phương pháp tọa độ trong không gian!
Phương pháp tọa độ trong không gian 79 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian 1 2 3 2 2 2 1 2 3 1 2 2 3 3 1 e ; e ; e e e e 1 e e e e e e 0 x Ox y Oy z Oz x Ox x Ox y Oy z Oz ′ ′ ′ ′ ⊥ ⊥ ⊥ ′ ′ ′ ∈ ∈ ∈ = = = ⋅ = ⋅ = ⋅ = II. TỌA ĐỘ CỦA 1 ĐIỂM 1. ( ) , ,M x y z ⇔ ( ) 1 2 3 , , e e e OM x y z OM x y z ⇔ = ⋅ + ⋅ + ⋅ 2. Tọa độ các điểm đặc biệt Cho ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , , , , , , A x y z B x y z C x y z ⇒ Trung điểm của AB có tọa độ là: 1 2 1 2 1 2 I , , 2 2 2 x x y y z z + + + Điểm chia AB tỉ số k là điểm thoả mãn JA k JB = ⇔ 1 2 1 2 1 2 , , 1 1 1 x kx y ky z kz J k k k − − − − − − Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 3 3 3 x x x y y y z z z G + + + + + + III. TỌA ĐỘ CỦA 1 VÉCTƠ 1. Định nghĩa: ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 , , e e e , , e e e a a a a a a a a b b b b b b b b = ⇔ = + + = ⇔ = + + . Nếu ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 , , , , A x y z B x y z thì ( ) 2 1 2 1 2 1 , , AB x x y y z z = − − − . 2. Phép toán: ( ) 1 1 2 2 3 3 , , ; a b a b a b a b± = ± ± ± ( ) 1 1 2 2 3 3 , , a b a b a b a bα ⋅ ± β ⋅ = α ⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β ⋅ 1 e z y 2 e 3 e O x L M M’ K H www.VNMATH.com Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 80 IV. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI 1. ( ) cos ,a b a b a b ⋅ = ⋅ ; 2. 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b ⋅ = + + ; 3. 1 1 2 2 3 3 0 0 a b a b a b a b a b ⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + + = 4. 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 ; a a a a b b b b = + + = + + ; 5. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b+ = + + + + + 6 . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b− = − + − + − ; 7. ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 AB x x y y z z= − + − + − 8. ( ) 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 cos , a b a b a b a b a a a b b b + + = + + + + ; 9. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 sin , a b a b a b a b a b a b a b a a a b b b − + − + − = + + + + V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , ; , , ; , ,a a a a b b b b c c c c = = = 1. Định nghĩa: [ ] 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 a a a a a a a b p b b b b b b ⋅ = = 2. Tính chất: a p b⊥ ⊥ ; a cùng phương b [ ] 0 a b ⇔ ⋅ = [ ] ( ) 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 sin , a a a a a a a b a b a b b b b b b b ⋅ = + + = ⋅ , ,a b c đồng phẳng ⇔ [ ] 0 a b c ⋅ ⋅ = VI. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 , , ; , , ; , , ; , ,A x y z B x y z C x y z D x y z ( ) 2 2 2 1 1 , . 2 2 ABC S AB AC AB AC AB AC ∆ = = − ⋅ ; 1 , 6 ABCD V AB AC AD = ⋅ ; , AD V AB AD AA ′ ′ = ⋅ hép www.VNMATH.com Phương pháp tọa độ trong không gian 81 BÀI TẬP Bài 1. Cho ( ) ( ) ( ) 3; 4; 1 ; 2;0;3 ; 3; 5; 4 A B C− − . Tìm độ dài các cạnh của ∆ ABC. Tìm cosin của các góc A, B, C. Tìm diện tích ∆ ABC. Bài 2. Cho ( ) ( ) ( ) 2;1; 1 , 3; 0;1 , 2; 1;3 A B C− − và OD y∈ . Biết thể tích V của ABCD là 5. Tìm tọa độ D. Bài 3. Cho ∆ ABC với ( ) ( ) ( ) 1; 2; 1 , 2; 1;3 , 4;7;5 A B C− − − . Tính độ dài đường phân giác trong góc B. Bài 4. Cho ( ) ( ) ( ) 2;3;1 , 5;7;0 , 3; 2;4 a b c= = = − . CMR : , ,a b c không đồng phẳng. Cho ( ) 4;12; 3 d = − . Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ , ,a b c . Bài 5. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1;0;1 , 1;1; 2 , 1;1; 0 , 2; 1; 2 A B C D − − − − . CMR: A , B , C , D là 4 đỉnh của tứ diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D. Tính ABCD V , suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện. Bài 6. Cho ( ) ( ) ( ) 1; 2; 4 , 2; 1; 0 , 2;3; 1 A B C − − − . Gọi M ( ) , ,x y z ∈ (ABC). Tìm hệ thức liên hệ giữa , ,x y z . Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là hình bình hành và tính ABCD S . Bài 7. Cho ( ) ( ) ( ) 1;0;1 , 2;1;3 , 1; 4; 0 A B C− . Gọi M ( ) , ,x y z ∈ (ABC). Tìm hệ thức liên hệ giữa , ,x y z . Tìm trực tâm H của ∆ ABC. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Bài 8. Cho tứ diện ABCD với ( ) ( ) ( ) ( ) ;2;3;1 , 1;1; 2 , 2;1;0 , 0; 1;2 A B C D− − , đường cao AH. Tìm tọa độ H và AH. Bài 9. Cho ( ) ( ) ( ) 2; 2; 2 , 0; 3 2;3 2 , 2;3 2; 3 2 A B C− − + − + . CMR ∆ ABC vuông tại A. Tìm điểm D sao cho ABDC là hình vuông. Tính thể tích của hình hộp đáy ABDC và cạnh bên là AO. Bài 10. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1;1;1 , 4;1;5 , 4; 6; 5 , 1; 6;1 A B C D . Xác định hình dạng của tứ giác ABCD. Tính khoảng cách từ O đến (ABC) www.VNMATH.com Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương 82 Bài 11. Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1; 2;3 , 1; 0; 2 , 1; 2; 4 , 0; 5; 0 A B C D− − − . CMR: ABCD là hình tứ diện. Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên BD. Tính cosin của góc nhọn tạo bởi cạnh đối AB và CD của tứ diện ABCD. Bài 12. Cho ( ) ( ) ( ) 1; 2; 4 ,. 1; 0; 2 , 1; 2;3 A B C− − , ( ) 0; 4; 2 D . CMR: ABCD là hình tứ diện trực tâm. Tìm tọa độ trực tâm của ABCD. Bài 13. Cho hình chóp SABC với ( ) ( ) ( ) 1; 2; 1 , 5; 0; 3 , 7; 2; 2 A B C− , ( ) , SA ABC S Oyz ⊥ ∈ . Tính tọa độ S. Xác định tọa độ giao điểm của O x , O y với (ABC). Bài 14. Cho ( ) 1; 2; 1 A − . Tìm B đối xứng với A qua Oxy , C đối xứng với A qua trục O z . Tính ABC S Bài 15. Cho ( ) 15 6; 8; 2 u = − − . Tìm a biết 50 a = ; a cùng phương u và a tạo với ( ) 0; 0;1 k một góc nhọn. Bài 16. Cho ( ) ( ) 1; 2; 1 , 4; 3; 5 A B− . Xác định Om x∈ sao cho M cách đều A, B. Bài 17. Cho ( ) ( ) ( ) 1; 2; 1 , 5;10; 1 , 4;1;1 A B C− − − − . Chứng minh: A , B , C không thẳng hàng. Tìm tọa độ trực tâm ∆ ABC Tìm tọa độ trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ ABC. Bài 18. Cho ( ) ( ) 4; 1; 2 , 3; 5; 1 A B − − − . Tìm C biết trung điểm AC thuộc O y , trung điểm BC thuộc O xz . Bài 19. Cho ( ) ( ) 1; 2; 7 , 5; 4; 2 A B − − . AB cắt O xy tại M. Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ M. Bài 20. Cho ( ) ( ) 3; 2; 2 , 18; 22; 5 a b − − . Tìm c biết 14, , c c a c b= ⊥ ⊥ , c tạo với ( ) 0; 0;1 k một góc tù. Bài 21. Cho 0 v ≠ . Gọi , ,α β γ là 3 góc tạo bởi v với , ,Ox Oy Oz . Chứng minh rằng: 2 2 2 cos cos cos 1α + β + γ = www.VNMATH.com . JB = ⇔ 1 2 1 2 1 2 , , 1 1 1 x kx y ky z kz J k k k − − − − − − Tọa độ trọng tâm tam giác ABC: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , , 3 3 3 x. z G + + + + + + III. TỌA ĐỘ CỦA 1 VÉCTƠ 1. Định nghĩa: ( ) ( ) 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 , , e e e , , e e e a a a a a a a a