) Chứng minh dấu xảy x1, x2, …, xn cấp số cộng 10* (IMO 2003 Short list) Cho n số nguyên dương (x 1, x2, …, xn), (y1, y2, …, yn) hai dãy số thực dương Giả sử (z2, z3, …., z2n) dãy số thực dương cho z2i+j xiyj với i, j n Đặt M = max{z2, z3, …, z2n} Chứng minh 11 (Mathlinks Contest) Cho a, b, c,, x, y, z số thực cho Chứng minh ax+by+cz 12* Cho a, b, c, x, y, z số thực dương Chứng minh ta có bất đẳng thức 13* (Bất đẳng thức Fejer) a) Chứng minh với số nguyên dương n với số thực x ta có bất đẳng thức b) Chứng minh với số nguyên dương n với số thực x (0, ) ta có bất đẳng thức [Version 1.0, hoàn thành ngày 4/12, dành tặng Ksi Pi]